倒立摆仿真及实验报告

最优控制实验报告

二零一五年一月

目录

第1章一级倒立摆实验 (3)

1.1 一级倒立摆动力学建模 (3)

1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 (3)

1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 (5)

1.2 一级倒立摆t

状态调节器仿真 (5)

∞

状态调节器实验 (9)

1.3 一级倒立摆t

∞

输出调节器仿真 (11)

1.4 一级倒立摆t

∞

输出调节器实验 (13)

1.5 一级倒立摆t

∞

1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 (14)

1.7 一级倒立摆非零给定调节器实验 (16)

第2章二级倒立摆实验 (16)

2.1 二级倒立摆动力学模型 (16)

2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 (17)

2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 (18)

状态调节器仿真 (19)

2.2 二级倒立摆t

∞

状态调节器实验 (21)

2.3 二级倒立摆t

∞

2.4 二级倒立摆t

输出调节器仿真 (22)

∞

输出调节器实验 (22)

2.5 二级倒立摆t

∞

2.6 二级倒立摆非零给定调节器仿真 (23)

2.7 二级倒立摆非零给定调节器实验 (24)

第1章一级倒立摆实验

1.1一级倒立摆动力学建模

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和

匀质杆组成的系统，如图所示

图1-1 直线一级倒立摆模型

M小车质量 1.096 kg；

m 摆杆质量 0.109 kg；

b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec；

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；

I 摆杆惯量0.0034 kg·m2；

φ摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；

x 小车运动位移，规定向右为正。

1.1.1一级倒立摆非线性模型建立

采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：

()()()

=-(1.1)

L q q T q q V q q

,,,

其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系

统的势能。拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：

i i i

d L L

f dt q q ∂∂-=∂∂ (1.2)

i f 为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为φ和x 。系统动能：

()2222111111112

cos 223

M m T T T Mx m x m l x m l φφφ=+=+++

(1.3)

系统的势能

11cos V m gl φ=

(1.4)

由于在广义坐标1θ上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则

0d L L

dt φφ

∂∂-=∂∂ (1.5)

得到：

()

2

cos sin mlx mgl I ml φφ

φ+=

+ (1.6)

在simulink 中建立非线性仿真动力学模型

图1-2 一级倒立摆非线性动力学模型

其中MATLAB Function 模块中代码如下：

function dw = fcn(u,phi) I = 0.0034; m = 0.109; l = 0.25; g = 9.8;

dw = ( m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi) )/( I+m*l*l );

1.1.2 一级倒立摆线性模型建立

由(1.6)，且对于质量均匀分布的摆杆有21

3I ml =，将0.25l m =代入有

3(cos sin )x g φφφ=+

(1.7)

将其在平衡位置0φ=︒处进行线性化，cos 1,sin φφφ==，且有29.831/g m s = 得到

29.4933x φφ=+

(1.8)

输入u x = ，将系统写为如下状态空间描述形式

10000000100

100

029.493031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎢⎥

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

(1.9)

在simulink 中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型中MATLAB Function 模块代码更改为

dw = 29.493*phi+3*u;

1.2 一级倒立摆t ∞状态调节器仿真

对于线性定常系统的状态方程为

()()()x t Ax t Bu t =+ (1.10)

给定初始条件()00x t x =，终端时间f t =∞。求最优控制()*u t 使系统的二次型性能指标

01()()()()2

t J x t Qx t u t Ru t dt ττ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰ (1.11)

取极小值。 式中 ,,,A B Q R ——常数矩阵；

Q ——半正定对称阵；

R ——正定对称矩阵。

控制不受约束，最优控制存在且唯一，即