导数的基本概念及性质应用
考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解
2、能运用导数求解单调区间及极值、最值
3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合
方法：讲练结合
新授课：
知识点总结:
导数的基本概念与运算公式
1、导数的概念
函数y = f(x)的导数f (x)，就是当厶X—；0时，函数的增量△ y与自变量的增量厶X的比良的极限，即
f (x)5 卷 f (x △x)-f(x) 二輒△x
说明：分子和分母中间的变量必须保持一致
2、导函数
函数y = f(x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区 f (x)间(a, b )内可导，其导数也是(a ,b内的函数，叫做f (x)的导函数，记作f(X)或y x，
函数f (x)的导函数f(X)在x = x0时的函数值f (x0)，就是f (x)在x0处的导数。
3、导数的几何意义
设函数y = f (x)在点X。处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(X。，y° )处的切线斜率。
4、求导数的方法
1)基本求导公式
c =0 / m m 4 /
(x )二mx (m Q)
(sin x)二cosx (cosx) - -sin x
X x
(e ) =e (a x f-a x ln a
(In x)七(log：) 7a
(2)导数的四则运算
(U 士V)= U 士v (uv) = u v uv
『屮(V7)
(3)复合函数的导数
设u =g(x)在点x处可导，y =在点f(x)处可导，则复合函数f[g(x)]在点x处可导，
f x'( (x)) = f'(u) '(X)
导数性质：
1函数的单调性
⑴设函数y= f(x)在某个区间内可导，若 f(x) >0，贝U f(x)为增函数；若f(x) v 0则为减函数。⑵求可
导函数单调区间的一般步聚和方法。
①确定函数f (x)的定义区间
②求f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。
③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序
排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。
④确定f (x)在各小开区间内的符号，根据f(X)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内
的增减性。
说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关
2.可导函数的极值
⑴极值的概念
设函数f (x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 f(x) v f(x0)(或f (x) > f (x0))，贝y 称f(X0)为函数的一个极大(小)值点。称X0为极大(小)值点。
⑵求可导函数极值的步骤。
①求导数f (x)
②求方程f (X)= 0的根
③检验f(X)在方程f (x) = 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那
么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数 =f(x)在这个根处取得极小值。
说明：极值点的导数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相
3 •函数的最大值与最小值
⑴设y= f(x)是定义在区间［a ,b ］上的函数，y= f (x)在(a ,b )内有导数，求函数 y= f(x)在
［a ,b ］上的最大值与最小值，可分两步进行。
①求y= f(x)在(a ,b )内的极值。
②将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个
为最小值。
⑵若函数y= f(x)在［a ,b ］上单调增加，贝U f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 y=
f (x)在［a ,b ］上单调减少，贝U f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。
说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值
二、例题讲解
题型一导数的概念
【例1】设f(x)在点X。处可导，a为常数，则ijm f(Xo a x)‘fa0 - a x)等于()
A.f/(x o)
B.2af /(x o)
C.af /(x o)
D.O
f(x。二x)_f(x o)
【变式】设f (x)在x o处可导lim —x o__
题型二导数的几何意义、物理意义
2x
【例2】(1)求曲线y =二在点(1 , 1)处的切线方程；
x +1
一t 一1 2
(2)运动曲线方程为S 2 2t ,求t=3时的速度。
t
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线 y=f(x) 在点P(x°,y°)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
题型三利用导数求单调区间
【例3】求下列函数单调区间
(1) y = f (x) =x 3 —^x 2 —2x 5
2
(k 0)
2
(4) y = 2x —In 王
题型四：利用导数求函数的最(极)值
【例4】求函数f(x) =x 3
-3x 1在闭区间［-3，0］上的极值、最大值、最小值
(2) y
(3)
