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1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)

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高中数学课件-1.2排列 课件(北师大版选修2-3)

高中数学课件-1.2排列 课件(北师大版选修2-3)

第一章 §2
2．排列数公式的应用 (1)第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以 及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式 时要注意其特点：第一个因数是 n，最后一个因数是 n－m＋1， 共有 m 个连续的自然数相乘． (2)第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有关的证明、 解方程、解不等式等．在具体运用时，应注意先提取公因式， 再计算．
∴Anm＋1＝mAmn －1＋Amn .
第一章 §2
[点评] 正确运用排列数公式是解决本题的关键．(2)题证 法二是充分利用排列的定义及对某一特定元素的正确处理来解 决的，解法新颖独到．
第一章 §2
无限制条件的排列问题 (1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元 素的所有排列，并指出有多少种不同的排列． (2)6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问 有多少种不同的排法？ [分析] 直接依据排列的定义，用枚举法等解无约束条件 的排列问题，用排列数公式(或分步计数法)计算不同的排列 数．
第一章 §2
[解析] (1)A215＝15×14＝210.
(2)A88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40320.
(3)
Amn－－11·Ann－ －mm An－1
n－1
＝
n－1！ [n－1－m－1]！
·(n
－
m)
！
1 ·n－1！
＝
nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1.
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n
－n1！等关系．
第一章 §2
(1)计算：2AA5888＋－7AA59 48； (2)求证：Amn＋1＝mAmn －1＋Amn . [分析] 本题主要考查排列公式．(1)由排列数公式展开即 可解决；(2)用公式 Amn ＝n－n！m！可以证明．
1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)

1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)


特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
返回
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
返回
已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
返回
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
高中数学第一章计数原理2排列第1课时排列与排列数公式课件北师大版选修2_3

高中数学第一章计数原理2排列第1课时排列与排列数公式课件北师大版选修2_3

第一章 §2 排
列
第1课时 排列与排列数公式
学习目标
1.理解并掌握排列的概念.
2. 理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实
际问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
排列的定义
思考1
若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来. 答案 ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.
思考2
从n个不同的元素中取出 m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种 不同排法？
答案 n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)种.
答案
梳理
排列数
排列数定
所有排列的个数 ， 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______________
m A n 叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___
思考2
ABC与ACB是同一种站法吗？ 答案 不是.
答案
梳理
排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定顺序 排成一列，叫
作 从n个不同的元素中任意取出m个元素 的一个排列.
知识点二
排列数及排列数公式
思考1
从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的 3位数？
答案 4×3×2＝24(个).
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位
安排三位客人，又有多少种方法？ 解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题 .“ 入座 ” 问题同 “ 排队 ”
问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解答
(2)从集合 M＝{1,2，„，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个 x2 y2 焦点在 x 轴上的椭圆方程a2＋b2＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 x2 y2 线方程a2－b2＝1?
(北师大版)数学选修2-3课件：第1章-排列(第1课时)ppt课件

(北师大版)数学选修2-3课件：第1章-排列(第1课时)ppt课件

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高中数学选修2-3-课件-1.2.1排列(1)-北师大版

高中数学选修2-3-课件-1.2.1排列(1)-北师大版


例 写出从 a , b , c , d 四 个元素中 任取三个元素的所 有排列。
cd bd bc cd adac bd ad ab bc ac ab
b c a d a c d a b d a b d c
b
c
所有的排列为：
abc
abd
bac
bad
cab
cad
dab
dac
acb
acd adb
bca
4 1 3 4 2 1
4 2 3 4 3 1 4 3 2
3 4 2
总结归纳：
• ．排列的概念： • 从n个不同元素中，任取m（m ≤ n）个元
素（这里的被取元素各不相同）按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取 m出个元素的一个排列。
• 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①
取出元素，②按一定的顺序排列； • （2）两个排列相同的条件：①元素完 全相同，②元素的排列顺序也相同
• 由此An3 ：求可以按依次填3个空位来考虑，
∴
A = n(n 1)(n 2)
3 n
求
A
m n 以按依次填m个空位来考虑
A n(n 1)(n 2)(n m 1)
m n
m, n N , m n
说明：（1）公式特征：第一个因数是 n ，后面每一个 m n m 1 ，共有 因数比它前面一个少 1 ，最后一个因数是 个因数； （2）全排列：当 n m 时即 n 个不同元素全部取出 的一个排列。 n 全排列数： An n(n 1)(n 2)2 1
1.2.1排列
问题1．
北京、上海、广州三个民航 站之间的直达航线，需要准 备多少种不同的飞机票？
起点站
北师大版高中数学选修2-3课件1.2 排列 课件 1

北师大版高中数学选修2-3课件1.2 排列 课件 1


[分析] (1)可分两步完成：第一步，从 7 人中选出 3 人排 在前排，有 A37种排法；第二步，剩下的 4 人排在后排，有 A44种 排法，故一共有 A37·A44＝A77种排法．事实上排两排与排成一排 一样，只不过把第 4～7 个位子看成第二排而已，排法总数都是 A77，相当于 7 个人的全排列；(2)优先安排甲、乙；(3)用“捆绑 法”；(4)用“插空法”．
• (1)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公 司应聘，若每家公司至多招一名新员工，且 3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则 共有________种不同的招聘方案(用数字作 答)；
• (2)有一部电影，被安排到4个单位去放映， 每个单位放映1场，不同的放映方式有 ________种．
• [分析] 无限制条件的排列问题，只要分清 m个元素和n(m≤n)个不同的元素各是什么， 一个排列对应的是完成什么事即可．
• (2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没 有限制条件的元素，然后再将有限制条件的 元素按要求插入排好的元素之间．
• (2013·河南安阳中学高二期末)7名师生站成 一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女 生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
• (1)两名女生必须相邻而站；
• (2)4名男生互不相邻；
思路方法技巧
• 排列数公式的计算
•
计算或化简下列各式：
(1)A215；
(2)A88；
(3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm；
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！；
(5)21！＋32！＋…＋nn－！1.
• [分析] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计 算，并考虑排列数之间的关系；化简求值， 可减少运算量．
• n即(n－从1)n(n个－不2)…同(n的－m元＋素1) 中任意取出m(m≤n)个元 素的排列共有 ___________________________种．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列课件 北师大版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列课件 北师大版选修2-3

又00≤≤xx≤－82，≤8， 解得 7<x≤8. 又 x∈N＋，所以 x＝8.
规律方法 运用排列数公式时的注意点 运用排列数公式时应注意以下两点：(1)排列数公式的连乘形式常 用于计算具体的排列数；(2)排列数公式的阶乘形式常用于含有排列数 的分式形式的计算或对含有字母的排列数的式子进行化简．
(1)解方程：A42x＋1＝140A3x； (2)解不等式：Ax6<6Ax6－2.
解：(1)∵2x≥x＋3，1≥4， ∴x≥3，x∈N＋， 由 A42x＋1＝140A3x得 (2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)， 化简得，4x2－35x＋69＝0， 解得，x1＝3 或 x2＝243(舍)，∴方程的解为 x＝3.
(2)由11≤≤xx－≤26≤，6， 得 3≤x≤6，且 x∈N＋.
题型五 数字问题 [例 5] (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数有多少个？ (2)由 0,1,2,3,4,5 六个数字组成的六位数中，数字 1 排在奇数位上 的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到 右依次为奇数位、偶数位来理解) [思路探究] (1)奇偶相间有两种情况：①从首位到个位先是奇数 后是偶数；②从首位到个位先是偶数后是奇数．在第②种情况中，要 考虑数字“0”不能在首位，应优先安排其位置．(2)题目中有 0,1 两个有 限制条件的元素，且数字 1 的位置选择对 0 的位置选择有影响，应分 类考虑．
[解] (1)先考虑甲站在中间有 1 种方法，再在余下的 6 个位置排另 外 6 名同学，共有 A66＝6×5×4×3×2 ×1＝720 种排法．
(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有 A22种，再在余下的 5 个位置排 另外 5 名同学的排法有 A55种，共有 A22A55＝2×1×5×4×3×2×1＝240 种排法．
精品课件：数学北师大选修2-3第1章2第一课时

精品课件：数学北师大选修2-3第1章2第一课时


2．有数学书2本，语文书3本，英语书4本，若 从中取数学书、语文书、英语书各一本，则不 同的取法用__分__步__乘__法__计数原理，共有_2_4_种 方法．若从中取一本书，则不同的取法用 _分__类__加__法___计数原理，共有__9_种方法．
知新益能
1．排列及排列问题 (1)排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元 素，按照_一__定__的__顺__序____排成一列，叫作从n个不 同元素中任意取出m个元素的一个排列． (2)排列问题：把有关求_排__列__的__个__数____的问题叫 作排列问题．
【解】 (1)法一：原式＝4×4A384×＋22A×84－4A948A48＝244＋－89 ＝1125＝45. 法二：原式＝
4×8×7×6×5＋2×84×43＋ ×22× ×41－9＝1125＝45.
(2)根据原方程，x
应满足2x＋1≥4， x≥3，x∈N＋
故有：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad， bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda， cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
【名师点评】 在“树形图”或“框图”操作 中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪 个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中 再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二 位并按序分类，依次一直进行到完成一个排列， 这样就能不重不漏地依照“树形图”或“框图 ”写出所有排列．
，
解得 x≥3，x∈N＋.
根 据 排 列数 公 式， 原方 程 化为 (2x＋ 1)·2x·(2x－
2．排列数与排列数公式
排列数定 义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 ____所__有__排___列__的__个__数_______，叫作从 n 个不同
【创新设计】2013-2014高中数学 1.2.1 排列与排列公式同步课件 北师大版选修2-3

【创新设计】2013-2014高中数学 1.2.1 排列与排列公式同步课件 北师大版选修2-3


名师点睛
1．对排列的定义的理解 (1)排列定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”，二 是“按一定顺序排列”． (2)参与排列的元素互不相同，从n个“不同”元素中取 出． (3)两个排列只有当元素对应相同，并且元素排列顺n时称为n个元素的全排列． (5)判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排 列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变 换元素的位置(这里的位置应视具体问题的性质和条件来 决定)，看其结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就 是无序．
的取值范围．
【解题流程】
[规范解答] (1)由 3A3x＝2A2x＋1＋6A2x得， 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N＋， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)． 化简整理得，3x2－17x＋10＝0. 解得 x1＝5，x2＝23(舍去)．∴x＝5.
题型二 有关排列数的计算与证明
【例2】 (1)计算：①2A34＋A44；②AA5255. (2)求证：Amn ＋mAmn －1＝Amn＋1.
[思路探索] (1)按公式将排列数写成连乘形式计算． (2)若利用排列数公式写成连乘形式对等式左边进行变形， 则过程复杂，此处考虑用阶乘形式．
解 (1)①2A34＋A44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72. ②AA2555＝5×4×5×3×4 2×1＝6. (2)Amn ＋mAmn －1＝n－n！m！＋n－m×m＋n！1！ ＝n－m＋n1－×mn＋！1＋！m×n！ ＝n－nm－＋m1＋＋1m！n！＝n－n＋m＋1！1！＝Amn＋1.
2．排列数与排列数公式 (1)排列数：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素所有排列的个数，
叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号
1.2.1排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)

1.2.1排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)


整理得3n2-17n+10=0，
解得n=5或 n 2 (舍去)，
3
n 3 又 n 1 2， n 3，故n 5． n 2
(2)左边＝ m! m k ! m! An m k ! m n ! m n ! m
2．下列命题中，是真命题的是( ①abc和bac是两个不同的排列；
)
②从甲、乙、丙三人中选2人站成一排，所有的站法有6种；
③过不共线的三点中任两点所作的直线的条数为6．
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
【解析】选A．对于①，abc和bac显然排列顺序不同，是不 同的排列；对于②，所有的站法有甲乙、甲丙、乙甲、丙
种数是________．
【解析】要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2个 车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A 2 种不 4 同的排法，即共有 A 2 种不同的车票，由排列数公式可得 4
A2 ． 4 4 3 12
答案：12
5 A7 A 6．解方程 n 5 n 89． An
有关排列数的计算
排列数的计算方法：
(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行．应用时注意：
连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的数是排
列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个 数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的两种形式时，一般先写出它们的式子 后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【例1】判断下列问题是否为排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，
共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数 和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为
北师大版高中数学选修2-3课件：1.2 排列(共53张PPT)

北师大版高中数学选修2-3课件：1.2 排列(共53张PPT)


备课素材
下节课预习问题： 1．解决排列问题的一般方法． 2．了解位置分析法、元素分析法．
第一章
计数原理
§ 2 排列
第2课时 排列数的性质及排列的应用
预习探究
知识点一 解决排列问题的基本方法 从排列的定义可以看出,元素及元素的排列顺序(即位置)是排列问题的关键,所以解 决排列问题时,关键是解决好元素(特别是特殊元素)的排列或位置(特殊位置)的排列, 元素(或位置)的排列可采用排列数公式直接求解,通常通过以下三种途径考虑. (1)元素分析法:先考虑特殊元素,再考虑其他元素. (2)位置分析法:先考虑特殊位置,再考虑其他位置. (3)整体排除法:先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限制条件的排列数. 当然,从排列问题的解题技巧上看,使用“插入法”和“捆绑法”对解决元素“不相邻”或 “相邻”的问题非常适用.
新课导入
[导入一] 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加竞赛，其中一名参加数学竞赛， 一名参加物理竞赛，则有多少种不同的方法？ 问题2 从a，b，c，d这4个字母中，取出3个并按顺序排成一列，共有多少种 不同的排法？ 上面的两个问题，都是从n个元素中选出m个元素，并且选出的元素相互之间 有顺序，这样的问题就是今天我们要讲的排列问题.
考点类析
【变式】 (1)在例2中,若甲、 乙站在两端,则有多少种不同 的站法? (2)在例2中,若甲、乙站在一 起,且甲可以站在两端,则有多 少种不同的站法?
考点类析
[小结] 对于有限制条件的排列问题,先安排好特殊的元素(或位置),再安排 一般的元素(或位置),即先特殊后一般,一般用直接法.
考点类析
预习探究
预习探究
解:(1)当m,n较大时,可使用计算器快捷地算出结果; (2)对含有字母的排列数式子进行变形时常使用此公式.

2015-2016学年北师大版选修2-3 排列与排列数公式 课件(58张)


是按分子、分母的顺序排列的．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析
一般地，从 n 个不同的元素中 取出 m(m≢n)个元素，按 照一定的顺序 排成 一列， 叫作从 n 个不同的元素中任意取出 m 个元素的一个排列． 我们把有关求排列的 个数 问题叫作排 列问题．
【自主解答】 (1)中票价只有三种， 虽然机票是不同的， 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题； (2)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问 题；
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源 菜 单
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
当 堂 双 基 达 标
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BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【解】
(1)选出同学甲、乙与乙、甲开会是同一回事，
所以与两名学生的先后顺序无关，所以(1)不是排列问题． (2)由于 2÷ 3≠3÷ 2，所以本题与两数的顺序有关，是排列 问题． (3)因为弦 AB 与弦 BA 是同一回事， 所以本题也不是排列 问题．
演示结束
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BS ·数学
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北师大版高中数学选修2-3课件1.2排列


②有 10 个车站,共有多少种不同的票价?
③平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段?
④有 10 位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话多少
次?
⑤从 10 名学生中任选 2 名分别参加数学和物理竞赛,有多少种选派方
法?
其中,属于排列问题的有
.
答案:①③⑤
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置,并非一定要排成 “一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用,在处理“至多” 或“至少”等问题时非常有效.当然问题(2)也可以逐一分类,算式为 A13A14A55 + A13A14A55 + A23A55=3 600 种.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
§2 排 列
-1-
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
1.通过实例正确理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式,掌握排列数公式,能用排列数公式进行 计算与证明,解决简单的实际问题. 3.掌握用直接法和间接法解决排列应用题的方法,从而培养学生一题多解 和一题多变的能力,培养学生从反面解决问题的意识.
c,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb 共 24 种,即A34=24 种.
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题型一
题型二
题型三
只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列,元 素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同 一排列.

选修2-3课件1.2.1排列(一)


研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一 写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接 “得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个 问题：排列数及其公式．
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 参加某天的一项活动,其中1名参 加上午的活动,1名参加下午的活动, 有哪些不同的排法?
练习:
1. 下面几个问题属于排列的是（ A，D ）（多选）
A）由1、2、3三个数字组成无重复数字的三位数， B）从40人中选5人组成篮球队，C）8个人进行单循环乒 乓球比赛，D）从40人中选5人担任班长，团支部，副班长， 学习委员，体育委员。 2. 下列问题不属于排列问题的是（ D ）
A）三人互相敬酒，B）三人互相送礼，C）三人互相问好， D）三人互相握手。
b
b d a d a b
b c a c a b
c
acd bcd cbd dbc
adb adc bda bdc 问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 从a,b,c,d这4个字母中,每次 参加某天的一项活动,其中1名参 取出3个按顺序排成一列, 加上午的活动,1名参加下午的活动, 写出所有不同的排法. 有哪些不同的排法? 原问题即：从3名同学中,任取2名, 原问题即：从4个不同的字母中, 按参加上午的活动在前,下午的 任取3个,按照左边,中间,右边 活动在后的顺序排成一列, 有哪 的 顺序排成一列,写出所有不 些不同的排法？ 同的排法. 实质是：从3个不同的元素中,任 实质是：从4个不同的元素中, 取2个,按一定的顺序排成一列, 任取3个,按照一定的顺序排成 有哪些不同的排法？ 一列,写出所有不同的排法.
b c d a c d abc bac cab dab c d b d b c c d a d a c abd bad cad dac acb bca cba dba a c b d a d b

【数学】2-排列-课件(北师大版选修2-3)ppt课件


问题3中是求从4个不同元素中取出3个元素的
排列数，记为 A43 ，已经算出 A43 4 3 2 24
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列
数 An2 是多少？An3 呢？ Anm 呢？
An2 n(n 1)
Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
An3 n(n 1)(n 2)
（1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
哪些是全 排列？
（7）以圆上的10个点为端点作弦
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的 射线
abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
共有 4×3×2=24 种
8
基本概念
1、排列：
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
区别二
每类办法都能独立完成 这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的 3
问：用1，2，......8，9可组成多少个无重 复数字的六位数？ 步骤繁多，如何简化？——排列问题公式化

高中数学第1章计数原理1.2.1排列与排列数公式课件北师大版选修2-3


排列数的计算方法 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用 时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排 列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这 是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
排列的列举问题 写出下列问题的所有排列． (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位 数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． 【精彩点拨】 (1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示 方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元 素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元 素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行， 直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
1．从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它
们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，
结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，
故是排列问题． 【答案】 B
阶
阶
段
段
一
三
§2 排列
第 1 课时 排列与排列数公式 Nhomakorabea学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．(重点) 2．能用列举法，写出一个排列问题的所有的排列．(易混点) 3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．(难点)
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有关的证明、解方程、解不等式等．
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5．已知A 2 ＝132，则n等于 n
A．11 C．13 B．12 D．14
(
)
解析：A 2 ＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0.因 n
为n∈N＋，所以n＝12.
答案：B
返回
m 6．已知 A10＝10×9×…×5，那以 m＝________.
解析：由排列数公式，得m＝6.
答案：6
返回
2A5＋3A6 9 9 7．计算： 6 ＝________. 9！－A10 解析：法一：
2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×4 原式＝ 9×8×7×…×1－10×9×…×5 2＋12 14 ＝ ＝ ＝1. 4×3×2－10 14 9！ 9！ 2 3 2 ＋3 ＋ 4！ 3！ 4！ 3！ 2＋3×4 法二：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 10 10！ 4！－10 1－ 9！－ 4！ 4！
排成一个三位数，写出所得到的所有三位数． [思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列
出所有的排列．
返回
[精解详析]
画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312, 314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数． 返回
Hale Waihona Puke 返回[例 3](12 分)计算下列各题：
－ A5＋A4 Am－11· n－m An－m 9 9 n 3 (1)A10；(2) 6 ；(3) . A10－A5 An－1 10 n－1
[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计 算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．
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[精解详析]
无关． (2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物 理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结 果，即与顺序有关． 不同排列为张红 张红；李明 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华
赵华；赵华
李明．
(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关.
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[例2]
从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字
理解教材 新知 第 1 部 分
知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三
第 一 章
§2
第 一 课 时
把握热点 考向
应用创新 演练
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问题1：若甲、乙、丙三人站成一排照相，有哪些站法？ 请列举出来．
提示：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，
丙乙甲． 问题2：甲乙丙与甲丙乙是同一种站法吗？ 提示：不是．它们的顺序不同．
1≤x≤6， (2)由 1≤x－2≤6，
得 3≤x≤6，且 x∈N＋.
又 Ax<6Ax 6 6
－2
6！ 6！ ⇒ <6· 6－x！ 6－x＋2！ ⇒(8－x)(7－x)<6 ⇒x2－15x＋50<0 ⇒(x－10)(x－5)<0 ⇒5<x<10. 综上可知 x＝6，不等式解集为{6}．
返回
返回
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[例1]
下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？ (4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？ [思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在
问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个 没有重复数字的四位数？
提示：有6×5×4×3＝360种．
问题4：上述几个问题是如何解决的？ 提示：都利用了分步乘法计数原理． 问题5：若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成 一列，有多少种不同的排法？
提示：有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
答案：1 返回
x 8．(1)解方程 3A8＝4Ax－1； 9 x (2)解不等式：A6<6Ax 2. 6
－
1≤x≤8， 解：(1)由 1≤x－1≤9，
得 2≤x≤8.
又 3Ax＝4Ax－1， 8 9 3×8×7×…×(8－x＋1)＝4×9×8×7×…×(9－x＋2)，
3×8×7×…×(9－x)＝4×9×8×7×…×(11－x)， 3×(10－x)(9－x)＝4×9， (10－x)(9－x)＝12， x2－19x＋78＝0， x1＝6，x2＝13(舍)， 综上可知，原方程的解为x＝6. 返回
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排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问
题是否是排列问题时，可按下列方法进行：
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点击 下图
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(1)A3 ＝10×9×8＝720. 10
(4 分)
A5＋A4 9×8×7×6×5＋9×8×7×6 9 9 (2) 6 ＝ A10－A5 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 10 9×8×7×6×5＋1 6 3 ＝ ＝ ＝ . (8 分) 10×9×8×7×6×5－1 10×4 20
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排列数
排列数定 义及表示 排列 数公 式 乘积 式 阶乘 式 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的 所有排列的个数， 叫作从 n 个不同元素中
Am 表示 取出 m 个元素的排列数，用符号 n
Am＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n
n！ Am＝ n－m！ (n，m∈N＋，m≤n) n
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问题3：若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一
项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下
午的活动．请列出来． 提示：甲上乙下，甲上丙下，乙上甲下，乙上丙下， 丙上甲下，丙上乙下． 问题4：问题1和问题3有何特点？ 提示：都与顺序有关．
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排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定的
[一点通]
在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序
排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，
在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位
并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能 不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
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3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位 数． 解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个． 答案：6
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
－ Am－11· n－m An－m n－1！ n (3) ＝ · (n－m)！· An－1 [n－1－m－1]！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am＝ n n！ 适用于与排列数 n－m！
被安排时，是否与顺序有关．
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[精解详析] 问题．
(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问 题．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是 有顺序的，是排列问题．
返回
[一点通]
判定是不是排列问题，要抓住排列的本质
2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞 赛有几种不同选法？ (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数 学竞赛有几种不同选法？
(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
返回
解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序
返回
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
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所以符合题意的所有排列是：
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD， CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
排列数 的性质
An＝ n！；A0 ＝ 1 ；0！＝1 n n
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1．判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素后是否考虑顺序，与
顺序有关的是排列 ，否则就不是排列．
2．排列与排列数是两个不同的概念．排列是一个 具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是 一个具体的数．
特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
返回
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )