二年级奥数数阵图

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。

先求重叠数。

数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。

例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。

第二讲：数字游戏—填图与拆数【有话要说】填数是一种既有趣，又能锻炼头脑、发展智力的趣味活动。

它不仅可以提高你的运算能力，而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。

填数这类题目的题型比较多，解答时除了口算要熟练外，更重要的是要会分析、推理。

有的题目答案不止一种，要多尝试，要尽量运用发散思维、求异思维，把各种可能的答案想出来。

【经典例题】例1：把1、3、5、7、9、11、13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21.思路导航：这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14； 1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

例2：如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、 斜行的三个数的和等于15.思路导航：因为每一横行、竖行、斜行三个数的和都等于15，我们可以先填一行中只有一个空格的数，如：4+（9）+2=15，竖行6+（7）+2=15，斜行6+（5）+4=15，根据填出的数再填只有一个空格的数。

6 42375645213解：例3：把1、2、3、4、5、6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。

思路导航：先确定图形中央的两个数分别填几，可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八个数的和：1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个5就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说中央两个小圆里可以填1和4，也可以填2和3，中央填1和4,13-5=8，左边填3和5，右边填2和6，中央填2和3行不行呢？剩下的数有1、4、5、6任意两个数的和都不是8，所以无法填出，因此，中央只能填1和4. 解：例4：由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.思路导航：5462137524675381图中空着四个部分要填入四个数：1、2、4、6，可以看出中心部分属三个圆圈公共部分，关键要确定中心填哪个数，我们用拆数的方法来确定。

【思维数学】 二年级数学 姓名：艾娃数学工作室整理 第二讲：数字游戏—填图与拆数【有话要说】【有话要说】填数是一种既有趣，又能锻炼头脑、发展智力的趣味活动。

它不仅可以提高你的运算能力，而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。

而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。

填数这类题目的题型比较多，解答时除了口算要熟练外，更重要的是要会分析、推理。

有的题目答案不止一种，要多尝试，要尽量运用发散思维、求异思维，把各种可能的答案想出来。

【经典例题】【经典例题】例1：把1、3、5、7、9、11、13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21.思路导航：这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14； 1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

，也就是首尾配对。

例2：如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、：如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、 斜行的三个数的和等于15.思路导航：因为每一横行、竖行、斜行三个数的和都等于15，我们可以，我们可以先填一行中只有一个空格的数，如：4+（9）+2=15，竖行6+（7）+2=15，斜行6+（5）+4=15，根据填出的数再填只有一个空格的数。

根据填出的数再填只有一个空格的数。

6 42375645213解：解：例3：把1、2、3、4、5、6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。

思路导航：思路导航：先确定图形中央的两个数分别填几，先确定图形中央的两个数分别填几，先确定图形中央的两个数分别填几，可以这样想，可以这样想，可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八先求六个数的和与两个大圆上八个数的和：1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个5就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说中央两个小圆里可以填1和4，也可以填2和3，中央填1和4,13-5=8，左边填3和5，右边填2和6，中央填2和3行不行呢？剩下的数有1、4、5、6任意两个数的和都不是8，所以无法填出，因此，中央只能填1和4. 解：解：例4：由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.思路导航：思路导航：8 1 6 3 5 7 4925462137524675381图中空着四个部分要填入四个数：1、2、4、6，可以看出中心部分属三个圆圈公共部分，关键要确定中心填哪个数，我们用拆数的方法来确定。

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它有各式各样、花样繁多的几何阵列，变化万千、趣味无穷。

它就是数阵图。

到底什么是数阵图呢？
梧桐小讲堂
什么是数阵图？
数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形。

通常来说，是把从1开始(或者是从任一整数开始)，把若干个连续的自然数适当的排列起来形成各种形式的几何阵列，使得几何阵列中的特定图形上的数之和都是一个固定的值，这就是数阵图。

(★★★)
把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12。

数阵图之谜
(★★★)
将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于10。

【拓展】(★★★★)
把1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等。

一共有多少种方法？
(★★★★)
把1～6填入○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等6。

(★★★★★)
将1－6填入下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于10。

(★★★★★)
把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每条直线上和每个圆周上的三个数的和都是120。

数阵图时间：2021.03.06 创作：欧阳道1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数(2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。

拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。

（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例 4.把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。

例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。

例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。

1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。

2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。

3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。

4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。

耳tM 蚱 教学目标1 . 了解数阵图的种类2 .学会一些解决数阵图的解题方法3 .能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨 、数阵图定义及分类:1 .定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 .2 .数阵是一种由幻方演变而来的数字图 .数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图 ^ 3 .二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点 （或方格）和关键点（或方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的 数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试. 这个步骤并不是对所有数阵题都适用， 很多数阵题 更需要对数学方法的综合运用.例题精讲数阵图与数论【例1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为 55,那么这个等差数列的公差有 能的取值.【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8题【解析】设顶点分别为 A 、B G D E,有45+A +削C +D +E =55,所以A +B +C +D +E =10,所以A 、 R CH E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等差数列的首项为 a 1,公差为d .利用求和公式5（a 1 + a 1+4d ） 2=55, 得a 1+2d =11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数，只能取 7、9或11,而对 应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有 3中情况，公差分别为2、 1、0.5-1-3-3.数阵图目地蚱_____ 种可【答案】2种可能【例2】将1~ 9填入下图的。

中，使得任意两个相邻的数之和都不是3, 5, 7的倍数.【考点】数阵图与数论【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7; 2的两边只能是6与9; 3的两边只能是1、5 或8; 4的两边只能是7与9.可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4, 4的后面只能是9, 9的后面只能是2, 2的后面只能是6,可得：3—1 — 7—4 -9-2-6--,还剩下5和8两个数.由于6 8 14是7的倍数，所以接下来应该是5,这样可得：3—1—7—4 — 9—2—6 —5 —8—3.检验可知这样的填法符合题意.【答案】3 —1 — 7—4—9—2 — 6 — 5—8—3【例3】在下面8个圆圈中分别填数字1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8（1已填出）.从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n（n<8）o则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈.依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8 .请给出两种填法.O OO Q 0【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分【解析】按顺时针方向：1,2, 5,3, 8, 7,4, 6 或1,5,2 , 4, 8, 6, 7,3 或1,6,2,3 , 8, 5, 7, 4或1,6, 4, 2, 8, 7, 5, 3 （答对任一种给6分，总得分不超过12）由于无论如何填8都是最后一个填写，而填之前，已经走过了28步，因为28 + 8=3余4,即8永远只能在最底下的圆圈里。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。

【解答】如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。

【解答】知识分类一：基础数阵图113325341245如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。

【解答】将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。

【解答】81 8 7935 7 26 104把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。

【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。

【答案】把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。

【答案】58219753知识分类二：数阵图进阶213645把10、20、30、40、50、60、70、80这八个数填入下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和都是200.【答案】在圆圈内填上1～8这八个数字，使长方形每条边上三个数的和为12.【答案】703080401020605024675381将1、2、3、4、5、6这六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和等于9.【答案】由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.【答案】34256137521 3754 6将10、14、6填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是30.【答案】412288126210144。

二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15。

现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕。

现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12。

你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12。

请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12。

请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14。

辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式。

请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13。

封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12。

你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18。

【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14。

【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等。

（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用。

）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【例 3】 在下面8个圆圈中分别填数字l ，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n (n ≤8)。

则从这个圆圈开始顺时针走n 步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。

现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

【例 5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如:a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F 依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。

专题五简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。

例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？二、封闭型数阵图多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和数和+重叠数的和＝公共的和×边数数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和边数：指封闭图形的边数例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。

例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。

1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。

2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。

3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。

4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。

数阵图（一）
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。

例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。

例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条
例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。

1.将九个连续自然数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。

2.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方。

3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方。

4.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。

5.将右图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

6.将九个质数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

7.求九个数之和为657的三阶质数幻方。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15.现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕.现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12.你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12.请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12.请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14.辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式.请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13.封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12.你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18.【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14.【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等.（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用.）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14.。

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。

先求重叠数。

数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。

例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使例4、将1~7这七个自然数填入左下图的每条直线上的三个数之和相等七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。

数阵图时间：2021.03.12 创作：欧阳文1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。

(1)填数，使横行、竖行的三个数(2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。

3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。

拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。

（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4.把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。

简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。

例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。

例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。

1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。

2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。

3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。

4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。