2002年四川大学数学分析考研真题-考研真题资料

四川大学考研专业课历年真题资料三(免费下载）1.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2001试题资料下载2.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2002试题资料下载3.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）20052001试题资料下载4.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2000试题资料下载5.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）2005试题资料下载6.四川大学工商管理学院运筹学2005试题资料下载7.四川大学建筑与环境学院城市规划设计（8小时）2005试题资料下载8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.四川大学政治学院社会主义经济理论与实践2002试题资料下载31.四川大学政治学院思想政治教育理论与实践2004试题资料下载32.四川大学建筑与环境学院高等数学（环境科学专业）2005试题资料下载33.四川大学政治学院政治学原理2005试题资料下载34.四川大学政治学院邓小平理论2002试题资料下载35.四川大学政治学院政治学原理2004试题资料下载36.四川大学政治学院马克思主义基本理论2004试题资料下载37.四川大学政治学院马克思主义基本理论2005试题资料下载38.四川大学数学院数学分析、高等代数2004试题资料下载39.四川大学数学院数分、高代基础2003试题资料下载40.四川大学数学院概率统计（概率论与数理统计专业）2004试题资料下载41.四川大学数学院数学分析、高等代数2005试题资料下载42.四川大学数学院常微分方程2005试题资料下载43.四川大学数学院数学分析2002试题资料下载44.四川大学数学院泛函分析2003试题资料下载45.四川大学数学院概率论2002试题资料下载46.四川大学数学院近世代数2004试题资料下载47.四川大学数学院泛函分析2002试题资料下载48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.四川大学文学与新闻学院中国现当代文学2002试题资料下载71.四川大学文学与新闻学院中外文学2002试题资料下载72.四川大学文学与新闻学院中外文学2000试题资料下载73.四川大学文学与新闻学院古代汉语2000试题资料下载74.四川大学文学与新闻学院古代汉语2001试题资料下载75.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2001试题资料下载76.四川大学文学与新闻学院古代汉语2003试题资料下载77.四川大学文学与新闻学院古代汉语2002试题资料下载78.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2000试题资料下载80.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2002试题资料下载81.四川大学文学与新闻学院外国文学史1997试题资料下载82.四川大学文学与新闻学院外国文学史1998试题资料下载83.四川大学文学与新闻学院外国文学史1999试题资料下载84.四川大学文学与新闻学院外国文学史2000试题资料下载85.四川大学文学与新闻学院外国文学史2001试题资料下载86.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2004试题资料下载87.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2003试题资料下载88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.110.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2005试题资料下载111.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2003试题资料下载112.四川大学文学与新闻学院新闻史论2000试题资料下载113.四川大学文学与新闻学院新闻史论2001试题资料下载114.四川大学文学与新闻学院比较文学2001试题资料下载115.四川大学文学与新闻学院现代汉语2000试题资料下载116.四川大学文学与新闻学院比较文学2002试题资料下载117.四川大学文学与新闻学院现代汉语2003试题资料下载118.四川大学文学与新闻学院西方文论2000试题资料下载120.四川大学文学与新闻学院现代汉语2002试题资料下载121.四川大学文学与新闻学院现代汉语2005试题资料下载122.四川大学文学与新闻学院比较文学2000试题资料下载123.四川大学文学与新闻学院西方文论2001试题资料下载124.四川大学文学与新闻学院语言学概论2000试题资料下载125.四川大学文学与新闻学院西方文论2002试题资料下载126.四川大学文学与新闻学院语言学概论2001试题资料下载127.四川大学文学与新闻学院语言学概论2002试题资料下载147.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（光学、无线电物理专业）2001试题资料下载148.四川大学材料科学与工程学院普通化学2002试题资料下载149.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2003试题资料下载150.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2002试题资料下载。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设函数tan 21,0arcsin()2,xx e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则a = .(2) 位于曲线(0)xy xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______. (3) 微分方程20yy y '''+=满足初始条件011,2x x y y =='==的特解是_________.(4) 1limn n →∞+=_____ . (5) 矩阵022222222--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的非零特征值是_________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为0.1，则(1)f '=( )(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )(A)20()xf t dt ⎰ (B)20()xf t dt ⎰(C)[()()]xt f t f t dt --⎰(D)0[()()]xt f t f t dt +-⎰(3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3xy py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →，函数2ln(1)()x y x +的极限( )(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( )(A)当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(B)当lim ()x f x →+∞'存在时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(C)当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→'=.(D)当0lim ()x f x +→'存在时，必有0lim ()0x f x +→'=. (5) 设向量组123,,ααα线性无关，向量1β 可由123,,ααα线性表示，而向量2β 不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有( )(A)123,,ααα , 12k ββ+线性无关； (B)123,,ααα , 12k ββ+线性相关； (C)123,,ααα,12k ββ+线性无关； (D)123,,ααα,12k ββ+线性相关 三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=- ，求该曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设2232,102(),01(1)xx x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩求函数1()()xF x f t dt -=⎰的表达式.五、(本题满分7分)已知函数()f x 在(0,)+∞内可导()0f x >，lim ()1x f x →+∞= , 且满足110()lim()()h x h f x hx e f x →+=,求()f x . 六、(本题满分8分)求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =， 与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.七、(本题满分7分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对 称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线 与线段AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之 比为5：4，闸门矩形部分的高h 应为多少m (米)？ 八、(本题满分8分)设1103,1,2,)n x x n +<<==，证明数列{x .九、(本题满分8分)设0a b <<，证明不等式222ln ln a b a a b b a -<<+- 十、(本题满分8分)设函数 ()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且(0)0,(0)0,f f '≠≠(0)0.f ''≠ 证明:存在惟一的一组实数123,,λλλ，使得当0h →时， 是比2h 高阶的无穷小.D1m十一、(本题满分6分)已知,A B 为3 阶矩阵，且满足124A B B E -=-,其中E 是3阶单位矩阵. (1) 证明：矩阵2A E -可逆；(2) 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵.A 十二、(本题满6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】 -2【详解】如果分段函数()f x 连续，则()f x 在0点处的左右极限相等，从而确定a 的值． 当0x →+时，tan 1tan xex x ---；arcsin22x x，所以有 如果()f x 在0x =处连续，必有(0)(0)(0),f f f +-== 即 2.a =- (2)【答案】 1 【详解】面积00x x x xS xe dx xde xe e dx +∞+∞----+∞⎡⎤==-=--⎣⎦⎰⎰⎰其中 1lim limlim 0bb bb b b b bee e -→+∞→+∞→+∞==洛．(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型． 命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====． 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠ 所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y=由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==． 于是得解之得，22,y x C y =+=．以01x y ==代入，得1=“+”号且21C =．于是特解是y =方法2：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=． 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=． 即21yy '=，改写为2()1y '=． 解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=所以应取""+且21C =．于是特解y =(4)【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限． 因为1lim...n n →∞其中(),(1,2,,)i f x x i n nπ=∆==，所以根据定积分的定义，有(5)【答案】4【详解】记022222222A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，则02222222222222222E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，(其中11(1)+-指数中的1和1分别是λ所在的行数和列数)令0E A λ-=，解得1230,4λλλ===，故4λ=是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是0λ=(二重))二、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，0()x x dy y x o x dx=∆=∆+∆，当0x x dy dx=≠时x x dy x dx=⋅∆称为y ∆的线性主部．而2()2dy x f x x x dx '⋅∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'⋅∆=⨯，由题设它等于0．1，于是(1)0.5f '=，应选(D)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t d t --=+-⎰，令t u =-，则d t d u =-，所以所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)． (3)【答案】(C)【详解】由3xy py qy e '''++=，且(0)(0)0y y '==，可知(0)1y ''=方法1：因为当20x →时，22ln(1)x x +，所以20ln(1)lim ()x x y x →+=2000222lim lim lim 2()()()1x x x x x y x y x y x →→→==='''=， 故选(C)．方法2：由于(0)(0)0,(0)1y y y '''===． 将函数()y x 按麦克劳林公式展开22()00()2x y x o x =+++，代入2ln(1)()x y x +，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=． (4) 【详解】方法1：排斥法．令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B)． 方法2：证明(B)正确． 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =．用反证法，若0A >，则对于02A ε=>，存在0X >，使当x X >时，()2Af x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+= 由此可知，()f x '有界且大于2A．在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾．类似可证当0A <时亦有矛盾． 故0A =．(5)【答案】A【详解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关． 用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出． 即存在常数123,,λλλ，使得12112233k ββλαλαλα+=++又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得 与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，选(A) 方法2：用排除法B 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，否则因为123,,ααα，2β线性相关，又123,,ααα线性无关，故2β可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得2112233βλαλαλα=++与已知矛盾，排除(B)．C 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，因为1β可由123,,ααα线性表出，123,,ααα，1β线性相关，排除(C)．D 选项：0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立．若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++. 又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得因为0k ≠，故 3311222123l l l kkkλλλβααα---=++与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故123,,ααα,12k ββ+线性相关不成立，排除(D)． 故选(A)．三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，化极坐标曲线1cos r θ=-为直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩， 即 2c o s c o ss i nc o s s i n x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,42 于是得切线的直角坐标方程为13(()2424y x --=--，即504x y -=．(这是由直线的点斜式得到的，直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，由导数的几何意义知在6πθ=时斜率为1，且该点的直角坐标为31,)2424--)， 法线方程为113(()),24124y x --=---即1044x y +-+=．(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得)四【详解】当10x -≤<时当01x ≤<时， 所以五【详解】因为11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 001()1limln lim (ln ()ln ())()h h f x hx f x hx f x h f x h →→⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 0x ≠ 从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1(ln ())()xf x f x x f x x ''==，即21(ln ())f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+，改写成 1()x f x Ce -=再由条件lim ()1x f x C →+∞==，于是得1().xf x e -=六【详解】这是一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式(如果一个一阶线性方程为()()y p x y q x '+=那么通解为()()[()]p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰)有 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积为(旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形．该图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积为2()baV f x dx π=⎰)取C 使V 最小，由求最值的方法知先求函数的驻点，即0dVdC=的点， 解得75.124C =-又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为 275.124y x x =-七【详解】方法1：建立坐标系如下图，由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为D2y px q =+，由坐标轴的建立知此抛物线过(0,0),(1,1)点，把这两点代入抛物线的方程，得220011p q p q⎧=⨯+⎨=⨯+⎩，所以0,1q p ==． 即底部的二次抛物线是2y x =，11x -≤≤．细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微元2dA xdy =，因此压力微元2(1)dp gx h y dy ρ=+- (这是由压力的公式得到的：压力=压强⨯面积)平板ABCD 上所受的总压力为其中以1x =代入，计算得21P gh ρ=．抛物板AOB 上所受的总压力为其中由抛物线方程知x =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即251244()315h h =+ 解之得2h =(米)(13h =-舍去)，即闸门矩形部分的高应为2m ．八【详解】由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故211130(3).22x x x <≤+-= (2()2a b ab +≤,a b 为正数)假设302k x <≤，则再一次用不等式2()2a b ab +≤，得由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤．另一方面，1n n n x x x +-20.≤=≥所以{}n x 单调增加．单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a由1n x +=两边取极限，于是由极限的运算性质得a =即2230,a a -=解得32a =或0a =，但因10x >且单调增，故0a ≠，所以 3lim 2n n x →∞=．九【详解】左、右两个不等式分别考虑. 先证左边不等式， 方法1：由所证的形式想到用拉格朗日中值定理．而22112a b a bξ>>+中第二个不等式来自不等式222a b ab +>(当0a b <<时)，这样就证明了要证明的左边．方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a xϕ-=--+，有()0a ϕ=． 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++(当0a x <<)， 所以，当0x a >>时()x ϕ单调递增. 所以()()0x a ϕϕ>=，故()0b ϕ>，即 222()()ln ln 0a b a b b a a b ϕ-=-->+⇒22ln ln 2b a ab a a b->-+ 再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命有()0a ψ=，及21()0,x x ψ'==<所以当0x a >>时，()0x ψ<，再以x b =代入，得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕．十【详解】从题目结论出发，要证存在唯一的一组123,,λλλ，使得 由极限的四则运算法则知，分子极限应为0，即由于()f x 在0x =连续，于是上式变形为123(0)()(0).f f λλλ++= 由(0)0,f ≠知123 1.λλλ++= (1)由洛必达法则，1230()2(2)3(3)lim2h f h f h f h hλλλ→'''++= (2)由极限的四则运算法则知分子的极限应是0，即由于()f x '在0x =连续，于是上式变形为123(23)(0)0f λλλ'++=，由(0)0,f '≠知123230λλλ++= (3)对(2)再用洛必达法则，和()f x ''在0x =连续 由(0)0f ''≠，故应有123490λλλ++= (4)将(1)、(3)、(4)联立解之，由于系数行列式由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕．十一【详解】(1) 由题设条件124A B B E -=-，两边左乘A ，得124AA B AB A -=-，即24B AB A =-24AB B A ⇒-=所以 (2)A E B -2AB B =-4488A A E E ==-+4(2)8A E E =-+，根据可逆矩阵的定义知2A E -可逆，且11(2)(4)8A EB E --=-． (2) 由(1)结果知11(2)(4)8A EB E --=-，根据逆矩阵的性质111()kA k A ---=，其中k 为不等于零的常数，有故 18(4)2A B E E -=-+又 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减) 因为若()()1A E E A - →初等行变换，对[]4B E E -进行初等行变换，故11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，代入18(4)2A B E E -=-+中，则 (常数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都需要乘以该常数)220213020042-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦020110002⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(对应元素相加)十二【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解．对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特Born to win解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系．又 []1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+．(其中k 是任意常数)方法2：令[]1234,,,T x x x x x =，则线性非齐次方程为已知1234βαααα=+++，故将1232ααα=-代入上式，得由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当 其系数矩阵为210010100001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(其中k 是任意常数)。

2002 年全国硕士研‎究生入学统一‎考试数学三试‎题及解析一、填空题(本题共5小题‎,每小题3分,满分15分.把答案填在题‎中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)nn n na n a →∞-+=-.【分析】将所求极限转‎换为1l n [1](12)l i m1n n an→∞+-，利用等价无穷‎小代换化简求‎解，或利用重要极‎限。

【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111limln[]limln[1]limln (12)(12)12n a n a a n n n n na e n a n a a -⨯--→∞→∞→∞-+=+==--- ⑵ 交换积分次序‎：111422104(,)(,)________yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二‎重积分积分域‎D 的不等式，画出的草图后‎D ，便可写出先对‎y 后对的二次积‎x 分【详解】对应的积分区‎域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x ⎧=≤≤≤≤⎨⎩2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出的草图如‎D 右图所示，则也可表示为‎D 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。

已知与线性相‎A αα关，则______a =。

【分析】由与线性相关‎A αα知，存在常数使得‎k A k αα=，及对应坐标成‎比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由与线性相关‎A αα可得：233411aa a a ++==，从而1a =-。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.【考点分析】：第一类广义积分的计算 【基础回顾】：第一类：无穷区间上的反常积分第二类：无界函数的反常积分【求解过程】：2211ln 1ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 【方法小结】：对广义积分的计算，可引入定积分的所有有效方法，只是注意积分上下限的代入，实质是极限的运算。

(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.【考点分析】：隐函数求导 【基础回顾】：在假定隐函数存在且可导的前提下，我们可以利用复合函数的求导的链式法则求出它的导数。

若方程(,)0F x y =确定了隐函数()y y x =，则将()y y x =代入原方程，方程成为恒等式(,())0F x y x =，在恒等式的两边对X 求导。

注意到左端是以X 为自变量的复合函数，便可以得到我们所要求的导数。

【求解过程】：注意方程中Y 为关于X 的函数，利用链式法则可以得到方程2610ye xy x ++-=两边对x 求导数，有：6620y y e xy y x ''+++=①再对上式两边求导数得：()212620y y y e y e y xy ''''''++++=②将x=0代入方程得y=0,再将x=y=0代入①得0y '=，再代入②得()02y ''=-，故填-2(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. 【考点分析】：可降阶的二阶微分方程的特解 【基础回顾】：三类可降解的高阶微分方程1．()()n y f x =型，逐层积分2．(,)y f y y '''=型，不含X 自变量，作代换(),dp dp dy dpy p y y pdx dy dx dy '''==== 3．(,)y f x y '''=型，不含Y 因变量，作代换(),dp y p y y dx'''==【求解过程】：⏹ 方法一：该微分方程属于缺x 的类型，令y p '=，dp dp dy dp y p dxdy dxdy''==⋅=原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+=。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及详解试题部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．（2）位于曲线xxey -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______． （4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______． （5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式． 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ． 六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．详解部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，有)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之， 由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．【考点】定积分的概念 【难易度】★★★【详解】解析：记1n u n =11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在． （B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念 【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法 （A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）． 方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,42- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=-，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即104x y +-=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析： 当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=， 即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力 【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =， 因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤+ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-= 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<）， 而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=---有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2） 分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3） 对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f hλλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦， 上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解 【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

2002川大高等代数及答案四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分24分，每小题8分) 解答下列各题.51. 证明多项式f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约.证明：由s a n =1、r a 0=1，又(s , r ) =1r有的可能值为±1，带入验证有f (1) =-3、f (-1) =5s故f (x ) 不含有理根，则f (x ) 只能分解为二次多项式和三次多项式的乘积232232有f (x ) =(x +a 1x +1)(x +b 1x +c 1x +1) 或f (x ) =(x +a 2x -1)(x +b 2x +c 2x -1)⎧a 1+b 1=0⎧a 2+b 2=0⎪a b +c +1=0⎪a b +c -1=0⎪111⎪222 得方程⎨a 1c 1+b 1+1=0和⎨a 2c 2-b 2-1=0，两方程无解⎪⎪⎪⎩a 1+c 1+5=0⎪⎩a 2+c 2-5=05故f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约22. 设A 为n 阶方阵且A +A =2E . 其中E 为n 阶单位矩阵. 证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =n ，其中r (A ) 表示矩阵A 的秩.证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =r (E -A ) +r (A +2E ) ≥r [(E -A ) +(A +2E )]=r (3E ) =n 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≥n ①2由A +A =2E ，得(A -E )(A +2E ) =O有A +2E 的列向量全部是方程(A -E ) X =θ的解，有r (A +2E ) ≤n -r (A -E ) 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≤n ②由①、②，得r (A -E ) +r (A +2E ) =n23. 设n 维线性空间V 上的线性变换T满足：T=T. 证明：T+E可逆，其中E为恒等变换.证明：取V 的一组基ε1, ε2, , εn令T在这组基下的矩阵为T ，有T+E在这组基下的矩阵为T +E2由T =T ，得T 的特征值为1、0，有T +E 的特征值为2、1，则T +E ≠0故T +E 可逆，则T+E可逆⎡-13-10⎤2002A 二（本题满分12分）设A =⎢，求. ⎥2116⎣⎦λ+1310=(λ-1)(λ-2) =0 ，有A 的特征值为1、2 解：λE -A =-21λ-1410=当λ=1时，有E -A =-21-00基础解系有n -r (E -A ) =1个向量构成，α1=(5, -7)’151010=当λ=2时，有2E -A =-21-00基础解系有n -r (2E -A ) =1个向量构成，α2=(2, -3)’-12002-1=P -1A 2002P =Λ2002 令可逆矩阵P =(α1, α2) ，有P AP =Λ，有(P AP )2002A 有200352132⎡15-7⋅2⎡⎤⎡⎤⎡⎤=P Λ2002P -1=⎢=⎢⎥⎢⎥2002⎥⎢2002-7-32-7-5-21+21⋅2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣10-5⋅22003⎤⎥-14+15⋅22002⎦三、（本题满分12分）设V 是数域F 上的三维线性空间. 证明：不存在V 的线性变换T使⎡01-2⎤⎡110⎤⎢-12-2⎥B =⎢011⎥A =得T在V 的两组基下的矩阵分别为：⎢⎥和⎢⎥⎢⎢⎣001⎥⎦⎣001⎥⎦证明：反证法，设存在这样的矩阵A 、B .由A 、B 为同一线性变换T在V 的两组基下的矩阵，则有A ≅Bλ-1022=(λ-1) 3，有A 的特征值为1、1、1 λ-11-121-12000 0λE -A =1λ-2当λ=1时，有E -A =1-12=00000故特征值1对应n -r (E -A ) =2个线性无关的特征值向量①λ-1λE -B =0-10-1=(λ-1) 3，有B 的特征值为1、1、1 λ-0-10-1 0λ-1当λ=1时，有E -B =0000故特征值1对应n -r (E -B ) =1个特征向量②由①、②与A ≅B 矛盾，则假设矛盾故不存在V 的线性变换T使得T在V 的两组基下的矩阵分别A 、B4443四(本题满分12分) 设α, β, γ是三次方程x +3x -1=0的根，求α+β+γ的值.4444解：令x 1=α、x 2=β、x 3=γ，x 1+x 2+x 3的首项为x 1，有x 14322x 20121x 300010-00-00-0→σ14-0σ2σ3σ4=σ141-00-00-0→σ13-1σ2σ3σ4=σ12σ2σσσσ=σ→σσσσ=σ1σ3→2-22-00-00-012342-11-11-00-0123422444422有x 1+x 2+x 3=σ1+a σ1σ2+b σ2+c σ1σ3取x 1=1、x 2=1、x 3=0，有σ1=2，σ2=1，σ3=0 有4a +b =-14 ①取x 1=1、x 2=2、x 3=0，有σ1=3，σ2=2，σ3=0 有18a +4b =-64 ②取x x ，有σ121=2=x 3=11=C 3=3，σ2=C 3=3，有9a +3b +c =-26 ③由①、②、③，得a =-4、b =2、c =4有x 4444221+x 2+x 3=σ1-4σ1σ2+2σ2+4σ1σ3由方程x 3+3x -1=0根与系数的关系得，σ1=0、得α4+β4+γ4 =18五、（本题满分16分）利用正交变换将实二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3化为标准形. 并写出相应的正交变换和标准形. ⎡⎢011⎤⎢22⎥解：二次型矩阵为A =⎢1⎢201⎥2⎥⎢11⎥⎢⎣220⎥⎥⎦σC 33=3=1σ2=3、σ3=1λλE -A =-121-2-1212λ-1λ-12111-=-λ-222-λ001211-=(λ+) 2(λ-1)221λ+2-11A 的特征值为-、-、122111--22211-E -A =000当λ=-时，有22000-1n -r (-E -A ) =2个线性无关的向量构成，α1=(1, -1, 0)’ 、α2=(1, 0, -1)’ 基础解系由21当λ=1时，有-E -A =-121-212121-111-2213-=024001-123-4 0-基础解系由n -r (E -A ) =1个向量构成，α3=(1, 1, 1)’ 把α1、α2、α3正交化β1=α1=(1, -1, 0)’ β2=α2-(α2, β1) 111β1=α2-β1=(, , -1)’(β1, β1) 222(α3, β1) (α3, β2)β3=α3-β1-β2=α3=(1, 1, 1)’(β1, β1) (β2, β2)γ1=β12β3β6113=(1, -1, 0)’ 、γ2=2=(, , -1)’ 、γ3==(1, 1, 1)’ β12β2222β3312122f (x , x , x ) =-y -y +y C =(γ, γ, γ) 令正交矩阵123123 123，有X =CY ，即有22-1六、（本题满分12分，每小题6分）设A 、B 是n 阶实正交矩阵，t 为矩阵A B 的特征根-1的重数. 证明：（1）det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数. （2）A +B 的秩r (A +B ) =n -t .证明：（1）由A 、B 是n 阶实正交矩阵，有AB (AB )’ =ABB ‘ A ‘ =E ，则AB 为实正交矩阵-1-1由AA ‘ =E ，得A =A ‘ ，即A B =A ‘ B由A 与A ‘ 对应相同的特征值，则AB 与A ‘ B 对应相同的特征值-1有det(AB ) =det(A ‘ B ) =det(A B )实正交矩阵的特征值只能是1和-1 故det(AB ) =1n -t⋅(-1) t =(-1) t ，则有det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数-1-1（2）由A 可逆，有r (A +B ) =r [A (A +B )]=r (E +A B ) =n -t七、（本题满分12分）设α1, α2, , αm 为欧氏空间V 的一组线性无关向量，而β1, β2, , βm 和γ1, γ2, , γm 为V 的两组正交向量组. 假设对每个1≤i ≤m ，βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出. 证明：存在m 个实数a 1, a 2, , a m 使得βi =a i γi 1≤i ≤m .证明：令W =L (α1, α2, , αm ) ⊆V取W 两组标准正交基ε1, ε2, , εm 、e 1, e 2, , e m有(ε1, ε2, , εm ) =(β1, β2, , βm ) Λ1、(e 1, e 2, , e m ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2 则Λ1、Λ2为对角矩阵，有Λ1、Λ2为对角矩阵-1-11(ε1, ε2, , εm ) =(e 1, e 2, , e m ) A ，有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ-1 ①则A 为正交矩阵由βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出，有(β1, β2, , βm ) =(α1, α2, , αm ) B 、(γ1, γ2, , γm ) =(α1, α2, , αm ) C-1则B 、C 为上三角矩阵，有C B 为上三角矩阵有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) C B ②-1-1-1-1由①、②，得Λ2A Λ1=C B ，则A =Λ2C B Λ1有A 为上三角矩阵，则A 为上三角矩阵③-1-1-1-1-1-1由A ‘ =A =(Λ2C B Λ1)’ =Λ1’ B ‘ (C )’ (Λ2)’ ，有A 为下三角矩阵④-1由③、④，得A 为对角矩阵，则A 为对角矩阵-1有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ1=(γ1, γ2, , γm ) Λ-1令Λ=diag (a 1, a 2, , a m ) ，即证βi =a i γi 1≤i ≤m。

一、填空题(1)【答案】1【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.222ee e ln 11lim lim lim lim 11ln ln ln ln ln b b b b b b b dx dx d x e x x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤===-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰(2)【答案】-2【详解】y 是由2610y e xy x ++-=确定的x 的函数，两边对x 求导，6620,y e y xy y x ''+++=所以62,6y y xy e x+'=-+两边再对x 求导，得2(6)62(62)(6),(6)y y y e x y y x e y y e x ''++++''=-+（）-把0x =代入，得(0)0y =，(0)0y '=，代入y '，得(0)2y ''=-.(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型.命,dp dp dy dp y p y p dx dy dx dy'''====.原方程20y y y '''+=化为20dpy pp dy+=，得0p =或0dpyp dy+=0p =，即0dydx=，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠所以，0dp yp dy+=，分离变量得dy dpy p =-，解之得1.C p y =即1.C dy dx y =由初始条件11,'002yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y=2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解之得，22,y x C y =+=.以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =方法2：将20y y y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1y y C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =.再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =(4)【答案】2【详解】方法1：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有600T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1600TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为矩阵的n 个特征值之和等于它的主对角元素之和，33113iii i i aa λ====∑∑，相似矩阵具有相同的特征值，316006ii λ==++=∑故有36a =，得2a =.方法2：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知0是A 的特征值，根据特征值的定义，有00E A A -==222222a A a a =4222314242a a a a a+++把第，列加到第列1221(4)1212a a a+提取第列的公因子12221(4)02031002a a a -+---行行行行2(4)(2)0a a =+-=，得4a =-或2a =，(1)又6是A 的特征值，根据特征值的定义，有60E A -=，由6226226622262622226a a E A a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，6226262226a E A aa----=------222231262226a a a aa---------把第，列加到第列1221(2)162126a a a -------提取第列的公因子12221(2)08031008a a a-------行行行行2(2)(8)0a a =--=得2a =或8a =(2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得2a =.方法3：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知A 的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，直接求A 的特征值，即由222222222222a a E A a a a a λλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，222222aE A a a λλλλ----=------4222342142a a aa aλλλλλ------------把第，列加到第列1221(4)1212a a a λλλ--------提取第列的公因子12221(4)0(2)03100(2)a a a λλλ----------行行行行2[(4)][(2)]a a λλ=----其中单根为4a +，二重根为2a -，故46a +=，及20a -=，故知2a =.方法4：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故()()1r A r =Λ=，222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22122322a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 交换第和第行的顺序222210223120222a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⨯⎢⎥--⎣⎦ 行行行行222320220042a a a a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行2223202200(28)a a a a a ⎡⎤⎢⎥⨯--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦ 行2202200(2)(4)a a a a a ⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦因()1r A =，故20a -=，且(2)(4)0a a -+=，故应取2a =.(5)【答案】4.【详解】二次方程无实根，即240y y X ++=的判别式1640X ∆==-<，也就有4X >.此事发生概率为12，即{}142P X >=，对于2(,)(0),X N μσσ> {}12P X μ>=，因为正态分布的密度函数为22()()exp 2x f x μσ⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭x -∞<<+∞关于x μ=对称；另一方面，由概率的计算公式，()f x 与x 轴所围成的面积是1，所以x μ=将面积平分为两份{}12P X μ>=，所以4μ=.二、选择题(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中A B ⇒表示由A 可推出B .无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立.(,)x f x y '与(,)y f x y '连续(,)f x y ⇒可微(,)(,)(,)xy f x y f x y f x y ⎧''⎪⇒⎨⎪⎩与存在连续其中均指在同一点处.记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).(2)【详解】首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.考察原级数11111(1)(n n n n u u ∞+=+-+∑的前n项部分和1122334111111111((()(1)()n n n n S u u u u u u u u ++=+-+++-+-+ 11111(1)n n u u ++=+-由lim10n nnu →∞=>知，当n 充分大时，0n u >且l im n n u →∞=+∞.所以11lim n n S u →∞=(收敛)，另一方面，1111()n n n u u ∞=++∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim1n nnu →∞=的启发，考虑1111111()(1)lim lim lim 1121(21)1(1)n n n n n n n n n n n n n u u u u u uu u n n n u u n n n n n ++++→∞→∞→∞+++++==+++++11(1)(1)[](1)lim21n n n n n u u n n n n n n n u u n +→∞+++++=+11(1)(1)lim 1211n nn nn u u n n n nu u n n n n+→∞++++==+⋅⋅+而级数1111111(11n n n nn n n ∞∞∞===+=+++∑∑∑是发散的，所以1111()n n n u u ∞=++∑也发散，所以选(C).(3)【详解】方法1：排斥法.令21()sin f x x x=，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x '=-+，lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B).方法2：证明(B)正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =.用反证法，若0A >，则对于02Aε=>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+=由此可知，()f x '有界且大于2A.在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2Af x f X f x X f X x X ξ'=+->+-从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾.类似可证当0A <时亦有矛盾.故0A =.(4)【答案】(B)【详解】三张不同平面的方程分别为123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==判断三个平面有无公共点即判断方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无公共解，且方程组有多少公共解平面就有多少公共点，由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是23<(未知量的个数)，所以方程组有解且有无穷多解，故三个平面有无穷多个公共点，故应排除(A)三平面唯一交点(即方程组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程组无解).故应选(B)，三个平面相交于一条直线，直线上所有的点均是平面的公共点，即有无穷多个公共点.(5)【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥(2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减；(2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度.而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim [()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量.X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.三【详解】方法1：由题设条件知有l im[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=.又由洛必达法则，00()(2)(0)limlim(()2(2))(2)(0)h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''=+=+由于()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由'(0)0,f ≠得20a b +=.解1020a b a b +-=⎧⎨+=⎩联立方程组得，2,1a b ==-.方法2：分别将(),(2)f h f h 按佩亚诺余项泰勒公式展开到()o h ，有1()(0)(0)()f h f f h o h '=++，2(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++从而3()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af h bf h f a b f a b f h o h '+-=+-+++由题设条件知，10,20,a b a b +-=+=所以2,1a b ==-.方法3：由题设条件，有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=.再将1a b =-代入01lim ()(2)(0)]h af h bf h f h→+-，并凑成导数定义形式，有000()(2)(0)(1)()(2)(0)0limlim()(0)()(0)(2)(0)lim[2]2(0)(0)2(0)1)(0)h h h af h bf h f b f h bf h f h hf h f f h f f h f b b h h h f bf bf b f →→→+--+-==---=-+''''=-+=+（从而2,1a b ==-.四【详解】由2arctan 0xt y e dt -=⎰知(0)0y =，由变上限积分的求导公式得2(arctan )(arctan )x y e x -''=⋅2(arctan )21,1x e x-=+ 所以2(arctan 0)210110y e -'==+ （）因此，过点(0,0)的切线方程为.y x =()y f x =在点(0,0)处与上述曲线有相同的切线方程，于是(0)0,(0)1f f '==.2()(0)2lim ()lim 1n n f f n nf n n →∞→∞-=2()(0)2lim 2n f f n n→∞-=2(0)2f '==五【详解】应先将{}22max ,x y e写成分块表达式.记{}{}12(,)01,0,(,)01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是{}2222max ,12(,);(,).xx y y e x y D eex y D ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而{}{}{}222222221212max ,max ,max ,x y xy x y x y DD D D D e d e d ed e d e d σσσσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx y dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰2211x y e xdx e ydy=+⎰⎰212x e xdx =⎰212x e dx =⎰21x de =⎰21|x e =(1)e =-六【详解】(1)记21(,)()]P x y yf xy y =+，22(,)[()1]xQ x y y f xy y=-22([()1])x y f xy Qy xx ∂-∂=∂∂2222()([()1])([()1])xx y f xy y y f xy x y x∂∂-=⨯-+⨯∂∂22221(()([()1])x y f xy y f xy y y x ∂=⨯-+⨯∂21()()()xy f xy x f xy y x∂'=-+⨯∂21()()f xy xyf xy y '=+-21([1()])y f xy P yyy ∂+∂=∂∂221()1([1()])([1()])y f xy y y f xy y y y∂∂+=++∂∂222211()1(())([1()])()y f xy y f xy f xy yy y y y y∂∂=-+++⨯⨯∂∂21()()()f xy f xy xyf xy y'=--++所以，(0)Q Py x y∂∂=>∂∂当.故在上半平面(0y >)，该曲线积分与路径无关.(2)方法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端点连接起来.先从点(,)a b 到点(,),c b 再到点(,)c d .有2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dyby =++-⎰⎰()]()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b-=+++-⎰⎰经积分变量变换后，()cd ab c aI f t dt d b =-+⎰.当a b cd =时，推得c a I d b=-.方法2:原函数法.2221[1()][()1]L x I y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰2()()()()()LL L L ydx xdy xf xy ydx xdy d f xy d xy y y-=++=+⎰⎰⎰⎰由原函数法计算第二型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似)，有(,)(;(,)L c d x x c ad a b y y d b ==-⎰(,)()()()()()0,(,)Lc d f xy d xy F xy F cd F ab a b ==-=⎰其中()F u 为()f u 的一个原函数，即设()()F u f u '=.由此有c a I d b=-.方法3：由于与路径无关，又由ab cd =的启发，取路径xy k =，其中k ab =.点(,)a b 与点(,)c d 都在此路径上.于是将kx y=代入之后，22221[(1())()(()1)]da k k I y f k y f k dyy y y=+-+-⎰32(dbk dyy=-⎰2d k b y =22k k d b =-22cd ab d b =-.c ad b=-七【解】(1)369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑ +！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)xe =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!nn y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=.(2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为122i -±，所以其通解为212[sin ]22x y e C x C x -=+.另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x xxxce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++.故22121211[][cos ]2222223x xxy e C x C x e C x C x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x xe C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]22331110(20(20222222311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=⨯+⨯+=+⎪⎪⎪=-⨯-⨯-⨯-⨯+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得112113110223C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323x n x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】(1)根据方向导数和梯度的定义，知方向导数的最大值是梯度的模长，()00,(,)x y gradh x y {}0000(,)(,)0000|,|2,2.y x y x h hy x x y x y ⎧⎫∂∂==--⎨⎬∂∂⎩⎭()()0000,,max(,)x y x y u gradh x y l∂==∂00(,).x y =(2)命2(,)(,)f x y g x y ==22558x y xy +-，求f 在约束条件22750x y xy --+=下的最大值点.为此，构造拉格朗日函数2222(,,)558(75)F x y x y xy x y xy λλ=+-+--+则108(2)0x F x y y x λ'=-+-令，108(2)0y F y x x y λ'=-+-令，22750F x y xy λ'=--+令.由第1、第2两式相加可得()(2)0x y λ+-=.从而得y x =-或2λ=，再分别讨论之.若2λ=，则解得1(,)x y =或2(,)(x y =--若y x =-，则解得3(,)(5,5)x y =-或4(,)(5,5)x y =-于是得到如上4个可能极值点.将(,)i x y 记为(1,2,3,4)i M i =.由于1234()()150,()()450f M f M f M f M ====故点34(5555M M =-=-，）,（，）可作为攀登起点.九【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα===== 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故A x β=有解.对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故[]1,2,1,0Tξ=-是0A x =的一个非零解向量，因为0A x =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0A x =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是A x β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.(其中k 是任意常数)方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =，则线性非齐次方程为[]1234,,,Ax x αααα=[]12123434,,,x x x x αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11223344x x x x ααααβ=+++=已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++⇒21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+⇒12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--=⇒12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩其系数矩阵为210010100001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+故方程组A x β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(其中k 是任意常数)十【详解】(1)因A B ，由定义知，存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，故1111()E B E P AP P P P AP P E A Pλλλλ-----=-=-=-1P E A P E Aλλ-=-=-故,A B 有相同的特征多项式.(2)取0001,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2201,00E A E B λλλλλλλλ--==-==，则有2,,E A E B A B λλλ-==-有相同的特征多项式，但A 不相似于B ，因为对任何的2阶可逆阵P ，均有11P AP P OP O B --==≠，故(1)的逆命题不成立.(3)即要证如果,A B 的特征多项式相等，则,A B 相似.当,A B 都是实对称矩阵时，,A B 均能相似于对角阵，且该对角阵的对角线元素由,A B 的特征值组成.若,A B 有相同的特征多项式，则,A B 有相同的特征值(包含重数)，故,A B 将相似于同一个对角阵.设特征值为12,,,n λλλ，则有1122,n n A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由相似的传递性，知A B .(1)的逆命题成立.十一【答案】5.【详解】如果将观察值大于3π这事件理解为试验成功的话，则Y 表示对X 独立地重复试验4次中成功的次数.即是(4,)Y B p ，其中{}3p P X π=>由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有3311()cos 3222x p P X f x dx dx ππππ+∞⎧⎫=>===⎨⎬⎩⎭⎰⎰，所以，1(4,2Y B ~.由公式22()[()]()D Y E Y E Y =-以及若(,)Y B n p ~，其数学期望和方差分别为();()E Y np D Y npq ==，其中1.q p =-得2222111()()[()]()4(4) 5.222E Y D Y E Y npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.【详解】矩估计：由离散型随机变量期望的定义1()()niii E X x P X x ===∑，有：22()012(1)23(12)34E X θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-样本均值11n i i X X n ==∑1(31303123)28=⨯+++++++=用样本均值估计期望有EX X =，即342θ-=.解得的矩估计值为1.4θ∧=由离散型随机变量似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：121()(,,,;)(;)nn i i L P x x x P x θθθ===∏ 由于样本值中0出现一次，故用0的对应概率2θ一次.样本值中数值1出现二次，故用两个21-θθ（）相乘，数值2出现一次，故用2的对应概率2θ一次，数值3出现四次，故用1-2θ4（）.总之，对于给定的样本值的似然函数为：[]2224624()21-(12)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=⋅⋅⋅-=--（）()0L θ>，等式两边同取自然对数得l n ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L θθθθ=++-+-l n ()L θ和()L θ在θ的同一点取得最大值，所以2ln ()62862824112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=，解得1,2712θ±=因71122>与题目中10<<2θ矛盾，不合题意，所以θ的最大似然估计值为712θ∧-=。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2) 已知f (x )的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '=⎰.(3) 设矩阵1123-⎛⎫⎪⎝⎭,232B A A E =-+,则1B -=.(4) 设向量组123(,0,),(,,0), (0,,)a c b c a b ααα===,线性无关,则,,a b c 必须满足关系式. (5) 设随机变量,X Y 的联合概率密度分布为则,X Y 的相关系数ρ=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=.(D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设函数()f x 连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )(A)0[()()]xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()]xt f t f t dt --⎰(C)20()xf t dt ⎰(D)20()xf t dt ⎰(3) 设,A B 为n 阶矩阵, ,A B **分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的伴随矩阵C *= ( )(A)00A A B B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (B)00B B A A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (C)00A B B A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (D)00B A A B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(4) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数. (C)12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (5) 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,12n n S X X X =+++则根据列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理, 当n 充分大时,n S 近似服从正态分布, 只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差.(C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()f x dx . 六、(本题满分7分)设闭区域22:,0.D x y y x +≤≥(,)f x y 为D 上的连续函数,且8(,)(,).Df x y f u v dudv π=⎰⎰求(,)f x y . 七、(本题满分7分)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数:()Q Q p =,其需求弹性2220.192p p η=>- (1) 设R 为总收益函数,证明(1).dRQ dpη=- (2) 求6p =时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义. 八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使 ()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设四元齐次方程组()I 为1231234230,20,x x x x x x x +- =⎧⎨++-=⎩且已知另一四元齐次线性方程组()II 的一个基础解系为12(2,1,2,1),(1,2,4,8)T Ta a αα=-+=-+.(1) 求方程组()I 的一个基础解系;(2)当a 为何值时,方程组()I 与()II 有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解. 十、(本题满分8分)设实对称矩阵111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角形矩阵,并计算行列式A E -的值. 十一、(本题满分8分)设A , B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：(|) (|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】22ln ln x x C -+【详解】用分部积分法()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '==-⎰⎰⎰由题设知22ln ()(ln )xf x x x '==， 所以 212ln ()2ln ln ln ,xf x dx dx xd x x C x===+⎰⎰⎰所以 2()()()2ln ln xf x dx xf x f x dx x x C '=-=-+⎰⎰．(3)【答案】01211⎛⎫⎪--⎝⎭【详解】1123A -⎛⎫=⎪⎝⎭，故11221A E --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0122A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以 232(2)()B A A E A E A E =-+=--110121212220-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0B ≠，故B 可逆，()()1B E EB -→初等行变换(B 经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为1B -)[]21102001BE --⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦2001122110⎡⎤⎢⎥--⎣⎦交换，行的顺序 2001210111⎡⎤+ ⎢⎥-⎣⎦行行1121001201112(1)⨯⎡⎤⎢⎥--⨯-⎣⎦行行 故 1B-=01211⎛⎫ ⎪--⎝⎭．(4)【答案】0abc ≠【详解】方法1：由题设条件三个三维向量123,,ααα线性无关，则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3123,,0,ααα⇔≠(n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是0A ≠)1230,,00a b c a c bααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯2abc =故0abc ≠．方法2：123,,ααα线性无关则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3⇔齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组[]112233123,,0x x x x αααααα++==只有零解．⇔当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有123,,0(())m n A r A n ααα⨯≠=时，故 1230,,00a b c a c bααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯20abc =≠(5) 【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11x x f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t dt --=+-⎰，令t u =-，则dt du =-，所以()[()()]()[()()]xxF x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-⎰⎰[()()](),xu f u f u du F x =-+=⎰所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出C *因为准对角矩阵12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆的充要条件是(1,2,,)iA i n =均可逆，且有111121n A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故,A B 均可逆. 又1212n nA A A A A A A ==⋅，故1111000000A A A C C C A B B B B --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110000A B A B A A B B A B -*-*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故应选(D)．方法2：对四个选项逐个验算，选使2n CC C E *=(C 为22n n ⨯矩阵，故这里的单位矩阵为2n 阶方阵)成立的C *即可．对(D)有000000A B A B AA CC B A B A BB *****⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(矩阵的乘法) 00nn A B E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(AA A E *=，BB B E *=)nn EA B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(提取公因子) 2n C E =(因为12nA A A 12n A A A =⋅，故C AB =)(4) 【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减； (2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim[()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.(5)【答案】C ．【分析】列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理要求随机变量12,,,n X X X 相互独立、同分布且方差存在．当n 充分大时，12n n S X X X =+++才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机变量方差存在的，答案应选(C)． 方法2：条件(A)、(B)均不能保证12,,,n X X X 具有相同的分布．条件(D)不能保证方差的存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等价无穷小 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛必达法则洛必达法则20arctan(1)2lim 3x x xx→+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y ze x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+ 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x x z zz xe e x ze e∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t tC =-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【详解】令(,),Df u v dudv A =⎰⎰于是8(,).f x y A π=把8(,)f u v A π=代入(,),Df u v dudv A =⎰⎰得8DA A dudv π⎫=⎪⎭⎰⎰8DD A dudv π=-⎰⎰⎰⎰． 而区域D 是以(0,12)为圆心，以12为半径的半圆面(如图所示)，所以 211228Ddudv D ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰的面积sin 20Dd πθθ ⎰⎰极坐标3sin 22201(1)3d d r πθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰sin 322201(1)3r d θπθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰321(1cos )3d πθθ=-⎰32011cos 323d ππθθ=⨯-⎰ 22011(1sin )sin 323d ππθθ=⨯--⎰32200111sin |sin |3239πππθθ=⨯-+12(),323π=-得到 12(),323A A π=-- 解得 12()623A π=-所以42(,)().323f x y ππ=-七【分析】弹性公式：||()p dQQ p dpη=【详解】(1) 总收益()(),R p pQ p = 两端对p 求导得()()1()dR dQ p dQ Q p p Q p dp dp Q p dp ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(1) 又因为()Q p 是p 的单调减函数，故0dQ dp <，按弹性公式有()p dQQ p dpη=-，即()p dQQ p dpη=-，代入(1)，得()(1).dRQ p dpη=- (2) 总收益R 对价格p 的弹性(1)1ER p dR pQEp R dp Rηη==-=-2222219231192192p p p p -=-=--所以670.54.13p EREp==≈ 经济意义：当6p =时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0baf x hg x dx ->⎰；要么()f x h-恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有：23101211A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1212112310-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦交换，行的顺序21212110132-⨯-⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦行行 系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选34,x x 为自由未知量，分别取3410x x ==，及3401x x ==，，求得方程组的两个线性无关解12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T T ββ=-=-，由此可得方程组(I)的基础解系为12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T Tββ=-=-，．(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组(II)的通解为11221221122418k k k k a a αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1212121222(2)4(8)k k k k a k k k a k -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥++⎣⎦(数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)方程组(I)与(II)有非零公共解，即方程组(II)的有些解也是(I)的解，把(II)的通解表达式代入方程组(I)，整理后得112(1)0()(1)(1)0a k a k a k +=⎧*⎨+-+=⎩要使方程组(I)(II)有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组()*有非零解．所以，当1a ≠-时，由()*知120k k ==，方程组(I)与(II)无非零公共解；当1a =-时，无论12,k k 为何值，()*恒成立，(II)的通解满足方程组(I)，即方程组(II)的全部解都是(I)的解，故1a =-时，11221221121417k k k k αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是方程组(I)、(II)的全部非零公共解(12,k k 为不全为零的任意常数)．方法2：方程组(I)的通解为1122λβλβ+，(II)的通解为1122k k αα+，则方程组(I)(II)的公共解应满足11221122k k ααλβλβ+=+，即112211220k k λβλβαα+--=方程组(I)与(II)有非零公共解，即存在不全为零的1212,,,k k λλ使得上式成立，把1212,,,k k λλ看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式11221212112253213212[,,,]0()10240118k k a k k a λλλλββαα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==*⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦对系数矩阵做初等变换5321321210240118a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦122111321210240118a a +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行212111110310240118a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行 121103211110240118a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦交换，的顺序21231113011701270118a a +⨯+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行3242113011700100001a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行 当1a ≠-时，系数矩阵的秩为4，()*只有零解，方程组(I)与(II)无非零公共解． 若1a =-时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组()*有无穷多解，一定有非零解，即方程组(I)(II)有非零公共解，其同解方程组为1222123070k k k λλλ-+-=⎧⎨--=⎩，取12,k k --为自由未知量， 分别取1122,k c k c -=-=，解得 2127,c c λ=--122122373k c c c λλ=-=--+124c c =--此时11221122k k ααλβλβ+=+，故1122c c αα--(或1122λβλβ+)，其中12,c c 是不同时为零的任意常数，为方程组(I)(II)的非零公共解．十【详解】矩阵A 的特征多项式111111aE A aa λλλλ----=----101131111a a aaλλλλ----+----行行103112111a aa λλλ-------+列列112(1)(1)11aa a λλλ+-=----+(按第1行展开，其中11(1)+-中的两个1分别指(1)a λ--所在的行数和列数)(1)[()(1)2]a a a λλλ=----+-2(1)[()()2]a a a λλλ=---+--(1)(1)(2)a a a λλλ=-----+2(1)(2)a a λλ=---+令0E A λ-=，得矩阵A 的特征值1231, 2.a a λλλ==+=-对于特征值121,a λλ==+ 由[(1))]0a E A X +-=，即1231111110111x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，系数矩阵进行初等行变换2131111111111000111000++----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行行行行，故1111111110001111000r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为1230x x x --=，选23,x x 为自由未知量，取231,0x x ==和230,1x x ==，可得对应的两个线性无关的特征向量T T 12(1,1,0),(1,0,1)ξξ==对于特征值32a λ=-，由[(2))]0a E A X --=，即1232111210112x x x ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，系数矩阵做初等行变换211121112---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12112211112--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭交换，行的顺序12121203331033--⎛⎫-⨯ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭行行行-行 1213-2033000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭行行121130113000--⎛⎫⎪⨯- ⎪ ⎪⎝⎭行，故2111211210112112000r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为12323200x x x x x --+=⎧⎨-=⎩，选3x 为自由未知量，取31x =，可得对应的特征向量T 3(1,1,1)ξ=-令矩阵123111()101,011P ξξξ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦有1112a P AP a a -+⎡⎤⎢⎥=Λ=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由A 的特征值为1,1,2a a a ++-，可得A E -的特征值为,,3a a a -. n 阶矩阵的行列式等于它的n 个特征值的乘积，所以2(3).A E a a -=-十一【详解】本题涉及条件概率及独立性．应熟记有关的公式()(|)()P AB P B A P A = 及()()()P AB P A P B =； 方法1：由(|) (|)P B A P B A =()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -⇔==- [][]()1()()()()P AB P A P A P B P AB ⇔-=-()()()P AB P A P B ⇔=所以，(|) (|)P B A P B A =是A 与B 独立的充分必要条件． 方法2：A 与B 独立，等价于A 与B 也独立， 由A 与B 独立有()()()(|) =().()()P AB P A P B P B A P B P A P A == 同理，,A B 独立有 (|) ()P B A P B =．总之，A 与B 独立，等价于A 与B 也独立，又等价于 ()(|)P B A P B A =．十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为： 1510()500x X e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。