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专题3.2 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（基础篇）（真题专练）一、单选题1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A （﹣1，1）B （﹣1，﹣2），C （3，﹣2），D （3，1），一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．A ．（3，1）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（3，﹣2）2．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数()0ky k x=≠图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y kx k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．y ＝﹣2x B ．y ＝﹣2x +3C ．y 2x=（x ＜0） D ．y ＝﹣x 2+4x +3（x ＜2）4．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）在平面直角坐标系中，点()3,0A ，()0,4B ．以AB 为一边在第一象限作正方形ABCD ，则对角线BD 所在直线的解析式为（ ） A ．147y x =-+B ．144y x =-+C ．142y x =-+D ．4y =5．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，则040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为（ ）A ．42x -<<B ．4x <-C ．2x >D ．4x <-或2x >6．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数ky x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小，那么一次的数y kx k =-+的图像经过第（ ） A ．一，二，三象限 B ．一，二，四象限 C ．一，三，四象限D ．二，三，四象限7．（2021·福建·中考真题）如图，一次函数()0y kx b k =+>的图象过点()1,0-，则不等式()10k x b -+>的解集是（ ）A ．2x >-B ．1x >-C ．0x >D ．1x >8．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，O 是坐标原点，点B 在x 轴上，在OAB 中，AO ＝AB ＝5，OB ＝6，点A 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）图象上，则k 的值（ ）A ．﹣12B ．﹣15C ．﹣20D ．﹣309．（2021·湖南湘西·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为21y x 的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象与x 轴没有交点B ．当0x >时0y >C ．图象与y 轴的交点是1(0,)2- D ．y 随x 的增大而减小10．（2021·四川达州·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<11．（2021·浙江杭州·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+二、填空题12．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(–2)1-，，若//AB y轴，且9AB =，则点B 的坐标是________．13．（2021·广西河池·中考真题）从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P 的坐标，则点P 在第四象限的概率是__________．14．（2021·辽宁丹东·中考真题）在函数y =中，自变量x 的取值范围_________． 15．（2021·湖北黄石·中考真题）将直线1y x =-+向左平移m （0m >）个单位后，经过点(1，−3)，则m 的值为______．16．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图象交于A ，B 两点，若A 点坐标为-，则12k k +=__________．17．（2021·四川眉山·中考真题）一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是______．18．（2021·江苏苏州·中考真题）若21x y +=，且01y <<，则x 的取值范围为______． 19．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间()h t 与行驶的平均速度()km/h v 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h 内到达，则速度至少需要提高到__________km/h ．20．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点,A D 分别在函数36,y y x x-==的图像上，点,B C 在x 轴上．若四边形ABCD 为正方形，点D 在第一象限，则D 的坐标是_____________．21．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m -，则m 的值为______________．22．（2021·湖南邵阳·中考真题）已知点()11,A y ，()22,B y 为反比例函数3y x=图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“>”“=”或“<”）23．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数2y x =与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12y y +的值是____________．24．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC 和△A ′B ′C ′是两个边长不相等的等边三角形，点B ′、C ′、B 、C 都在直线l 上，△ABC 固定不动，将△A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．开始时，点C ′与点B 重合，当点B ′移动到与点C 重合时停止．设△A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC 的边长是___．三、解答题25．（2021·甘肃兰州·中考真题）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，1l ，2l 分别表示小军与观光车所行的路程()m y 与时间()min x 之间的关系． 根据图象解决下列问题：（1）观光车出发______分钟追上小军； （2）求2l 所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．26．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A ，B 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：（1）第一次小李用1100元购进了A ，B 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率100%=⨯利润成本）27．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点． （1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集．参考答案1．A【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解： A （﹣1，1）B （﹣1，﹣2），C （3，﹣2），D （3，1）∴ 四边形ABCD 是矩形()1--2=1+2=3AB ∴=()=3--1=4BC343414AB BC CD AD ∴+++=+++=∴瓢虫转一周，需要的时间是14=72秒 2021=2887+5⨯ ，∴ 按A →B →C →D →A 顺序循环爬行，第2021秒相当于从A 点出发爬了5秒，路程是：52=10⨯个单位，10=3+4+3，所以在D 点()3,1 ．故答案为：A【点拨】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 2．D【分析】根据题意可得0k >，进而根据一次函数图像的性质可得y kx k =-的图象的大致情况．解：反比例函数()0ky k x=≠图象的两个分支分别位于第一、三象限， 0k ∴>△一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限． 观察选项只有D 选项符合． 故选D【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得0k >是解题的关键． 3．D【分析】一次函数当a ＞0时，函数值y 总是随自变量x 增大而增大，反比例函数当k ＞0时，在每一个象限内，y 随自变量x 增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．解：A ．一次函数y =-2x 中的a =-2＜0，y 随x 的增大而减小，故不符合题意． B ．一次函数y =-2x +3中的a =-2＜0，y 随自变量x 增大而减小，故不符合题意．C ．反比例函数y =2x （x ＜0）中的k =2＞0，在第三象限，y 随x 的增大而减小，故不符合题意．D ．二次函数y =-x 2+4x +3（x ＜2），对称轴x =2ba-=2，开口向下，当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，故符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键． 4．A【分析】过点D 作DE x ⊥轴于点E ，先证明()ABO DAE AAS ≅，再由全等三角形对应边相等的性质解得(7,3)D ，最后由待定系数法求解即可． 解：正方形ABCD 中，过点D 作DE x ⊥轴于点E ， 90ABO BAO BAO DAE ∠+∠=∠+∠=︒ABO DAE ∴∠=∠90,BOA AED AB AD ∠=∠=︒= ()ABO DAE AAS ∴≅ 3,4AO DE OB AE ∴==== (7,3)D ∴设直线BD 所在的直线解析式为(0)y kx b k =+≠， 代入()0,4B ，(7,3)D 得473b k b =⎧⎨+=⎩ 174k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 147y x ∴=-+，故选：A ．【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．A【分析】根据图像以及两交点(4,0)A -，点(2,0)B 的坐标得出即可． 解：△直线y x b =+和4y kx =+与x 轴分别相交于点(4,0)A -，点(2,0)B ，△观察图像可知040x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为42x -<<，故选：A ．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键． 6．B【分析】根据反比例函数的增减性得到0k >，再利用一次函数的图象与性质即可求解． 解：△反比例函数ky x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小， △0k >，△y kx k =-+的图像经过第一，二，四象限， 故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 7．C【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数()()10y k x b k =-+>的图像，再由图像即可以判断出 ()10k x b -+>的解集．解：如图所示，将直线()0y kx b k =+>向右平移1个单位得到 ()()10y k x b k =-+>，该图像经过原点，由图像可知，在y 轴右侧，直线位于x 轴上方，即y >0， 因此，当x >0时，()10k x b -+>， 故选：C ．【点拨】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 8．A【分析】过A 点作AC △OB ，利用等腰三角形的性质求出点A 的坐标即可解决问题． 解：过A 点作AC △OB ，△AO ＝AB ，AC △OB ，OB ＝6， △OC ＝BC ＝3，在Rt △AOC 中，OA ＝5，△AC 4==，△A （﹣3，4），把A （﹣3，4）代入y ＝k x，可得k ＝﹣12 故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．A【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．解：由图象可得：10x -≠，即1x ≠，A 、图象与x 轴没有交点，正确，故符合题意；B 、当01x <<时，0y <，错误，故不符合题意；C 、图象与y 轴的交点是()0,2-，错误，故不符合题意；D 、当1x <时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永远小于0，当1x >时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永远大于0，错误，故不符合题意；故选A ．【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．10．C【分析】根据k >0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．解：△210k +>，△反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， △B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是双曲线k y x=上的两点，且320x x >>， △点B 、C 在第一象限，0＜y 3＜y 2，△A （x 1，y 1）在第三象限，△y 1＜0，△132y y y <<．故选：C ．【点拨】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．11．A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．解：当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，对于A 选项则有210m m +-=，由一元二次方程根的判别式可得：241450b ac -=+=>，所以存在实数m ，故符合题意；对于B 选项则有210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于C 选项则有110m m---=，化简得：210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于D 选项则有110m m--+=，化简得：210m m -+=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；故选A ．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．12．(2,8)-或(2,10)--【分析】由题意，设点B 的坐标为(-2，y )，则由AB =9可得(1)9y --=，解方程即可求得y 的值，从而可得点B 的坐标．解：△//AB y 轴△设点B 的坐标为(-2，y )△AB =9 △(1)9y --=解得：y =8或y =－10△点B 的坐标为(2,8)-或(2,10)--故答案为：(2,8)-或(2,10)--【点拨】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．13．13【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P 在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算，即可求解．解：画出树状图为：共有6种等可能的结果，它们是：（-2，4），（-2，5），（4，-2），（4，5），（5，4），（5，-2）， 其中点P 在第四象限的结果数为2，即（4，-2），（5，-2），所以点P 在第四象限的概率为：2163= ． 故答案为：13 ． 【点拨】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率是解题的关键．14．3x ≥【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：根据题意得：3020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥ △自变量x 的取值范围是3x ≥．故答案为：3x ≥．【点拨】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．3【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为()1y x m =-++，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可．解：将一次函数y =-x +1的图象沿x 轴向左平移m （m ≥0）个单位后得到()1y x m =-++， 把(1，−3)代入，得到：()311m -=-++，解得m =3．故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．16．8-【分析】将A 点坐标为-分别代入正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的解析式中即可求解．解：1y k x =和2k y x=过点A -12k ==-2(6k -=-12(2)(6)8k k +=-+-=-故答案为8-．【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，有理数的加法运算，正确的实用待定系数法求解析式是解题的关键．17．32a <- 【分析】由题意，先根据一次函数的性质得出关于a 的不等式230a +<，再解不等式即可．解：一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，230a ∴+<， 解得：32a <-， 故答案是：32a <-． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．18．102x << 【分析】根据21x y +=可得y ＝﹣2x+1，k ＝﹣2＜0进而得出，当y ＝0时，x 取得最大值，当y ＝1时，x 取得最小值，将y ＝0和y ＝1代入解析式，可得答案．解：根据21x y +=可得y ＝﹣2x+1，△k ＝﹣2＜0△01y <<，△当y ＝0时，x 取得最大值，且最大值为12， 当y ＝1时，x 取得最小值，且最小值为0， △102x << 故答案为：102x <<． 【点拨】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 19．240 【分析】由设,k t v=再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把 2.5t =h 代入函数解析式求解v 的值，结合图象上点的坐标含义可得答案. 解：由题意设,k t v= 把()200,3代入得：2003600,k tv ==⨯=600,t v∴= 当 2.5t =h 时，6002402.5v ==km/h ， 所以列车要在2.5h 内到达，则速度至少需要提高到240km/h ，故答案为：240km/h .【点拨】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.20．（2，3）【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D 点坐标为（m ，6m），则A 点坐标为（2m - ，6m ），进而列出方程求解． 解：△四边形ABCD 为正方形，△设D 点坐标为（m ，6m ），则A 点坐标为（2m - ，6m ）， △m -（2m -）=6m ，解得：m =±2（负值舍去）， 经检验，m =2是方程的解，△D 点坐标为（2，3），故答案是：（2，3）．【点拨】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．21．2-【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， △12m -⨯=，解得：2m =-，故答案为-2．【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．22．>【分析】根据反比例函数的性质，当反比例系数k ＞0，在每一象限内y 随x 的增大而减小可得答案． 解：△ 反比例函数的解析式为3y x =，k ＞0，△ 在每个象限内y 随x 的增大而减小，△ 1＜2，△1y ＞2y ．故答案为：>．【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 23．0【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得12y y +解：一次函数2y x =与反比例函数()0k y k x =≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 一次函数2y x =与反比例函数()0k y k x=≠的图象关于原点对称， ∴12y y +0= 故答案为：0【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 24．5【分析】在点B '到达B 之前，重叠部分的面积在增大，当点B '到达B 点以后，且点C '到达C 以前，重叠部分的面积不变，之后在B '到达C 之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B 'C '的长度为a ，BC 的长度为a ＋3，再根据△ABC 的面积即可列出关于a 的方程，求出a 即可．解：当点B '移动到点B 时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B 'C '＝a ，A B C S '''∆=过点A '作A 'H △B 'C '，则A 'H 为△A 'B 'C '的高，△△A 'B 'C '是等边三角形，△△A 'B 'H ＝60°，△sin60°＝A H A B '''=△A 'H ，△12A B C S a '''∆=⋅2= 解得a ＝﹣2（舍）或a ＝2，当点C '移动到点C 时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC ＝a ＋3＝2＋3＝5，△△ABC 的边长是5，故答案为5．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B '到达B 之前是一个阶段，然后点C '到达C 是一个阶段，最后B '到达C 又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可． 25．（1）6；（2）300-4500y x =；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【分析】（1）由图像可知，1l ，2l 的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发6分钟后追上小军；（2）设2l 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式y kx b =+，得300-4500y x =；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m 的路程，小军到达观景点的时间为33min ，通过2l 所在直线对应的函数表达式300-4500y x =，可知，观光车到达观景点的时间为25min x =，因此观光车比小军早33min 25min 8min -=到达观景点．解：（1）由图像可知，在21min 时，1l ，2l 相交于一点，表示在21min 时，小军和观光车到达了同一高度，此时观光车追上了小军, 观光车是在15min 时出发,△21min-15min=6min ,△观光车出发6分钟后追上小军；（2）设2l 所在直线对应的函数表达式为y kx b =+，由图像可知，直线2l 分别经过（15,0）和（21,1800）两点，将两点带入2l 函数表达式y kx b =+得：150211800k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3004500k b =⎧⎨=-⎩△2l 函数表达式为300-4500y x =；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m 的路程，小军到达观景点的时间为33min ，△观光车2l 函数表达式为300-4500y x =，△将=3000y 带入300-4500y x =，可知观光车到达观景点所需时间为=25min x ， △33min-25min=8min ，△观光车比小军早8分钟到达观景点．答：（1）观光车出发6分钟追上小军；（2）2l 所在直线对应的函数表达式为300-4500y x =；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【点拨】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．26．（1）A 款20个，B 款10个；（2）A 款10个，B 款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可；（3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算．解：（1）设A ，B 两款玩偶分别为,x y 个，根据题意得：30{4030=1100x y x y +=+ 解得：2010x y =⎧⎨=⎩ 答：两款玩偶，A 款购进20个，B 款购进10个．（2）设购进A 款玩偶a 个，则购进B 款(30)a -个,设利润为y 元则(5640)(4530)(30)y a a =-+--=1615(30)a a +-=450+a （元） A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半1(30)2a a ∴≤- 10a ∴≤，又0,a ≥010,a ∴≤≤ 且a 为整数，10-<∴当10a =时，y 有最大值max 460.y ∴=（元）∴A 款10个，B 款20个，最大利润是460元．（3）第一次利润20(5640)10(4530)=470⨯-+⨯-（元）∴第一次利润率为：470100%=42.7%1100⨯ 第二次利润率为：460100%=46%1040+2030⨯⨯⨯ 42.7%46%<∴第二次的利润率大，即第二次更划算．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键．27．（1）11y x =-+，26y x =-；（2）152ABP S =；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．解：（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-， △26y x=-， △点B 在反比例函数图象上，△26m -=-，解得：3m =，△()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩， △11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，△//BP x 轴，△3BP =，△点A 到PB 的距离为()325--=， △1153522ABP S =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x +<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．。
专题3.10 “设参求值”解决函数动点问题（真题专练）中考中“设参求值”是解题中常用的方法，其解题步骤为：设参数-表示点的坐标-表示线段长-建立等量关系-建立方程-解方程消参。
在函数中常常用此方法解决动点问题，设参数可以一个或两个，据题特征而定。
一、单选题1．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在OAB 中，45BOA ∠=︒，点C 为边AB 上一点，且2BC AC =．如果函数()90y x x=>的图象经过点B 和点C ，那么用下列坐标表示的点，在直线BC 上的是（ ）A ．（-2019，674）B ．（-2020，675）C ．（2021，-669）D ．（2022，-670）2．（2017·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝相交于点A 、B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB的面积为 A ．2＋3或2－3B ．＋1或－1C ．2－3D ．－13．（2019·四川眉山·中考真题）如图，一束光线从点()4,4A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,，则点C 的坐标是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,24．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（ ）A ．12y x =B ．y x =C ．32y x =D ．2y x =5．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎝C ．12,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎭6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点，若菱形ABCD 面积为8，则k 值为（ ）A ．-B ．-C ．8-D ．-7．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AD y ⊥轴，垂足为E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴正半轴上，反比例函数(0ky k x=≠,0)x >的图象同时经过顶点C D 、．若点C 的横坐标为5，2BE DE =，则k 的值为（ ）A ．403 B ．52C ．54D ．2038．（2019·广西玉林·中考真题）已知抛物线21:(1)12C y x =--，顶点为D ，将C 沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位，得到抛物线1C ，顶点为1D ，C 与1C 相交于点Q ，若160DQD ︒∠=，则m 等于（ ）A ．±B ．±C ．﹣2或D ．﹣4或9．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A B C D 10．（2017·湖北荆门·中考真题）已知：如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，点在边上，点在边上，且.反比例函数的图象恰好经过点和点.则的值为 （ ）A．B．C．D．11．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE BC⊥于E点，交BD于M点，反比例函数0)y x=>的图象经过线段DC的中点N，若4BD=，则ME的长为（）A．53ME=B．43=MEC．1ME=D．23 ME=12．（2017·广西·中考真题）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD△x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF△x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题13．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，点P在反比例函数3yx=的图像上且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数kyx=()0k<的图像相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为______．14．（2019·四川乐山·中考真题）如图，点P是双曲线C：4yx=（0x>）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：122y x=-于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是______.15．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为_____．16．（2018·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=15x+b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形．如果点A 1（1，1），那么点A 2018的纵坐标是_____．17．（2018·黑龙江大庆·中考真题）已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的△O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．18．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．19．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数2yx 的图象交于A 、B 两点，且3CBAC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为(,)(0)P x y x >，写出y 关于x 的函数表达式为：________．20．（2011·广西钦州·中考真题）如图，一次函数y=－2x 的图象与二次函数y=－x 2+3x 图象的对称轴交于点B ．（1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y=－x 2+3x 图象在y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点． 若以CD 为直角边的PCD 与OCD 相似，则点P 的坐标为 ．21．（2015·浙江湖州·中考真题）如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是___________22．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．三、解答题23．（2019·四川乐山·中考真题）如图，已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -.（1）求直线1l 的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积.24．（2014·江苏苏州·中考真题）如图，已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a>2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =-+和y ＝x 的图象于点C ，D（1）求点A 的坐标； （2）若OB ＝CD ，求a 的值．25．（2015·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34y x =与一次函数7y x =-+的图像交于点A ， （1）求点A 的坐标；（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC=75OA ，求△OBC 的面积.26．（2017·浙江台州·中考真题）如图，直线：与直线：相交于点.（1）求的值；（2）垂直于轴的直线与直线，分别交于点，若线段长为2，求的值.27．（2017·江苏无锡·中考真题）（2017江苏省无锡市）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC △x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q 的坐标为 ；若点M 经过T 变换后得到点N （6，，则点M 的坐标为 ．（2）A 是函数y =图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ． △求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；△如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．28．（2017·湖北荆州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 长为半径作△Q ．（1）求证：直线AB 是△Q 的切线；（2）过点A 左侧x 轴上的任意一点C （m ，0），作直线AB 的垂线CM ，垂足为M ．若CM 与△Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与△Q 同时相切？若存在，请直接写出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2019·山东东营·中考真题）已知抛物线24y ax bx+＝﹣经过点()()20,40A B ，-，，与y 轴交于点C．（）求这条抛物线的解析式；1（）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 2的坐标；（）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为,D M为抛物线的顶点，在直线DE 3上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B 、C 点的坐标，再写出BC 解析式，再判断点在BC 上．解：作BD OA ⊥，CE OA ⊥，45BOA ∠=︒，BD OD ∴=，设(,)B a a ，∴9a a=， 3a ∴=或3a =-（舍去）， 3BD OD ∴==，(3,3)B ， 2BC AC =．3ABAC ，BD OA ⊥，CE OA ⊥，//BD CE ∴，.ABD ACE ∴∆∆∽3BD ABCE AC==， ∴33CE=， 1CE ∴=，图象经过点C ，∴91x=， 9x ∴=，设BC 的解析式为y kx b =+，3319k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴143y x =-+，当2019x =-时，677y =， 当2020x =-时，16773y =， 当2021x =时，26693y =-， 当2022x =时，670y =-， 故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC 的解析式是解题的关键． 2．A 【解析】如图，分线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的左右两侧两种情况，设点C 的坐标为（m ，0），则点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（m ， ），因AC+BC=4，所以m+=4，解得m=2± ，当m=2-时，即线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的左侧，求得AC=2-,BC=2+,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB 的面积为；当m=2+时，即线段AB 在双曲线和直线y=x 交点的右侧，求得AC=2+,BC=2-,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB的面积为，故选A.3．B 【解析】【分析】延长AC 交x 轴于点D ，利用反射定律，可得1OCB ∠=∠，利用ASA 可证()COD COB ASA ∆≅∆，已知点B 坐标，从而得点D 坐标，利用A ，D 两点坐标，求出直线AD 的解析式，即可求得点C 坐标．如图所示，延长AC 交x 轴于点D ．设()0,C c△这束光线从点()4,4A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,， △由反射定律可知，1OCB ∠=∠， △△1=△OCD ， △OCB OCD ∠=∠， △CO DB ⊥于O ， △COD COB ∠=∠=90°，在COD ∆和COB ∆中OCD OCBOC OC COD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△()COD COB ASA ∆≅∆， △1OD OB ==， △()1,0D -，设直线AD 的解析式为y kx b =+，△将点()4,4A ，点()1,0D -代入得：440k bk b =+⎧⎨=-+⎩，解得：4545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线AD 的解析式为：4455y x =+， △点C 坐标为40,5⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ．【点拨】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大． 4．D 【解析】【分析】根据已知解析式求出点A 、B 的坐标，根据过原点O 且将AOB 的面积平分列式计算即可； 如图所示，当0y =时，240x -+=， 解得：2x =， △()2,0A ，当0x =时，4y =， △()0,4B ， △C 在直线AB 上， 设(),24C m m -+，△12OBC C S OB x =⨯⨯△，12OCA C S OA y =⨯⨯△，△2l 且将AOB 的面积平分， △OBC OCA S S =△△， △y C C OB x OA ⨯=⨯， △()4224m m =⨯-+， 解得1m =， △()1,2C ，设直线2l 的解析式为y kx =， 则2k =， △2y x =； 故答案选D ．【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 5．A 【解析】【分析】构造K 字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A 点坐标与C 点坐标关系，而P 是矩形对角线交点，故P 是AC 、BO 的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 解：过C 点作CE △x 轴，过A 点作AF △x 轴，△点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上， △2OCE S =△，12OAF S =△， △CE △x 轴，△90CEO ∠=︒，90OCE COE ∠+∠=︒， △在矩形OABC 中，90AOC ∠=︒， △90AOF COE ∠+∠=︒， △OCE AOF ∠=∠， △OCE AOF △△，△2CE OEOF AF ==， △2CE OF =，2OE AF =，设点A 坐标为1(,)x x，则点B 坐标为2(,2,)x x -，连接AC 、BO 交于点P ，则P 为AC 、BO 的中点， △27()2x x +-=-，解得：112x =，24x =-（不合题意，舍去）， △点A 坐标为1(,2)2，故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k 的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A 与点C 的坐标关系． 6．A 【解析】【分析】过点A 作AE BC ⊥，设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据菱形的面积得到AB 的长度，在Rt ABE △中应用勾股定理即可求解．解：过点A 作AE BC ⊥，△A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点， △设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△2AE =，244kk k BE =-+=-， △菱形ABCD 面积为8， △8BC AE ⋅=，解得4BC =， △4AB BC ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE =+，即22242BE =+，解得BE = △k =- 故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键． 7．A 【解析】【分析】由题意易得5,AB BC CD AD AD//BC ====，则设DE =x ，BE =2x ，然后可由勾股定理得()225425x x -+=，求解x ，进而可得点5,5k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2,45k D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据反比例函数的性质可求解． 解：△四边形ABCD 是菱形， △,AB BC CD AD AD//BC ===，△AD y ⊥轴，△90DEB AEB ∠=∠=︒， △90DEB CBO ∠=∠=︒， △点C 的横坐标为5，△点5,5k C ⎛⎫⎪⎝⎭，5AB BC CD AD ====，△2BE DE =，△设DE =x ，BE =2x ，则5AE x =-，△在Rt △AEB 中，由勾股定理得：()225425x x -+=， 解得：122,0x x ==（舍去）， △2,4DE BE ==， △点2,45k D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，△245k k ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得：403k =； 故选A ．【点拨】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键． 8．A 【解析】【分析】先表示出平移后的函数为21(1)12y x m =---，得到(1,1)D -，1(1,1)D m +-，求出Q点的横坐标为：22m +，代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再根据等腰直角三角形的性质得到2222211128m mm ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解出m 即可求解. 抛物线21:(1)12CC y x =--沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位得到21(1)12y x m =---△(1,1)D -，1(1,1)D m +-，△Q 点的横坐标为：22m +， 代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 若160DQD ︒∠=，则1DQD ∆是等边三角形， △1||QD DD m ==，由勾股定理得，2222211128m mm ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解得m =± 故选A ．【点拨】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质. 9．B 【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 解：作QM△x 轴于点M ，Q′N△x 轴于N ，设Q(m ，122m -+)，则PM=1m﹣，QM=122m -+， △△PMQ=△PNQ′=△QPQ′=90°， △△QPM+△NPQ′=△PQ′N+△NPQ′，△△QPM=△PQ′N ， 在△PQM 和△Q′PN 中， '90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△PQM△△Q′PN(AAS)，△PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，△ON=1+PN=132m -，△Q′(132m -，1m ﹣)，△OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5， △OQ′故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 10．A 【解析】试题分析：过点C 作CE△x 轴于点E ，过点D 作DF△x 轴于点F ，设BD=a ，则OC=3a ，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C 、D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a 、k 的值，此题得解． 过点C 作CE△x 轴于点E ，过点D 作DF△x 轴于点F ，如图所示． 设BD=a ，则OC=3a ．△△AOB 为边长为6的等边三角形，△△COE=△DBF=60°，OB=6． 在Rt△COE 中，△COE=60°，△CEO=90°，OC=3a ， △△OCE=30°，△OE=a ，CE=，△点C （，）．同理，可求出点D 的坐标为（6﹣a ，a ）．△反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点C 和点D ， △k=×a=（6﹣a ）×a ，△a=，k=．故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形. 11．D 【解析】【分析】根据菱形的性质得出D 点的坐标，利用反比例函数0)y x >的图象经过线段DC 的中点N ，求出C 点的坐标，进而得出30ODC ∠=︒；根据菱形的性质可得260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，可判定ABC 是等边三角形；最后找到ME 、AM 、AE 、OB 之间的数量关系求解． △菱形ABCD ，4BD = △2OD OB ==△D 点的坐标为（0，2） 设C 点坐标为（c x ，0） △线段DC 的中点N △设N 点坐标为（2cx ，1）又△反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N132c =⋅，解得c x即C 0），OC =在Rt ODC 中，3tan 2OC ODC OD ∠===△30ODC ∠=︒△菱形ABCD△260ABC ADC ODC ∠=∠=∠=︒，AB BC =，30OBC ODC ∠=∠=︒ △ABC 是等边三角形又△AE BC ⊥于E 点，BO OC ⊥于O 点 △2AE OB ==，AO BE =△AO BE =，90AOB AEB ∠=∠=︒，AMO BME ∠=∠ △()AOM BEM AAS ≅ △AM BM = 又△在Rt BME 中，sin 30MEBM=︒ △1sin 30=2ME AM =︒ △1122333ME AE ==⨯= 故选：D ．【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角30的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为60︒角的等腰三角形是等边三角形．特殊角30的三角函数，1sin 30=2︒，cos30︒tan 30︒． 12．D 【解析】试题分析：设点A 、B 横坐标为a ，则点A 纵坐标为，点B 的纵坐标为，△BE△x 轴，△点F 纵坐标为，△点F 是抛物线上的点，△点F 横坐标为x==，△CD△x 轴，△点D 纵坐标为，△点D 是抛物线上的点，△点D 横坐标为x==2a ，△AD=a ，BF=，CE=，OE=，△则= ==，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征；综合题． 13．3【解析】【分析】由题意，先求出点P 的坐标，然后表示出点A 和点B 的坐标，即可求出答案． 解：△点P 在反比例函数3y x=的图像上且横坐标为1， △点P 的坐标为：（1，3），如图，AP△x 轴，BP△y 轴， △点A 、B 在反比例函数ky x=()0k <的图像上， △点A 为（,33k），点B 为（1，k ），△直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为： 3tan 313kk α-==-； 故答案为：3．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题． 14．3 【解析】【分析】令PQ 与x 轴的交点为E ，根据双曲线的解析式可求得点A 、B 的坐标，由于点P 在双曲线上，由双曲线解析式中k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为2，故当△OEQ 面积最大时△POQ 的面积最大.设Q （a ，122a -）则S △OEQ =12 ×a×（122a -）=214-a a =21(1)12-+a ，可知当a=2时S △OEQ 最大为1，即当Q 为AB 中点时△OEQ 为1，则求得△POQ 面积的最大值是是3.△122y x=-交x轴为B点，交y轴于点A,△A（0，-2），B（4，0）即OB=4，OA=2令PQ与x轴的交点为E△P在曲线C上△△OPE的面积恒为2△当△OEQ面积最大时△POQ的面积最大设Q（a, 122a-）则S△OEQ=12×a×（122a-）=214-a a=21(1)12-+a当a=2时S△OEQ最大为1即当Q为AB中点时△OEQ为1故△POQ面积的最大值是是3.【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.15．y=﹣12x+32【解析】【分析】在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理计算出AB=5，再根据折叠的性质得BA′=BA=5，CA′=CA，则OA′=BA′﹣OB=2，设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22=（4﹣t）2，解得t=32，则C点坐标为（0，32），然后利用待定系数法确定直线BC的解析式解：△A（0，4），B（3，0），△OA=4，OB=3，在Rt△OAB中，，△△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处， △BA′=BA=5，CA′=CA ， △OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2， 设OC=t ，则CA=CA′=4﹣t ， 在Rt △OA′C 中， △OC 2+OA′2=CA′2，△t 2+22=（4﹣t ）2，解得t=32，△C 点坐标为（0，32），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （3，0）、C （0，32）代入得3k+b=03b=2⎧⎪⎨⎪⎩，解得1k=-23b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩△直线BC 的解析式为y=﹣12x+32故答案为y=﹣12x+32．【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式． 16．20173()2【解析】分析：因为每个A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A 的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A 的纵坐标，可以表示A 的横坐标，代入解析式可求点A 的纵坐标，规律可求．详解：分别过点A 1，A 2，A 3，…向x 轴作垂线，垂足为C 1，C 2，C 3，…△点A 1（1，1）在直线y=15x+b 上△代入求得：b=4 5△y=15x+45△△OA1B1为等腰直角三角形△OB1=2设点A2坐标为（a，b）△△B1A2B2为等腰直角三角形△A2C2=B1C2=b△a=OC2=OB1+B1C2=2+b把A2（2+b，b）代入y=15x+45解得b=3 2△OB2=5同理设点A3坐标为（a，b）△△B2A3B3为等腰直角三角形△A3C3=B2C3=b△a=OC3=OB2+B2C3=5+b把A2（5+b，b）代入y=15x+45解得b=9 4以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的32倍则A2018的纵坐标是(32)2017故答案为(32)2017点睛：本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律．17．0<m＜13 2【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，△k=﹣5 12；由y=﹣512x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣512x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=125m，△A（125m，0），B（0，m），即OA=125m，OB=m，在Rt△OAB中，135m ==，过点O作OD△AB于D，△S△ABO=12OD•AB=12OA•OB，△12OD•135m=12×125m×m，△m＞0，解得OD=1213m，由直线与圆的位置关系可知1213m ＜6，解得m＜132，故答案为0<m＜13 2.【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.18【解析】【分析】由已知得到点P 的坐标为(m ，33m +)，求得PO =利用二次函数的性质求解即可． 解：△240m n -+=，△24n m =+，则23933n m -=+， △点P 的坐标为(m ，33m +)，△PO = △100>，△210189m m ++当1892010m =-=-时，有最小值， 且最小值为910，△PO【点拨】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 19．283y x =【解析】【分析】过点A 作AN △y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM △AN ，13AN AC BM CB ==，设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)，求出C (0，3a 2)，从而得P (32a ，26a )，进而即可得到答案．解：过点A 作AN △y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM △AN ， △CBM CAN ∽， △3CB AC ，△13AN AC BM CB ==， 设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则2293a ka b a ka b ⎧=-+⎨=+⎩，解得：223k a b a =⎧⎨=⎩，△直线AB 的解析式为：y =2ax +3a 2， △C (0，3a 2)， △P 为CB 的中点，△P (32a ，26a )，△2326x ay a⎧=⎪⎨⎪=⎩，即：283y x =，故答案是：283y x =．【点拨】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．20．（1）3(,)23-；（2）(2，2)，15(,)24，1111(,)416，1326(,)525【解析】（1）△抛物线y=-x 2+3x 的对称轴为x=332(1)2-=⨯-，△当x=32时，y=-2x=-3，即B 点（32，-3）；（2）设D （0，2a ），则直线CD 解析式为y=-2x+2a ，可知C （a ，0），即OC ：OD=1：2， 则OD=2a ，OC=a ，根据勾股定理可得：． 以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，当△CDP=90°时，若PD ：DC=OC ：OD=1：2，则a ，设P 的横坐标是x ，则P 点纵坐标是-x 2+3x ，根据题意得：222222222(32))(3)()x x x a x x x a +-+-=+=-++-，解得：1212{x a ==，则P 的坐标是：（15,24），若DC ：PD=OC ：OD=1：2，同理可以求得P （2，2），当△DCP=90°时，若PC ：DC=OC ：OD=1：2，则P （1111,416）， 若DC ：PD=OC ：OD=1：2，则P （1326,525）．21．2y =+,2y =+（答案不唯一，只要符合条件即可）．【解析】试题分析：因点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，所以把抛物线C 2看成抛物线C 1以点O 为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a 1，a 2互为相反数，抛物线C 1和C 2的对称轴直线关于y 轴对称，由此可得出b 1=b 2．抛物线C 1和C 2都经过原点，可得c 1=c 2，设点A （m ，n ），由题意可知B （-m ，-n ），由勾股定理可得ABMN=︱4m ︱，又因四边形ANBM 是矩形，所以AB=MN,4m =，解得223,m n m n ==即，设抛物线的表达式为2()y a x m n =-+，任意确定m 的一个值，根据m n =n 的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可．l例如，当m=1时，抛物线的表达式为2(1)y a x =-把x=0，y=0代入解得a=即2y =+，所以另一条抛物线的表达式为2y =+．考点：旋转、矩形、二次函数综合题．22．3225【解析】【分析】根据题意得出ON 是ABM 的中位线，所以ON 取到最大值时，BM 也取到最大值，就转化为研究BM 也取到最大值时k 的值，根据,,B C M 三点共线时，BM 取得最大值，解出B 的坐标代入反比例函数即可求解．解：连接BM ，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=， 已知ON 长的最大值为32， 此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=， 解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴， 将48(,)55B 代入()0k y k x=>， 解得：3225k =， 故答案是：3225． 【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值．23．（1）1y x =-+；（2）52【解析】【分析】（1）根据P 点是两直线交点，可求得点P 的纵坐标，再利用待定系数法将点B 、点P 的坐标代入直线l 1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C （0，1），由四边形∆∆=-PAB BOC PAOC S S S 可求得四边形PAOC 的面积解：（1）△点P 是两直线的交点，将点P （1，a ）代入24y x =+得2(1)4⨯-+=a ，即2a =则P 的坐标为(1,2)-，设直线1l 的解析式为：y kx b =+(0)k ≠，那么02k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=⎩. 1l ∴的解析式为：1y x =-+.（2）直线1l 与y 轴相交于点C ，直线2l 与x 轴相交于点A∴C 的坐标为(0,1)，A 点的坐标为(2,0)-则3AB =，而四边形∆∆=-PAB BOC PAOC S S S ，∴PAOC S 四边形1153211222=⨯⨯-⨯⨯= 【点拨】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.24．（1）(6，0)；（2）4.【解析】试题分析：（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣12x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣12x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣12a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣12a+3）=3，然后解方程即可．试题解析：解：（1）△点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，△点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣12x+b得﹣1+b=2，解得b=3，△一次函数的解析式为y=﹣12x+3，把y=0代入y=﹣12x+3得﹣12x+3=0，解得x=6，△A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣12x+3得y=3，△B点坐标为（0，3），△CD=OB，△CD=3，△PC△x轴，△C点坐标为（a，﹣12a+3），D点坐标为（a，a）△a﹣（﹣12a+3）=3，△a=4．考点：两条直线相交或平行问题．25．（1）A(4，3)；（2）28.【解析】【分析】（1）点A是正比例函数34y x=与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把34y x=与y=-x+7联立组成方程组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=75OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，根据12OBCS BC OP∆=⋅即可求得△OBC的面积.解：（1）由题意得:347y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩，△点A的坐标为（4,3）.（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，5OA△775755BC OA==⨯=.△P（a，0），△B（a,34a）,C（a,-a+7），△BC=37(7)744a a a--+=-，△7774a-=，解得a=8.△11782822OBCS BC OP∆=⋅=⨯⨯=.26．（1）m-1（2）a=或a=【解析】试题分析：（1）把点P（1，b）分别代入l1和l2,得到b和m的值.（2）将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标，根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.试题解析：（1）把点P（1，b）代入y=2x+1,得b=2+1=3，把点P（1，3）代入y=mx+4,得m+4=3,△m=-1.（2）直线x=a与直线l1的交点C为（a,2a+1）,与直线l2的交点D为（a,-a+4）.△CD=2,△|2a+1-（-a+4）|=2,即|3a -3|=2,△3a -3=2或3a -3=-2,△a=或a=.考点：1、待定系数法求一次函数解析式，2、两条直线相交或平行问题27．（1）（a +，12b ）；（9，-；（2）△y =；△34． 【解析】【分析】（1）连接CQ 可知△PCQ 为等边三角形，过Q 作QD△PC ，利用等边三角形的性质可求得CD 和QD 的长，则可求得Q 点坐标；设出M 点的坐标，利用P 、Q 坐标之间的关系可得到点M 的方程，可求得M 点的坐标；（2）△可取A （2，利用T 变换可求得B 点坐标，利用待定系数示可求得直线OB 的函数表达式；△由待定系数示可求得直线AB 的解析式，可求得D 点坐标，则可求得AB 、AD 的长，可求得△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．解：（1）如图1，连接CQ ，过Q 作QD△PC 于点D ，由旋转的性质可得PC=PQ ，且△CPQ=60°，△△PCQ 为等边三角形，△P （a ，b ），△OC=a ，PC=b ，△CD=12PC=12b ，，△Q （，12b ）；设M （x ，y ），则N 点坐标为（，12y ），△N （6，△612x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得9x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ △M （9，﹣；（2）△△A 是函数图象上异于原点O 的任意一点， △可取A （2，72，12△B （72， 设直线OB 的函数表达式为y=kx ，则72△直线OB 的函数表达式为； △设直线AB 解析式为y=k′x+b ，把A 、B坐标代入可得2'7'2k b k b ⎧+=⎪⎨+⎪⎩k b '⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △直线AB 解析式为y=， △D （0），且A （2，B （72，△34OAB OAD S AB S AD ===△△．28．（1）证明见解析；（2）m =4﹣354t 或m =4﹣54t ；（3）（﹣38，0）或（278，0）或（﹣272，0）或（32，0）． 【解析】试题分析：（1）只要证明△PAQ△△BAO ，即可推出△APQ=△AOB=90°，推出QP△AB ，推出AB 是△O 的切线；（2）分两种情形求解即可：△如图2中，当直线CM 在△O 的左侧与△Q 相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．△如图3中，当直线CM在△O的右侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．试题解析：（1）如图1中，连接QP．在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，△AB==5，△AP=4t，AQ=5t，△，△△PAQ=△BAO，△△PAQ△△BAO，△△APQ=△AOB=90°，△QP△AB，△AB是△O的切线．（2）△如图2中，当直线CM在△O的左侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM 是正方形．易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，△OC+CQ+AQ=4，△m+t+5t=4，△m=4﹣t．△如图3中，当直线CM在△O的右侧与△Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．△OC+AQ﹣CQ=4，△m+5t﹣t=4，△m=4﹣t．（3）存在．理由如下：如图4中，当△Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=，由（2）可知，m=﹣或．如图5中，当△Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，由（2）可知，m=﹣或．综上所述，满足条件的点C 的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．考点：一次函数综合题29．(1) 2142y x x +-＝;（2）点P 的坐标为()2,4--；（3）315,48G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1） 用待定系数法即可得到答案;（2）连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由题意得到AOC OCP OBPS S S S ∴++＝()2216x ++＝．即可得到答案. （3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.解：1（）抛物线4y ax bx +-＝经过点()()2,0,40A B -，， 424016440a b a b +-=⎧∴⎨--=⎩， 解得1,21a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2142y x x +-＝； 2（）如图1，连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中40x -＜＜，四边形ABPC 的面积为S ，由题意得0,4C -（），AOC OCP OBP S S S S ∴++＝()1124422x =⨯⨯+⨯⨯-2114422x x ⎛⎫+⨯⨯--+ ⎪⎝⎭， 24228x x x ---+＝，2412x x -+＝-，。
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲 一元一次不等式(组)七、 知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例 1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值. （3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >bc ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <bc.牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.例：若230m mx ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分 7.不等式组解集的类型假设a ＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x ≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x ≤a小小取小第9讲 平面直角坐标系与函数八、 知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对(x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x ＝0，y ＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )． （5）点M （x,y ）平移的坐标特征：M （x,y ） M 1(x+a ,y )M 2(x+a ,y+b )（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a |．（2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|； 点M 1(0，y 1)，M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)间的距离为|y 1－y 2|．平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5. 5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右xy第四象限(＋，－)第三象限 (－，－)第二象限(－，＋)第一象限 (＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第10讲一次函数九、知识清单梳理第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，21P COBAPCO BAcDcD第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：53. CD 应等于（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCB AFEDC B AFEDC BA(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.FE DC B A第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.知识点三：平行四边形的判定7.平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.OD CBA第20讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理知识点一：特殊平行四边形的性质与判定关键点拨及对应举例1.性质（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为等边三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边. （1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半(1)四条边都相等，四个角都是直角(2)对角线相等且互相垂直平分(3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB2.判定（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形（2）有三个角是直角（3）对角线相等的平行四边形（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形（2）对角线互相垂直的平行四边形（3）四条边都相等的四边形（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形（2）一组邻边相等的矩形（3）一个角是直角的菱形（4）对角线相等且互相垂直、平分例：判断正误.邻边相等的四边形为菱形.（）有三个角是直角的四边形式矩形.（）对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （）对边相等的矩形是正方形.（）3.联系包含关系：知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳4.中点四边形（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.5.特殊四边形中的解题模型（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD 为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）图①图②图③图④第六单元圆第21讲圆的基本性质十九、知识清单梳理知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论。
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组) 七、知识清单梳理第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理第10讲一次函数九、知识清单梳理第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理cDcD第17讲相似三角形十六、知识清单梳理10cm的线段进行黄金分的比叫做黄金比．）熟悉利用利用相似求解问题的基本图EC A第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理，每一个外角为例：如图四边形第20讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理如图，四边形形.图①图②图③第六单元圆第21讲圆的基本性质十九、知识清单梳理图a 图b 图cAB是⊙O的直第22讲与圆有关的位置关系二十、知识清单梳理已知△ABC的三边长a=3，b=4则它的外切圆半径是2.5.第23讲与圆有关的计算二十一、知识清单梳理（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOCa:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2知识点二：与圆有关的计算公式,S的面积为第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似二十二、知识清单梳理第25讲视图与投影二十三、知识清单梳理第八单元统计与概率第26讲统计二十四、知识清单梳理第27讲概率二十五、知识清单梳理。
专题3.3 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（巩固篇）（真题专练）一、单选题1．（2021·四川自贡·中考真题）如图，()8,0A ，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,62．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）已知：AOCD 的顶点()0,0O ，点C 在x 轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA 于点M ，交OC 于点N ．①分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOC ∠内相交于点E ．①画射线OE ，交AD 于点()2,3F ，则点A 的坐标为（ ）A ．5,34⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(3C ．4,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(23．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在四边形DEFG 中，①E ＝①F ＝90°，①DGF ＝45°，DE ＝1，FG ＝3，Rt ①ABC 的直角顶点C 与点G 重合，另一个顶点B （在点C 左侧）在射线FG 上，且BC ＝1，AC ＝2，将①ABC 沿GF 方向平移，点C 与点F 重合时停止．设CG 的长为x ，①ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·辽宁营口·中考真题）已知一次函数y kx k =-过点()1,4-，则下列结论正确的是（ ）A ．y 随x 增大而增大B ．2k =C ．直线过点()1,0D ．与坐标轴围成的三角形面积为25．（2021·贵州安顺·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b ===，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ） A ．17个B ．18个C ．19个D ．21个6．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在OAB 中，45BOA ∠=︒，点C 为边AB 上一点，且2BC AC =．如果函数()90y x x=>的图象经过点B 和点C ，那么用下列坐标表示的点，在直线BC 上的是（ ）A ．（-2019，674）B ．（-2020，675）C ．（2021，-669）D ．（2022，-670）7．（2021·湖北荆门·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y kx k =-与(0)||ky k x =≠的大致图象是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①8．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，点A 在曲线到12(0)y x x=>上，点B 在双曲线2(0)ky x x=<上，//AB x 轴，点C 是x 轴上一点，连接AC 、BC ，若ABC 的面积是6，则k 的值（ ）A ．6-B ．8-C ．10-D ．12-9．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD 的边OB 与x 轴的正半轴重合，//AD OB ，DB x ⊥轴，对角线,AB OD 交于点M ．已知:2:3,AD OB AMD =的面积为4.若反比例函数ky x=的图象恰好经过点M ，则k 的值为（ ）A ．275B ．545C ．585D ．1210．（2021·山东威海·中考真题）一次函数()1110y k x b k =+≠与反比例函数()2220k y k x=≠的图象交于点(1,2)A --，点(2,1)B ．当12y y <时，x 的取值范围是（ ） A ．1x <- B ．10x -<<或2x > C ．02x <<D ．02x <<或1x <-11．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点()()()1235,,3,,3,y y y --都在反比例函数()0ky k x=>的图像上，则（ ） A ．312y y y >> B ．123y y y >>C ．132y y y >>D ．213y y y >>二、填空题12．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，①D 经过A ，B ，O ，C 四点，①ACO ＝120°，AB ＝4，则圆心点D 的坐标是________13．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A 1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A 2（1，0），A 3（1，1），A 4（﹣1，1），A 5（﹣1，﹣1），A 6（2，﹣1），A 7（2，2），…．若到达终点A n （506，﹣505），则n 的值为 _______．14．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y 14=x 12+与直线l 2：y ＝kx +3相交于点A ，则方程组11423y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩的解为 ___．15．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．16．（2021·广西贺州·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．17．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到'OA D △，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过'A 点，则k 的值为_______．18．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABCS =，则k =_____．19．（2021·四川巴中·中考真题）如图，平行于y 轴的直线与函数y 1k x =（x ＞0）和y 22x=（x＞0）的图象分别交于A 、B 两点，OA 交双曲线y 22x=于点C ，连接CD ，若OCD 的面积为2，则k ＝_______．20．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)k y k x =≠的图象上，若在ky x =的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．21．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，点A 是反比例函数1(0)k y x x=<图象上一点，AC x ⊥轴于点C 且与反比例函数2(0)k y x x=<的图象交于点B ，3AB BC = ，连接OA ，OB ，若OAB 的面积为6，则12k k +=_________．22．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）23．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点a y x =与by x=（a ＞b ＞0）在第一象限的图象分别为曲线C 1，C 2，点P 为曲线C 1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交C 2于点A ，作x 轴的垂线交C 2于点B ，则阴影部分的面积S ①AOB ＝_______．（结果用a ，b 表示）24．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在(0,0)ky k x x=≠<的双曲线上．点O E 、的对应点分别是点C A 、．若点A 为OE 的中点，且1AEF S =△，则k 的值为____．25．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．三、解答题26．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？27．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴，交直线34y x =于点D ，连接OC ，AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________，__________）； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形；（3）动点P 从点O 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同时从点D 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时，CPQ 的面积是__________．①当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，请直接写出此时t 的值．28．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数12y x b =-+与反比例函数()100y x x =-<，()0ky x x=>图象分别交于()2,A m -，()4,B n ，与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数()0ky x x =>和一次函数12y x b =-+的表达式；（2）求AOB 的面积．29．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点，点A 的坐标为(),3m -，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD =．（1）求k 的值并直接写出．．．．点B 的坐标； （2）点G 是y 轴上的动点，连接GB ，GC ，求GB GC +的最小值；（3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ABPQ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可 【详解】解：由题意可知：AC =AB ①()8,0A ，()2,0C - ①OA =8，OC =2 ①AC =AB =10在Rt ①OAB 中，6OB = ①B (0，6) 故选：D【点拨】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 2．A 【分析】由题意得：OE 平分①AOC ，结合AD ①OC ，可得AO=AF ，设AH =m ，则AO =AF =2+m ，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知：OE 平分①AOC ，①①AOF =①COF ，①在AOCD 中，AD ①OC ， ①①COF =①AFO ， ①①AOF =①AFO ，①AO=AF ， ①()2,3F ， ①FH =2，OH =3，设AH =m ，则AO =AF =2+m ， ①在Rt AOH 中，AH 2+OH 2=AO 2， ①m 2+32=(2+m ) 2，解得：54m =， ①A 5,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF ，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 3．B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B 到达点G 之前，即0＜x ＜1时，求出y 和x 的关系式，确定图象，第二个是点C 到达点H 之前，即1＜x ＜2时，求出y 和x 的关系式，确定图象，第三个是点C 到达点F 之前，即2＜x ＜3时，求出y 和x 的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D 作DH ①EF ，①①DGF ＝45°，DE ＝1，FG ＝3， ①EH ＝2，DH ＝EF ＝2，当0＜x ＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x ， ①y ＝212x ，①102>， ①该部分图象开口向上，当1＜x ＜2时，如图，设A 'B '与DG 交与点N ，A 'C '与DG 交与点M ， 则S 重叠＝S ①GMC '﹣S ①GNB '， 设B 'K ＝a ，则NK ＝2a ， ①GC '＝x ，B 'C '＝1， ①GB '＝x ﹣1，①①GKN 是等腰直角三角形， ①GK ＝NK ， ①x ﹣1＋a ＝2a ， ①a ＝x ﹣1， ①NK ＝2x ﹣2，①21(1)(22)212GNB S x x x x '∆=--=-+，①212GMC S x '∆=， ①S 重叠＝212x ﹣（x 2﹣2x ＋1）＝21212x x -+-，①102-<， ①该部分图象开口向下，当2＜x ＜3时，重叠部分的面积为S ①ABC ，是固定值， ①该部分图象是平行x 轴的线段， 故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定y 和x 之间的函数关系式，从而确定图象． 4．C 【分析】将点()1,4-代入一次函数解析式，求出k 的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．解：①一次函数y kx k =-过点()1,4-， ①4k k =--，解得2k =-，①一次函数为22y x =-+，y 随x 增大而减小，故A 和B 错误； 当1x =时，0y =，故C 正确；该一次函数与x 轴交于点()1,0，与y 轴交于点()0,2， ①与坐标轴围成的三角形面积为11212⨯⨯=，故D 错误；故选：C ．【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 5．B 【分析】因为题中已知12345,k k b b b ===，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题． 【详解】解：①直线()1,2,3,4,5,6,7n n y k x b n =+=，其中12345,k k b b b === ①第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点， ①这5条直线最多有7个交点，第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个， 第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个， ①得出交点最多就是7＋5+6＝18条， 故选：B ．【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点． 6．D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B 、C 点的坐标，再写出BC 解析式，再判断点在BC 上．解：作BD OA ⊥，CE OA ⊥，45BOA ∠=︒，BD OD ∴=，设(,)B a a ，∴9a a=， 3a ∴=或3a =-（舍去）， 3BD OD ∴==，(3,3)B ， 2BC AC =．3ABAC ，BD OA ⊥，CE OA ⊥，//BD CE ∴，.ABD ACE ∴∆∆∽3BD ABCE AC==， ∴33CE=， 1CE ∴=，图象经过点C ，∴91x=， 9x ∴=，(9,1)C设BC 的解析式为y kx b =+，3319k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴143y x =-+，当2019x =-时，677y =， 当2020x =-时，16773y =， 当2021x =时，26693y =-， 当2022x =时，670y =-， 故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出BC 的解析式是解题的关键． 7．B 【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k ＞0和k ＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】 解：当k ＞0时，一次函数y=kx -k 经过一、三、四象限， 函数的(0)||ky k x =≠（k≠0）的图象在一、二象限， 故选项①的图象符合要求． 当k ＜0时，一次函数y=kx -k 经过一、二、四象限， 函数的(0)||ky k x =≠（k≠0）的图象经过三、四象限， 故选项①的图象符合要求． 故选：B ．【点拨】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k 值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y 轴的交点与一次函数的常数项相关． 8．C 【分析】根据//AB x 轴可以得到6ABCAOBS S==，转换成反比例函数面积问题即可解题．【详解】连接OA 、OB ，设AB 与y 轴交点为M ，①//AB x 轴 ①AB ①y 轴，6ABCAOBS S==①12BOMS k =，1212AOMS =⨯= ①6ABCAOBBOMAOMS S SS==+=①1162k += 解得10k =± ①点B 在双曲线2(0)ky x x=<上，且B 在第二象限 ①0k < ①10k =- 故选C【点拨】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k 的关系是解题的关键． 9．B 【分析】过点M 作ME ①x 轴于点E ，则有ME ①BD ，2MEOk S=，进而可得ADM BOM ∽、OME ODB ∽，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．【详解】解：过点M 作ME ①x 轴于点E ，如图所示：①DB x⊥轴，①ME①BD，①//AD OB，①ADM BOM∽，①:2:3AD OB=，①249 ADMBOMS ADS OB⎛⎫==⎪⎝⎭，①AMD的面积为4，①9BOMS=，①:2:3AD OB=，①:3:5OM OD=，由题可知①OMB、①OBD的高是相同的，则有35BOM OBDS S=，①453OBDS=，①ME①BD，①OME ODB∽，①2925 OMEODBS OMS OD⎛⎫==⎪⎝⎭，①275OMES=，由反比例函数k 的几何意义可得：2MEOk S =，①0k >， ①545k =； 故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k 的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．D 【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x 的取值范围即可． 【详解】解：①两函数图象交于点(1,2)A --，点(2,1)B①112=12k b k b --+⎧⎨=+⎩，221k -=-，解得：1=11k b ⎧⎨=-⎩，k 2=2 ①11y x =-，22y x=画出函数图象如下图：由函数图象可得12y y <的解集为：0＜x ＜2或x ＜-1．故填D ．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 11．A 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】 解：①()0ky k x=>， ①在每个象限内，y 随着x 的增大而减小， ①-5<-3<0<3， ①312y y y >>， 故选：A ．【点拨】此题考查反比例函数的增减性：当k >0时，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；当k <0，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．12．D （1） 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到①ABO ＝60°，再根据圆周角定理得到AB 为①D 的直径，则D 点为AB 的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB ＝2，OA ＝以A （0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D 点坐标． 【详解】解：①四边形ABOC 为圆的内接四边形， ①①ABO ＋①ACO ＝180°， ①①ABO ＝180°−120°＝60°， ①①AOB ＝90°， ①AB 为①D 的直径， ①D 点为AB 的中点，在Rt①ABO 中，①①ABO ＝60°，①OB ＝12AB ＝2，①OA ＝①A （0），B （0，2），①D 点坐标为（1）．故答案为（1）．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．13．2022【分析】 终点()506505n A -，在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n 的值． 【详解】解：①()506505-，是第四象限的点， ①()506505n A -，落在第四象限． ①在第四象限的点为()()()()61014213243506505n A A A A ---⋯-，，，，，，，，． ①64121042214432=⨯-+=⨯-+=⨯-+，，，18442=⨯-+⋯，， ①450522022n =⨯-+=．故答案为：2022【点拨】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．14．21x y =⎧⎨=⎩【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①直线l 1：y 14=x 12+与直线l 2：y ＝kx +3相交于点A （2，1）， ①方程组11423y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩； 故答案为：21x y =⎧⎨=⎩． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．15．（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ①x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =①1OM MN ==，MON ∠=45°①1ONM =∠90°①1ON NM =①1ON NM ⊥①11OM MM ==①1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）①2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点拨】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.16．(--【分析】过P 作PD ①OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得①ABO =①OAB =45°，再证明①PCB ①①OP A ，从而求出BD ＝OD ＝【详解】如图所示，过P 作PD ①OC 于D ，①一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，①A (-4，0)，B (0，4)，即：OA =OB ，①①ABO =①OAB =45°，①①BDP 是等腰直角三角形，①①PBC ＝①CPO ＝①OAP ＝45°，①①PCB ＋①BPC ＝135°＝①OP A ＋①BPC ，①①PCB ＝①OP A ，又①PC ＝OP ，①①PCB ①①OP A （AAS ），①AO ＝BP ＝4，①Rt ①BDP 中，BD ＝PD ＝BP＝①OD ＝OB −BD ＝，①P （-）．故答案是：P （-，．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．17．48【分析】过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，设(,)A m n '，OF m =，A F n '=，通过证得①A OF '∽①DA E '，得到310103m n n m ==--，解方程组求得m 、n 的值，即可得到A '的坐标，代入(0)k y k x =≠即可求得k 的值．【详解】解：过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，90OA D ∠'=︒，90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒，90OA F AOF ∠'+∠'=︒，DA E AOF ∴∠'=∠'，A FO DEA ∠'=∠'，∴①A OF '∽①DA E '， ∴OF A F OA A E DE A D''==''，设(,)A m n '，OF m ∴=，A F n '=，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，103DE m ∴=-，10A E n '=-， ∴310103m n n m ==--， 解得6m =，8n =，(6,8)A ∴'， 反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过A '点， 6848k ∴=⨯=，故答案为48．【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得A '的坐标是解题的关键．18．18【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出①ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用①ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得 k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴∽，DB BE DE CO CE EO∴==，32BE CO CE AD ==， 32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====， 设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =， 92a BD ∴=， 132a AB AD DB ∴=+=， 1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯=， 45ab ∴=， 94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅===矩形， 又反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点拨】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．19．8【分析】设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ），由112=222OCD C m S OD y m n n ===△得出12n m =，再根据()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△求解即可得到答案. 【详解】解：设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ）， ①112=222OCD C m S OD y m n n ===△， ①12n m =， 又①()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△ 112m n k m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭12n k m =14k = ①124k = 解得8k故答案为：8.【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20． 【分析】利用30的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．【详解】解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C 在(0)k y k x=≠上，k ∴=设)M m (0)m > 30MOF ∠=︒tan MOF ∴∠=解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．21．20【分析】利用反比例函数比例系数k 的几何意义得到S ①AOC =12|1k |=-112k ，S ①BOC =12|2k |=-212k ，利用AB =3BC 得到S ①ABO =3S ①OBC =6，所以-212k =2，解得2k =-4，再利用-112k =6+2得1k =-16，然后计算1k +2k 的值．【详解】解：①AC ①x 轴于点C ，与反比例函数y =2k x （x ＜0）图象交于点B ， 而1k ＜0，2k ＜0，①S ①AOC =12|1k |=-112k ，S ①BOC =12|2k |=-212k ， ①AB =3BC ，①S ①ABO =3S ①OBC =6，即-212k =2，解得2k =-4， ①-112k =6+2，解得1k =-16， ①1k +2k =-16-4=-20．故答案为：-20．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k |，且保持不变．22． 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【详解】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B 总结规律可得n B坐标为：故答案为： 【点拨】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．12a 22b a- 【分析】设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ），阴影部分的面积S ①AOB ＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【详解】解：设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ）， ①点P 为曲线C 1上的任意一点，①mn ＝a ，①阴影部分的面积S ①AOB ＝mn 12-b 12-b 12-（m b n -）（n b m-） ＝mn ﹣b 12-（mn ﹣b ﹣b 2b mn+）＝mn ﹣b 12-mn +b 22b mn- 12=a 22b a-． 故答案为：12a 22b a-． 【点拨】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn ＝a 可解决问题． 24．24-【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG 和EO 之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG 和OD 之间的关系，设EG =x ，FG =y ，用它们表示出D 点坐标，接着得到B 点坐标，利用1AEF S =△，得到1xy =，再利用反比例函数的定义，计算出B 点横纵坐标的积，即为所求k 的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE =GA ，CG =OG ，BC =OD ，①点A 为OE 的中点，①AE =OA ， ①1244EG EG EG OE AE EG ===, ①MN ①y 轴， ①14FG EG OD EO ==， ①=4OD FG ，①1AEF S =△， ①112AE FG ⋅=, ①1212EG FG ⨯⋅=， ①1EG FG ⋅=，设EG =x ，FG =y ，则OG =3x ，OD =4y ，①()0,4D y ，因为D 点和B 点关于MN 对称，①()6,4B x y -①1EG FG ⋅=，①1xy =①6424x y -⋅=-,①点B 恰好落在(0,0)k y k x x=≠<的双曲线上， ①24k =-，故答案为：24-．【点拨】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．25．3225【分析】根据题意得出ON 是ABM 的中位线，所以ON 取到最大值时，BM 也取到最大值，就转化为研究BM 也取到最大值时k 的值，根据,,B C M 三点共线时，BM 取得最大值，解出B 的坐标代入反比例函数即可求解．【详解】解：连接BM ，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=， 已知ON 长的最大值为32， 此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=， 解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴， 将48(,)55B 代入()0k y k x=>， 解得：3225k =， 故答案是：3225．【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值． 26．（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x 元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x -6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设可以购买m 瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m ）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶， 由题意可得，180********x x =⋅-， 解得30x =，经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.（2）设利润为y 元，购进甲品牌洗衣液m 瓶，则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶，由题意可得，()30241203120m m +-≤，解得40m ≤，由题意可得，()()()363028*********y m m m =-+--=+，①20k =>，①y 随m 的增大而增大，①当40m =时，y 取最大值，240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．【点拨】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．（1）3-，5，0；（2）见解析；（3）①12；①55+【分析】（1）代入C 点坐标即可得出k 值确定直线的解析式，进而求出A 点坐标即可； （2）求出AD 点坐标，根据CD OA =，//CD OA ，即可证四边形OADC 是平行四边形； （3）①作CH OD ⊥于H ，设出H 点的坐标，根据勾股定理计算出CH 的长度，根据运动时间求出PQ 的长度即可确定CPQ ∆的面积；①根据对角线相等确定PQ 的长度，再根据P 、Q 的位置分情况计算出t 值即可．【详解】解：（1）直线15(0)y kx k =+≠经过点(3,6)C ，3156k ∴+=，解得3k =-，即直线的解析式为315y x =-+，当0y =时，5x =，(5.0)A ∴，（2）线段CD 平行于x 轴，D ∴点的纵坐标与C 点一样，又D 点在直线34y x =上， 当6y =时，8x =，即(8,6)D ，835CD ∴=-=，5OA =，OA CD ∴=，又//OA CD ，∴四边形OADC 是平行四边形；（3）①作CH OD ⊥于H ，H 点在直线34y x =上，∴设H 点的坐标为3(,)4m m ， 2223(3)(6)4CH m m ∴=-+-，2223(8)(6)4DH m m =-+-， 由勾股定理，得222CH DH CD +=， 即2222233(3)(6)(8)(6)544m m m m -+-+-+-=， 整理得245=m 或8（舍去）， 3CH ∴=，810OD =，∴当1t =时，10118PQ OD t t =--=--=，11831222CPQ S PQ CH ∆∴=⋅=⨯⨯=， ①10OD =，当05t 时，102PQ t =-，当510t 时，210PQ t =-，当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，PQ AC =，(5AC ==当05t 时，102t -=，解得5t =当510t 时，210t -=解得5t =综上，当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时t 的值为55+【点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．28．（1）()80y x x =>，142y x =-+；（2）12． 【分析】（1）把点A 的坐标代入()100y x x =-<m 的值，得出A 的坐标代入12y x b =-+，求出一次函数的解析式，进而求得点B 的坐标，利用B 点的坐标求得()0ky x x =>的解析式；（2）根据一次函数解析式求得点C 的坐标，再将y 轴作为分割线，求得①AOB 的面积；【详解】解：（1）①()2,A m -，在函数()100y x x=-<的图象上， ①m =5，①A (-2，5)，把A (-2，5)代入12y x b =-+得：15(2)2b =-⨯-+， ①b =4，①一次函数12y x b =-+的表达式为：142y x =-+， ①()4,B n 在函数142y x =-+的图象上， ①n =2，①()4,2B ，把()4,2B 代入()0k y x x =>得：2=4k ，①k =8， ①反比例函数的解析式为：()80y x x=>； （2）①C 是直线AB 与y 轴的交点，直线AB ：142y x =-+， ①当x =0时，y =4，①点C （0，4），即OC =4，①A (-2，5)，()4,2B ，①AOB AOC BOC S S S =+△△△=12×4×2+12×4×4=12；【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C 点坐标是解题的关键．29．（1）6k =，B (2，3)；（2）（3）P （132，0）或（0，133）. 【分析】（1）根据直线32y x =经过点A (),3m -，可求出点A （-2，-3），因为点A 在()0k y k x =≠图象上，可求出k ，根据点A 和点B 关于原点对称，即可求出点B ；（2）先根据2BC CD =利用相似三角形的性质求出点C ，再根据对称性求出点B 关于y 轴的对称点B ’，连接B ’C ，即B ’C 的长度是GB GC +的最小值；（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）解：因为直线32y x =经过点A (),3m -， 所以332m -=⨯， 所以m =-2，所以点A （-2，-3），因为点A 在()0k y k x=≠图象上， 所以()236k =-⨯-=， 因为32y x =与双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点， 所以点A 和点B 关于原点对称，所以点B (2，3)；（2）过点B ，C 分别作BE ①x 轴，CF ①x 轴，作B 关于y 轴对称点B’，连接B’C ，因为BE ①x 轴，CF ①x 轴，所以BE //CF ，所以BED CFD , 所以BE BD CF CD=， 因为2BC CD =， 所以31BE BD CF CD ==， 因为B （2，3），所以BE =3，所以CF =1，所以C 点纵坐标是1，将1C y =代入6y x=可得：x =6， 所以点C （6，1），又因为点B’是点B 关于y 轴对称的点，所以点B’（-2，3），所以B’C ==，即GB GC +的最小值是（3）解：①当点P 在x 轴上时，当①ABP =90°，四边形ABPQ 是矩形时，过点B 作BH ①x 轴，因为①OBP =90°，BH ①OP ,所以OHBBHP ，。
