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时间序列分析及其在金融领域中的应用时间序列分析是一种将时间顺序上的数据进行统计分析的方法。
在金融领域中，时间序列分析可以帮助我们理解经济周期、预测财务数据和金融市场价格走势等。
下面就来介绍时间序列分析及其在金融领域的应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列分析是一种以时间顺序排列的数据，通过对时间变量的观测来研究该变量的趋势、季节性等规律性变化。
常用的时间序列模型有AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型等。
其中AR模型是自回归模型，MA模型是滑动平均模型，ARMA模型是自回归滑动平均模型，ARIMA模型则是自回归差分滑动平均模型。
二、时间序列分析在金融领域中的应用1、理解经济周期时间序列分析可以用来研究经济周期，特别是短期经济周期的变化。
通过时间序列分析，我们可以对宏观经济数据（如GDP、通货膨胀率等）进行周期性分析，从而对经济变化的趋势有所了解，甚至可以提前预测股市走势等。
2、预测财务数据时间序列分析可以应用于股票价格、货币汇率、收益率的预测等。
例如，基于时间序列分析模型可以预测某公司的未来销售额、净利润等财务数据，从而帮助企业做出合理的决策。
3、金融市场价格走势预测时间序列分析可以用于股价、债券价格、货币汇率以及商品价格的预测。
在股市中，投资者可以利用时间序列分析模型来预测股票价格的走势，从而制定战略。
4、风险管理时间序列分析还可以用于风险管理领域。
如股票价格波动率的预测就是风险管理的重点之一。
我们可以预测未来股票价格的波动率，从而在投资过程中制定合理的风险控制政策。
三、时间序列分析的局限性虽然时间序列分析在金融领域中应用广泛，但其预测的准确性并不完美。
时间序列分析可以用于短期预测和周期性分析，但对于极端事件、突发事件等无法充分预测。
同时，时间序列分析也需要考虑时间跨度、数据采集质量、数据噪声等因素，这些因素都可能对预测结果产生影响。
结语时间序列分析虽然不能100%地预测未来，但它可以提供有价值的指导意见。
第1篇一、引言随着金融市场的快速发展，数据已成为金融行业的重要资产。
时序数据分析作为金融数据分析的核心方法之一，通过对金融时间序列数据的分析，可以帮助我们理解市场趋势、预测未来走势，从而为投资决策提供科学依据。
本报告旨在通过对某金融时间序列数据的分析，揭示市场规律，为投资者提供参考。
二、数据来源与处理1. 数据来源本报告所使用的数据来源于某金融交易所，包括股票、债券、期货等金融产品的历史价格、成交量、市场指数等数据。
数据时间跨度为过去五年，数据频率为每日。
2. 数据处理（1）数据清洗：对数据进行初步清洗，剔除异常值和缺失值。
（2）数据转换：将原始数据转换为适合时序分析的形式，如对数变换、标准化等。
（3）数据分割：将数据分为训练集和测试集，用于模型训练和验证。
三、时序分析方法本报告主要采用以下时序分析方法：1. 时间序列描述性分析通过对时间序列数据进行描述性统计分析，如均值、标准差、自相关系数等，了解数据的整体特征。
2. 时间序列平稳性检验使用ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验等方法，判断时间序列是否平稳，为后续建模提供基础。
3. 时间序列建模（1）ARIMA模型：根据时间序列的自相关性，构建ARIMA模型，对数据进行拟合和预测。
（2）SARIMA模型：在ARIMA模型的基础上，考虑季节性因素，构建SARIMA模型。
（3）LSTM模型：利用深度学习技术，构建LSTM模型，对时间序列数据进行预测。
四、结果与分析1. 时间序列描述性分析通过对股票价格、成交量等数据的描述性分析，我们发现：（1）股票价格波动较大，存在明显的周期性波动。
（2）成交量与价格波动存在正相关关系。
（3）市场指数波动相对平稳。
2. 时间序列平稳性检验通过ADF检验，我们发现股票价格、成交量等时间序列均为非平稳时间序列，需要进行差分处理。
3. 时间序列建模（1）ARIMA模型：根据自相关图和偏自相关图，确定ARIMA模型参数，对数据进行拟合和预测。
金融分析中的时间序列分析随着经济市场的不断发展壮大，金融市场中的各种数据和资讯也越来越丰富。
而在对金融市场进行投资、交易和风险管理等方面，时间序列分析便成了一个不可或缺的重要工具。
时间序列分析，简单来说就是一种以时间为变量的统计分析方法，将过去的趋势和规律作为未来预测的基础，为金融分析带来了更加准确和可靠的结果，而今天我们就来探讨一下：金融分析中的时间序列分析。
一、时间序列分析概述时间序列分析，也被称为趋势分析，是一种通过统计方法对时间序列数据进行研究分析的方法。
所谓时间序列，就是将同一现象在一定时期内的各种变动用具体的数值表示出来。
而在金融市场中，时间序列分析主要应用在股票、商品、外汇等价格趋势的分析中。
时间序列分析主要依据数据的统计特征、趋势性、季节性、周期性和随机性等来进行分析，其中时间序列模型是其中研究最常用的一种模型，它是建立在变量的历史数据上的一种预测模型，能够为金融分析人员提供更加精准的预测结果。
二、时间序列分析的应用1. 股票价格分析时间序列分析在分析股票价格变动方面非常常见，主要是通过对股票市场的历史数据进行逐一分析，确定出股票价格的波动规律，以及未来可能出现的价格趋势；同时，也能通过对经济形势的分析判断出股票市场变动的影响因素，帮助投资者制定更合理的投资策略。
2. 商品价格分析商品市场同样涉及到价格的问题，而通过时间序列分析方法，可以帮助统计员对商品价格进行监测和预测，以便在制定政策或对价格变动进行应对时有所依据。
3. 风险管理分析时间序列分析中也很常见的一项应用，就是对金融市场中的风险进行分析处理。
通过对历史数据的分析比较，我们能够发现金融市场可能产生的风险趋势或潜在的风险因素，并且在确定金融市场风险承受能力和风险评估标准的基础上，有效地控制和处理金融风险。
三、时间序列分析的方法1. 时间序列分解时间序列分解是一种分析方法，其中，时间序列被分解为趋势、季节、循环和随机成分，是分析市场波动规律的最基本的方法之一。
analysis of financial times series 中文版引言概述：金融时间序列分析是金融领域中重要的研究方向之一。
通过对金融时间序列的分析，可以揭示金融市场的规律和趋势，为投资决策提供依据。
本文将从五个大点出发，对金融时间序列分析进行详细阐述。
正文内容：1. 时间序列的基本概念1.1 时间序列的定义和特点时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点的集合。
它具有时间相关性和序列相关性的特点，可以用来描述金融市场中的价格、收益率、交易量等变量的变化情况。
1.2 时间序列的组成要素时间序列由趋势、季节性、周期性和随机波动等多个组成要素构成。
趋势是时间序列中的长期变化趋势，季节性是时间序列中的周期性变化，周期性是时间序列中的较长周期变化，而随机波动则是时间序列中的无规律变动。
1.3 时间序列的数据处理方法在进行金融时间序列分析之前，需要对数据进行处理。
数据处理方法包括平滑处理、差分处理、标准化处理等。
平滑处理可以去除数据中的噪音，差分处理可以消除趋势和季节性，标准化处理可以将数据转化为相对数值。
2. 时间序列模型2.1 自回归移动平均模型（ARMA）ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它将时间序列的当前值与过去的值和白噪声误差相关联。
ARMA模型可以用来预测时间序列的未来值，通过对模型参数的估计和模型拟合，可以得到较为准确的预测结果。
2.2 广义自回归条件异方差模型（GARCH）GARCH模型是一种用于描述时间序列波动性的模型，它考虑了波动性的异方差性。
GARCH模型可以用来对金融市场中的波动性进行建模，从而提供风险管理和投资决策的依据。
2.3 随机游走模型（Random Walk）随机游走模型是一种基于随机性的时间序列模型，它认为未来的价格变动是在过去价格的基础上随机波动的结果。
随机游走模型被广泛应用于金融市场中的股票价格预测和投资组合管理。
3. 时间序列分析方法3.1 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时间序列从时域转换到频域的方法，可以将时间序列分解为不同频率的成分。
时间序列分析在金融市场中的应用金融市场的波动是不可避免的，无论是股票市场、外汇市场还是商品市场，都会因为各种因素而产生波动。
如何对市场的波动进行预测和分析，是金融从业者一直关注的问题。
时间序列分析是一种较为常用的方法，本文将介绍时间序列分析在金融市场中的应用。
一、什么是时间序列分析？时间序列分析是一种通过对时间序列数据进行统计分析和建模，来预测未来变化趋势的方法。
时间序列数据指的是在一段时间内不断测量得到的一系列数据，如股票价格、汇率、商品价格等。
时间序列分析的方法包括趋势分析、季节性分析、周期性分析和随机性分析等。
二、1. 股票市场股票市场中，投资者最为关注的是股票价格走势的预测。
因此，时间序列分析常用于预测股票价格的走势。
首先，通过对历史数据进行趋势分析和季节性分析，得出股票价格长期走势和季节性波动的规律。
然后，通过建立时间序列模型，结合历史数据、宏观经济数据和市场情况等因素，来预测未来股票价格走势。
时间序列分析在股票市场中的应用还包括量化交易策略和风险控制等方面。
2. 外汇市场外汇市场中的汇率波动也是投资者关注的焦点之一。
时间序列分析在外汇市场中的应用较为广泛。
比如，通过对历史汇率数据的分析，可以找到汇率走势的规律和趋势，然后通过建立时间序列模型来对未来汇率的走势进行预测。
此外，时间序列分析在外汇交易策略的制定和交易风险控制等方面也有重要的应用。
3. 商品市场商品市场是一个非常波动的市场，因此对商品价格的预测也非常重要。
时间序列分析在商品市场中的应用广泛，比如通过对历史数据的趋势分析和周期性分析，可以对商品价格的长期走势和季节性波动进行预测。
然后，结合市场环境和供求情况等多方面因素，建立时间序列模型来对未来商品价格的走势进行预测。
时间序列分析在商品交易策略的制定和风险控制等方面也有着重要的作用。
三、时间序列分析的局限性时间序列分析虽然是一种常用的预测和分析方法，但也存在一些局限性。
首先，时间序列分析的结果仍然具有一定的随机性和不确定性，不能保证完全准确。
金融时间序列分析2篇金融时间序列分析（一）时间序列是指一组按时间顺序排列的数据。
在金融领域，时间序列分析常用于分析股票、货币、债券、商品等资产价格的变化规律。
本文将介绍金融时间序列分析的方法和应用。
一、时间序列分析的方法时间序列分析方法包括时间序列模型、时间序列分解、时间序列平稳性检验、时间序列预测等。
其中，时间序列模型是时间序列分析的核心部分，常用的模型包括ARMA、ARIMA、GARCH等。
ARMA模型是一种自回归移动平均模型，包括自回归项和移动平均项两部分。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上增加了差分项，可以处理非平稳时间序列。
GARCH模型是一种波动率模型，可以处理金融资产价格的波动性。
时间序列分解可以将时间序列分解成趋势、季节性和随机性三个部分，可以更好地理解时间序列的特点。
时间序列平稳性检验可以检验时间序列的平稳性，平稳性是很多时间序列模型的前提条件。
时间序列预测可以预测未来的时间序列值，是金融时间序列分析的一个重要应用。
二、时间序列分析的应用时间序列分析在金融领域有广泛应用，例如股票价格预测、外汇汇率波动分析、资产组合优化等。
下面以股票价格预测为例介绍时间序列分析在股票市场的应用。
股票价格是众多金融时间序列中最重要的一个。
时间序列分析对于股票价格预测有重要作用。
预测股票价格涨跌的方向可以帮助投资者制定合理的投资策略。
一种基本的股票价格预测方法是使用ARIMA模型。
ARIMA模型可以处理非平稳时间序列，更好地适用于股票价格预测。
通过建立ARIMA模型，可以对未来的股票价格进行预测。
同时，还可以使用时间序列分解方法，将股票价格分解成趋势、季节性和随机性三个部分，更好地理解和预测未来的股票价格变化趋势。
三、总结时间序列分析是金融领域中重要的一种分析方法。
时间序列模型、时间序列分解、时间序列平稳性检验、时间序列预测等是时间序列分析的基本方法。
时间序列分析在股票价格预测、外汇汇率波动分析、资产组合优化等方面有广泛应用。
统计学在金融市场中的时间序列分析方法金融市场中的时间序列分析是一种应用统计学方法来研究金融市场中历史数据的工具。
它帮助研究人员和投资者通过对历史数据的统计分析，预测未来市场价格和经济趋势。
本文将介绍一些常用的统计学在金融市场中的时间序列分析方法。
1. 平稳性检验平稳性是时间序列分析中的一个基本概念，一个序列在统计特性上是稳定的意味着它的均值、方差和协方差都是恒定的，不随时间的推移而发生变化。
平稳性检验一般采用单位根检验（unit root test），常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）和PP检验（Phillips-Perron test）。
通过这些检验可以确定时间序列数据是否是平稳的。
2. ARIMA模型ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的模型。
ARIMA模型是自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average）的简称。
它包括了自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。
通过对历史数据的观察和分析，可以找到适合的ARIMA模型来预测未来的价格和趋势。
3. GARCH模型GARCH模型是一种广泛应用于金融市场中的波动性建模的方法。
GARCH模型是广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoregressiveConditional Heteroskedasticity）的简称。
它通过对历史波动性的分析，建立条件异方差模型，从而更准确地预测未来的波动性。
GARCH模型常用于金融市场中的波动性预测和风险管理。
4. VAR模型VAR模型是向量自回归模型（Vector Autoregression）的简称，它是一种多变量时间序列分析方法。
VAR模型通过将多个变量同时纳入模型中，可以更准确地分析变量之间的相互关系和影响。
在金融市场中，VAR模型常用于分析不同金融资产之间的联动效应和市场风险。
如何进行金融市场的时间序列分析金融市场的时间序列分析是一种对金融数据进行统计分析和预测的方法。
它通过对金融市场的历史数据进行分析，找出其中的规律和趋势，以便判断未来的走势和风险。
本文将介绍金融市场时间序列分析的基本原理和方法，并提供相关实例。
一、时间序列分析的基本原理时间序列分析是基于时间上连续的一系列数据，需要从以下几个方面进行分析：1. 趋势分析：通过绘制时间序列图，观察数据的长期趋势，包括上升、下降或平稳趋势。
趋势分析能够帮助我们判断资产价格的未来发展趋势。
2. 季节性分析：考察数据是否存在季节性波动，例如某种商品在特定季节有较大的需求。
季节性分析可以帮助我们预测季节性市场的波动性。
3. 周期性分析：探索数据中是否存在周期性波动，例如长期经济周期或业务周期。
周期性分析可以帮助我们预测资产价格的长期涨跌。
4. 随机性分析：分析数据中存在的随机波动，包括噪声和突发事件。
随机性分析可以帮助我们了解市场中的风险和不确定性。
二、时间序列分析的方法时间序列分析有多种方法，下面介绍几种常用的方法：1. 移动平均法：通过计算一段时间内数据的平均值，以消除随机波动，更直观地反映趋势变化。
可以使用简单移动平均、加权移动平均等方法。
2. 指数平滑法：为了更加关注最新数据，给予较早数据较小的权重，采用指数平滑法。
指数平滑法可以用于预测和平滑时间序列数据。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）：将自回归模型和移动平均模型结合，进行时间序列的拟合和预测。
ARMA模型可以较好地解决不同时间间隔数据波动性不同的问题。
4. ARCH/GARCH模型：适用于分析金融市场中的波动性，特别是股票价格的波动。
ARCH/GARCH模型可以评估历史数据中的波动性，并预测未来的风险。
三、时间序列分析的实例以下是一个实例，以股票市场为例，展示了如何进行时间序列分析：假设我们想对某只股票进行时间序列分析，找出其趋势和周期性。
1. 收集该股票的历史数据，包括每日收盘价。
金融时间序列分析金融时间序列分析是金融领域中一种重要的统计方法，用于揭示金融市场数据中的规律和趋势。
本文将结合实例，从定义、应用、模型等方面进行介绍和分析。
一、引言金融时间序列分析是指对金融市场中的数据进行处理和分析，以便预测未来的价格走势和风险变动。
它是金融领域中的一种重要方法，通过对历史数据的分析，可以揭示市场的规律和趋势，为投资者和分析师提供决策依据。
二、应用领域金融时间序列分析广泛应用于金融市场的各个领域。
其中，股票市场是应用最为广泛的领域之一。
投资者通过对股票价格的时间序列数据进行分析，可以预测未来股价的走势，从而制定投资策略。
此外，外汇市场、期货市场等金融市场也是金融时间序列分析的应用领域。
三、基本概念1. 时间序列数据：金融市场数据按照时间顺序排列的一组数据。
2. 趋势分析：对时间序列中的趋势进行预测和分析，判断未来数据的变动方向。
3. 季节性分析：对时间序列中的季节性因素进行分析，揭示周期性的规律。
4. 波动性分析：对时间序列中的波动性进行分析，判断未来数据的变动幅度。
5. 预测模型：基于历史数据构建的数学模型，用于预测未来数据的走势和变动。
四、常用模型1. AR模型（自回归模型）：根据时间序列的过去值对当前值进行预测，通过计算自相关系数确定模型的阶数。
2. MA模型（移动平均模型）：根据时间序列的过去误差项对当前值进行预测，通过计算滞后误差项的自相关系数确定模型的阶数。
3. ARMA模型（自回归移动平均模型）：将AR模型和MA模型结合起来，既考虑历史值的影响，又考虑误差项的影响。
4. ARCH模型（自回归条件异方差模型）：考虑到金融市场的波动性通常呈现出异方差性，ARCH模型通过建立波动性的方程进行建模。
5. GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）：在ARCH模型的基础上引入滞后波动性等变量，对波动性进行建模。
五、实例分析以股票市场为例，对某只股票的价格数据进行分析。
首先，将时间序列数据进行图示，观察数据的走势和规律。
时间序列分析在金融领域中的应用首先，时间序列分析在金融领域中可以用于预测股票价格和市场指数。
通过对历史股价和市场指数数据进行分析，可以建立模型来预测未来的价格变动。
常用的预测模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARIMA）、广义自回归条件异方差模型（GARCH）等。
这些模型可以对数据进行趋势和季节性分析，从而预测股价和市场指数的未来走势。
其次，时间序列分析在金融领域中可以用于衡量风险。
金融市场中的风险分析对于投资者和金融机构非常重要。
通过对历史数据进行时间序列分析，可以计算出资产的风险价值，比如价值at risk（VaR）和条件价值at risk（CVaR）。
VaR是指在给定置信水平下，投资组合在未来一些时间段内的最大可能亏损金额。
CVaR是指在VaR超过置信水平的情况下，投资组合亏损金额的条件期望。
这些指标可以帮助投资者识别潜在风险并制定相应的对冲策略。
此外，时间序列分析还可以用于金融市场的交易策略。
通过对历史数据进行时间序列分析，可以识别出一些规律和模式，从而制定投资策略。
例如，可以利用移动平均线或者相对强弱指标来判断买入和卖出的时机。
同时，时间序列分析还可以用于构建一些技术指标，比如布林带、相对强弱指数等，帮助投资者识别股票的超买和超卖信号。
这些技术指标是金融市场上常用的交易工具之一此外，时间序列分析还可以用于金融市场的事件研究。
事件研究是通过对特定事件和金融市场的反应进行时间序列分析，来评估该事件对市场产生的影响。
通过研究事件的影响，投资者可以更好地理解市场行为和市场的反应机制，在投资决策中更加准确地估计风险和收益。
总结起来，时间序列分析在金融领域中的应用非常广泛，包括预测股票价格和市场指数、衡量风险、制定交易策略以及进行事件研究。
通过运用时间序列分析的方法和技术，金融机构、投资者和决策者可以更好地理解金融市场的行为，提高投资决策的准确性和效率，降低投资风险。
Lecture Notes of Bus41202(Spring2010)Analysis of Financial Time SeriesRuey S.TsaySimple AR models:(Regression with lagged variables.) Motivating example:The growth rate of U.S.quarterly real GNP from1947to1991.Recall that the model discussed before isr t=0.005+0.35r t−1+0.18r t−2−0.14r t−3+a t,ˆσa=0.01.This is called an AR(3)model because the growth rate r t depends on the growth rates of the past three quarters.How do we specify this model from the data?Is it adequate for the data?What are the implications of the model?These are the questions we shall address in this lecture.Another example:U.S.monthly unemployment rate.AR(1)model:1.Form:r t=φ0+φ1r t−1+a t,whereφ0andφ1are real numbers,which are referred to as“parameters”(to be estimated from the data in an application).For example,r t=0.005+0.2r t−1+a t2.Stationarity:necessary and sufficient condition|φ1|<1.Why?3.Mean:E(r t)=φ01−φ1Timeg n p19501960197019801990−0.02−0.010.000.010.020.030.04U.S. quarterly real GNP growth rate: 1947.II to 1991.IFigure 1:U.S.quarterly growth rate of real GNP:1947-19914.Alternative representation:Let E (r t )=µbe the mean of r t so that µ=φ0/(1−φ1).Equivalently,φ0=µ(1−φ1).Plugging in the model,we have(r t −µ)=φ1(r t −1−µ)+a t .(1)This model also has two parameters (µand φ1).It explicitly uses the mean of the series.It is less commonly used in the literature,but is the model representation used in R.5.Variance:Var(r t )=σ2a 1−φ21.6.Autocorrelations:ρ1=φ1,ρ2=φ21,etc.In general,ρk =φk1and ACF ρk decays exponentially as k increases,Timey19501960197019801990200020104681U.S. monthly unemployment rate 1948.1 to 2010.2Figure 2:U.S.monthly unemployment rate (total civilian,16and older)from January 1948to February 20107.Forecast(minimum squared error):Suppose the forecast origin is n.For simplicity,we shall use the model representation in(1) and write x t=r t−µ.The model then becomes x t=φ1x t−1+a t. Note that forecast of r t is simply the forecast of x t plusµ.(a)1-step ahead forecast at time n:ˆx n(1)=φ1x n(b)1-step ahead forecast error:e n(1)=x n+1−ˆx n(1)=a n+1Thus,a n+1is the un-predictable part of x n+1.It is the shock at time n+1!(c)Variance of1-step ahead forecast error:Var[e n(1)]=Var(a n+1)=σ2a.(d)2-step ahead forecast:ˆx n(2)=φ1ˆx n(1)=φ21x n.(e)2-step ahead forecast error:e n(2)=x n+2−ˆx n(2)=a n+2+φ1a n+1(f)Variance of2-step ahead forecast error:Var[e n(2)]=(1+φ21)σ2awhich is greater than or equal to Var[e n(1)],implying that uncertainty in forecasts increases as the number of steps in-creases.(g)Behavior of multi-step ahead forecasts.In general,for the-step ahead forecast at n,we haveˆx n( )=φ 1x n,the forecast errore n( )=a n+ +φ1a n+ −1+···+φ −11a n+1,and the variance of forecast errorVar[e n( )]=(1+φ21+···+φ2( −1)1)σ2a.In particular,as →∞,ˆx n( )→0,i.e.,ˆr n( )→µ.This is called the mean-reversion of the AR(1)process.The variance of forecast error approachesVar[e n( )]=11−φ21σ2a=Var(r t).In practice,it means that for the long-term forecasts serialdependence is not important.The forecast is just the samplemean and the uncertainty is simply the uncertainty about theseries.8.A compact form:(1−φ1B)r t=φ0+a t.Half-life:A common way to quantify the speed of mean reversion is the half-life,which is defined as the number of periods needed sothat the magnitude of the forecast becomes half of that of the forecast origin.For an AR(1)model,this meanx n (k )=12x n .Thus,φk 1x n =12x n .Consequently,the half-life of the AR(1)modelis k =ln(0.5)ln(|φ1|).For example,if φ1=0.5,the k =1.If φ1=0.9,thenk ≈6.58.AR(2)model:1.Form:r t =φ0+φ1r t −1+φ2r t −2+a t ,or(1−φ1B −φ2B 2)r t =φ0+a t .2.Stationarity condition:(factor of polynomial)3.Characteristic equation:(1−φ1x −φ2x 2)=04.Mean:E (r t )=φ01−φ1−φ25.ACF:ρ0=1,ρ1=φ11−φ2,ρ =φ1ρ −1+φ2ρ −1,≥2.6.Stochastic business cycle:if φ21+4φ2<0,then r t shows char-acteristics of business cycles with average lengthk =2πcos −1[φ1/(2√−φ2)],where the cosine inverse is stated in radian.If we denote thesolutions of the polynomial as a ±bi ,where i =√−1,then wehaveφ1=2a andφ2=−(a2+b2)so thatk=2πcos−1(a/√a2+b2).In R or S-Plus,one can obtain √a2+b2using the commandMod.7.Forecasts:Similar to AR(1)modelsSimulation in R:Use the command arima.sim1.y1=arima.sim(model=list(ar=c(1.3,-.4)),1000)2.y2=arima.sim(model=list(ar=c(.8,-.7)),1000) Check the ACF and PACF of the above two simulated series. Building an AR model•Order specification1.Partial ACF:(naive,but effective)–Use consecutivefittings–See Text(p.40)for details–Key feature:PACF cuts offat lag p for an AR(p)model.–Illustration:See the PACF of the U.S.quarterly growthrate of GNP.2.Akaike information criterionAIC( )=ln(˜σ2 )+2 T ,for an AR( )model,where˜σ2 is the MLE of residual vari-ance.Find the AR order with minimum AIC for ∈[0,···,P].3.BIC criterion:BIC( )=ln(˜σ2 )+ ln(T) T.•Needs a constant term?Check the sample mean.•Estimation:least squares method or maximum likelihood method •Model checking:1.Residual:obs minus thefit,i.e.1-step ahead forecast errorsat each time point.2.Residual should be close to white noise if the model is ade-e Ljung-Box statistics of residuals,but degrees offreedom is m−g,where g is the number of AR coefficientsused in the model.Example:Analysis of U.S.GNP growth rate series.R demonstration:>setwd("C:/Users/rst/teaching/bs41202/sp2010")>library(fBasics)>da=read.table("dgnp82.dat")>x=da[,1]>par(mfcol=c(2,2))%put4plots on a page>plot(x,type=’l’)%first plot>plot(x[1:175],x[2:176])%2nd plot>plot(x[1:174],x[3:176])%3rd plot>acf(x,lag=12)%4th plot>pacf(x,lag.max=12)%Compute PACF(not shown in this handout)>Box.test(x,lag=10,type=’Ljung’)%Compute Q(10)statistics Box-Ljung testdata:xX-squared=43.2345,df=10,p-value=4.515e-06>m1=ar(x,method=’mle’)%Automatic AR fitting using AIC criterion. >m1Call:ar(x=x,method="mle")Coefficients:123%An AR(3)is specified.0.34800.1793-0.1423Order selected3sigma^2estimated as9.427e-05>names(m1)[1]"order""ar""var.pred""x.mean""aic" [6]"ed""order.max""partialacf""resid""method"[11]"series""frequency""call""asy.var.coef">plot(m1$resid,type=’l’)%Plot residuals of the fitted model(not shown) >Box.test(m1$resid,lag=10,type=’Ljung’)%Model checkingBox-Ljung testdata:m1$residX-squared=7.0808,df=10,p-value=0.7178>m2=arima(x,order=c(3,0,0))%Another approach with order given.>m2Call:arima(x=x,order=c(3,0,0))Coefficients:ar1ar2ar3intercept%Fitted model is0.34800.1793-0.14230.0077%y(t)=0.348y(t-1)+0.179y(t-2) s.e.0.07450.07780.07450.0012%-0.142y(t-3)+a(t),%where y(t)=x(t)-0.0077sigma^2estimated as9.427e-05:log likelihood=565.84,aic=-1121.68 >names(m2)[1]"coef""sigma2""var.coef""mask""loglik""aic" [7]"arma""residuals""call""series""code""n.cond"[13]"model">Box.test(m2$residuals,lag=10,type=’Ljung’)Box-Ljung testdata:m2$residualsX-squared=7.0169,df=10,p-value=0.7239>plot(m2$residuals,type=’l’)%Residual plot>tsdiag(m2)%obtain3plots of model checking(not shown in handout).>>p1=c(1,-m2$coef[1:3])%Further analysis of the fitted model.>roots=polyroot(p1)>roots[1] 1.590253+1.063882e+00i-1.920152-3.530887e-17i 1.590253-1.063882e+00i>Mod(roots)[1]1.9133081.9201521.913308>k=2*pi/acos(1.590253/1.913308)>k[1]10.65638>predict(m2,8)%Prediction1-step to8-step ahead.$predTime Series:Start=177End=184Frequency=1[1]0.0012362540.0045555190.0074549060.007958518[5]0.0081814420.0079368450.0078200460.007703826$seTime Series:Start=177End=184Frequency=1[1]0.0097093220.010*******.010*******.010688994[5]0.010*******.010*******.010*******.010696190Another example:Monthly U.S.unemployment rate from Jan-uary1948to February2010.Demonstration:in class,including the R scripts fore,foreplot, and backtest.>source(‘‘fore.R’’)>source(‘‘foreplot.R’’)>source(‘‘backtest.R’’)>x=read.table("m-unrate.txt",header=T)>dim(x)[1]7464>head(x)Mon Day Year VALUE1111948 3.42211948 3.83311948 4.04411948 3.95511948 3.56611948 3.6>y=x$VALUE>plot(y)>y1=ts(y,frequency=12,start=c(1948,1))>plot(y1)>acf(diff(y))>m1=ar(diff(y),method=’mle’)>m1Call:ar(x=diff(y),method="mle")Coefficients:123456780.01000.22540.15910.10000.1274-0.0034-0.03220.008191011120.0015-0.10540.0223-0.1208Order selected12sigma^2estimated as0.03849>length(y)[1]746>t.test(diff(y))One Sample t-testdata:diff(y)t=1.0673,df=744,p-value=0.2862alternative hypothesis:true mean is not equal to095percent confidence interval:-0.0070982570.024011008sample estimates:mean of x0.008456376>m1=arima(y,order=c(12,1,0))>m1Call:arima(x=y,order=c(12,1,0))Coefficients:ar1ar2ar3ar4ar5ar6ar7ar8ar90.01050.22590.15940.10040.1276-0.0032-0.03210.00840.0018 s.e.0.03650.03660.03730.03790.03810.03840.03840.03830.0381ar10ar11ar12-0.10510.0226-0.1206s.e.0.03760.03690.0369sigma^2estimated as0.03851:log likelihood=155.65,aic=-285.29>tsdiag(m1,gof=24)>m2=arima(y,order=c(2,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12))>m2Call:arima(x=y,order=c(2,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12)) Coefficients:ar1ar2ma1sar1sma10.57930.2467-0.58070.5624-0.8199s.e.0.06220.03950.05750.07330.0536sigma^2estimated as0.03715:log likelihood=167.76,aic=-323.53>tsdiag(m2,gof=24)>p2=fore(m2,y,740,6)Time Series:Start=741End=746Frequency=1[1]9.7831779.8410139.8648439.7974719.8199089.802541Time Series:Start=741End=746Frequency=1[1]0.19288600.27282860.36345510.45141650.53947100.6263706>foreplot(p2,y,740,720)>p1=fore(m1,y,740,6)Time Series:Start=741End=746Frequency=1[1]9.7354539.7550069.7512179.6593909.6393419.545857Time Series:Start=741End=746Frequency=1[1]0.19637340.27921720.36979860.46142790.55377860.6530188>foreplot(p1,y,740,720)>>backtest(m1,y,740,1)[1]"RMSE of out-of-sample forecasts"[1]0.181902>backtest(m2,y,740,1)[1]"RMSE of out-of-sample forecasts"[1]0.1752202>backtest(m1,y,720,1)[1]"RMSE of out-of-sample forecasts"[1]0.2149663>backtest(m2,y,720,1)[1]"RMSE of out-of-sample forecasts"[1]0.2048295Moving-average(MA)modelModel withfinite memory!Some daily stock returns have minor serial correlations and can be modeled as MA or AR models.MA(1)model•Form:r t=µ+a t−θa t−1•Stationarity:always stationary.•Mean(or expectation):E(r t)=µ•Variance:Var(r t)=(1+θ2)σ2a.•Autocovariance:g1:Cov(r t,r t−1)=−θσ2ag :Cov(r t,r t− )=0for >1.Thus,r t is not related to r t−2,r t−3,···.•ACF:ρ1=−θ,ρ =0for >1.1+θ2Finite memory!MA(1)models do not remember what happen two time periods ago.•Forecast(at origin t=n):1.1-step ahead:ˆr n(1)=µ−θa n.Why?Because at time n,a n is known,but a n+1is not.2.1-step ahead forecast error:e n(1)=a n+1with varianceσ2a.3.Multi-step ahead:ˆr n( )=µfor >1.Thus,for an MA(1)model,the multi-step ahead forecasts are just the mean of the series.Why?Because the model has memory of1time period.4.Multi-step ahead forecast error:e n( )=a n+ −θa n+ −15.Variance of multi-step ahead forecast error:(1+θ2)σ2a=variance of r t.•Invertibility:–Concept:r t is a proper linear combination of a t and the past observations{r t−1,r t−2,···}.–Why is it important?It provides a simple way to obtain the shock a t.For an invertible model,the dependence of r t on r t− con-verges to zero as increases.–Condition:|θ|<1.–Invertibility of MA models is the dual property of stationarityfor AR models.MA(2)model•Form:r t=µ+a t−θ1a t−1−θ2a t−2.orr t=µ+(1−θ1B−θ2B2)a t.•Stationary with E(r t)=µ.•Variance:Var(r t)=(1+θ21+θ22)σ2a.•ACF:ρ2=0,butρ =0for >2.•Forecasts go the the mean after2periods.Building an MA model•Specification:Use sample ACFSample ACFs are all small after lag q for an MA(q)series.(See test of ACF.)•Constant term?Check the sample mean.•Estimation:use maximum likelihood method–Conditional:Assume a t=0for t≤0–Exact:Treat a t with t≤0as parameters,estimate them toobtain the likelihood function.Exact method is preferred,but it is more computing intensive.•Model checking:examine residuals(to be white noise)•Forecast:use the residuals as{a t}(which can be obtained from the data andfitted parameters)to perform forecasts.Model form in R:R parameterizes the MA(q)model asr t=µ+a t+θ1a t−1+···+θq a t−q,instead of the usual minus sign inθ.Consequently,care needs to be exercised in writing down afitted MA parameter in R.For instance, an estimateˆθ1=−0.5of an MA(1)in R indicates the model is r t=a t−0.5a t−1.Example:Daily log return of the value-weighted indexR demonstration>setwd("C:/Users/rst/teaching/bs41202/sp2010")>library(fBasics)>da=read.table("d-ibmvwew6202.txt")>dim(da)[1]101944>vw=log(1+da[,3])*100%Compute percentage log returns of the vw index.>acf(vw,lag.max=10)%ACF plot is not shon in this handout.>m1=arima(vw,order=c(0,0,1))%fits an MA(1)model>m1Call:arima(x=vw,order=c(0,0,1))Coefficients:ma1intercept0.14650.0396%The model is vw(t)=0.0396+a(t)+0.1465a(t-1).s.e.0.00990.0100sigma^2estimated as0.7785:log likelihood=-13188.48,aic=26382.96>tsdiag(m1)>predict(m1,5)$predTime Series:Start=10195End=10199Frequency=1[1]0.050362980.039608870.039608870.039608870.03960887$seTime Series:Start=10195End=10199Frequency=1[1]0.88232900.89175230.89175230.89175230.8917523Mixed ARMA model:A compact form forflexible models. Focus on the ARMA(1,1)model for1.simplicityeful for understanding GARCH models in Ch.3for volatilitymodeling.ARMA(1,1)model•Form:(1−φ1B)r t=φ0+(1−θB)a t orr t=φ1r t−1+φ0+a t−θ1a t−1.A combination of an AR(1)on the LHS and an MA(1)on theRHS.•Stationarity:same as AR(1)•Invertibility:same as MA(1)•Mean:as AR(1),i.e.E(r t)=φ01−φ1•Variance:given in the text•ACF:Satisfiesρk=φ1ρk−1for k>1,butρ1=φ1−[θ1σ2a/Var(r t)]=φ1.This is the difference between AR(1)and ARMA(1,1)models.•PACF:does not cut offatfinite lags.Building an ARMA(1,1)model•Specification:use EACF or AIC•What is EACF?How to use it?[See text].•Estimation:cond.or exact likelihood method•Model checking:as before•Forecast:MA(1)affects the1-step ahead forecast.Others are similar to those of AR(1)models.Three model representations:•ARMA form:compact,useful in estimation and forecasting•AR representation:(by long division)r t=φ0+a t+π1r t−1+π2r t−2+···It tells how r t depends on its past values.•MA representation:(by long division)r t=µ+a t+ψ1a t−1+ψ2a t−2+···It tells how r t depends on the past shocks.For a stationary series,ψi converges to zero as i→∞.Thus,the effect of any shock is transitory.The MA representation is particularly useful in computing variances of forecast errors.For a -step ahead forecast,the forecast error ise n( )=a n+ +ψ1a n+ −1+···+ψ −1a n+1.The variance of forecast error isVar[e n( )]=(1+ψ21+···+ψ2 −1)σ2a.Unit-root NonstationarityRandom walk•Form p t=p t−1+a t•Unit root?It is an AR(1)model with coefficientφ1=1.•Nonstationary:Why?Because the variance of r t diverges to infinity as t increases.•Strong memory:sample ACF approaches1for anyfinite lag.•Repeated substitution showsp t=∞i=0a t−i=∞i=0ψi a t−iwhereψi=1for all i.Thus,ψi does not converge to zero.The effect of any shock is permanent.Random walk with drift•Form:p t=µ+p t−1+a t,µ=0.•Has a unit root•Nonstationary•Strong memory•Has a time trend with slopeµ.Why?differencing•1st difference:r t=p t−p t−1If p t is the log price,then the1st difference is simply the log return.Typically,1st difference means the“change”or“incre-ment”of the original series.•Seasonal difference:y t=p t−p t−s,where s is the periodicity,e.g.s=4for quarterly series and s=12for monthly series.If p t denotes quarterly earnings,then y t is the change in earning from the same quarter one year before.Meaning of the constant term in a model•MA model:mean•AR model:related to mean•1st differenced:time slope,etc.Practical implication infinancial time seriesExample:Monthly log returns of General Electrics(GE)from1926 to1999(74years)Sample mean:1.04%,std(ˆµ)=0.26Very significant!is about12.45%a year$1investment in the beginning of1926is worth•annual compounded payment:$5907•quarterly compounded payment:$8720•monthly compounded payment:$9570•Continuously compounded?Unit-root testLet p t be the log price of an asset.To test that p t is not predictable (i.e.has a unit root),two models are commonly employed:p t=φ1p t−1+e tp t=φ0+φ1p t−1+e t.The hypothesis of interest is H o:φ1=1vs H a:φ1<1.Dickey-Fuller test is the usual t-ratio of the OLS estimate ofφ1being 1.This is the DF unit-root test.The t-ratio,however,has a non-standard limiting distribution.Let∆p t=p t−p t−1.Then,the augmented DF unit-root test for an AR(p)model is based on∆p t=c t+βp t−1+p−1i=1φi∆p t−i+e t.The t-ratio of the OLS estimate ofβis the ADF unit-root test statis-tic.Again,the statistic has a non-standard limiting distribution. Example:Consider the log series of U.S.quaterly real GDP se-ries from1947.I to2009.IV.(data from Federal Reserve Bank of St. Louis).See q-gdpc96.txt on the course web.R demonstration>library(fUnitRoots)>help(UnitrootTests)%See the tests available>da=read.table(‘‘q-gdpc96.txt’’,header=T)>gdp=log(da[,4])>adfTest(gdp,lag=4,type=c("c"))#Assume an AR(4)model for the series.Title:Augmented Dickey-Fuller TestTest Results:PARAMETER:Lag Order:4STATISTIC:Dickey-Fuller:-1.7433P VALUE:0.4076#cannot reject the null hypothesis of a unit root.***A more careful analysis>x=diff(gdp)>ord=ar(x)#identify an AR model for the differenced series.>ordCall:ar(x=x)Coefficients:1230.34290.1238-0.1226Order selected3sigma^2estimated as8.522e-05>#An AR(3)for the differenced data is confirmed.#Our previous analysis is justified.Discussion:The command arima on R.1.dealing with the constant term.If there is any differencing,noconstant is used.2.fixing some e subcommand fixed in arima.S-Plus demonstration>da=read.table("q-gdp05.txt")>dim(da)[1]2364>plot(da[,4],type=’l’)>module(finmetrics)>gdp=log(da[,4])>plot(gdp,type=’l’)>x=diff(gdp)%take the first difference>ord=ar(x)>ord$order:[1]4>adf=unitroot(gdp,trend=’c’,lags=5,method=’adf’)>adfTest for Unit Root:Augmented DF TestNull Hypothesis:there is a unit rootType of Test:t-testTest Statistic:-1.12P-value:0.7083Coefficients:lag1lag2lag3lag4lag5constant-0.00120.29540.1358-0.0864-0.11080.0168Degrees of freedom:231total;225residualResidual standard error:0.009283S-Plus demonstration>module(finmetrics)>gnp=scan(file=’dgnp82.dat’)>plot(gnp,type=’l’)>acf(gnp,lag.max=12)Call:acf(x=gnp,lag.max=12)%Plot not shown in the handout. Autocorrelation matrix:lag gnp10 1.0000210.3769320.2539430.012554-0.085965-0.107176-0.057587-0.018298-0.0772109-0.070211100.01041211-0.02301312-0.0967>acf(gnp,lag.max=12,type=’partial’)%Compute PACFCall:acf(x=gnp,lag.max=12,type="partial")Partial Correlation matrix:lag gnp110.3769220.130433-0.142144-0.098855-0.0199660.0325770.012088-0.110699-0.041510100.09811111-0.03701212-0.1533>ord=ar(gnp,order.max=10)%Perform order selection via AIC>ord$aic[1]27.5691310 2.6081086 1.58955500.00000000.2734771 2.2034466[7] 4.0171066 5.9916210 5.82648337.52300257.8223499>ord$order[1]3>m1=arima.mle(gnp,model=list(order=c(3,0,0)))%This fit misses the mean.>summary(m1)Call:arima.mle(x=gnp,model=list(order=c(3,0,0)))Method:Maximum Likelihood with likelihood conditional on3observationsARIMA order:300Value Std.Error t-value%No intercept because the program assumes it is zero. ar(1)0.454200.07597 5.9780ar(2)0.266800.08095 3.2960ar(3)-0.038170.07597-0.5024Variance-Covariance Matrix:ar(1)ar(2)ar(3)ar(1)0.005771926-0.002566306-0.001441892ar(2)-0.0025663060.006552753-0.002566306ar(3)-0.001441892-0.0025663060.005771926Estimated innovations variance:0.0001Optimizer has convergedConvergence Type:relative function convergenceAIC:-1085.0397>x=gnp-mean(gnp)%Remove sample mean.>m1=arima.mle(x,model=list(order=c(3,0,0)))>summary(m1)Call:arima.mle(x=x,model=list(order=c(3,0,0)))Method:Maximum Likelihood with likelihood conditional on3observationsARIMA order:300Value Std.Error t-valuear(1)0.35090.07523 4.664%Fitted model isar(2)0.18090.07863 2.301%x(t)=0.351x(t-1)+0.181x(t-2)-0.144x(t-3)+a(t). ar(3)-0.14430.07523-1.919Variance-Covariance Matrix:ar(1)ar(2)ar(3)ar(1)0.0056599161-0.001877448-0.0007529176ar(2)-0.00187744800.006182526-0.0018774480ar(3)-0.0007529176-0.0018774480.0056599161Estimated innovations variance:0.0001Optimizer has convergedConvergence Type:relative function convergenceAIC:-1104.1574>names(m1)[1]"model""var.coef""method""series""aic"[6]"loglik""sigma2""ed""n.cond""converged"[11]"conv.type""call">names(m1$model)[1]"order""ar""ndiff">m1$model$ar[1]0.35091070.1809056-0.1443412>>arima.diag(m1)%Model checking,plots not shown.>p1=c(1,-m1$model$ar)%Further analysis of the fitted model. >roots=polyroot(p1)>roots[1] 1.582837+1.057071e+000i-1.912355-6.609277e-017i[3] 1.582837-1.057071e+000i>Mod(roots)[1]1.9033591.9123551.903359>k=2*pi/acos(1.582837/1.903359)>k[1]10.67098>>arima.forecast(x,m1$model,8)%prediction$mean:[1]-0.00651901645-0.00317061250-0.000236329850.00028445018 [5]0.000514713150.000266189120.000145465240.00002490612 $std.err:[1]0.0097793140.010*******.010*******.010*******.010785783 [6]0.010*******.010*******.010792592S-Plus demonstration>vw=d6202[,3]%Identify the vw-index returns.>lnvw=log(1+vw)%compute log returns.>acf(lnvw,lag.max=10)%ACF plot i snot shown in this handout. Call:acf(x=lnvw,lag.max=10)Autocorrelation matrix:lag lnvw10 1.0000210.140232-0.012043-0.0027540.0029650.007576-0.014987-0.006698-0.0034109-0.00851110-0.0074>length(lnvw)[1]10194>x1=rep(1,10194)%Create a constant to handle non-zero mean>m1=arima.mle(lnvw,xreg=x1,model=list(order=c(0,0,1)))>summary(m1)Call:arima.mle(x=lnvw,model=list(order=c(0,0,1)),xreg=x1) Method:Maximum Likelihood with likelihood conditional on0observationsARIMA order:001Value Std.Error t-valuema(1)-0.14650000.009797-14.96x10.0003962NA NA%Model is vw=.000396+a(t)+0.1465a(t-1) Variance-Covariance Matrix:ma(1)ma(1)0.00009599039Estimated innovations variance:0.0001Optimizer has convergedConvergence Type:relative function convergenceAIC:-67509.2476>arima.diag(m1)%Plots not shown in this handout.>arima.forecast(lnvw,model=m1$model,6)$mean:[1]0.00015816540.00000000000.00000000000.00000000000.0000000000[6]0.0000000000%Need to add the constant0.000396to the forecast. $std.err:[1]0.0088300560.0089243610.0089243610.0089243610.008924361[6]0.008924361。
