高中物理中微积分思想

高中物理教学中的微积分作者：丁丹华邱国民来源：《科教导刊·电子版》2017年第07期摘要微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，教师在物理学科教学中渗透微积分的思想，有助于学生理解高中物理的很多知识，它能大幅提高学生的科学素养，更好地把握物理的本源。

关键词高中物理微积分科学素养微积分是现代物理的基石，自牛顿和莱布尼茨以来，根据前人的经验，总结出微积分的基本定理后，物理学有了长足的进步，一系列重大发现基本上都或多或少建立在微积分这块基石上。

微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，很多优质高中将微积分作为选修课列入课程体系，供学习潜力较大的学生选择，这既对学生更好地理解高中物理规律很有帮助，也对学生将来步入大学理工科打了基础。

1问题引入：加速度、速度与位移间的关系一般来说，中学生第一次接触到微积分是在运动学的时候，老师会带领学生仔细分辨v-t、a-t、s-t图像的区别。

如图1-1，v-t图象，对于一个速度在不断变化的运动过程，会将这个过程肢解成无数多个匀速运动叠加的成果，在某个小dt内当作匀速运动，求出图中所有小矩形的面积，也就是t=t0与t轴和图象包围的面积，作为位移。

这是潜意识中第一次接触积分时的景象。

而将每个dt内变化的dv连成一个的函数，我们也就得到了斜率的微分意义。

所以，小小的速度片断通过时间的积累便成了位移：ds=v€I6dt同理：小小的加速度片断也可由时间的积累便成了速度：dv=a€I6dt因此便得出了最简单且最伟大的运动学微分公式： =v和=a 。

它们在运动学上和谐统一，通过解微分方程，可以几乎胜任一切涉及到牛二定律的问题。

接下来，我们把它们进行推广应用到研究物体运动的情景，通常将之视为理想情况，而实际上还有空气阻力。

2更进一步：探索变力做功微积分在物理中最伟大的贡献是提供了优良的解题方法。

由以上的分析，对于变力做的功可以表示为如图2-1中，点电荷A（+q电量）位于r轴的原点O处，如有一个单位正电荷B从离O 相距为a处移动到b处，求电场力做的功。

微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。

比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。

微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。

微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。

用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。

所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。

如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。

对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。

例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。

我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。

例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。

中学物理中的微积分作者：范瑜来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第4期云南昭通市实验中学（657000）范瑜微积分已经进入高中数学课本，而中学物理教学一直把数学工具的使用列为重点之一。

由此可见，在某些合适的场合将微积分用于物理问题的分析和解决应该是顺理成章之事。

牛顿是将物理和数学完美结合的典范。

牛顿本是一个物理学家，但是，天体之间的引力给他提出了绕不开的难题，而当时所有的数学方法都不能帮助他解决这一难题，于是他只好自创数学方法——微积分。

由此可见，就是作为一个顶尖级的数学家，牛顿也是当之无愧的。

虽然绝大部分人成不了牛顿，但这并不妨碍我们向牛顿学习。

只要在各门科学之间打开足够的通道，整个科学世界也就完全统一起来了。

下面就微积分在物理上的运用举例说明，以期起到抛砖引玉的作用。

【例1】一个物体以速度v=3t2+2t(m/s)做直线运动，试计算这个物体在t1=2s到t2=5s的时间内的平均速度。

解析：初看题目，有人可能会误认为物体做匀变速直线运动，并且认为v0=2m/s,a=6m/s2。

其实，物体是做变加速直线运动。

显然初等数学对此问题是无能为力的，我们只好求助于积分法。

这个问题让我们初步看到微积分在解决某些物理问题方面确有独到之处。

【例2】如图1所示，真空中有一点电荷+Q,在+Q形成的“发散型”电场中，我们不妨规定无穷远处的电势能为零（当然电势也就为零）。

求试探电荷+q从电场中的M点（与+Q相距R）移到无穷远处的过程中，电场力所做的功。

解析：电荷+q从电场中的M点（与+Q相距R）移到无穷远处的过程中，电场力所做的功可用积分法求解。

按照电势能的定义，电荷+q在M点所具有的电势能等于，按照电势的定义，M点的电势等于观察比较表达式的特点，很容易记住三个表达式：①库仑力FQq=kQq/R2；②电势能EQq=kQq/R；③电势φM=kQ/R。

电势是一个很抽象的概念，学生不容易理解。

通过教师的推导，可以增强“实在性”和“可感性”，从而增加了抽象概念的“可信度”，对培养学生唯物主义思想观念有所帮助，还可以避免学生对抽象概念的死记硬背和生搬硬套。

更高更妙的高中物理思想与方法pdf《更高更妙的高中物理思想与方法》是一本非常优秀的高中物理教材，它不仅充分展示了高中物理知识和思想的内在联系和逻辑性，而且充分体现了现代学科交叉和前沿性的特征。

以下是这本书中涉及到的一些重要的物理思想和方法：一、矢量分析矢量分析是高中物理中非常重要的一部分。

通过矢量分析，可以将物理量表示成矢量的形式，进而方便地进行运算和推导。

在本书中，作者采用了较为简洁而又实用的向量符号表示法，使读者能够更加清晰地理解和掌握矢量分析的基本概念和运算方法。

二、微积分思想微积分在物理学中具有非常广泛的应用。

本书中提到了许多和微积分相关的物理概念和方法，如曲线的切线和法线、导数和微分、积分和面积等。

通过学习这些概念和方法，读者可以更加深入地掌握物理学中的数学思想，同时也能更好地理解物理现象和规律。

三、场的概念在物理学中，场是描述物质相互作用的一种基本概念。

本书中介绍了电场、磁场和重力场等不同类型的场，并详细讨论了它们的特性和作用。

通过对场的研究，在很多领域中可以更好地解释和预测物质的运动和行为。

四、相对论相对论是物理学中的重要分支之一，它提出了一系列新颖并且具有挑战性的概念和方法。

本书中详细介绍了相对论的基本思想和公式，并通过许多实例和应用来说明其重要性和实用价值。

通过学习相对论，读者不仅可以更好地理解物理学中的相对性原理，而且也能更好地把握现代物理学中的前沿领域。

五、量子力学量子力学是现代物理学中的又一个重要分支，它提出了一些与经典物理学不同的概念和方法。

本书中介绍了量子力学中的一些基本概念，如波粒二象性、不确定性原理、量子隧穿效应等，并通过许多实例和应用来说明其重要性和实用价值。

通过学习量子力学，读者可以更深入地了解物理学中的概率性和不确定性，同时也能更好地把握现代物理学中的前沿领域。

总之，本书介绍的物理思想和方法非常广泛，覆盖了物理学中的许多领域和热点，同时也展示了物理学中的内在联系和逻辑性。

121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。

本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。

数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。

运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。

1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。

但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。

（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。

（2）判断猎犬能否追上狐狸。

这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。

而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。

取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。

我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。

高中物理中微积分思想及方法微积分思想和方法毫无疑问是思考物理问题和解决物理问题的重要方法。

高中物理教材（人教版）中虽然没有直接应用导数、积分等数学公式解答问题的例题，但在教材中多个地方都介绍了极限方法、积分思想，也就是教师和资料中常说的“微元法”。

应用“微元法”这一重要思想解决问题，高考中也多次考到。

本文谈谈个人在教学中的一些体会。

首先要在教学实践中要像重视培养学生“列方程、求解”一样去培养学生的“微积分”思维，因为学生在高中阶段物理学习的过程当中，无论是从培养思维能力，还是训练应对高考答题，理解“微元法”并掌握应用“微元法”去解决问题都很有必要，而从学生进入大学后的学习远景来说，更是必要。

其次在教学时要讲清“微元法”的核心思想，“微元法”的核心思想就是通过针对时间和空间所进行的限制，采用“逐步逼近”的方法，将发生变化的事件或过程转变为稳定的时间和过程，达到“化曲为直”、“化变为恒”的目的。

即“增量无限趋近于零，则割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，如此就能以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分思想和方法的精髓所在。

再次要主动帮助学生梳理归纳常见的“微元”情景。

高中常见的微“元”有：元质量、元时间、元力、元位移元、元电荷、元电流、元冲量等，涉及到求瞬时速度、变力的功、变力的冲量等许多问题、近年高考中表现为更复杂综合问题的解决。

最后是要引导学生构建应用“微元法”的解题的一般思路。

使用“微元法”来解决高中物理问题的思路，就是从局部进行思考，再将自己所思考的答案放到问题的整体之中。

简单地说，第一步，就是先把所讨论的物理对象分解为若干个元，答题者选择其中具有代表性的部分进行分析，也就是人们常说的以小见大。

常见的解题步骤为：针对研究对象进行判定；分析“元”的运动过程；开展叠加并进行求解。

下面举几例应用“微元法”的解题的实例供参考。

例1、（2008上海）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，（g取10m/s2），试根据图像求：（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。

微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分是一门重要的数学课程，在高中物理教学及高考中有重要的应用。

首先，在高中物理教学中，微积分可以帮助学生理解物理学的深层次的概念和原理。

例如，在力学和弹性中，知道力和位移之间的关系，学生需要用到微积分，例如需要用到曲率来计算曲线上力的变化情况，或者用梯度和位移之间的关系来分析影响力的改变等。

此外，散度和积分也在物理学中有实际的应用，例如在电动力学中，学生可以运用微积分的知识确定电流的变化情况。

其次，在高考中，微积分也是非常重要的科目之一，它不但是数学竞赛中的重要科目，而且也在高考的多项科目中得到了普遍的应用。

例如，在物理学中，考生可以利用提高后的微积分知识分析曲线上的力、磁力场和重力场等问题；在电动力学中，考生可以运用微积分知识计算电势和电压；在力学中，考生可以利用微积分知识求出运动弹性曲线；在热力学中，考生可以利用梯度来分析热力学问题；而在化学中，考生可以利用积分来分析反应的反应速率等。

总之，在高考中，微积分的应用是不可分割的部分。

最后，微积分在高中物理教学及高考中的应用，不仅可以扩大学生们在物理学和化学中的知识面，而且可以提高学生的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。

因此，在高中物理教学及高考中，加强对微积分的学习和学术研究是非常有必要的。

综上所述，在高中物理教学及高考中，微积分有着重要的应用，它可以帮助学生更深入地理解物理学和化学中的问题，同时提高学生
的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。

因此，加强对微积分的学习及学术研究，有助于提高高中物理教学及高考中的教学水平。

微元法在高中物理中的应用之我见什么是微元法微元法，也称微积分方法，是数学中的一种重要方法，是通过将一个整体分解成无限小的部分，然后对每个无限小的部分进行操作，最后将所有无限小的部分相加得出整体的解法。

微元法的应用范围非常广泛，包括但不限于物理学、工程学、生物学、经济学等。

在物理学中，微元法被广泛应用于解决连续体的运动问题、计算物理场和电磁场等问题。

微元法在物理学中的应用主要分为两个方面，即微元力学和微元热学。

其中微元力学主要应用于求解刚体的运动和弹性变形问题，而微元热学则主要应用于热力学系统的能量转化和热力学循环。

微元法在高中物理中的应用在高中物理中，微元法的应用主要集中在微元力学方面。

下面是我在学习高中物理时对微元法的认识和感悟。

认识微元法在学习高中物理的过程中，我们往往需要解决一些连续体的运动问题。

例如一个挂在弹簧上的重物随时间的变化而做周期运动，我们需要求解重物在某一时刻的位置、速度和加速度等量数值。

这种问题很难用简单的代数方法来求解，需要借助微元法进行求解。

在应用微元法求解这类问题时，我们会将连续体分解成无限小的部分，例如我们将一个弹簧分成无数个微小段，每个微小段都受到特定的力，我们就可以对每个微小段进行力的分析，最终将所有微小段叠加起来得出整个连续体的力。

感悟微元法学习微元法的过程让我感受到物理学中观察问题的特殊视角和解决问题的独特思路。

微元法的应用需要我们将一个完整的整体分解成无限小的部分，想象每个微小部分的特定情况，然后逐步叠加起来得到整体的解。

同时，学习微元法也要求我们具备较强的数学功底和逻辑思维能力。

针对不同的问题，需要对微小部分进行不同的分解、分析和计算，最终求解结果需要进行合理的验证和解释，这些都需要我们具备较高的数学能力和物理素养。

微元法的应用案例下面给出两例在高中物理中应用微元法的案例，展示微元法的应用过程和价值。

弹簧振动假设一个质量为m的重物挂在一个弹簧上，当弹簧伸长x时，重物所受的弹性力为F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。

匀变速直线运动位移与时间的关系知识集结知识元匀变速直线运动的位移与时间的关系知识讲解匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x=v0t+at2．公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示．②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即．结合公式x=vt和v=v0+at可导出位移公式：x=v0t+ at2例题精讲匀变速直线运动的位移与时间的关系例1.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m例2.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2例3.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为（）A．B．2C．2D．4当堂练习单选题练习1.一个物体在水平直线上做匀加速直线运动，初速度为3m/s，经过4s它的位移为24m，则这个物体运动的加速度等于（）A．1.5m/s2B．2m/s2C．4m/s2D．0.75m/s2练习2.小球以某一较大初速度冲上一足够长光滑斜面，加速度大小为5m/s2则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是（）A．2.0m B．2.5m C．3.0m D．3.5m练习3.“蛟龙号”是我国首台自主研制的作业型深海载人潜水器，它是目前世界上下潜能力最强的潜水器．假设某次海试活动中，“蛟龙号”完成海底任务后竖直上浮，从上浮速度为v时开始计时，此后“蛟龙号”匀减速上浮，经过时间t上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t0（t0<t）时刻距离海平面的深度为（）A．B．C．D．练习4.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m练习5.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2练习6.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为A．B．2C．2D．4。