物理中的微积分思想

谈大学物理微积分思想和方法作者：王娜来源：《江西教育C》2015年第05期大学物理是高等学校面向广大理工科生开设的一门公共基础课程，区别于高中物理，它要求学生更多地运用微积分思想和方法处理物理问题，从而体会物理思想以提高解决物理问题的能力。

对于中学阶段主要应用代数运算的大一学生而言，微积分思想和方法是他们在大学物理学习中面对的最困难的问题。

纵观整个教学内容，微积分思想和方法在力学、电磁学和热学部分都有应用，但是总结起来可以分为两类，一类是速度为代表的微分思想，另一类是功为代表的积分思想。

力学部分是学生接触微积分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。

本文通过描述速度、加速度、功和万有引力势场的定义以及计算中微观量的物理意义，给出大学物理中微积分思想和方法应用的特点。

一、速度和加速度1.历史和定义。

17世纪，工业和科技的发展向数学提出了许多问题，促使了微积分学科的诞生。

这些问题被称为“四类问题”，其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。

在变速直线运动中，路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。

若无限短路程用ds表示，对应的无限短时间用dt表示，则速度v=，其中微小量ds和dt被称为微分量，这种方法被称为微积分方法。

这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立，它的第一个应用就是给出速度的概念。

2.微分量的物理意义。

定义中无限短路程近似为无限小直线段，无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。

例如，直线运动（假设沿x轴），速度表示为v=。

推广到具有普遍意义的三维空间，情况又怎样呢？依据运动的叠加原理不难想象，在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds（直线段）可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果，即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。

我们用矢量来表示这个合效果，无线短路程ds对应的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三个正交分量的数值），dt时间内每一维均对应匀速直线运动，即速度的三个正交分量的数值分别为vx=，vy=，vz=.也可以写成矢量式.3.加速度。

微积分在物理学中的应用微积分，是数学中的一个分支，是研究极限、导数、积分以及无限级数等概念和运算的一门学科。

微积分在物理学中有着广泛的应用。

物理学家们用微积分理论来解决很多物理问题，比如运动学、动力学、热力学、电磁学、光学、量子力学等等。

一、运动学在运动学中，微积分理论被用来推导出质点的速度和加速度，以及曲线上的切线、法线等。

例如，对于一个质点在直线上运动的问题，可以通过微积分求出质点的速度和加速度，进而得到其运动的规律。

对于曲线运动，则可以用微积分求解曲线上的切线和法线，以及曲率等物理量。

二、动力学在动力学中，微积分可以用来求解物体的运动方程和力学变量等。

例如，通过微积分求解牛顿第二定律的微分形式，可以推得物体的运动方程，并且可以求解出物体在不同时间点的位置、速度、加速度等，并且可以预测其未来的运动状态。

三、热力学在热力学中，微积分可以用来求解热力学变量。

例如，通过微积分求解热力学第一定律的微分形式，可以推得热量、内能等热力学变量的微分方程，并且可以利用这些微分方程进行各种热力学计算。

四、电磁学在电磁学中，微积分可以用来计算电场、磁场、电势等物理量。

通过微积分可以求出电场、磁场等物理量的微分、积分形式，并且可以从中得到电势、电势差等计算需要的物理量。

五、光学在光学中，微积分可以用来分析光的传播和折射、反射等现象。

通过微积分可以推导光线的传播路线、光线的折射和反射等现象，并且可以利用微积分的方法求解光学问题。

六、量子力学在量子力学中，微积分可以用来描述微观物理现象。

例如，通过微积分可以求解量子力学的薛定谔方程，进而得到量子态等物理量，并且可以对量子力学中的各种现象进行各种定量计算。

综上所述，微积分在物理学中扮演着重要的角色。

物理学家们用微积分来解决各种物理问题，并且在物理学的各个方面都发挥着重要的作用。

随着微积分理论的不断发展，将有更多的物理问题可以得到解决。

浅谈微积分的认识在物理教学中的应用
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学中不可或缺的工具。

在物理教学中，微积分的认识十分必要，以下是一些例子：
1. 运动学分析：微积分中的导数和积分可以应用到运动学分析中，以求得速度、加速度、位置等关键信息。

通过微积分的分析，可以帮助学生深入理解物体的运动规律，并进行更加精确的运动预测和控制。

2. 力学分析：运用微积分的概念，可以对物理学中的力学问题进行分析，如牛顿定律，重力，弹性力等。

通过微积分的工具和方法，可以更加深入地理解和应用物理学中的法则和理论。

3. 光学问题：微积分中的几何和微积分学概念可以应用到光学问题中，如光的传播原理，反射和折射现象等。

通过微积分的知识和工具，可以帮助学生深入理解光学的基础原理，并进行更加精确的预测和分析。

4. 热力学分析：热力学分析中的微积分概念，如微分和积分可以应用到物理学中的热力学分析中，如热容，温度，热传导等。

通过微积分的分析，可以更加深入地了解热力学的基本规律和特性。

总之，微积分的认识在物理教学中是不可或缺的，它可以帮助学生更好地理解和应用物理学中的基础概念和理论，以便更加轻松地掌握物理学的知识和应用。

微积分在物理的应用
微积分在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 速度和加速度的计算：微积分可以用于计算物体的速度和加
速度。

通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。

2. 曲线及面积的计算：微积分可以用于计算曲线和面积。

通过
对曲线进行积分，可以得到曲线下的面积；再通过对面积进行微分，可以得到曲线的长度。

同样地，对于曲面，可以通过对曲面进行积分，得到曲面下的体积。

3. 力学问题的求解：微积分可以用于求解力学问题，例如弹性
势能、动能和势能等。

通过对力学方程进行微分和积分，可以得到物体的运动状态和能量变化情况。

4. 电磁学问题的求解：微积分也可以用于求解电磁学问题。

例如，通过对带电粒子在电场中的运动轨迹进行微分和积分，可以得到带电粒子的加速度和速度等信息。

总之，微积分是物理学中非常重要的工具，可以帮助我们理解物理学中的许多现象和问题，同时也为我们提供了解决这些问题的方法。

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首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。

以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。

同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。

其次，导数等于零时，则函数则有极值。

这个在物理中应用明显。

物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，“平衡”，“距离最大”或者“距离最小”，“能量最大”，“能量最小”，“速度最大”，“速度最小”等等情况。

这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。

例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。

能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。

再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的了解。

用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。

除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。

通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。

毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。

高中物理中的微积分思想作者：李党飞来源：《新课程学习·下》2013年第08期在现阶段的高中物理教学中，虽然很少有涉及利用微积分直接进行运算的问题，但许多地方用到了“微分”与“积分”的思想，即我们常说的“微元法”。

这就是高等数学中的微积分，只不过在高中阶段我们巧妙利用微元思想避开微积分。

但只要仔细讲解，以高中学生的理解能力是完全可以掌握的，同时也可以使学生对其他物理知识的理解更加透彻。

使用微元法处理问题时，需将其分解为若干微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化曲为直、化整为零，积零为整”解题法。

例1.如图所示，力F作用于半径为R的转盘边缘上一点，力F大小保持不变，方向始终沿作用点的切线方向，求转盘转动一周的过程中力F所做的功。

解析：力F为变力，不能直接用W=FS来求解，可采用微元法来求解。

将圆周分成无限个小段，可认为每小段为直线、力F为恒力，且力F方向与位移方向相同。

设每小段长度为Δs，则力F在每小段中做功为：ΔW=FΔs对一周中所有小元段内做功求和，可得转动一周过程中力F做功为：W=ΣΔW=FΣΔs=F2πR例2.电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。

■解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。

选电荷元：它在P点产生的电场的场强的x分量为：由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。

例3.如图1所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？■解析：水平地从a向b看，金属杆在运动过程中受力如图2所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，可采用微元法来求解。

浅析大学物理微积分思想与矢量思想大学物理中的微积分思想和矢量思想是非常重要的概念。

微积分思想是一种数学工具，用于处理变量的变化，而矢量思想则是一种数学工具，用于描述物理量在空间中的运动。

在物理学中，这两种思想通常是紧密结合在一起的，因此在研究物理现象时需要同时运用这两种思想。

本文将从微积分思想和矢量思想两个方面对大学物理的研究进行浅析。

微积分思想微积分思想是大学物理研究中最重要的数学思想之一，它是一种处理变量变化的工具。

在物理学中，物体的位置、速度、加速度等重要物理量都是随时间而变化的，微积分思想能够帮助我们描述这些变化。

以物体的运动为例，如果我们知道物体的速度随时间的变化率，就能够用微积分来计算物体在某个时间点的位置。

微积分思想可以用于研究大量的物理问题，如运动方程、牛顿定律、万有引力定律等。

这些问题的求解都需要用到微积分思想，因此掌握微积分思想是大学物理学习中非常重要的一步。

矢量思想矢量思想也是大学物理学习中必备的数学思想之一。

在大学物理中，我们经常需要描述物理量在空间中的运动，如力、速度、加速度等。

这些物理量都具有方向性，因此不能仅仅通过数值来描述。

这时，矢量思想就能够发挥非常重要的作用。

在矢量思想中，我们用带箭头的直线来表示一个矢量，箭头的方向表示该矢量的方向，线段的长度表示该矢量的大小。

矢量可以进行加、减、乘等运算，这些运算结果还是矢量。

在研究物理问题时，我们通常需要用到矢量的加法、减法、点乘、叉乘等运算。

矢量思想也是非常重要的一种工具，我们可以用它来研究大量的物理问题，如质点受力、牛顿第三定律、动量守恒定律等。

这些问题的求解都需要用到矢量思想，因此熟练掌握矢量思想对于学好大学物理非常重要。

微积分思想与矢量思想的结合微积分思想和矢量思想在物理学中通常是紧密结合在一起的。

我们常常需要用微积分思想来描述物体的运动状态，再用矢量思想来描述物体在空间中的运动轨迹。

例如，当我们研究物体的运动状态时，通常需要用微积分思想来求解物体的速度、加速度等物理量。

探索篇•方法展示微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。

一、高中物理教学中常见的微积分应用1.微元法定义瞬时速度在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。

2.微分与斜率在加速度的定义中a=ΔvΔt，当t→0时a=ΔvΔt=dv dt，与微积分中的微分即求导对应，也就是数学中的斜率，斜率的使用在高中物理中比较常见，如，加速度a=ΔvΔt对应v-t图像的斜率还有E=ΔϕΔt对应ϕ-t图像的斜率，此外借助斜率还可求出函数的最值。

3.积分与面积在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。

该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。

可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。

因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。

二、高考中常见微积分思想应用实例分析高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。

例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。

已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。

高中物理中微积分思想及方法微积分思想和方法毫无疑问是思考物理问题和解决物理问题的重要方法。

高中物理教材（人教版）中虽然没有直接应用导数、积分等数学公式解答问题的例题，但在教材中多个地方都介绍了极限方法、积分思想，也就是教师和资料中常说的“微元法”。

应用“微元法”这一重要思想解决问题，高考中也多次考到。

本文谈谈个人在教学中的一些体会。

首先要在教学实践中要像重视培养学生“列方程、求解”一样去培养学生的“微积分”思维，因为学生在高中阶段物理学习的过程当中，无论是从培养思维能力，还是训练应对高考答题，理解“微元法”并掌握应用“微元法”去解决问题都很有必要，而从学生进入大学后的学习远景来说，更是必要。

其次在教学时要讲清“微元法”的核心思想，“微元法”的核心思想就是通过针对时间和空间所进行的限制，采用“逐步逼近”的方法，将发生变化的事件或过程转变为稳定的时间和过程，达到“化曲为直”、“化变为恒”的目的。

即“增量无限趋近于零，则割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，如此就能以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分思想和方法的精髓所在。

再次要主动帮助学生梳理归纳常见的“微元”情景。

高中常见的微“元”有：元质量、元时间、元力、元位移元、元电荷、元电流、元冲量等，涉及到求瞬时速度、变力的功、变力的冲量等许多问题、近年高考中表现为更复杂综合问题的解决。

最后是要引导学生构建应用“微元法”的解题的一般思路。

使用“微元法”来解决高中物理问题的思路，就是从局部进行思考，再将自己所思考的答案放到问题的整体之中。

简单地说，第一步，就是先把所讨论的物理对象分解为若干个元，答题者选择其中具有代表性的部分进行分析，也就是人们常说的以小见大。

常见的解题步骤为：针对研究对象进行判定；分析“元”的运动过程；开展叠加并进行求解。

下面举几例应用“微元法”的解题的实例供参考。

例1、（2008上海）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，（g取10m/s2），试根据图像求：（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。