定积分的简单应用练习题

定积分的简单应用(二)复习：〔1〕求曲边梯形面积的方法是什么？〔2〕定积分的几何意义是什么？〔3〕微积分根本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。

求体积问题也是定积分的一个重要应用。

下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a，x b及x轴围成的平面图形〔如图甲〕绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V？分析：在区间[a,b]内插入n 1个分点，使a x0x1x2L x n1x n b，把曲线y f(x)〔a x b〕分割成n个垂直于x轴的“小长条〞，如图甲所示。

设第i个“小长条〞的宽是x i x i x i1，i 1,2,L,n。

这个“小长条〞绕x轴旋转一周就得到一个厚度是x i的小圆片，如图乙所示。

当x i很小时，第i个小圆片近似于底面半径为y i f(x i)的小圆柱。

因此，第i个小圆台的体积V i近似为V i f2(x i)x i该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：V[f2(x1)x1 f2(x2)x2L f2(x n)x n]这个问题就是积分问题，那么有：bf2(x)dx b2(x)dxV fa a归纳：设旋转体是由连续曲线y f(x)和直线x a，x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转V b2(x)dx而成，那么所得到的几何体的体积为fa2.利用定积分求旋转体的体积1/5〔1〕找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数〔2〕分清端点〔3〕确定几何体的构造〔4〕利用定积分进行体积计算3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积假设求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，那么积分变量变为y，其公式为V b2(y)dy ga类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。

课时提升作业(十五)定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·陕西高考)定积分的值为( ) A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】选C.=e.2.(2015·泉州模拟)直线y=2x+4与抛物线y=x2+1所围成封闭图形的面积是 ( )10163235A.B. C. D.3333 【解析】选 C.直线与抛物线在同一坐标系中的图象如图,则其围成的封闭图形的面积是31-⎰[(2x+4)-(x2+1)]dx=31-⎰(-x2+2x+3)dx=323132(x x 3x)133-++=-. 3.(2015·南昌模拟)已知函数f(x)=2 x ,2x 0,x 1,0x 2,⎧-≤≤⎨+<≤⎩则22-⎰f(x)dx 的值为( )A.43B.4C.6D.203【解析】选D.22-⎰f(x)dx=02-⎰x2dx+20⎰(x+1)dx3202118120x (x x)(0)(420).2032323=++=++⨯+-=-4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )17141311A.B. C. D.6366【解析】选A.质点在时间[1,2]内的位移为21⎰(t2-t+2)dt=3221117(t t 2t)1326-+=. 5.由直线x+y-2=0,曲线y=x3以及x 轴围成的图形的面积为( )4553A. B. C. D.3464【解析】选D.由题意得3x y 20,y x ,+-=⎧⎨=⎩解得交点坐标是(1,1).故由直线x+y-2=0,曲线y =x3以及x 轴围成的图形的面积为1⎰x3dx+21⎰(2-x)dx=421211113x (2x x )0142424+-=+=. 【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t 的值等于 .【解析】 (2x-1)dx=2xdx-1dx=22t t x xt t,-=-由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).答案:3【加固训练】设函数f(x)=ax2+b(a ≠0),若3⎰f(x)dx=3f(x0),则x0等于( ) A.±1B.2C.±3D.2【解析】选C.30⎰f(x)dx=30⎰(ax2+b)dx=331(ax bx)9a 3b 03+=+,所以9a+3b=3(a 20x +b),即20x =3,x0=±3,故选C.7.(2015·深圳模拟)由曲线y=sin x,y=cos x 与直线x=0,x=2π所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【解析】由图可得阴影部分面积S=240π⎰(cos x-sin x)dx=()2sin x cos x 4π+=2(2-1).答案:22-28.(2013·湖南高考)若x2dx=9,则常数T的值为.【解析】x2dx=33T11(x)T933==,所以T=3.答案:3三、解答题9.(10分)(2015·哈尔滨模拟)求由曲线y=x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积.【解析】y=x与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分,联立y x,y x2⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点坐标为(4,2),故所求面积为S=4⎰[x-(x-2)]dx=32242x16[x(2x)]323--=.【加固训练】设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x 轴正向相同,求变力F(x)对质点M所做的功.【解析】变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=101⎰F(x)dx=101⎰(x2+1)dx()3101(x x)342J.13=+=(20分钟40分)1.(5分)(2015·金华模拟)图中阴影部分的面积是()A.16B.18C.20D.22【解析】选B.由2y x4,y2x,=-⎧⎨=⎩得x2,y2=⎧⎨=-⎩或x8,y4,=⎧⎨=⎩则阴影部分的面积为S=222x⎰dx+82⎰(2x -x+4)dx3322228422211638 x(x x4x)18.0233233=+-+=+=2.(5分)若f(x)=()xf x4,x0,2cos 3tdt,x06->⎧⎪⎪π⎨+≤⎪⎪⎩⎰，则f(2 014)=.【解析】当x>0时,f(x)=f(x-4), 则f(x+4)=f(x),所以f(2 014)=f(2)=f(-2),又因为6π⎰cos 3tdt=11(sin 3t),633π=所以f(2 014)=f(-2)=2-2+13=712.答案:7 123.(5分)(2015·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a的值是.【解题提示】利用定积分求出阴影部分面积,再利用几何概型求解.【解析】由已知S 矩形OABC=a ×6a =6,而阴影部分的面积为S=a0⎰sin xdx=(-cos x)a0 =1-cos a,依题意有OABCS11cos a 1,,S 464-==矩形即得:cos a=-12,又a ∈(0,π), 所以a=23π. 答案:23π4.(12分)汽车以54 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远?【解析】由题意,得v0=54 km/h=15 m/s. 所以v(t)=v0+at=15-3t.令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5. 所以开始刹车5 s 后,汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s=5⎰v(t)dt=5⎰(15-3t )dt=253(15t t )02-=37.5(m).故汽车走了37.5 m. 5.(13分)(能力挑战题)如图所示,直线y=k x 分抛物线y=x-x2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解析】抛物线y=x-x2与x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=10⎰(x-x2)dx=231x 11(x ).0236-= 由2y x x ,y kx,⎧=-⎨=⎩可得抛物线y=x-x2与y=kx 两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k, 所以S 2=1k 0-⎰(x-x2-kx)dx()3231k 1k 11(x x )1k .0236--=-=-又知S=16,所以(1-k)3=12,于是3314k 1122==-. 【加固训练】曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(12,0),求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.【解析】设切点坐标为(x0,y0),y ′=6x2-6x-2, 则f ′(x0)=6x02-6x0-2,切线方程为y=(6x02-6x0-2)1(x )2-, 则y0=(6x02-6x0-2)01(x )2-, 即2x03-3x02-2x0+1=(6x02-6x0-2)·01(x )2-, 整理得x0(4x02-6x0+3)=0,解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.解方程组32y 2x 1,y 2x 3x 2x 1,=-+⎧⎨=--+⎩ 得x 0,y 1=⎧⎨=⎩或3x ,2y 2.⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知S=32⎰[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=32⎰(-2x3+3x2)dx=2732.。

图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。

定积分的简单应用定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。

它在初等数学中有着广泛的应用。

下面举例说明如下，供同学们学习时参考。

一．求函数表达式 例1设)(x f 连续，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f解：记⎰=10)(dtt f a ，则a x x f 2)(+=两端积分得：⎰⎰+=+=11221)2()(a dx a x dx x fa a 221+=，21-=a1)(-=∴x x f 。

二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sin 在[0,]上与轴所围成的平面图形的面积。

解：。

例3求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1） 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A 三、平行截面面积为已知的立体体积例4曲线()1522=-+y x 绕x 轴旋转一周，求旋转体的体积。

解：⎰--+=11222)15(dx x V π，⎰--=11221)15(dx x V π12V V V -=⎰--+=1122)15(dx x π⎰----1122)15(x π 211210220120ππππ=⋅=-=⎰-dx x四、求旋转体的体积例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。

解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线,x hry =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一周而成，故圆锥体体积h r x hr x x h r V hh2003222π313πd )(π=⋅==⎰ 五、求函数利润问题 例6Oxy 22)2(-=x y2xy = xyO ),(r h215x y -+=215x y --=六、在物理中的应用例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。

第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1未命名一、单选题1．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．13B ．14C ．112D ．7122．由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A ．6B ．4C ．103D ．1633．若20sin a xdx π=⎰，则函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=4．二项式()()310mx m ->展开式的第二项的系数为-3，则22mx dx -⎰的值为（ ）A ．3B ．73C ．83D ．25．已知函数()())11001x x f x x ⎧+-≤≤=<≤，则()1-1x f x d ⎰的值为( ) A ．1+2π B ．1+24π C ． 1+4π D ．1+22π6．1(e )d x x x --=⎰A ．11e --B ．1-C ．312e-+D ．32-7．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．125488．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（ ）A．6B ．13C ．23D ．439．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<10．平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x C y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112e - B ．2e C ．12e -D ．32e -11．正方形的四个顶点 分别在抛物线 和 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( )A ．B ．C ．D ．12．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154ln 24- D ．158ln 22- 13．曲线()22f x x =，()22g x x x =-以及直线14x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．132B ．116C ．18 D ．1414．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是（ ） A ． B ．C ．D ．15．()22310xk dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．若1201ln 2,5,sin 4a b c xdx π-===⎰，则a ，b ，c ，的大小关系（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<17．已知()6cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（ ）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-18．已知函数()f x 满足()()4f x f x =-，()524f x dx =⎰，则()51f x d x -⎰等于（ ）A ．0B ．2C ．8D ．不确定19．函数()1f x x=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+B ．2ln 21-C ．ln 2-D ．ln 220．由曲线y ＝x 2和曲线y =（ ）A ．13B ．310C ．14D ．1521．在812x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中3x 的系数为m ,则()120x mx dx +=⎰（ ） A ．176B ．206C ．236D ．26622．已知函数3,1()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨≥⎪⎩＜，（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =，x 轴围成的区域为E ，直线x e =与1y =围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（ ） A ．58eB ．18eC ．43eD ．12e23．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．824．已知曲线cos y x =，其中30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（ ）A ．1B ．2C ．52D ．325．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ) A．43π B．23π C．43π D．23π 26．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．785427．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．528．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC ．22πD ．221π-29．函数()2,? 0,2,x x f x x -≤=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 （ ） A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．830．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（）A ．16B．6C ．13D ．2331．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-32．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π33．在4(1)(21)x x +-的展开式中，2x 项的系数为a ，则0(2)ax e x dx +⎰的值为（ ）A ．1e +B ．2e +C ．23e +D ．24e +34．1012x dx ⎫=⎪⎭⎰（ ） A ．14π+ B ．12π+ C ．124π+D ．14π+35．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2536．计算2131dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+D ．3ln 21+37．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()1,+∞38．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．39．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<40．定积分)232sin x x dx -+⎰的值是（ ）A ．πB ．2πC ．2π+2cos2D ．π+2cos241．如图所示，阴影部分的面积为（）A ．()41f x dx -⎰B ．()41f x dx --⎰C ．()()3413f x dx f x dx --⎰⎰D ．()()4331f x dx f x dx --⎰⎰42．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．443．已知()12201,log 3,cos6a x dxbc π=-==⎰，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<44．定积分()1214d x x x --=⎰（ ）A ．0B ．1-C ．23-D ．2-45．由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．16B ．13C ．56D ．2346．函数f x （）在区间[15]-， 上的图象如图所示，0()()xg x f t dt =⎰，则下列结论正确的是（ ）A ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x <（）B ．在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x >（）C ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x >（）D ．在区间04（，）上，g x （）递减且0g x <（） 47．若函数f (x)＝ ＋x ，则＝ A ．B ．C ．D ．48．已知225sin )a x dx -=⎰，且2am π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（ ） A ．12B ．-12C ．4D ．-449．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-120二、填空题50．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________.51．若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．52．由曲线3y x =（x ≥0）与它在1x =处切线以及x 轴所围成的图形的面积为___________．53．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 54．定积分=⎰____________.55．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；56．已知1a -=⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．57．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dx x ⎰=______．58．如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动，点 恰好经过原点．设顶点 的轨迹方程式 （ ），则对函数 有下列判断： ①函数 是偶函数；②对任意的 ，都有 ； ③函数 在区间 上单调递减； ④．其中判断正确的序号是 ．59．222(3)x sinx dx --=⎰______．60．由x 的正半轴、2y x =和4x =所围成的封闭图形的面积是______61．12xdx ⎰的值为________．62．0=⎰_________.63．(434sin x dx -⎰的值为__________.64．若04sin n xdx π=⎰,2⎛⎝nx 的展开式中常数项为________．65．如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2x=与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1=⎰π（2x ）2dx 310|1212x ππ==据此类比：将曲线y ＝x 2（x ≥0）与直线y ＝2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V ＝_____．66．若()12143a x dx --=⎰，则a =______. 67．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 68．(12x dx +=⎰________69．1||-1x e dx ⎰值为______．70．22sin )x dx -+=⎰___________71．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.72．33(sin cos x x dx -+=⎰______.73．设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解，这种随机试验在数学上称为随机模拟法，也称为蒙特卡洛法。