2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章章末复习提升课(苏教版)

[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

[学生用书P104(单独成册)])[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A ．EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ．①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0；③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ．由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC→|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C ．5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA →＝CA →. 答案：CA →6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________．解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案：27．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →， 若|m |＝|n |，则△ABC 必为________三角形．解析：如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |，所以|AC →|＝|DB →|.所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 答案：直角8．如图，已知a ，b ，求作a －b .解：9.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →；(3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .[B 能力提升]1．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④2．已知|AB →|＝6，|CD →|＝9，则|AB →－CD →|的取值范围是________． 解析：因为||AB →|－|CD →||≤|AB →－CD →|≤|AB →|＋|CD →|， 且|CD →|＝9，|AB →|＝6， 所以3≤|AB →－CD →|≤15.当CD →与AB →同向时，|AB →－CD →|＝3； 当CD →与AB →反向时，|AB →－CD →|＝15. 所以|AB →－CD →|的取值范围为[3，15]． 答案：[3，15]3．已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ， 所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|，则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →， 且|DF →|＝2， 所以|a －b ＋c |＝2.4．(选做题)三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD 为菱形． PD →＝a ＋c ＝－b ， 所以∠APC ＝120°，同理：∠APB ＝∠BPC ＝120°， 又因为|a |＝|b |＝|c |， 所以△ABC 为等边三角形．以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。

(教师用书独具)和运用要注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例1】 如图，在△ABC 中，点M 是AB 边的中点，E是中线CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F .MH ∥AF 交BC 于H .求证：HF →＝BH →＝FC →.[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF →、BH →与FC→即可证得．[证明] 设BM →＝a ，MH →＝b ，则BH →＝a ＋b ，HF →＝HB →＋BA →＋AF →＝－BH →＋2BM →＋2MH →＝－a －b ＋2a ＋2b ＝a ＋b ，FC →＝FE →＋EC →＝12HM →＋ME →＝－12MH →＋MA →＋AE →＝－12b ＋BM →＋AF →－EF →＝－12b ＋a ＋2MH →－12MH →＝－12b ＋a ＋2b －12b ＝a ＋b .综上，得HF →＝BH →＝FC →.1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC ，求证：M ，N ，D 三点共线．[证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2，∵BN →＝13BC →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1，∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1，又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →， ∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线.一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例2】 非零向量a ，b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a ，b 的夹角的余弦值．[思路探究] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )列出方程组→求出|a |2，|b |2，a ·b 的关系→利用夹角公式可求[解] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2|a |2－|b |2＋a ·b ＝0，2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝0，解得⎩⎨⎧ |a |2＝－52a ·b ，|b |2＝－4a ·b ，所以|a ||b |＝－10a ·b ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1010.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.18 [∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.]运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例3】 已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．[思路探究] (1)先求B ，D 点的坐标，再求M 点坐标；(2)由向量相等转化为y 与λ的方程求解．[解] (1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)．∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3，y 1＝1，∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)．设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由已知得PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB →＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－7λ，1－y ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－17，y ＝37.3．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD →.[解] 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，∵AD →⊥BC →，∴AD →·BC →＝0，则有－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，①∵BD →∥BC →，则有－3(x －3)＋6(y －2)＝0，②解由①②构成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则D 点坐标为(1,1)，所以AD →＝(－1,2).则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例4】 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .[证明] 如图建立直角坐标系，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .4．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB →⊥AD →，AB →＝DC →.设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.透了数形结合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .[思路探究] 要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.先将AM →用AB →，AC →表示，将EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算得出AM →·EF →＝0.[证明] 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →)＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .5．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2C[∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)．∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.又|c|＝x2＋y2，如图所示．由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝12＋12＋1＝2＋1.]。

[学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A ．AB → B ．BC → C ．CD →D ．DA →解析：选A ．因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A ．2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A ．CD →B ．DC → C ．DA →D ．DO →解析：选B ．OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B ．如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B ．4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析：选B ．由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2. 故选B ．5．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向 B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向 C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向 D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B ．a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________． 解析：因为|OA →|＝|OB →| 且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长， 所以|a ＋b |＝3 2. 答案：3 28．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， 所以|BD →|＝|AC →|.所以四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．某飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km. 在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.解：(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.[B 能力提升]1．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( ) A ．|AB →＋CD →|>|AB →| B ．|AB →＋CD →|≥|CD →| C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D ．由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.2．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠BAC ＝90°， 所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ， 所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|. ②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③3.如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.4.(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ， (1)求作a ＋b ＋c ＋d ； (2)设|a |＝2，e 为单位向量， 求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)．由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。

[学生用书P105(单独成册)])[A 基础达标]1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a解析：选C ．当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa |≥|a |不成立，选项B 错误；|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同，故选C ．2．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3B ． 3C ．－1或4D ．3或4解析：选A ．因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A ．AO →＝2OD → B ．AO →＝OD → C ．AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析：选B ．因为D 为BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →， 所以2OA →＋2OD →＝0，所以OA →＝－OD →，所以AO →＝OD →.4．设a ，b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线时有( ) A ．k ＝m B ．km －1＝0 C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0解析：选B ．若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线， 所以存在唯一实数λ，使AB →＝λAC →， 即a ＋k b ＝λ(m a ＋b )，即a ＋k b ＝λm a ＋λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝1，λ＝k ，所以km ＝1，即km －1＝0.5．在△ABC 中，若AB →＋AC →＝2AP →，则PB →等于( )A ．－12AB →＋32AC →B ．12AB →－32AC →C ．12AB →－12AC →D ．－12AB →＋12AC →解析：选C ．由AB →＋AC →＝2AP →得AP →＝12(AB →＋AC →)，所以PB →＝P A →＋AB →＝－12(AB →＋AC →)＋AB→＝12AB →－12AC →. 6．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为__________．解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3. 答案：37．设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________．解析：因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)． 答案：－48．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－29．(1)已知3(x ＋a )＋3(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0(其中a ，b 为已知向量)，求x ；(2)已知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝a ，2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，求x ，y .解：(1)原方程化为3x ＋3a ＋3x －6a －4x ＋4a －4b ＝0. 得2x ＋a －4b ＝0，即2x ＝4b －a . 所以x ＝2b －12a .(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝a ，①2x －3y ＝b ，②由②得y ＝23x －13b ，代入①，得3x ＋4⎝⎛⎭⎫23x －13b ＝a .所以3x ＋83x －43b －a ＝0，17x ＝4b ＋3a .所以x ＝317a ＋417b .所以y ＝23⎝⎛⎭⎫317a ＋417b －13b ＝217a ＋851b －13b ＝217a －317b . 综上可得⎩⎨⎧x ＝317a ＋417b ，y ＝217a －317b .10．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →，即AM →＝λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由第一问知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上， 则AM →，AB →同向且|AM →|>|AB →|(如图所示)， 所以λ>1.[B 能力提升]1．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的________． 解析：OA →＋OB →是以OA →、OB →为邻边作平行四边形的对角线，且过AB 的中点，设中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，所以2OD →＋OC →＝0，同理设E 、F 为AC ，BC 中点，则满足条件的点O 为△ABC 三边中线的交点，故为重心．答案：重心2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则 AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以有AB →＋AC →＝3AM →， 故m ＝3. 答案：33.证明：若向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：OC →＝λOA →＋μOB →；反之，也成立．证明：①如图所示，若OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则AB →∥BC →，故存在实数m ，使得BC →＝mAB →，又BC →＝OC →－OB →，AB →＝OB →－OA →，所以OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，即OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →.②若OC →＝λOA →＋μOB →，其中λ，μ∈R 且λ＋μ＝1，则μ＝1－λ.故OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →. 所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA →、OB →、OC →的终点在一条直线上．4．(选做题)在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，A ，D ，E 三点共线，求证：存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD →＝12(AB →＋AC →)．因为A ，D ，E 三点共线， 所以可设AE →＝μAD →， 则AE →＝μ2(AB →＋AC →)．令λ＝μ2，可得AE →＝λ(AB →＋AC →)．所以，存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。

[学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5解析：选C ．由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.2．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C ．因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C ．因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0. 解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)． 故选C ．4．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C ．因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.5．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D ．因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2， 所以BC →·(BC →＋AB →)＝0， 所以BC →·AC →＝0， 所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________． 解析：因为⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12a·b －3|b |2 ＝16＋12|a ||b |cos 60°－3|b |2＝16＋|b |－3|b |2， 即16＋|b |－3|b |2＝12， 所以3|b |2－|b |－4＝0， 解得|b |＝43.答案：437．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案：228．如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→； ④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①9．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4.求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝25－12 2.10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0. 因为(b －2a )⊥b ， 所以(b －2a )·b ＝0， 即b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.[B 能力提升]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，又因为BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，所以AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832．已知圆O 是△ABC 的外接圆，M 是BC 的中点，AB ＝4，AC ＝2，则AO →·AM →＝________． 解析：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又O 是△ABC 的外接圆圆心，所以AB →·AO →＝|AB →||AO →|·cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝8，同理可得AC →·AO →＝12|AC →|2＝2，所以AM →·AO→＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝4＋1＝5. 答案：53．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →) ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36， 即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.4．(选做题)已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围． 解：法一：因为a 2＝9， 所以|a |＝3.又a ·b ＝－12. 所以|a ·b |＝12. 又因为|a ·b |≤|a ||b |. 所以12≤3|b |， 解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：因为a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.所以|b |＝a ·b|a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ.因为－1≤cos θ<0，所以|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。

[A 基础达标]1．顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：选C.顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x .2．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C.因为直线y ＝kx －k 恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.法一：(特例法)当直线垂直于x 轴时，点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－p 2p24＝－4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y 1y 2＝－p 2，则y 1y 2x 1x 2＝y 1·y 2y 212p ·y 222p＝4p 2y 1y 2＝4p 2－p 2＝－4.4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p解析：选B.设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx＝30°，则OA 方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，所以△AOB 的边长为43p .5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若AB ＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4解析：选C.直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________．解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D .在Rt △AFD 中，∠AFD ＝60°.令FD ＝m ，则F A ＝2m .AD ＝3m .根据抛物线的定义可知，p ＋m ＝2m .所以m ＝p .所以|OA →|＝OD 2＋AD 2＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋（3p ）2＝212p . 答案：212p 7．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，所以AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8， 所以梯形APQB 的面积为48.答案：488.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴 1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代入点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 29．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)， 焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， 所以A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p2，－p ， 所以AB ＝2|p |.因为△OAB 的面积为4， 所以12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，所以p ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .10.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设k AB ＝k (k ≠0)，因为直线AB ，AC 的倾斜角互补，所以k AC＝－k (k ≠0)，因为直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. 因为A (4，2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． 所以4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，所以k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k （x B －4）＋2－[－k （x C －4）＋2]x B －x C＝k （x B ＋x C －8）x B －x C＝k ⎝⎛⎭⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14，所以直线BC 的斜率为定值．[B 能力提升]1．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为____________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由AB ＝42，DE ＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由OA ＝OD ，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4. 答案：42．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为________．解析：如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ， 因为△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， 所以S △AMF S △AOF＝12×AF ×AM ×sin ∠MAF 12×OF ×AF ×sin （π－∠MAF ）＝3.所以AF ＝AM ＝3OF ＝3.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 所以y 204＋1＝3，所以y 204＝2，解得y 0＝±2 2.所以点A 的坐标是(2，±22)． 答案：(2，±22)3．已知定点F (2，0)和定直线l ：x ＝－2，动圆P 过定点F 与定直线l 相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若以M (2，3)为圆心的圆与曲线C 交于两个不同的点A 、B ，且线段AB 是此圆的直径时，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知，点P 到F 的距离等于P 到l 的距离，所以P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，它的方程为y 2＝8x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.由AB 为圆M (2，3)的直径知，y 2＋y 1＝6， 故直线的斜率为43.所以直线AB 的方程为y －3＝43(x －2)，即4x －3y ＋1＝0.4．(选做题)如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2，0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值；(2)记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值．解：(1)依题意，设AB 的方程为 x ＝my ＋2，代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明：连结MN ，设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4， 设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1， 代入y 2＝4x 消x 得：y 2－4ny －4＝0， 所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4，由(1)y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．。

[A 基础达标]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x答案：B2．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 解析：选B.由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74 解析：选C.过A ，B 分别作y 轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(AF ＋BF )－14＝32－14＝54.4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆； ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－ab x ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．4因为AF ＝54x 0，所以根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.答案：16．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知PF ＝3－x .又PF ＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)． 答案：(－6，62)，(－6，－62)7．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 所以抛物线的方程为标准方程． 又因为点P (4，2)在第一象限，所以抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)． 当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ； 当抛物线为x 2＝2py 时， 则有42＝2p ×2， 故2p ＝8，x 2＝8y .综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y . (2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4＋p 2＝174，解得p ＝12；所以抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.8.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．2于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)． 又F (1，0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45. [B 能力提升]1．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P (x P ，y P )为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－ 2. 设点P 在抛物线准线上的投影为点M . 由抛物线的定义知 PF ＝PM ，又PF ＝42， 所以x P ＝32，代入抛物线方程求得y P ＝26， 所以S △POF ＝12·OF ·|y P |＝2 3.2．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，－p 2.又点B 在双曲线上，故13p 23－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：63．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32， 6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， 所以p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4cx ， 因为抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6， 所以6＝4c ·32.所以c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， 所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以94a 2－61－a 2＝1.所以a 2＝14或a 2＝9(舍去)．所以b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1. 4．(选做题)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径F A ＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝F A ＝2p . 因为△ABD 的面积为42， 所以12BD ·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0，1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. (2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知AD ＝F A ＝12AB ，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时， 由已知可设n ：y ＝33x ＋b ， 代入x 2＝2py得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点， 故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时， 由图形对称性可知，坐标原点到m 、n 距离的比值为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。

[A 基础达标]1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.设点P (x 0，y 0)，依题意得，F 1F 2＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12·F 1F 2·|y 0|＝2|y 0|＝2，所以|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，所以x 20＝3(y 20＋1)＝6.所以PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.5.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左，右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，得B (2，0)，C (2，3)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 24a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 6．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为____________．解析：不妨设点F 1(－3，0)，容易计算得出MF 1＝32＝62， MF 2－MF 1＝2 6. 解得MF 2＝526.而F 1F 2＝6，在直角三角形MF 1F 2中，由12MF 1·F 1F 2＝12MF 2·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.答案：657．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋P A 的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1，所以PF ＋P A ＝4＋PF 1＋P A .所以当PF ＋P A 最小时需满足PF 1＋P A 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋P A 最小，易求得最小值为AF 1＝5，故所求最小值为9.答案：98．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.9．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积． 解：(1)由双曲线的定义得|MF 1－MF 2|＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2， 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将PF 2－PF 1＝2a ＝6，两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，所以PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]1．已知椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是____________．解析：不妨设点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，因为P 在椭圆上，所以PF 1＋PF 2＝2 6.又P 在双曲线上，所以PF 1－PF 2＝23，两式联立，得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－ 3.又F 1F 2＝4，根据余弦定理可以求得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：132．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，另一个焦点为F 2，点N 是PF 1的中点，则ON 的大小(O 为坐标原点)为________．解析：连结ON (图略)，ON 是三角形PF 1F 2的中位线， 所以ON ＝12PF 2，因为|PF 1－PF 2|＝8，PF 1＝10， 所以PF 2＝2或18， 所以ON ＝12PF 2＝1或9.答案：1或9 3.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图所示，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，求MA ＋MB 的最小值．解：设点D 的坐标为(5，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，如图，连结MD ，BD ，由双曲线的定义，得MA －MD ＝2a ＝2.所以MA ＋MB ＝2＋MB ＋MD ≥2＋BD ，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故BD ≥CD －1＝10－1， 从而MA ＋MB ≥2＋BD ≥10＋1， 当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号， 即MA ＋MB 的最小值为10＋1.4．(选做题)在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路P A ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知P A ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路P A送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路P A，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M为界线上的任意一点，则有P A＋MA＝PB＋MB，即MA－MB＝PB－P A＝50(定值)．界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为a＝25，2c＝AB＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c＝257，b2＝c2－a2＝3 750，所以双曲线方程为x2625－y23 750＝1，因为C的坐标为(257，60)，所以y的最大值为60，此时x＝35.因此界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，y≥0)．。