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2016-2017 学年度石家庄市第二次模 考数学理科答案一、1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空13.54014 .22x 2 y 2 1315.52016.5三、解答17. 解： (1)当n1，a 1 2a 2na n ( n 1)2n 1 2 ①a 1 2a 2 （n-1)a n 1 (n 2)2n2②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分① -②得na n (n 1)2 n 1 (n 2)2 n n 2 n所以a n2n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分当n1， a 12 ，所以a n2n ， nN * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 因 a n2n ，b n111 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分log 2 a n log 2 a n 2n( n2)( n n ) .2 2所以T1 1 11 1 11 1 111 1 1 1 1 .n2 3 2 2 42 3 52 n 1 n 12 n n 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 1 11 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2 2 n n 231 11 3 42 n 1 n 24所以，随意 n N *， T n3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分418． (1) 明 : 取AD中点M，接EM，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM= 1AD，∴ AE⊥2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DE又 AE⊥EC，DE EC E ∴AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又 CD⊥ AD，AD AE A,∴ CD⊥平面 ADEF，CD平面 ABCD，∴平面 ABCD⊥平面 ADEF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）如，作EO⊥ AD， EO⊥平面 ABCD，故以 O原点，分以OA, DC , OE的方向 x 、 y 、 z 的正方向成立空平面直角坐系，依意可得E(0,0,3) ， A(3,0,0) ，C (1,4,0) ， F (2,0,3)，所以EA(3,0,3)， AC( 4,4,0)，CF(3, 4,3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分n( x, y, z)平面 EAC的法向量，n EA03z0不如 x=1，即 3xn AC04x4y0可得 n(1,1,3)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分所以cos CF , n CF n25140 =35 ，| CF | | n |287035⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分直与平面所成角的正弦35⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CF EAC35419. 解：（ 1）四天均不降雨的概率P1381 ，56253216，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯四天中恰有一天降雨的概率P 21 32 2 分C 4 55625所以四天中起码有两天降雨的概率P 1 P 1 P 2181 216 328 625625⋯⋯⋯4分1 2 34 5625（ 2）由 意可知 x3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分5y50+85+115+140+160 =110 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分55(x i x)( y iy ) 275 ，bi 1= =27.58 分510 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( x i x)2i 1a= y bx =27.5所以， y 对于 x 的回 方程 ：? 27.5x 27.5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分y将降雨量 x 6代入回 方程得： y27.5 627.5192.5193 .?所以 当降雨量6 毫米 需要准 的快餐份数 193份. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20. （Ⅰ）方法一： M （x ， y ），由 意可知， A （1-r ， 0），因 弦 AM 的中点恰巧落在 y 上，所以 x=r-1>0, 即 r=x+1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 ( x1)2 y 2 ( x 1)2 ，化 可得 y2=4x （x>0）所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分方法二：M （ x ， y ），由 意可知，A （ 1-r ， 0）， AM 的中点,x>0 ，因 C （1， 0），，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在⊙ C 中，因 CD ⊥ DM ，所以，，所以．所以， y 2=4x （ x>0）所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）直 MN的方程x my 1 ，M ( x1, y1)，N (x2, y2)，直BN的方程y k (x y22)y24x my1y24my40 ，可得 y1y24m, y1 y2 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y24x由（ 1）可知，r1x1，点 A(x1 ,0) ，所以直AM的方程y 2 x y 1 ，y12y k( x y22)y2ky2 4 y 4 y2 ky222 40 ，0 ，可得 k，y24x y2直 BN的方程y2x y2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分y22y 2 x y1 ,y12立y12可得 x B44my12m，2 x y2,1, y By 2 y1 2 y1 y22所以点 B（ -1 ， 2m）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分|BC| 44m2，d| 2 2m2 |4m2 4 =2m2 1 ，m21e B 与直MN相切⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21. 【解】（ 1）f ()e xa ．x若 a ≤ 0 ， f( x)0 ，函数 f (x) 是增函数，与矛盾．所以 a0 ，令 f ()x 0，x ln a ． .................................................................................2分当 x ln a ， f(x)0 ， f (x) 是减函数； x ln a ， f ( x)0 ， f (x) 是增函数；于是当 x ln a ， f (x) 获得极小．因 函数 f (x) e x ax a (a R ) 的 象与 x 交于两点 A(x 1 ，0)， B( x 2 ，0) ( x 1＜ x 2) ，所以 f (ln a)a(2ln a) 0 ，即a e 2 ． (4)分此 ，存在 1ln a ， f (1)e 0 ；（或 找f （0））存在 3ln aln a ， f (3ln a)332，a 3a ln a a a 3aa 0又由 f ( x) 在 (，ln a) 及 (ln a ，) 上的 性及曲 在R 上不 断，可知 ae 2 所求取 范. .......................................................................... (5)分（2）因e x 1ax 1a 0 ，x 2x 1． (7)分ex2两式相减得 aeeax 2 a 0 ，x 2 x 1x 2 x 1x 1 x 2x 1 x 2x xx 1x 2e2s( s 0) ， fe2e 2 e 1ss，22x 2x 12 s (ee )2s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分g ( ) 2 (e s e s ) ，g (s)2 (ese s) 0 ，所以 g( s) 是 减函数，s sx 1 x 2x 1 x 2有 g( s)g(0)0 ，而e20 ，所以 f0 ．22 s又 f ( x) e xa 是 增函数，且x 1 x 2 2 x 1 x 2 ，2 3所以f '(2x13 x2 )0 。
()A C B=（()1,0)3,+∞(1,0][3,)-+∞是假命题”是“qp∨是真命题”的（）．10922⨯-．11922⨯+．如图,网格纸上正方形小格的边长为A．2 3C．8 3，4OC OA OB λ=-+，则λ()()*1n f f n N n -⎛++∈ ⎝，则数列{a=CM AM MAC⊂面ACMBC，AE=，EC DC CP Q为（D．{0} -”是“13．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．,,m n m n αβαβ∥∥且∥则∥B ．,,m n m n αβαβ⊥⊥∥∥且则C ．,,m n n αββαβα=⊥⊥⊥且则D ．,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则4．为了得到函数πsin(2)y x =+的图像，可以将函数πsin(2)y x =+的图像（ ）5．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）πA ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的918a =，238b =，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．349．已知log 1,23,1aa b c =->>，设l og bx =-log b y c =，1z a =，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）13．设x ，y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的最大值为________．14．已知奇函数e 1(0)()()(0)xx f x x h x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩，则函数()h x 的最大值为________．15．如图所示，两个非共线向量OA 、OB 的夹角为θ，M N 、分别为OA OB 与的中点，点C MN 在直线上，且OC xOA yOB =+（,x y ∈R ），则22x y +的最小值为________．16．设直线:3440l x y ++=，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，若圆C 上存在两点P 、Q ，直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ︒∠=，则r 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知点P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =． （1）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（2）若A ABC 为△的内角，()4f A =，3BC =，ABC △，求ABC △的周长．18．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y 关于昼夜温差x 的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程y bx a =+，其中1122211()()(()nniiiii i nniii i x x yy x ynx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，且60ABC ︒∠=，M PC为的中点．（Ⅰ）在棱PB 上是否存在一点Q ，使用A ，Q ，M ，D 四点共面？若存在，指出点Q 的位置并证明；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）求点D PAM到平面的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(A ，1l 过椭圆C 的焦点及点(0,B -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线2l 过椭圆C 的左焦点F ，交椭圆C P Q 于点、，若直线2l 与两坐标轴都不垂直，试问x 轴上是否存在一点M ，使得MF PMQ ∠恰为的角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由． 21．已知函数1()ln1(0)f x ax a x=+-≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知()()g x xf x x +=-，若函数()g x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：1()0gx <． 【选修4－4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是π2sin()3ρθ+=π:3OM θ=与圆C O P 的交点为、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【选修4—5：不等式选讲】 23．设|||()2(0|)f x x x a a =+->． （1）当1a =时，解不等式()8f x ≤．（2）若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
河北省石家庄市2017-2018 学年高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1. 设会集A x x 2 ，会集 B x y3x ，则 A B（）A．x x 2B．x x 2C． x x 3D．x x 3【答案】 B考点：会集的运算 .2. 设i是虚数单位，复数a i为纯虚数，则实数 a 的值为（）1i．1A．1B． 1C D． 22【答案】 A【解析】试题解析：依据复数的运算有a i(a i )(1i ) a 1a 1 i， a i为纯虚数，即实部1i(1i)(1i )221i为零，因此有a10 a 1，故本题的正确选项为 A. 2考点：复数的运算.3. 设函数 f ( x) sin x x ，则 f ( x) （）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是增函数且有零点D．是减函数且没有零点【答案】 A【解析】试题解析：第一函数的定义域为实数，又f ( x) sin( x) ( x)sin x x[sin x x] f ( x) ，因此函数为奇函数，由于f ( x) cos x 1 0 ，由导函数的性质可知函数在定义域上为减函数，存在独一零点x 0 ，因此本题正确选项为A.考点：函数的奇偶性与导函数的运用.4. p : xy 2 xy ， q : 在 ABC 中，若 sin Asin B ，则 A B . 以下为真的是（）A ． pB．qC． p qD ． p q【答案】 C考点：判断的真假及逻辑词语.2 cos x, x0, 4) 的值为（5. 已知 f ( x)1) 1, x则f (）f (x 0,3A ． 1B． 1C．32D ．52【答案】 B【解析】试题解析：由于4 0 ，因此 f ( 4) f (1) 1f ( 2) 2 ，当 x 0 时， f (x) 2 cos x ， 3 333因此 f (2) 2 cos( 2)1 ，因此有f ( 4) f ( 2) 2 1，本题正确选项为 B.333 3考点：分段函数求函数的值 .6. 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 11，公差 d 2, S n 1 S n 15 ，则 n 的值为（ ）A. 5B.6C.7D. 8【答案】 C【解析】试题解析：由于数列的前 n 项和 S n 与 a n 满足关系式 a n 1 S n 1 S n ，因此有 a n 1 15，又 a n为等差数列，因此1 2157，因此本题的正确选项为 C.an 1nn考点：等差数列前n 项和的性质 .7. 一个几何体的三视图以以以下图，则该几何体的体积为（）A ． 1B．1C．2433D ． 1【答案】 B【解析】试题解析：有三视图可知，该几何体为四周体，其下表面为一等腰直角三角形，直角边为1, 此中一条与底面垂直的棱长为2 ，因此四周体的体积为 V1 底面积为 SSh23题的正确选项为 B.1，1, 故本3考点：三视图与几何体的体积.xy 2x y 的最小值为（）8. 若实数 x, y 满足1，则 z94A ．18B．4C． 4D ．2 10【答案】 A考点：线性拘束.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种状况：1, 直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率， 2，直线斜率必但是在可行域中平移时的截距的最值. 可以再直角坐标系中画出可行域，此后在画出直线，经过观察求出待求量的最值；由于直线在可行域中的最值都是在围成可行域的极点处获得，因此也可以先求得可行域极点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值，本题中需要将含绝对值不等式转变为不等式组，在依据线性拘束条件来求目标函数的最值.9. 运转下边的程序框图，输出的结果是（）A．7B． 4C． 5D．6【答案】 D考点：程序框图.10. 设 S n 是数列a n 的前 n 项和，且 a 1 1, a n 1S nSn 1，则使nS n 2 获得最大值时n 的10S n 21值为（）A. 2B.5C.4D. 3【答案】 D【解析】试题解析： 由于a n 1 S n 1S n，因此有S n1S nS n 1S n1 11 ，即1为首S n 1S nS n项等于 1公差为 1 1 n1 的等差数列因此S n S n，则n2n( 1)21 n 1nS nnnn 2 1 10S n21 10(1)21 10( 1) 2n 2 10 101 nn n10 2 10, 当且仅当 n 10 时取等号，由于 n 为自然数，因此依据函10，由于 nnnn数的单调性可从与n10 相邻的两个整数中求最大值， n 3, S n1nS n 23 ,，3 1 10S n 219n 4, S n1 , nS n22 ，因此最大值为 3，此时 n3 ，故本题正确选项为 D.4 1 10S n 21319考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值.11. 在正四棱锥 V ABCD 中（底面是正方形，侧棱均相等） ， AB2,VA6 ，且该四棱锥可绕着 AB 作任意旋转， 旋转过程中 CD ∥ 平面 . 则正四棱锥 V ABCD 在平面内的正投影的面积的取值范围是（）． [2,4]B． (2,4]C．[ 6,4]AD ． [2,2 6]【答案】A【解析】试题解析：由题可知正四棱锥V ABCD在平面内的正投影图形为平面截 V ABCD所得横截面图形，此中平面是平行于CD的平面，四棱锥底面积为S1AB2 4 ,任意一个侧面的高为(6) 212 5 ，则侧面面积为S2 5 ,四棱锥的高为( 6)2(2) 2 2 ，所以过 V且垂直于底面的截面面积为S3 2 ,经解析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面平行时，投影面积最大，当底面与平面垂直时，投影面积最小，因此投影面积的取值范围为[ 2,4]，故本题正确选项为 A.考点：投影.【思路点睛】解答本题要清楚平面与 AB 的关系，由于两者平行，因此可以直接把四棱锥底面ABCD看做平面，这样可以便于研究投影的面积，当四棱锥没有转动时，投影为底面正方形，当逆时针旋转且不超出时，投影由矩形变为三角形，此中三角形面积愈来愈小；2当旋转角度超出时，投影逐渐由三角形变为矩形，最后为正方形，因此只要求得中间三个2特其余投影面积，即可求得投影的取值范围.12. 已知实数p0 ，直线 4x 3 y 2 p 0 与抛物线y2 2 px 和圆(x p )2y2p2从上24到下的交点挨次为AC的值为（）A,B, C,D ，则BDA．1B．5C．3 8168D．716【答案】 C考点：函数的图象.【思路点睛】本题主要观察函数图象的的交点间线段的比值问题. 第一要分别求得直线与两曲线的交点横坐标，即联立方程组，并解方程，即可求得交点横坐标. 依据横坐标的大小确立A, B, C , D 的横坐标，（也可经过两曲线的交点，来判断抛物线与圆的地点关系，从而确立A, B, C , D 的坐标）再利用相似三角形的性质，即可经过线段在水平方向上的投影比值来求得AC.BD第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）13. 已知双曲线x2y21的一条渐近线方程为y3x，则实数 m 的值为______. 2m m 4【答案】45【解析】试题解析：由于双曲线x2y2 1 的两条渐近线为 y b x，因此 x2y 21的渐近a2b2a2m m4线为y m 4x ，则有m4 3 m 4 . 2m2m5考点：双曲线的渐近线.14.将一枚硬币连续扔掷三次，它落地时出现“两次正面向上，一次正面向下” 的概率为 ______. 【答案】【解析】试题解析：抛出的硬币落地式正面向上与朝下的概率是相等的，设向上为p0.5 ，则朝下为q 1p0.5 ，扔掷三次，两次正面向上的概率为C32 p2 q30.475 .考点：独立事件的概率及组合的运用.15. 在Rt ABC 中，AB4, AC2，点P为斜边BC 上凑近点 B 的三均分点，点 O 为ABC 的外心，则 AP AO 的值为_____.【答案】 6考点：向量的运算.【思路点睛】依据向量的运算，分别求得AP，AO ，即可求得其数目积，第一依据向量垂直的性质有 AB AC 0 ，其次点 P 为斜边 BC 上凑近点 B 的三均分点，因此要求先求得BC ,才能进一步求得, BP而依据三角形外心是三角形中线的三均分点，及三角形中线为两邻边向量和的一半，即可求得向量 AO ,分别代入AP AO 即可求得数目积.16. 已知函数f ( x)x3 3x ，若过点M (2, t)可作曲线y f ( x) 的两条切线，则实数t 的值为______.【答案】6或 2【解析】试题解析： f ( x)x33x的导函数为 f ( x) 3x2 3 假设过点M (2, t )的切线斜率为k，则有k 3x023x033x0t，可得 2 x036x02 6 t 0 ，有两条切线，即x022x03 6 x02 6 t0 有两个不等的数根，可令 y 2x 3 6x 26t ，函数恰好有两个零点， y6x212x ，有函数的性可知函数存在两个极点x10, x2 2, 极分y16t , y2 t2,当且当极点零点函数才好有两个零点，因此有y1 6 t0或y2t 2 0 t1 6或t2 2 因此 t 的6或2 .考点：函数的运用，直的斜率.【方法点睛】某点可做函数象的切，可依据函数的性，即函数等于切的斜率，求得切的斜率，可通两点式来求得切的斜率，所求的两个斜率相等即可建立有关切点横坐的方程，中明有两条切，即有两个切点，也就是方程有两个不等的数解，再利用函数的零点个数与函数的性（函数性，极点）即可求得t 的.三、解答（本大共 6 小，共70 分 . 解答写出文字明、明程或演算步. ）17.（本小分 12 分）在ABC 中， a、 b、 c 分是角 A、 B、 C 所的，且足a3b cosC .（Ⅰ）求tanC的；tan B（Ⅱ）若 a 3, tan A 3 ，求ABC 的面.【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）3.a b c2R可得：解析：（ I ）由正弦定理sin B sin Csin A2R sin A=32R sin B cosC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分A B C sin A sin( B C)=3sin B cosC ，-------------------------3分即 sin B cosC cos B sin C =3sin B cosCcos B sin C =2sin B cosC cos B sin C =2故tan C=2．-------------------------sin B cosC5分tan B（ II ）（法一）由A B C得 tan(B C )tan(A) 3 ,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，2依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，因此 tan B1, tanC 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分tan A 3 ，可得 sin B2，sin C25，sin A310 ，2510代入正弦定理可得3=b，b 5 ，-------------------------10分3102102因此 S ABC 1ab sin C1 3 5253.-------------------------12分225（法二）由 A B C得tan(B C )tan(A)3,即tan B tanC3,将tan C 2 tan B代入得：3t Ba n3，tan B tan C2211t Ba n-------------------------7分解得 tan B1或 tan B 1，依据 tan C 2 tan B 得 tan C、tan B 同正，2因此 tan B1, tanC 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因 a3b cosC 3 因此 b cosC 1 ，ab cosC3ab cosC tan C 6．-------------------------10分SABC 1ab sin C 1 6 3 ．-------------------------12分22考点：正弦定理的运用，三角函数的恒等.18.（本小分 12 分）了某地区成年人血液的一指，随机抽取了成年男性、女性各10人成的一个本，他的血液指行了，获得了以下茎叶. 依据医学知，我此指大于40为偏高，反之即为正常 .（Ⅰ）依据上述样本数据研究此项血液指标与性其余关系，完成以下2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超出 0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系？正常偏高合计男性女性合计（Ⅱ）现从该样本中此项血液指标偏高的人中随机抽取 2 人去做其余检测，求男性和女性被抽到的概率 .参照数据：P(K 2k0 )k0（参照公式：K2n(ad bc) 2，此中 n a b c d ）(a b)(c d )(a c)(b d )【答案】（ I ）列联表见解析，能犯错误的概率不超出0.10 的前提下以为此项血液指标与性别有关系；（ II ）1 . 3【解析】试题解析：（ I ）由茎叶图可得男性数据5,7,19,22,23,24,25,36,37,45 ，女性数据2,13,14,16,21,42,44,46,48,53 可知正常数据男性为9 ，女性为 5 ，将列表数据代入K2=n( ad bc)22与 2.706 比，可知在犯的概率不超求，并用k(a b)(c d )(a c)(b d )的前提下此血液指与性有关系；（ II ）血液指偏高的人中间有男性1人，女性 5 人，分列出所抽取两人的可能事件共有15 种，而有男性的事件 5 种，因此抽到男性与女性的概率1 . 3解析：（ I ）由茎叶可得二列表正常偏高合男性9110女性5510合14620⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（填一个数，扣 2 分，两个以上扣 4 分）n( ad bc)2= 20（9552K 2 =）1(a b)(c d )(a c)(b d )1010146因此能在犯的概率不超的前提下此血液指与性有关系 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分考点：茎叶与概率的合运用.19.（本小分 12 分）如，四棱P ABCD 的底面 ABCD 矩形， AB 2 2 ， BC 2 ，点P在底面上的射影在 AC 上，E， F 分是AB,BC的中点.（Ⅰ）明：DE平面PAC；（Ⅱ）在 PC 上能否存在点M ，使得 FM ∥平面 PDE ？若存在，求出PM的；若不PC存在，明原由 .【答案】（Ⅰ）明解析；（Ⅱ）存在，原由解析.解析：（ I ）在矩形ABCD中，AB : BC 2 :1，且E是AB的中点，∴ tan ∠ ADE = tan ∠CAB 1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2∴∠ ADE =∠CAB,∵∠CAB∠ DAC90, ∴∠ADE∠ DAC90, 即AC ⊥DE .⋯⋯⋯⋯ 3 分由可知面PAC面 ABCD，且交AC ，∴DE面 PAC. ⋯⋯⋯⋯ 5 分PMDGHCFAEB（ II）作DC 的中点G ，GC 的中点H，GB 、 HF . ⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵DG ∥EB ，且DGEB∴四 形EBGD平行四 形，∴DE ∥GB∵ F 是 BC 的中点， H 是GC 的中点，∴ HF ∥GB ，∴ HF ∥ DE .⋯⋯⋯⋯ 8分作H 作HM ∥PD 交PC 于M ， FM ，∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ，∴平面 HMF ∥平面 PDE ，∴ FM ∥平面 PDE . ⋯⋯⋯ 10 分由 HM ∥ PD 可知：∴PMDH3 ⋯⋯⋯⋯ 12 分MCHC考点：直 与平面的垂直（平行）的性 与判断.20. （本小 分 12 分）已知 E :x 2y 2 1( a b 0) 的左、右焦点分F 1、 F 2 ， D 上任意一点，a 2b 2且DF 1 DF 2的最大a 2.4（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）已知 的上 点 A(0,1) ， 直 l : ykx m(m 1) 与 E 交于不一样样的两点B 、C ，且AB AC ， 明： 直 l 定点，并求出 定点坐 .【答案】（ I ） e3 3 ) .；（ II ） 明 解析， (0,25解析：（ I ）2DF 1 DF 2 ( cx 0 , y 0 )(c x 0 , y 0 )x 02c2y 02c2 x 02b 2c 2 ，⋯⋯⋯ 2 分a因 0 x 02 a 2 ，因此当 x 02 a 2 ， DF 1DF 2 得最大 b 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分因此 b 2a 2 , 故离心率 e 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分42（ II）由 意知 b1，可得 方程 ：x 2 y 21，4B( x 1, y 1 )C (x 2 , y 2 )由y kx m，得 (1 4k 2 ) x 2 8kmx 4(m 2 1) 0 ，x 2 4 y 24x 1 x 28kmx2 ， x 1 x 24(m 2 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1 4k1 4k 2由 AB AC 0 得： x 1x 2 ( y 1 1)(y 2 1) 0即 (1k 2 ) x 1 x 2 k(m 1)(x 1x 2 ) (m 1)2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分将 达定理代入化 可得：m3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5因此 直 l 的方程 ： y kx3，即直 恒 定点 (0,312 分) ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 5河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析考点：的离心率，向量的运算，函数象的交点.21.（本小分 12 分）函数 f ( x) (e x 1)(x a), e 自然数的底数.（Ⅰ）当 a 1 ，函数 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切l，明：除切点(1, f (1)) 外，函数 y f ( x) 的像恒在切 l 的上方；（Ⅱ）当 a0 ，明： f ( x) x ln x10 . e【答案】（ I ）明解析；（ II ）明解析 .【解析】解析：（ I ）当a 1 ，f ( x)(e x1)( x 1) ， f (x) (e x1) e x ( x 1) xe x1，可求得点 (1, f (1)) 及点切的斜率，获得切的方程，函数象在切上方，即(e x1)( x 1) ( x 1)(e 1) 因此只要明(e x1)( x 1) (x 1)(e 1) 在x 1 恒建立，1数象在切上方；（II）明f ( x) x ln x 0建立，即明e(e x1) x x ln x10 恒建立，构造两函数p(x) (e x1)x,q( x)x ln x1，有e ep(x) q( x) 恒建立，利用函数的性分求得p( x)，q( x) 在 x0 的最小，最大，即可明 p( x)q( x) 建立，从而得 (e x1) x x ln x10建立.e解析：（Ⅰ）当 a 1 ，f ( x)(e x 1)(x1)，f (1)0 ，f(1) e1因此在 (1, f (1))的切方程是y(e1)(x 1) ⋯⋯⋯⋯2分所等价于 (e x 1)(x1)(e1)(x1),( x1) ⋯⋯⋯⋯3分即(x)(1)0,(1)e e x x当 x 1 ，x0,10,(x)(1)0e e x e e x当 x1x0,10,(x)(1)0e e x e xe得！⋯⋯⋯⋯ 5 分考点：函数的单调性，最值，导函数的运用.【思路点睛】证明 f ( x) 的图象素来切线的上方，即要证明函数的值素来大于也许等于切线的函数值，因此可由函数 f ( x) 减去切线方程构成一个新的函数，证明该函数的最小值为非负即可 . 在此要注意： f (x) 图象在切线上方，其实不表示函数在切点处有最小值；对于不等式的证明，可以观察不等式形式，构造两个新的函数，从而将不等式恒建立问题转变为两个函数最值的大小问题.请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， RT ABC 内接于⊙O， C 90 ，弦BF交线段AC于E，E为AC的中点，在点 A 处作圆的切线与线段 OE 的延长线交于 D ，连接 DF .（Ⅰ）求证：DE EO FE EB ；（Ⅱ）若CEB 45 ，⊙O的半径 r 为 2 5 ，求切线AD的长.【答案】 (I)明解析；（II）4 5 .【解析】解析：（I ）由订交弦定理有EF EB AE EC ,又E中点，因此FE EB AE 2，只要明AE2DE EO 即可得 DE EO FE EB 建立，在直角三角形ADO 中，由射影定理即可得 AE 2DE EO ；（II）CEB45 ，E AC的中点，可知 AC2BC ,由半径 r 2 5 ，即可求得BC 4 ，从而求得AE, OE 在合AE2DE EO 求得DE,利用勾股定理即可求得AD .解析：（ I ）明：在O 中，弦 AC、 BF 订交于E，FE EB AE EC，又 E AC的中点，因此FE EB AE2，-------------------------2分又因 OA AD,OE AE ，依据射影定理可得AE 2DE EO ,-------------------------4分DE EO FE EB，------------------------5分（ II ）因AB直径，因此C=900，又因CBE 45o，因此BCE 等腰直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分AC 2BC，依据勾股定理得 AC2BC 25BC280，解得BC 4 ，-------------------8分因此 AE4， OE2，由（I）得 AE2DE EO 因此 DE8，因此 AD AE2DE 2428245 ．------------------------10分考点：射影定理，勾股定理，订交弦的性.23.（本小分 10 分）修 4-4 ：坐系与参数方程在极坐系中，曲C1的极坐方程cos2 3 sin，以极点 O 坐原点，极x 非半C 2x 2 cos,建立平面直角坐系，曲的参数方程2 sin ( 为参数）.y（Ⅰ）求曲C1的直角坐方程；（Ⅱ）若3，曲 C 2上点P ，点P 作C2的切与曲C1订交于A, B两点的，求段AB中点M与点P 之的距离.【答案】（ I ）x23y ；（II） 3 .【解析】解析：（ I ）由cos23sin ，得2 cos23sin，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分曲 C1的直角坐方程x23y ，-----------------------------------4分（II ）将=代入 C2x2cos :2sin3y得 P(1,3) ，由题意可知切线AB 的倾斜角为5，--------------------------6 6分x 1 3 t设切线 AB的参数方程为2（ t 为参数），1y3t2代入x23y 得：(1 3 t )23( 31t ) ，22即3t 2 3 3t 2 0 ，--------------------------8分42设方程的两根为t1和 t2可得：t1t2 2 3 ，因此 x M 1[ 23(t1t2 )]1 222112因此 MP 3 --------------------------10分32考点：极坐标系，参数方程的运用.2x2y 2【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转变时满足关系式tan y，代入极坐标系方程，x进行化简单可求得直角坐标系方程；对于直线上两点间距离，可以先求得两点横坐标（也许纵坐标）间的差值，再利用三角函数来求得两点间的距离，本题中利用了参数法直接求得A, B 两点的坐标关系，从而获得中点M 的坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知实数 a0, b 0，函数 f ( x) x a x b 的最大值为 3 .（Ⅰ）求 a b 的值；（Ⅱ）设函数g x x2ax b，若对于x a，均有g(x) f ( x)，求 a 的取值范围.( )【答案】（I ）3；（II ）1a 3 . 2河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试文数试题Word版含解析【解析】（ II）当x a时， f ( x)| x a || xb | =x a ( x )b，ab ---------------------6分对于 x a ，使得g( x) f ( x) 等价于x a ， g max ( x) 3 建立，g(x) 的对称轴为x aa ，2g ( x) 在 x [ a,) 为减函数，g(x) 的最大值为g( a)a2a2b2a2 a 3 ，--------------------------8分2a2 a 3 3 ，即 2a2a0 ，解得a0 或 a1，3，因此12又由于 a0, b0, a b a 3 ．--------------------------10分2考点：绝对值不等式的应用，函数的单调性与最值.。
河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）本试卷共23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N = （ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞D ．(2,)+∞ 2．若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量)1,(),,1(m b m a ==，则“1m =”是“b a //”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72 B ．73 C ．74 D ．75 5．已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin150,cos150)︒︒，则α=（ ） A ．150︒ B ．135︒C ．300︒D ．60︒6．函数ln ||()||x x f x x =的大致图象是（ ）7．如图是计算11113531++++…的值的程序框图，则图中①②处 应填写的语句分别是（ ）A ．2n n =+,16?i >B ．2n n =+,16?i ≥C ．1n n =+,16i >?D ．1n n =+,16?i ≥ 8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．34π B ．24π+C ．12π+D ．324π+ 9．实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z mx y =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．2D ．5 10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643πB ．2563πC ．4363π D 11．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点 M 满足||1AM = ，0PM AM ⋅= ，则||PM的最小值是（ ）A B C ．D ．312．已知函数2|2ln |,0,()21,0x x f x x x x +>⎧=⎨--+≤⎩存在互不相等实数a ，b ，c ，d ，有()()()()f a f b f c f d m ====．现给出三个结论： （1）[1,2)m ∈；（2）314[2,1)a b c d e e e ---+++∈+--，其中e 为自然对数的底数； （3）关于x 的方程()f x x m =+恰有三个不等实根． 正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n个不等式可能为 ．14．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ． 15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ． 16．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c，其面积S =1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1n T <.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形 ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥， 2AB AF EF ===，4AD CD ==． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积. 19．（本小题满分12分）天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关试建立y 6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程 y bxa =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， ay bx =- 20．（本小题满分12分）已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本小题满分12分） 已知函数1()(1)1xax f x a x e+=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.数学（文科）参考答案一、选择题1-5BAACC 6-10 BADBB 11-12CC二、填空题13. 1n 12n )1(131211222++<+++++n 14.2215. 16．12三、解答题 17. 解： (1) 当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+ ①（②………2分①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =，当1n =时，12a =,……………4分所以2nn a =，*n N ∈……………………5分 (2)因为2n n a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………7分 因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………9分 111n =-+……………………11分所以n T 1<……………12分 18：(1)证明取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ， ………………………………2分 又AE ⊥EC ，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ， ∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ；……………5分 (2)由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO，…………………7分 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+…………………………9分111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+=11124332F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯=△，………………………………11分∴ABCDEF V ==．………………………………12分 19.（1）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P .………………………4分（2）由题意可知1234535x ++++==， …5分50+85+115+140+160=1105y =…6分51521()()275==27.510()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，………8分==27.5a y bx - 所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+. ………………10分 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. ………………………12分20.（Ⅰ）方法一：设M （x ，y ）， 由题意可知，A （1-r ，0），因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上，所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+，化简可得y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0）………………………4分 方法二：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），AM 的中点,x>0，因为C （1，0），，．………………………2分在⊙C 中，因为CD ⊥DM ，所以，，所以．所以，y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0……4分（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-，…………………6分 11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，………………………8分联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===，所以点B （-1，2m ）……………10分||BC =，2d ===B ∴e 与直线MN 相切……12分21.解：（1）当1=a 时，x e x x f -+-=)1(1)(，当1=x 时，ex f 21)(-=， 1'(1)f e=，所以所求切线方程为：e x e y 311-+=..........................................5分（2）首先xe a ax a xf --++-=)1()1()('，令其为)(x g ，则x e a ax x g --+-=)12()('....................................7分1）当12≤a 即210≤≤a 时，,0)('≤x g )(x g 单调递减，即)('x f 单调递减， 0)('≤x f ，)(x f 单调递减，0)(≤x f ，所以210≤≤a 成立；.....................9分2）当21>a 时，0)12()('=-+-=-x e a ax x g 解得：a x 12-=，当)12,0(ax -∈时，,0)('>x g )(x g 单调递增，即)('x f 单调递增， 0)('>x f ，)(x f 单调递增，0)(>x f ，所以21>a 不成立。
2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3A =-，1lg B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= ( )A ．{}3-B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,1,3-2. 已知命题()000:0,,ln 1p x x x ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为( ) A ．真；()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．真；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- C ．假；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．假；()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-3.设复数z 满足()13i z i +=+(0.1)，则z = ( )A ．2i +B ．2i --C ．1i +D ． 1i -- 4.已知命题:1p x y >>，命题:331x y q >>，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知()()3,,1,2a t b ==-，若存在非零实数λ，使得()a ab λ=+，则t =( ) A ．6 B ．6- C. 32- D ．236.点)Pa 是角660︒终边上一点，则a = ( )A ．3-B ．3 C.1- D ．17. 已知α为锐角，且3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin πα-=( )A B C. D 8.在ABC ∆中，22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD ⋅= ( )A ．3B ．2 C.73 D ．239.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是 ()A ．()2ln x f x x =B ．()2ln x f x x = C. ()211f x x =- D ．()11f x x x=-10. 函数()()cos 02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，若方程()f x a =在()00,x 上有两个不同的实数解12,x x ，则()()1122x f x x f x +的取值范围是()A ．{}0 B．⎛- ⎝⎭C. 53⎛- ⎝⎭ D．103⎛- ⎝⎭11. 已知函数()f x 满足对任意实数,m n ，都有()()()1f m n f m f n +=+-，设()()()0,11xx a g x f x a a a =+>≠+，若()ln 20172018g =，则1ln 2017g ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．2017B ．2018 C. 2016- D ．2015- 12.已知对()0,x ∀∈+∞，不等式ln 1n x m x +≥-恒成立，则mn的最大值是 ( ) A ．1 B ．1- C.e D ．e -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知幂函数()f x的图象经过点14⎛ ⎝，则()f x = ．14.已知函数()()2cos f x x x b =-+，若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为10ax y -+=，则a b -= ．15.已知平行四边形ABCD ，1,,60AB AD BC CD BCD ===∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大为 ．16.已知()22,2,x x af x x x a⎧-≥=⎨+<⎩，若函数()()2x g x f a =-有零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3a =，点D 在AC 边上且,BD AC BD ⊥=c . 18. 结合命题:p 函数()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数；命题:q 函数()f x =[)0,+∞.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 19. 已知sin cos ,sin ,sin ,2cos44a x x x b x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x a b =⋅.（Ⅰ）求()f x 的最小值及()f x 取得最小值时x 的取值集合； （Ⅱ）若函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.20. 已知函数()()21x f x xe x =-+.（Ⅰ）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值； （Ⅱ）若0x <，求证：()1f x x <--.21. 已知函数()()()12log 124,x x f x a bx a b R +=+++∈. （Ⅰ）若1a =，且()f x 是偶函数，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 在(),1-∞-上有意义，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若4a =，且()()(){}11A x f x b x ==++=∅，求实数b 的取值范围. 22.已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈. （Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()()112212,,,A x y B x y x x >，使得直线AB 的斜率2k a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: BBAAB 6-10: AADBC 11、12：DC 二、填空题13. 14x - 14. 015. 1+ 16.[][)1,23,-⋃+∞ 三、解答题17. （Ⅰ）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理， 可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()sin sin B C A +=， 所以()sin 2cos 10A B +=，因为0,sin 0A A π<<≠，所以12cos ,23B B π=-=.（Ⅱ）由23B π=得222239b a c ac c c =++=++， 又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B b BD ==⋅，把23,,3a B BD π===75b c =， 所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =.18. （Ⅰ）若p 为真命题，则()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数；因为(),0x ∈-∞且02ax a >-，所以02a a <-，故2axy a =-在(),0-∞上是减函数； 所以要使()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数，应满足31a >，由3102a a a >⎧⎪⎨<⎪-⎩得123a <<，即实数a 的取值范围是1,23⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若p 为真命题，则123a <<，若q 为真命题，则函数()f x [)0,+∞，所以24200a -≥，解得45a ≤， 所以，若q 为真命题，则45a ≤. 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假. 若p 真q 假，则有12345a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以425a <<；若p 假q 真，则有12345a a ⎧≤≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或，所以13a ≤.故实数a 的取值范围为14,,235⎛⎤⎛⎫-∞⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.19. （Ⅰ）因为sin cos ,sin ,sin ,2cos 44a x x x b x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2sin sin cos 2sin cos 44f x a b x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1cos 2111sin 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x xπ-⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭()111sin 2cos 222242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x，此时()2242x k k Z πππ+=-∈，即()38x k k Z ππ=-∈， 所以()f x时x 的取值集合为()3,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）函数()f x 的图象向右平移8π个单位后得到()g x 的图象， 则()1282g x f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 所以当()22222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时()g x 单调递增，所以()g x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.20. （Ⅰ）因为()()21x f x xe x =-+，所以()()()()()12112x x f x x e x x e '=+-+=+-，令()0f x '=得121,ln 2x x =-=，()(),f x f x '的变化如下表：()f x 在[]1,2-上的最小值是()2ln 21--，因为2211290,0,29e e e e->-<->-，所以()f x 在[]1,2-上的最大值是229e -. （Ⅱ）()()()11x f x x x e x ---=--，因为0x <，所以()110x f x x e x <--⇔-->，设()1x g x e x =--，则()1x g x e '=-，当0x <时，()0g x '< 所以()g x 在(),0-∞上是减函数，()()00g x g >=， 所以10x e x -->，即0x <时()1f x x <--.21. （Ⅰ）当1a =时，()()()122log 1242log 12x x x f x bx bx +=+++=++，若()f x 是偶函数，则()()0f x f x --=，即2122log 2012xxbx -++=+，即220x bx +=，所以1b =-.（Ⅱ）()f x 在(),1-∞-上有意义，则对任意(),1x ∈-∞-，11240x x a +++>恒成立， 即对任意(),1x ∈-∞-，11242xxa ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，设()11142xx g x -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由指数函数单调性易得()g x 在(),1-∞-上是增函数，所以()()18g x g <-=-，由()a g x >恒成立得8a ≥-，即实数a 的取值范围是[)8,-+∞. （Ⅲ）当4a =时，()()()()11211log 1241x x f x b x x b ++=++⇔++-=+221log 2212x x b +⎛⎫⇔++=+ ⎪⎝⎭，由A =∅可得方程221log 2212x x b +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭无实根，因为2122262x x +++≥=，2221log 22log 62x x +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭所以，当21log 6b +<，即2log 3b <时A =∅， 故实数b 的取值范围是()2,log 3-∞.22. （Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，当0a <时，()()()221211212ax a x f x ax a x x+--'=+--=()()()1212112a x x ax x a x x⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==， （ⅰ）若112a -=，即12a =-时，()0f x '≤恒成立，()f x 在()0,+∞上是减函数； （ⅱ）若112a ->，即102a -<<时，11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 是增函数，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数，1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数； （ⅲ）若112a -<，即12a <-，1,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， 10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数，()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数；综上可得，当12a =-时，()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当102a -<<时，()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当12a <-时，()f x 的增区间是1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是()10,,1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）假设()f x 的图象上不存在两点()()()112212,,,A x y B x y x x >，使得直线AB 的斜率2k a ≥-成立，则对()f x 的图象上任意两点()()()112212,,,A x y B x y x x >，都有2k a <-成立， 即()()12122f x f x k a x x -=<--恒成立，即()()112212220f x ax f x ax x x +--<-恒成立，因为12x x >，所以()()112222f x ax f x ax +<+，所以()()22ln g x f x ax ax x x =+=+-是减函数，()1210g x ax x'=+-≤恒成立， 因为0x >，所以21122a x x≤-恒成立， 因为221111111222288x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以18a ≤-. 即若对()f x 的图象上任意两点()()()112212,,,A x y B x y x x >，都有2k a <-成立，则18a ≤-，所以若()f x 的图象上不存在两点()()()112212,,,A x y B x y x x >，使得直线AB 的斜率2k a ≥-成立，则18a >- ，即实数a 的取值范围是1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
2016-2017学年度石家庄质检二考试（数学文科答案）一、选择题：1-5CDABB 6-10BBADC 11-12DC16.15 二、填空题：13. 4 14.三、解答题（解答题只给出一种或两种答案，在评卷过程中遇到的不同答案，请参照此标准酌情给分）解：（Ⅰ）由已知得，………1分且，17.∴设数列的公差为，则有，分 (3)，即，，得由∴．……………5分∴，∴，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知．………………，得7分∴项和为的前．设数列∴①②………………8分①－②，得分10………………∴分12……………18.在平面内的正投影为解析：（Ⅰ）证明：因为点又因为则, 2……………………分中其，菱2边是长为的形且点作过得由且，分 (4)易证又因为分6………………….（Ⅱ）则有由上问，分8……………又因为分10……分12…．座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为解：（Ⅰ）一辆普通.19.6 分 (4)，（Ⅱ）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车,设为，四辆非事故车设为，，），，.从六辆车中随机挑选两辆车共有（，），（，，，（），（，），），（，（），），，（，（），，），（（，，），（，），（），（），（，，），（），总共，15 分种情况。
(6)），（），（，，，），（），（其中两辆车恰好有一辆事故车共有（，，），（），总共8，），（，，种情况。
所以该顾客在店内随机挑选的两），（辆车恰好有一辆事故车的概率为.……………………8分②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，…10分,所以一辆车盈利的平均值为元.……12分.…………2分，则直线20解：（Ⅰ）设的斜率为，直线的斜率为于是由，得，整理得. …………4分y=kx+2,点P，Q的坐标分别为(x的方程为,y),(x,y)直线PQ与椭,（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时设直线PQ212122+16kx-32=0(4k+3)x. 得圆方程联立分…………………,xx=-所以,x+x=-.622112+2k(xx+x·+,从而y=x·x+y+= 2(1+k)+4)x22112112………………………………=8分=-20+.·10·分+………………………-20·+·的值为PQ当直线斜率不存在时的取值范围为.+·综上所述…………………………12·分21．解析：（Ⅰ）当时，曲线…分2时，切线的斜率为，又切线过点所以切线方程为分4………………，（Ⅱ）．分在上单调递减；……………6时，当，函数当时，令，上单调递增；……，此时8分，函数在当，时，即有两个不等实根时，即，方程当，,所以分10…)(上单调递增；在上单调递减在此时，函数综上所述，当的单减区间是时，；，单增时，的单减区间是当单增区间是时，区间是当12……分22.的直角坐标方程为为半径的圆；直线是以【解析（Ⅰ）曲线23.为圆心，以分2．所以：，解得：只有一个公共点，则可得（舍），由直线与圆4…分的极坐标方程为（Ⅱ）曲线，的极角为的极角为，，设 (6)8……分分10…所以当的面积最大值．取得最大值时，为半径的圆，且解法二：因为曲线是以为圆心，以．……………………………，所以6分由正弦定理得：8分……………………………由余弦定理得所以分．………………………………所以的面积最大值10x=分（如果没有此步骤，需要图中标示出……………223.【解析】（Ⅰ）对应的关键点，否则扣分）,x=1, 画出图象如图……………5分．（Ⅱ由（Ⅰ）知分……………∵,7,,的最大值为∴∴分10等号成立．………………,时当且仅当．。
河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试数学（理科）本试卷共23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N =U （ ）A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(,1][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞+∞U 2．若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量)1,(),,1(m b m a ==，则“1m =”是“b a //”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ） A ．310B ．25C ．12D ．355．已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒，则α=（ ） A ．215︒ B ．225︒C ．235︒D ．245︒6．已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>7．如图是计算11113531++++…的值的程序框图，则图中①②处 应填写的语句分别是（ ） A ．2n n =+,16?i > B ．2n n =+,16?i ≥C ．1n n =+,16i >?D ．1n n =+,16?i ≥8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．34π B ．24π+C ．12π+D ．324π+ 9．实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45︒，过圆柱的轴的平面截该几何体所得 的四边形''ABB A 为矩形，若沿'AA 将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）11．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和22221()()x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为6251-，则椭圆的离心率为（ ） A ．35 B ．34C ．45D 7 12．若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）14．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点(3,4)M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的标准方程为 ．16．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积()()()S p p a p b p c =---这里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，其面积取最大值时sin A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，34n T <.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角 梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为 等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程$$y bxa =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，$ay bx =-$ 20．（本小题满分12分）已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本小题满分12分）设函数()xf x e ax a =-+，其中e 为自然对数的底数，其图象与x 轴交于A 1(,0)x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：122'()03x x f +<（'()f x 为函数()f x 的导函数）． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题13. 540- 14 . 2215.221520x y -= 16.35三、解答题17.解：(1)当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+L L ①（②……………………2分①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅所以2nn a =，……………………3分当1n =时，12a =，所以2nn a =，*n N ∈ …………………………………………4分(2)因为2n n a =，22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………………6分因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .………………………8分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………10分3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以，对任意*n N ∈，34n T <．…………………12分18．(1)证明:取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ，………………2分又AE ⊥EC ，DE EC E =I ∴AE ⊥平面CDE ， ∴AE ⊥CD ， 又CD ⊥AD ，AD AE A =I ,∴CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；………………………………5分（2）如图，作EO ⊥AD ，则EO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，分别以,,OA DC OE u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得E ，(3,0,0)A ，(1,4,0)C -，F ，所以(3,0,EA =u u u r ， (4,4,0)AC =-u u u r，(3,CF =-u u u r…………………………7分 设(,,)n x y z =r为平面EAC 的法向量，则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g即30440x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设x =1，可得n =r，…………………………9分所以cos ,70||||CF n CF n CF n <>===u u u r ru u u r r g u u u r r g =3535， ………………………………11分 直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535………………………………12分19.解：（1）四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ……………………………………2分 所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=………4分 （2）由题意可知1234535x ++++==， …………………………………………5分50+85+115+140+160=1105y = ………6分51521()()275==27.510()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑$，……8分$==27.5a y bx-$所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+. ………10分 将降雨量6x =代入回归方程得： ˆ27.5627.5192.5y=⨯+=193≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. …………………………12分20.（Ⅰ）方法一：设M （x ，y ）， 由题意可知，A （1-r ，0），因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上，所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分 所以222(1)(1)x y x -+=+，化简可得y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0）………………………4分 方法二：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），AM 的中点,x>0，因为C （1，0），，．……2分在⊙C 中，因为CD ⊥DM ，所以，，所以．所以，y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0）………4分（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-，…………………6分 由（1）可知，11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，………………………8分联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===，所以点B （-1，2m ）………………10分||BC =，2d ===122+m ，B ∴e 与直线MN 相切…………12分21.【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．................................................................................. 2分当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．................................................ 4分 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；（或寻找f （0））存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ................................................................................................ 5分（2）因为1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-． ......................7分记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………………9分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e 02x x s +>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且3222121x x x x +>+， 所以0)32('21<+x x f 。
2017年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)高三数学（文科答案） 一、 选择题：1-5CCDCA 6-10DACCB 11-12DC 二、 填空题:13. 6 14. - 15． 9(2,2015)_______ 三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分） 17.解：(1)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --= ……………………………………2分2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=…………4分1sin 0,cos ,23C B B π≠∴=∴=……………………………………6分(2)22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--…………………………8分7,13,3b ac B π=+== 40ac ∴=………………………………10分1sin 2S ac B ∴==12分18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有103010060%n ++=⨯，20n =；…………………………………2分()1002030201020m =-+++=.……………………3分该商场每日应准备纪念品的数量大约为6050003000100⨯=.………………5分 （II ）设购物款为a 元当[50,100)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人， 当[100,150)a ∈时，顾客有500030%=1500⨯人， 当[150,200)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人，当[200,)a ∈+∞时，顾客有500010%=500⨯人，…………………………7分 所以估计日均让利为756%1000+1258%150017510%100030500⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯…………10分52000=元……………12分19. 解：（1）取AB 中点Q ，连接MQ 、NQ ，∵AN=BN ∴AB NQ ⊥， ……………2分 ∵⊥PA 面ABC ，∴AB PA ⊥，又PA MQ ∥ ∴AB MQ ⊥，………………4分 所以AB ⊥平面MNQ ，又MN ⊂平面MNQ ∴AB ⊥MN ………………6分（2）设点P 到平面NMA 的距离为h ， ∵M 为PB 的中点，∴PAM △S =4121PAB =△S 又AB NQ ⊥，PA NQ ⊥，∴B PA NQ 面⊥， ∵︒=∠30AB C ∴63=NQ ……………………………7分 又3322=+=MQ NQ MN ，33=AN ，22=AM ， (9)分可得△NMA 边AM 上的高为1230， ∴241512302221=⋅⋅=NMA S △………………10分 由PAM N NMA P V V --= 得 =⋅⋅h S NMA △31NQ S PAM ⋅⋅△31 ∴55=h ……………………12分 20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=，……………………2分化简得24x y =. …………4分（Ⅱ）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+……………6分以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =-……………………………………8分 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为2d =…………………………10分32221||4||4()2APQS PQ d k b k b D \=?+=+3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). …………12分解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y =上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-…………………………6分 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-……………8分 代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=12|||PQ x x \=-=00(,)A x y 到直线PQ的距离为2001|2|x y d -=………………10分32220000111|||4|(4)222APQS PQ d x y x y D \=?-=-33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+ \当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).…………12分21.解：（Ⅰ）依题意1(),f x a x '=+1()202f a '=+=，则2,a =-………………2分经检验，2a =-满足题意.…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln 22,f x x x =-+则2()ln ,F x x x x λ=--2121'()21x x F x x x xλλ--=---=.………………………6分令2()21t x x x λ=--。
