齐齐哈尔市2019年中考数学试题含答案(WORD版)

黑龙江省齐齐哈尔市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3 B．C．3 D．±32．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算不正确的是（）A．±＝±3 B．2ab+3ba＝5abC．（﹣1）0＝1 D．（3ab2）2＝6a2b44．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数5．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A 和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是（）A．B．C．D．8．（3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27 B．23 C．22 D．1810．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法表示为．12．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．13．（3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为cm．14．（3分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为．15．（3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为．16．（3分）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为．17．（3分）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）19．（5分）解方程：x2+6x＝﹣720．（8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次被抽取的学生共有名；（2）请补全条形图；（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为°；（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）货车的速度是千米/小时；轿车的速度是千米/小时；t值为．（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．23．（12分）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②（一）填一填，做一做：（1）图②中，∠CMD＝．线段NF＝（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．（二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为．（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝°．（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有对；（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝（用含m，n的代数式表示）．24．（14分）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：A．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．3．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、±＝±3，正确，故此选项错误；B、2ab+3ba＝5ab，正确，故此选项错误；C、（﹣1）0＝1，正确，故此选项错误；D、（3ab2）2＝9a2b4，错误，故此选项正确；故选：D．4．【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，故选：C．5．【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°．故选：C．6．【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．故选：B．7．【分析】根据题意，可以写出各段过程中，S与t的关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随t的增加而增大，故选项A错误，战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变，战士们从文具店去福利院的过程中，S随着t的增加而增大，故选项C错误，战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着t的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B正确，选项D错误，故选：B．8．【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y 的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论．【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，依题意，得：60x+75y＝1500，∴y＝20﹣x．∵x，y均为正整数，∴，，，，∴该学校共有4种购买方案．故选：B．9．【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．【解答】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故选：C．10．【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0∴abc＞0故结论①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）∴9a﹣3b+c＝0∵a＝b∴c＝﹣6a∴3a+c＝﹣3a＞0故结论②正确；∵当x＜﹣时，y随x的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小∴结论③错误；∵cx2+bx+a＝0，c＞0∴x2+x+1＝0∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0）∴ax2+bx+c＝0的两根是﹣3和2∴＝1，＝﹣6∴x2+x+1＝0即为：﹣6x2+x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝；故结论④正确；∵当x＝﹣时，y＝＞0∴＜0故结论⑤正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2故结论⑥成立；故选：C．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【解答】解：38000用科学记数法表示应为3.8×104，故答案为：3.8×104．12．【分析】添加AB＝DE，由BF＝CE推出BC＝EF，由SAS可证△ABC≌△DEF．【解答】解：添加AB＝DE；∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；故答案为：AB＝DE．13．【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4．14．【分析】根据解分式方程的方法和方程﹣＝3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【解答】解：﹣＝3，方程两边同乘以x﹣1，得2x﹣a+1＝3（x﹣1），去括号，得2x﹣a+1＝3x﹣3，移项及合并同类项，得x＝4﹣a，∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，∴，解得，a≤4且a≠3，故答案为：a≤4且a≠3．15．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为（﹣2，0）知OC＝AB＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠DOC＝60°，据此求得OE＝OD cos30°＝﹣k，DE＝OD sin30°＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），代入解析式解之可得．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝﹣，∴OC＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，∴∠DOE＝30°，∴DE＝OD＝﹣k，OE＝OD cos30°＝×（﹣）＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，∴k＝（﹣k）（﹣k）＝k2，解得：k＝0（舍）或k＝﹣，故答案为：﹣．16．【分析】分点A是顶点、点A是底角顶点、AD在△ABC外部和AD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．【解答】解：①如图1，点A是顶点时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，在Rt△ABD中，∠B＝∠BAD＝×（180°﹣90°）＝45°；②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°；③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°；故答案为：15°或45°或75°．17．【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．【解答】解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．三、解答题（共7小题，满分69分）18．【分析】（1）根据实数运算的法则计算即可；（2）根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．【解答】解：（1）（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|＝3+2﹣6×+4﹣2＝1；（2）a2+1﹣2a+4（a﹣1）＝（a﹣1）2+4（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+4）＝（a﹣1）（a+3）．19．【分析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，则x+3＝±，∴x＝﹣3±，即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．20．【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．21．【分析】（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名）；（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），据此补全；（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角360°×30%＝108°；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000×＝1200（名）．【解答】解：（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名），故答案为100；（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），补全条形图如下：（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角360°×30%＝108°，故答案为108；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000×＝1200（名），答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名．22．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；（3）根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：400÷（7﹣2）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．故答案为：50；80；3；（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），∴y＝80x（0≤x≤3），当3≤x≤4时，y＝240，设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），把B（4，240），C（7，0）代入得：，解得，∴y＝﹣80+560，∴y＝；（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：50x+80（x﹣1）＝400﹣90或50x+80（x﹣2）＝400+90，解得x＝3或5．答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．23．【分析】（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，得出EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，由折叠的性质得出DN＝CD＝2DE，MN＝CM，得出∠EDN＝60°，得出∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，因此∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；（2）证明△AEN≌△DEN得出AN＝DN，即可得出△AND是等边三角形；（3）由折叠的性质得出A′G＝AG，A′H＝AH，得出图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝12；（4）由折叠的性质得出∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，求出∠AGH＝50°，得出∠AHG ＝∠A′HG＝70°，即可得出结果；（5）证明△NGM∽△A′NM∽△DNH，即可得出结论；（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，证明△A′GH∽△HA′D，得出＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，得出＝＝，解得：x＝y，得出＝＝＝．【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，∴∠EDN＝60°，∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；故答案为：75°，4﹣2；（2）△AND是等边三角形，理由如下：在△AEN与△DEN中，，∴△AEN≌△DEN（SAS），∴AN＝DN，∵∠EDN＝60°，∴△AND是等边三角形；（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，∴A′G＝AG，A′H＝AH，∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；故答案为：12；（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，∵∠A′GN＝80°，∴∠AGH＝50°，∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故答案为：40；（5）如图③，∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，∵△AGH≌△A′GH∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4；（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，∴∠A′GN＝∠DA′H，∴△A′GH∽△HA′D，∴＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，∴＝＝，解得：x＝y，∴＝＝＝；故答案为：．24．【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD＝BD，所以当点C、D、B在同一直线上时，△ACD周长最小．求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D纵坐标．（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设点E横坐标为t，则能用t表示EF的长．△BCE面积拆分为△BEF与△CEF的和，以EF为公共底计算可得S△BCE＝EF•OB，把含t的式子代入计算即得到S△BCE关于t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E坐标．（4）以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N 在坐标．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6∴3k﹣6＝0，解得：k＝2∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5∴D（，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n）∴﹣n＝解得：n＝﹣∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．实用文档精心整理 21。

黑龙江省齐齐哈尔市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3 B．C．3 D．±32．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算不正确的是（）A．±＝±3 B．2ab+3ba＝5abC．（﹣1）0＝1 D．（3ab2）2＝6a2b44．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数5．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A 和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是（）A．B．C．D．8．（3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27 B．23 C．22 D．1810．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法表示为．12．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．13．（3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为cm．14．（3分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为．15．（3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为．16．（3分）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为．17．（3分）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）19．（5分）解方程：x2+6x＝﹣720．（8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次被抽取的学生共有名；（2）请补全条形图；（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为°；（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）货车的速度是千米/小时；轿车的速度是千米/小时；t值为．（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．23．（12分）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②（一）填一填，做一做：（1）图②中，∠CMD＝．线段NF＝（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．（二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为．（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝°．（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有对；（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝（用含m，n的代数式表示）．24．（14分）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：A．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．3．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、±＝±3，正确，故此选项错误；B、2ab+3ba＝5ab，正确，故此选项错误；C、（﹣1）0＝1，正确，故此选项错误；D、（3ab2）2＝9a2b4，错误，故此选项正确；故选：D．4．【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，故选：C．5．【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°．故选：C．6．【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．故选：B．7．【分析】根据题意，可以写出各段过程中，S与t的关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随t的增加而增大，故选项A错误，战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变，战士们从文具店去福利院的过程中，S随着t的增加而增大，故选项C错误，战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着t的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B正确，选项D错误，故选：B．8．【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y 的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论．【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，依题意，得：60x+75y＝1500，∴y＝20﹣x．∵x，y均为正整数，∴，，，，∴该学校共有4种购买方案．故选：B．9．【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．【解答】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故选：C．10．【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0故结论①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）∴9a﹣3b+c＝0∵a＝b∴c＝﹣6a∴3a+c＝﹣3a＞0故结论②正确；∵当x＜﹣时，y随x的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小∴结论③错误；∵cx2+bx+a＝0，c＞0∴x2+x+1＝0∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0）∴ax2+bx+c＝0的两根是﹣3和2∴＝1，＝﹣6∴x2+x+1＝0即为：﹣6x2+x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝；故结论④正确；∵当x＝﹣时，y＝＞0∴＜0故结论⑤正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2故结论⑥成立；二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【解答】解：38000用科学记数法表示应为3.8×104，故答案为：3.8×104．12．【分析】添加AB＝DE，由BF＝CE推出BC＝EF，由SAS可证△ABC≌△DEF．【解答】解：添加AB＝DE；∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；故答案为：AB＝DE．13．【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4．14．【分析】根据解分式方程的方法和方程﹣＝3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【解答】解：﹣＝3，方程两边同乘以x﹣1，得2x﹣a+1＝3（x﹣1），去括号，得2x﹣a+1＝3x﹣3，移项及合并同类项，得x＝4﹣a，∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，∴，解得，a≤4且a≠3，故答案为：a≤4且a≠3．15．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为（﹣2，0）知OC＝AB＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠DOC＝60°，据此求得OE＝OD cos30°＝﹣k，DE＝OD sin30°＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），代入解析式解之可得．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝﹣，∴OC＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，∴∠DOE＝30°，∴DE＝OD＝﹣k，OE＝OD cos30°＝×（﹣）＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，∴k＝（﹣k）（﹣k）＝k2，解得：k＝0（舍）或k＝﹣，故答案为：﹣．16．【分析】分点A是顶点、点A是底角顶点、AD在△ABC外部和AD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．【解答】解：①如图1，点A是顶点时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，在Rt△ABD中，∠B＝∠BAD＝×（180°﹣90°）＝45°；②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°；③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，∵AD＝BC，AC＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°；故答案为：15°或45°或75°．17．【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．【解答】解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．三、解答题（共7小题，满分69分）18．【分析】（1）根据实数运算的法则计算即可；（2）根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．【解答】解：（1）（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|＝3+2﹣6×+4﹣2＝1；（2）a2+1﹣2a+4（a﹣1）＝（a﹣1）2+4（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+4）＝（a﹣1）（a+3）．19．【分析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，则x+3＝±，∴x＝﹣3±，即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．20．【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．21．【分析】（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名）；（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），据此补全；（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角360°×30%＝108°；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000×＝1200（名）．【解答】解：（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名），故答案为100；（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），补全条形图如下：（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角360°×30%＝108°，故答案为108；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000×＝1200（名），答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名．22．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；（3）根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：400÷（7﹣2）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．故答案为：50；80；3；（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），∴y＝80x（0≤x≤3），当3≤x≤4时，y＝240，设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），把B（4，240），C（7，0）代入得：，解得，∴y＝﹣80+560，∴y＝；（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：50x+80（x﹣1）＝400﹣90或50x+80（x﹣2）＝400+90，解得x＝3或5．答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．23．【分析】（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，得出EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，由折叠的性质得出DN＝CD＝2DE，MN＝CM，得出∠EDN＝60°，得出∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，因此∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；（2）证明△AEN≌△DEN得出AN＝DN，即可得出△AND是等边三角形；（3）由折叠的性质得出A′G＝AG，A′H＝AH，得出图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝12；（4）由折叠的性质得出∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，求出∠AGH＝50°，得出∠AHG ＝∠A′HG＝70°，即可得出结果；（5）证明△NGM∽△A′NM∽△DNH，即可得出结论；（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，证明△A′GH∽△HA′D，得出＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，得出＝＝，解得：x＝y，得出＝＝＝．【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，∴∠EDN＝60°，∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；故答案为：75°，4﹣2；（2）△AND是等边三角形，理由如下：在△AEN与△DEN中，，∴△AEN≌△DEN（SAS），∴AN＝DN，∵∠EDN＝60°，∴△AND是等边三角形；（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，∴A′G＝AG，A′H＝AH，∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；故答案为：12；（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，∵∠A′GN＝80°，∴∠AGH＝50°，∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故答案为：40；（5）如图③，∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，∵△AGH≌△A′GH∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4；（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，∴∠A′GN＝∠DA′H，∴△A′GH∽△HA′D，∴＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，∴＝＝，解得：x＝y，∴＝＝＝；故答案为：．24．【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD＝BD，所以当点C、D、B在同一直线上时，△ACD周长最小．求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D纵坐标．（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设点E横坐标为t，则能用t表示EF的长．△BCE面积拆分为△BEF与△CEF的和，以EF为公共底计算可得S△BCE＝EF•OB，把含t的式子代入计算即得到S△BCE关于t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E坐标．（4）以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N 在坐标．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6∴3k﹣6＝0，解得：k＝2∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5∴D（，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n）∴﹣n＝解得：n＝﹣∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．。

2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考试卷数学答案解析 一、选择题1．【答案】A【解析】解：3的相反数是3-，故选：A ．2．【答案】D【解析】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D ．3．【答案】D【解析】解：A ．3±，正确，故此选项错误；B ．235ab ba ab +＝，正确，故此选项错误；C ．)011=，正确，故此选项错误； D ．222439ab a b （）＝，错误，故此选项正确； 故选：D ．4．【答案】C【解析】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，故选：C ．5．【答案】C【解析】解：∵直线a b ∥，12=180=30=901=202=40BCA BAC BAC BCA ∴+++︒︒︒︒∴︒∠∠∠∠，∠，∠，∠，∠．故选：C ．6．【答案】B【解析】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．故选：B ．7．【答案】B【解析】解：由题意可得，战士们从营地出发到文具店这段过程中，S 随t 的增加而增大，故选项A 错误，战士们在文具店选购文具的过程中，S 随着t 的增加不变，战士们从文具店去福利院的过程中，S 随着t 的增加而增大，故选项C 错误，战士们从福利院跑回营地的过程中，S 随着t 的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B 正确，选项D 错误，故选：B ．8．【答案】B【解析】解：设购买A 品牌足球x 个，购买B 品牌足球y 个，依题意，得：60751500x y +＝， ∴4205y x -＝． ∵x ，y 均为正整数，∴11516x y =⎧⎨=⎩，221012x y =⎧⎨=⎩，33158x y =⎧⎨=⎩，44204x y =⎧⎨=⎩， ∴该学校共有4种购买方案．故选：B ．9．【答案】C【解析】解：设袋中黑球的个数为x ， 根据题意得51=5+23+10x ，解得22x ＝， 即袋中黑球的个数为22个．故选：C ．10．【答案】C【解析】解：∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-∴抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0，且a b ＝由图象知：0a ＜，0c ＞，0b ＜∴0abc ＞故结论①正确；∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-9306330a b c a b c aa c a ∴-+∴∴+＝＝＝-＝-＞ 故结论②正确； ∵当12x -＜时，y 随x 的增大而增大；当102x -＜＜时，y 随x 的增大而减小 ∴结论③错误；∵20cx bx a ++＝，0c ＞ ∴210c b x x a a++= ∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0∴20ax bx c ++＝的两根是3-和2 ∴1b a =，6c a=- ∴210c b x x a a ++=即为：2610x x -++＝，解得11=3x -，21=2x ； 故结论④正确； ∵当12x =-时，2404ac b y a -=＞ ∴2404b ac a-＜ 故结论⑤正确；∵抛物线()20y ax bx c a ++≠＝与x 轴交于点()3,0-和()2,0，∴()()2=32y ax bx c a x x +++-＝∵m ，n （m n ＜）为方程()()3230a x x +-+＝的两个根∴m ，n （m n ＜）为方程()()3233a x x +-+＝-的两个根∴m ，n （m n ＜）为函数()()32y a x x =+-与直线=3y -的两个交点的横坐标 结合图象得：3m ＜-且2n ＞故结论⑥成立；故选：C ．二、填空题11．【答案】43.810⨯【解析】解：38 000用科学记数法表示应为43.810⨯，故答案为：43.810⨯．【考点】科学记数法的表示方法．12．【答案】AB DE ＝【解析】解：添加AB DE ＝；BF CE BC EF ∴＝，＝，在ABC △和DEF △中，AB DE B E BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴ABC DEF SAS △≌△（）； 故答案为：AB DE ＝．13．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得21652180r ππ⨯=，解得3r ＝，所以圆锥的高4（cm ）．故答案为4．14．【答案】4a ≤或3a ≠ 【解析】解：21311x a x x--=--， 方程两边同乘以1x -，得()2131x a x -+-＝，去括号，得2133x a x -+-＝，移项及合并同类项，得4x a -＝，∵关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，10x -≠，∴()40410a a -⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥， 解得，4a ≤且3a ≠，故答案为：4a ≤且3a ≠．15．【答案】 【解析】解：过点D 作DE x ⊥轴于点E ，∵点B 的坐标为()2,0-， ∴2k AB -＝， ∴2k OC -＝， 由旋转性质知2k OD OC -＝＝、60COD ︒∠＝， ∴30DOE ︒∠＝， ∴1124DE OD k ＝＝-，cos302k OE OD ⎛⎫︒- ⎪⎝⎭＝＝，即1,4D k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵反比例函数()0k y k x=≠的图象经过D 点，∴214k k ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：0k ＝（舍）或k =，故答案为：．16．【答案】15︒或45︒或75︒【解析】解：①如图1，点A 是顶点时， 12AB AC AD BC BD CD AD BC AD BD CD ∴∴＝，⊥，＝，＝，＝＝，在Rt ABD △中，()118090452B BAD ⨯︒-︒︒∠＝∠＝＝； ②如图2，点A 是底角顶点，且AD 在ABC △外部时， 121230130152AD BC AC BC AD AC ACD BAC ABC ∴∴︒∴⨯︒︒＝，＝，＝，∠＝，∠＝∠＝＝； ③如图3，点A 是底角顶点，且AD 在ABC △内部时，()121230118030752AD BC AC BC AD AC C BAC ABC ∴∴∠︒∴∠∠︒-︒︒＝，＝，＝，＝，＝＝＝； 故答案为：15︒或45︒或75︒．17．2243n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：直线l：1y x +，当0x ＝时，1y ＝；当0y ＝时，x ＝∴()A ，()10,1A∴130OAA ︒∠＝又∵11A B l ⊥，∴1130OA B ︒∠＝，在11Rt OA B △中，11OB OA ，∴11112S OA OB ⋅=＝同理可求出：2143A B ＝，1243B B ＝，∴2221121144422333S A B B B ⎛⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭＝；依次可求出：4343S ⎛⎫ ⎪⎝⎭；6443S ⎛⎫ ⎪⎝⎭；8543S ⎛⎫ ⎪⎝⎭……因此：2243n n S -⎛⎫ ⎪⎝⎭2243n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．三、解答题18．【答案】解：（1）116tan 60|236213-⎛⎫︒+-=+= ⎪⎝⎭； （2）()()()()()()()22124114111413a a a a a a a a a +-+--+---+-+＝＝＝．19．【答案】解：∵267x x +＝-，∴26979x x +++＝-，即()232x +＝，则3x +±＝∴3x ＝-即13x ＝-23x ＝-20．【答案】（1）证明：连接OA ，则2COA B ∠＝∠，∵AD AB ＝，3060180603090B D COA OAD OA AD ∴︒∴︒∴︒-︒-︒︒∴∠＝∠＝，∠＝，∠＝＝，⊥，即CD 是O 的切线；（2）解：∵4BC ＝，∴2OA OC ＝＝，在Rt OAD △中，2OA ＝，30D ︒∠＝，∴24OD OA ＝＝，AD ＝所以11•222OAD S OA AD ⨯⨯△＝＝ 因为60COA ︒∠＝， 所以26022=3603COA S ππ⋅扇形＝，所以23OAD COA S S S π△阴影扇形＝﹣＝．21．【答案】解：（1）本次被抽取的学生共3030%100÷＝（名），故答案为100；（2）10020301040---＝（名），补全条形图如下：（3）扇形图中的选项“C ．了解较少”部分所占扇形的圆心角36030%108︒⨯︒＝，故答案为108；（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生： 20+4020001200100⨯＝（名）， 答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名．22．【答案】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：4007280÷-（）＝千米/小时；240803t ÷＝＝． 故答案为：50；80；3；（2）由题意可知：()3,240A ，()4,240B ，()7,0C ，设直线OA 的解析式为()110y k x k ≠＝，∴80y x ＝（03x ≤≤），当34x ≤≤时，240y ＝，设直线BC 的解析式为2y k x b +＝（0k ≠），把()4,240B ，()7,0C 代入得：22424070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得280560k b =-⎧⎨=⎩， ∴80560y +＝-，∴()()()8003240348056047x x y x x x ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤＝≤≤≤≤；（3）设货车出发x 小时后两车相距90千米，根据题意得：()5080140090x x +--＝或()5080240090x x +-+＝，解得3x ＝或5．答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．23．【答案】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF 是矩形，∴EF CD ＝，90DEF ︒∠＝，12DE AE AD ＝＝， ∵将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处， ∴2DN CD DE ＝＝，MN CM ＝，6015754EDN CDM NDM EN CMD NF EF EN ∴︒∴︒∴︒--∠＝，∠＝∠＝，＝∠＝，＝＝故答案为：75︒，4-（2）AND △是等边三角形，理由如下：在AEN △与DEN △中，90AE DE AEN DEN EN EN =⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠，60AEN DEN SAS AN DN EDN ∴∴︒△≌△（），＝，∠＝，∴AND △是等边三角形；（3）∵将图②中的AND △沿直线GH 折叠，使点A 落在点A '处， ∴A G AG '＝，A H AH '＝，∴图③中阴影部分的周长ADN ＝△的周长3412⨯＝＝； 故答案为：12；（4）∵将图②中的AND △沿直线GH 折叠，使点A 落在点A '处， 805070180707040AGH A GH AHG A HG A GN AGH AHG A HG A HD ∴'''︒∴︒∴'︒∴'︒-︒-︒︒∠＝∠，∠＝∠，∠＝，∠＝，∠＝∠＝，∠＝＝；故答案为：40；（5）如图③， 60A N D A NMG A MN A NM DNH NGM A NM DNH AGH A GH∠'︒''∴''∠＝∠＝∠＝＝，∠＝∠，∠＝∠，△∽△∽△，△≌△ ∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4；（6）设A N m a A D n'=='，则'A N am ＝，'A D an ＝， 60120N D A A NA G A GN NA G DA H A GN DA H A GH HA D '︒∴'+''+'︒∴''∴''∠＝∠＝∠＝∠＝，∠∠＝∠∠＝，∠＝∠，△∽△，∴A G A N GN A H DH A D''==''， 设'A G AG x ＝＝，'A H AH y ＝＝，则4GN x -＝，4DH y -＝， ∴44x am x y y an-==-， 解得：44am x y an +=+， ∴4242AG am am am an m n AH an am an an m n++++===++++； 故答案为：22m n m n ++．24．【答案】解：（1）∵2OA ＝，6OC ＝∴()2,0A -，()0,6C -∵抛物线2y x bx c ++＝过点A 、C∴420006b c c -+=⎧⎨++=-⎩，解得：16b c =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线解析式为26y x x --＝（2）∵当0y ＝时，260x x --＝，解得：12x ＝-，23x ＝∴()3,0B ，抛物线对称轴为直线231=22x -+= ∵点D 在直线12x =上，点A 、B 关于直线12x =对称 ∴1=2D x ，AD BD ＝ ∴当点B 、D 、C 在同一直线上时，ACD C AC AD CD AC BD CD AC BC +++++V ＝＝＝最小设直线BC 解析式为6y kx -＝∴360k -＝，解得：2k ＝∴直线BC ：26y x -＝ ∴12652D y ⨯-=-＝ ∴1,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）过点E 作EG x ⊥轴于点G ，交直线BC 与点F设()2,6E t t t --（03t ＜＜），则(),26F t t - ∴()222663EF t t t t t ----+＝＝- ∴()()2111113322222BCE BEF CEF S S S EF BG EF OG EF BG OG EF OB t t +⋅+⋅=+=⋅=⨯-+△△△＝＝ 23327=228t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴当32t ＝时，BCE △面积最大 ∴23321=6224E y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴点E 坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，BCE △面积最大，最大值为278． （4）存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形． ∵()2,0A -，()0,6C -∴AC①若AC 为菱形的边长，如图3，则MN AC ∥且，MN AC ＝＝∴(1N -，(22,N --，()32,0N②若AC 为菱形的对角线，如图4，则44AN CM ∥，44AN CN ＝ 设()42,N n -∴n -=解得：103n =- ∴4102,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上所述，点N 坐标为(-，(2,--，()2,0，102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。

2019年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．a+1B．a﹣1C．a×1D．a÷14．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝．8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是．9．（3分）计算：•＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）．11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝°．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．2019年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键．2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．a+1B．a﹣1C．a×1D．a÷1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a﹣1＜a，选项正确；C．a×1＝a，选项错误；D．a÷1＝a，选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3分）不等式3x﹣2＞1的解集是x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3分）计算：•＝．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为5（答案不唯一，只有c≥0即可）（写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，解上式得c≥0．故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围．11．（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝60°．【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠CED＝∠C＝50°，又∵∠BAC＝70°，∴△ABC中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为20．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE＝BE＝AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为54m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，当时，原式＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y是x的反例函数，所以，设，当x＝2时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4时，y＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE和△CDF中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD ＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：，解得：，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则∠AFC＝90°，在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x （h）之间的关系如图所示．（1）m＝4，n＝120；（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；故答案为：4；120；（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y关于x的函数解析式为y＝60x，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα（用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，AD＝CD，得出AB＝2AD＝2CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC＝2CD，AD＝CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，得出AB＝4，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5，得出FH＝2PF＝10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB ×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4×2＝4；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN＝FH＝5；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝3cm，∠EAD＝45°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：3，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm ∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD∴PQ＝AP∵PQ＝cm∴x＝∴x＝当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2+MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝∵△＜0∴方程无解当3＜x≤时，∵PQ2＝CP2+CQ2，∴＝1+（7﹣2x）2，∴x＝综上所述：x＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。

2019吉林省数学中考解析一、单项选择题1.（2019吉林省，1，2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) -1【答案】D【解析】从图中可以看出蝴蝶在原点的左侧，所以可能是-1，故选择D【知识点】数轴2. （2019吉林省，2，2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立方体，它的俯视图为【答案】D【解析】从上面看是一行四个小正方形，故选D【知识点】三视图3. （2019吉林省，3，2分）若a 为实数，则下列格式的运算结果比a 小的是(A) a+1 (B) a-1 (C) 1a ⨯ (D) 1a ÷【答案】B【解析】选项A 比a 大1；选项C ，选项D 和a 相等，只有选项B 比a 小，故选B【知识点】实数的大小4. （2019吉林省，4，2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(A) 30° (B) 90° (C) 120° (D) 180°【答案】C【解析】这个交通标志图案是由3个基本图案组成的，所以旋转角至少为120°，故选C【知识点】图形的旋转5. （2019吉林省，5，2分）如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度数为(A) 30° (B) 45° (C) 55° (D) 60°【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB 的度数为45°，故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系6. （2019吉林省，6，2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好的观赏风光，如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是(A) 两点之间，线段最短 (B) 平行于同一条直线的两条直线平行(C) 垂线段最短 (D) 两点确定一条直线【答案】A【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，选择A【知识点】生活中的数学应用二、填空题7. （2019吉林省，7，3分）分解因式：a 2-1=【答案】(a+1)(a-1)【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积【知识点】公式法因式分解8. （2019吉林省，8，3分）不等式3x-2＞1的解集是【答案】x ＞1【解析】移项，得3x ＞2+1，即3x ＞3，∴x ＞1【知识点】解不等式9. （2019吉林省，9，3分）计算yx x 22y = 【答案】x21 【解析】单项式乘以单项式，分子分母分别相乘，能约分的要约分【知识点】整式的乘法，约分10. （2019吉林省，10，3分）若关于x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c ≥0时方程都有实数根）【解析】c ≥0时方程都有实数根【知识点】一元二次方程根的情况11. （2019吉林省，11，3分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥BC ，若 ∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=【答案】60°【解析】因为ED ∥BC ，所以∠CED=∠C=50°，因为∠BAC=70°，三角形内角和为80°，所以∠B=60°【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理12. （2019吉林省，12，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB=10，BD ⊥AD ，若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为【答案】20【解析】∵BD ⊥AD ，E 为AB 的中点，∴BE=DE=AB 21=5，∵折叠，∴BC=BE=5,CD=DE=5,∴四边形BCDE 的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质13. （2019吉林省，13，3分）在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m【答案】54 【解析】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系可得2121影影物物=，∴9038.12=物 ∴可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系，图形的相似的实际应用14. （2019吉林省，14，3分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，D 、E 分别是半径OA,OB 上的点，以OD,OE 为邻边的 ODCE 的顶点C 在弧AB 上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π)【答案】25π-48【解析】如图，连接DE,OC∵ ODCE ，∠AOB=90°，∴ ODCE 是矩形，∴DE=OC ，Tt △DOE 中，OD=8，OE=6，∴DE=10=OC ，∴S 阴=S 扇-S 矩=86-10412⨯⨯π=25π-48 【知识点】矩形的性质，扇形的面积三、解答题15.（2019吉林省，15，5分）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=2【思路分析】将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a 2-2a+1+a 2+2a=2a 2+1,当a=2时， 原式=51221222=+⨯=+⨯）（ 【知识点】整式的运算16.（2019吉林省，16，5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子出颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别，从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.【思路分析】根据题意画出树状图或者列出表格，即可求出概率【解题过程】解：如图，共有4种等可能结果，其中取出的擅自和手绢都是红色的有1种可能，∴P （取出的擅自和手绢都是红色）=41【知识点】概率17. （2019吉林省，17，5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6,（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x=4时，求y 的值【思路分析】（1）将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式；（2）当x=4时，代入（1）中的解析式，可求出y 的值【解题过程】解：（1）∵y 是x 的反比例函数，∴设y=xk (k ≠0）， ∵当x=2时，y=6,∴k=xy=12,∴y=x12 (2)当x=4时，代入y=x12得， y=3412= 【知识点】反比例函数18. （2019吉林省，18，5分）如图，在 ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE ，DF求证：△ABE ≌△CDF【思路分析】由作图可知，AE=CF ，有平行四边形的性质可知对边相等，对角相等，由SAS 可以证明两个三角形全等.【解题过程】解：由题意得AE=FC∵ ABCD ，∴AB=DC ，∠A=∠C在△ABE 和△CDF 中，AE=CF,∠A=∠C,AB=DC ，∴△ABE ≌△CDF【知识点】平行四边形的性质，三角形的全等四、解答题19.（2019吉林省，19，7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A,B,C,D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E,F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G,H 为格点，∠CGD=∠CHD=90°【思路分析】(1)AB 为对角线长为4，则另一条对角线在AB 的中垂线上，如图所示；（2）根据勾股定理，画出格点三角形，如图所示【解题过程】【知识点】菱形，勾股定理20.（2019吉林省，20，7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖而成，现将一些山楂分别串在若干跟竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签，这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）（1）bc+d=a; (2)ac+d=b; (3)ac-d=b【思路分析】（1）根据题意表示出山楂的个数，列出二元一次方程组即可解决（2）表示出山楂的总个数，即竹签串的山楂与剩余的山楂的和就是总山楂的个数【解题过程】问题解决解：设竹签x根，山楂y个，根据题意得答：竹签有20根，山楂104个反思归纳（2）【知识点】二元一次方程组的应用，代数式21.（2019吉林省，21，7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）.（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【思路分析】如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，解Rt ▲ACM ，可以求出AM 的长，从而可以求出BM 的长，由于CE=BM 问题可以解决.【解题过程】解：如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，Rt ▲ACM 中AC=30m,∠CAD=43°，cos ∠CAD=30AM AC AM = ∴AM=30cos ∠CAD=73.030⨯=21.9，所以CE=AM+AB=21.9+170=191.9≈192cm答：花洒顶端C 到地面的距离为192cm【知识点】解直角三角形22. （2019吉林省，22，7分）某地区有城市居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和农村居民进行调查，其中最具有代表性的一个方案是 ;（2）该机构采用了最具代表性的调查方案进行调查，供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项，现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民的人数为 ；②统计图中人数最多的选项为 ；③请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数【思路分析】（1）具有代表性的人群要包括城区居民和农村居民；（2）①五种选项的总人数之和就是所求的总人数；②从统计图中可以看出选择手机的人数最多；③从抽取的人数中可以算出“电脑和手机”的人数占总抽取人数的比例，从而计算出该地区的总人数.【解题过程】（1）方案三；（2）①260+400+150+100+90=1000（人）②手机③528000800001000260400=⨯+（人） 答：该地区城区居民和农民居民将电脑和手机作为获取信息的最主要途径的总人数为52800人.【知识点】条形统计图，样本估计总体五、解答题23. （2019吉林省，23，8分） 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地。

2019年中考数学试题(及答案)一、选择题1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A．2.3×109 B．0.23×109 C．2.3×108 D．23×1072．预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（）A．94.610⨯D．94.610⨯C．84610⨯B．7⨯0.46103．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形4．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°5．如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC5BC=2，则sin∠ACD的值为（）A ．5B ．25C ．5D ．237．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x +=C ．()136x x -=D ．()136x x += 8．不等式组213312x x +⎧⎨+≥-⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°10．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．412．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知62x =+，那么222x x -的值是_____．14．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.16．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是_____.17．如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为,DE FG ，若15,2C AE EG ︒∠===厘米，ABC △则的边BC 的长为__________厘米。

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。

全卷满分120分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－12．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a+B．1a-C．1a⨯D．1a÷4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）OPCBA（第5题）曲桥(第6题)BA5．如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB=50°，若P为AB上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。

如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分） 7．分解因式：21a -=________．8．不等式321x ->的解集是________．9．计算：22y xx y⋅=________．10．若关于x 的一元二次方程()23x c +=有实数根，则c 的值可以为________（写出一个即可）． 11．如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥B C ．若∠BAC =70°，∠CED =50°，则∠B =________°．(第11题)EDCAB(第12题)ADEB (第14题)12．如图，在四边形ABCD 中，AB =10，BD ⊥A D ．若将△BCD 沿BD 折叠,点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为________．13．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为________m ．14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的□ODCE 的顶点G 在AB 上，若OD =8,OE =6,则阴影部分图形的面积是________（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：()()212a a a -++，其中a ．16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．（第16题）乙口袋甲口袋17.已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =． ⑴求y 关于x 的函数解析式； ⑵当4x =时，求y 的值．18．如图，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．FE CDBA （第18题）四、解答题（每小题7分，共28分） 19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A 、B 、C 、D 均为格点，按下列要求画图： ⑴在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点； ⑵在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G ,H 为格点，∠CGD =∠CHD =90°20.问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？（第20题）反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．⑴bc +d =a ；⑵ac +d =b ；⑶ac -d =b ．21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：sin 43°=0.68，cos 43°=0.73，tan 43°=0.93）（第21题）EB A CD 17022.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．⑴该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是________；⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为________人； ②统计图中人数最多的选项为________；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 五、解答题（每小题8分，共16分）23.甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地，甲、乙两车距B 地的路程y （km ）与各自行驶的时间x （h ）之间的关系如图所示． ⑴m =________，n =________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程24.性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．图②H GF 图①ECB（第24题）A理解运用⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843________；⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC 向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm²）．⑴AE=________cm,∠EAD=________°；⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当PQ=54cm时，直接写出x的值．Q （第25题）PAD EBC （备用图）C BE DA26.如图，抛物线()21y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，－3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0． ⑴求此抛物线的解析式；⑵当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；⑶设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围； ②当h =9时，直接写出△BCP 的面积．参考答案1、D2、D3、B4、C5、B6、A7、1)(1)a a +-（ 8、x ＞1 9、12x10、5（答案不唯一，只有c ≥0即可） 11、60 12、20 13、54 14、25π－4815、解：原式＝22221221a a a a a -+++=+， 当2a =时，原式＝516、解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能， 所以，所求的概率为：P ＝1417、解：（1）y 是x 的反例函数， 所以，设(0)ky k x=≠， 当2x =时，6y =． 所以，12k xy ==， 所以，12y x=（2）当x ＝4时，y ＝3 18、证明：AE ＝FC ，在平行四边形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠C 在△ABE 和△CDF 中，AE CF A C AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△ABE ≌△CDF （SAS ） 19、（1）（2）如下图所示。

二〇二二年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分) 1. 2022-的倒数是（ ）A. 2022B. 2022-C. 12022D. 12022- 【答案】D【解析】【分析】根据倒数定义解答．【详解】解：-2022的倒数是12022-， 故选：D ．【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】A ：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；B ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；D ：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，绕对称中心旋转180°后能与原图形重合是中心对称图形，熟知其概念是解题的关键．3. 下列计算正确的是（ ）A. 2ab ab b ÷=B. 222()a b a b -=-C. 448235m m m +=D. 33(2)6-=-a a 【答案】A【解析】【分析】根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，有理数的乘方的运算法则进行计算求解即可．【详解】解：A 中2ab ab b ÷=，正确，故符合题意；B 中()222222-=-+≠-a b a ab b a b ，错误，故不符合题意；C 中44482355m m m m +=≠，错误，故不符合题意；D 中()333286a a a -=-≠-，错误，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项以及有理数的乘方．解题的关键在于熟练掌握运算法则并正确的计算．4. 数据1，2，3，4，5，x 存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】 【分析】由题意知，该组数据的平均数为123451566x x ++++++=，且3x +是6的倍数，然后根据题意求解即可． 【详解】解：由题意知，该组数据的平均数为123451532666x x x +++++++==+， ∴3x +是6的倍数，且x 是1-5中的一个数，解得3x =，则平均数是3．故选B ．【点睛】本题考查了平均数与众数．解题的关键在于熟练掌握众数与平均数的定义与求解．5. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】C【解析】【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数．【详解】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=6．故选：C．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．6. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是（）A.110B.15C.310D.25【答案】C【解析】【分析】由题意知，任意选择一个字母有10种等可能的结果，字母为“s”有3种等可能的结果，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意知，概率为3 10，故选C．【点睛】本题考查了简单的概率计算．解题的关键在于明确字母“s”的可能的结果与任意选择一个字母的所有可能的结果．7. 如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（）A. 57°B. 63°C. 67°D. 73°【答案】D【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC ∠=︒，可得出+173ABC ∠∠=︒，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：∵AC =BC ，∴ABC ∆是等腰三角形，∵=120C ∠︒ ∴11(180)(180120)3022ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴1304373ABC ∠+∠=︒+︒=︒∵a ∥b ，∴2173ABC ∠=∠+∠=︒故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC ∠+∠=︒是解答本题的关键．8. 如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →B →C →D →E 路线匀速运动，△AFP 的面积y 随点Р运动的时间x （秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）A. AF =5B. AB =4C. DE =3D. EF =8【答案】B【解析】 【分析】路线为A →B →C →D →E ，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．【详解】解：坐标系中(4,12)对应点运动到B 点144AB v t =⋅=⨯=B 选项正确12ABF S AB AF =⋅△ 即：11242AF =⨯⋅ 解得：6AF =A 选项错误12~16s 对应的DE 段1(1612)4DE v t =⋅=⨯-=C 选项错误6~12s 对应的CD 段1(126)6CD v t =⋅=⨯-=4610EF AB CD =+=+=D 选项错误故选：B ． 【点睛】本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键．9. 端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A 、B 两种食品盒中，A 种食品盒每盒装8个粽子，B 种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A 、B 两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】C【解析】【分析】设使用A 食品盒x 个，使用B 食品盒y 个，根据题意列出方程，求解即可．【详解】设使用A 食品盒x 个，使用B 食品盒y 个，根据题意得，8x +10y =200，∵x 、y 都为正整数， ∴解得204x y =⎧⎨=⎩，158x y =⎧⎨=⎩，1012x y =⎧⎨=⎩，516x y =⎧⎨=⎩， ∴一共有4种分装方式；故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程． 10. 如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为1x =-，∴1,2b x a=-=- ∴2,b a =故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x =-，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x =-1时，4-+=a b c∴24a a c -+=∴4c a =+，∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间， ∴1<c <2∴1<4+a <2∴32a -<<-，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴24<0ac b -，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24ax bx c m ++=-有两个不相等的实数根， ∴044m <-<∴48m <<，故④错误；由图象可得，当x >-1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分．满分21分）11. 据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000 人，总量和增量均为近年之最．将10760000用科学记数法表示为______________．【答案】1.076×107【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为()10110n a a ⨯<≤，要表示的数为正整数，将小数点放在第一个数的后面，n 等于第一个数后面的数的个数．【详解】解：10760000=71.07610⨯，故答案为：71.07610⨯【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的表示形式，确定a 和n 的值是关键．12. 如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）【答案】AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等（只需写出一个条件即可）【解析】【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．【详解】解：可以添加的条件是：AB ＝CD ，理由如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加条件是：AD BC ∥，利用如下：∵AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OA =OC ，利用如下：∵AB CD ，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；也可以添加的条件是OB =OD ，利用如下：∵AB CD ，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∴OAB OCD ∆∆≌（AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．故答案为：AB =CD 或AD ∥BC 或OA =OC 或OB =OD 等．（只需写出一个条件即可）【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．13. 已知圆锥的母线长为5,cm 高为4,cm 则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________．【答案】216【解析】【分析】先根据勾股定理算出圆锥底面圆的半径，然后算出弧长，再根据弧长公式反推出圆心角．【详解】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径3r ==， 则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长26C r ππ==， 再根据弧长公式180n R l π=︒，得到56180n ππ=︒，算出216n =︒． 故答案是：216︒．【点睛】本题考查扇形和圆锥有关的计算，解题的关键是要熟悉扇形和圆锥之间的关系以及有关的计算公式．14. 若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是______________．【答案】m >0且m ≠1【解析】【分析】先解分式方程得到解为1x m =+，根据解大于1得到关于m 的不等式再求出m 的取值范围，然后再验算分母不为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以()()22x x +-得到：22(2)2x x x m ++-=+， 整理得到：1x m =+，∵分式方程的解大于1，∴11m +>，解得：0m >，又分式方程的分母不为0，∴12m +¹且12m +¹-，解得：1m ≠且3m ≠-，∴m 的取值范围是m >0且m ≠1．【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．15. 如图，点A 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且△ABC 的面积为4，则k =______________．【答案】4-【解析】 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用()1242=⨯-⨯=ABC k S a a △即可求出k 的值． 详解】解：设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵点D 为线段AB 的中点．AB ⊥y 轴∴22AB AD a ==-， 又∵()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△， ∴4k =-．故答案为：4-【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k 的值，解题的关键是找出()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△． 16. 在△ABC中，AB =，6AC =，45B ∠= ，则BC =______________．【答案】3+或3-【解析】【分析】画出图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示：【过A 点作AH ⊥BC 于H ， ∵∠B =45°，∴△ABH 为等腰直角三角形，∴AH BH ==,在Rt △ACH 中，由勾股定理可知：3CH =，∴3BC BH CH =+=．情况二：当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：AH BH ===3CH =，∴3BC BH CH =-=-．故答案为：3+或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17. 如图，直线:l y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，过点B 作1BC l ⊥交x 轴于点1C ，过点1C 作11B C x ⊥轴交l 于点1B ，过点1B 作12B C l ⊥交x 轴于点2C ，过点2C 作22B C x ⊥轴交l 于点2B …，按照如此规律操作下去，则点2022B 的纵坐标是______________．【答案】202243⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如AOB ，1BAC ，1BOC △，11BC B △求出B 点，B 1点的纵坐标，发现规律，即可【详解】∵:l y x =+当0y =时，3x =-当0x =时，y =故(3,0)A -，B ∴AOB 为30°的直角三角形 ∴30BAO ∠=︒ ∵1BC l ⊥∴1BAC 为30°的直角三角形 ∴160OC B ∠=︒∴1BOC △为30°的直角三角形1BC =∵11B C x ⊥轴 ∴11B C BO ∥ ∴111B C B C BO ∠=∠11BC B △为30°的直角三角形211143B C OB OB === 同理：2222121143B C C B C OB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭33343B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭…43nn n B C OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭故：20222022202220224433B C OB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：202243⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点2022B 的纵坐标，即20222022B C 长度三、解答题（本题共7道大题，共69分）18. （1）计算: 211)|2|tan 603-⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭（2）因式分解：3269x y x y xy -+ 【答案】（1）12（2）()23xy x - 【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值计算即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）原式192=+++12=； （2）原式()269xy x x =-+()23xy x =-．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及因式分解，熟知各运算法则是解题的关键． 19. 解方程：22(23)(32)x x +=+ 【答案】11x =-，21x = 【解析】【分析】直接开方可得2332x x +=--或2332x x +=+，然后计算求解即可． 【详解】解：∵22(23)(32)x x +=+ ∴2332x x +=--或2332x x +=+ 解得11x =-，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 20. “双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题： 组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A 030x ≤≤50 25% B 3060x <≤ m 40% C 6090x <≤ 40 p D90x >n15%（1）表中m = ，n = ，p = ；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C 组所对应的圆心角为°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人? 【答案】（1）80，30，20% （2）见解析（3）72°（4）估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生大约有700人 【解析】【分析】（1）、根据统计表用A 组人数除以其所占的百分比计算出总人数，即可求解； （2）、根据（1）求出的人数补全条形统计图； （3）、用C 组所占的百分比乘以360︒即可求解；（4）、先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得． 【小问1详解】解：总人数为：5025%200÷=（人）， B 组的人数为：20040%80m =⨯=（人）， D 组的人数为：20015%30n =⨯= （人）， C 组所占的百分比为：40100%20%200p =⨯= ；故答案为：80，30，20% ； 【小问2详解】由（1）可知，B 组人数为80人，D 组人数为30人， 补全条形统计图，如图所示：【小问3详解】C 组所对应的圆心角为：20%36072⨯︒=︒ ， 故答案为：72︒ ； 【小问4详解】该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：(20%15%)2000700+⨯= （人）．【点睛】本题考查了统计表，条形统计图，扇形统计图圆心角的计算，样本估计总体等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，AC 与⊙O 交于点D ，BC 与⊙O 交于点E ，过点C 作CF AB ∥，且CF =CD ，连接BF ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC =45°，AD =4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）π-【解析】【分析】（1）连接BD ，得90BDA ∠=︒；利用AB =AC 得到A ABC CB =∠∠，由CF AB ∥得到FCB ABC ∠=∠，故FCB ACB ∠=∠；利用SAS 证明BCF BCD ≌△△，得到90F BDC ∠=∠=︒，最后CF AB ∥同旁内角互补，即可得90ABF ∠=︒（2）连接OE ，与BD 相交于M 点，根据∠BAC =45°，得ABD △是等腰直角三角形，由AD =4，得AB ，OB ，OE 长度；ABC 和OBE △是共一底角的等腰三角形，故45BOE BAC ∠=∠=︒，OE AC ∥，90OMB ADB ∠=∠=︒，OBM 是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积 【小问1详解】 连接BD∵AB 是O 的直径 ∴90BDA ∠=︒ ∴90BDC ∠=︒ ∵AB AC = ∴A ABC CB =∠∠ ∵CF AB ∥∴FCB ABC ∠=∠，180ABF F ∠+∠=︒ ∴FCB ACB ∠=∠ ∵CF CD =，BC BC = ∴()BCF BCD SAS ≌△△ ∴90F BDC ∠=∠=︒ 又∵180ABF F ∠+∠=︒ ∴90ABF ∠=︒ ∴BF 是O 的切线 【小问2详解】连接OE ，与BD 相交于M 点∵90BDA ∠=︒，45BAC ∠=︒，4=AD ∴ADB △为等腰直角三角形 ∴4BD AD ==，AB ==，45OBM ∠=︒∴OB =∴OE OB == ∴OEB ABC ∠=∠∵AB AC =，45BAC ∠=︒ ∴45BOE BAC ∠=∠=︒ ∴OE AC ∥∴90OMB ADB ∠=∠=︒ ∴OMB △为等腰直角三角形 ∴2BM OM ==∴OBEOAB S S S π∆=-==-阴影扇形【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识本题关键22. 在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲、乙二人同时出发，甲从A 地步行匀速前往B 地，到达B 地后，立刻以原速度沿原路返回A 地．乙从B 地步行匀速前往A 地（甲、乙二人到达A 地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：（1）A 、B 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a =，b =，c =；（3）求线段MN 的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60是（2）900，800，15（3）y =-20x +1200（15≤x≤20）（4）8分钟，647分钟 【解析】【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A 、B 两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A 地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过607分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c 分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B 地，则可求出a ，经过20分钟时乙到达A 地，此时两人相距b 米，利用甲乙的速度即可算出b ；（3）由（2）可知M 、N 的坐标，设出MN 的一般解析式，将M 、N 的坐标代入即可求出；（4）设经过x 分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米，因为甲从A 地出发，乙从B 地出发，两人最开始时的距离就是A 、B 两地之间的距离， 所以A 、B 两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A 地， ∴乙的步行速度为12006020=（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图像可知，经过607分钟时两人相遇，经过c 分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B 地，乙未到达A 地，经过20分钟时乙到达A 地，此时两人相距b 米， 设甲的步行速度为x 米/分，则()606012007x +=， 解得：x =80（米/分） ∴12001580c ==（分）， 1560900a =⨯=（米），1200(80201200)800b =-⨯-=（米）．故答案为：900，800，15；小问3详解】由（2）可知，M 、N 的坐标分别为M （15，900），N （20，800）， 设线段MN 的解析式为y =kx +b （1520x ≤≤），则有1590020800k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：201200k b =-⎧⎨=⎩∴线段MN 的函数解析式是y =-20x +1200（15≤x ≤20） 【小问4详解】设经过x 分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x =80，解得：x =8； 相遇后：（60+80）x -1200=80，解得：x =647， 所以经过8分钟和647分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况．23. 综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边BC 、AB 、AD 的中点，连接EF 、DF ，H 为DF 的中点，连接GH ．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF 、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：【（1）图②中，AB =BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，AB =2，BC =3，则GHCE= ；（3）当AB =m , BC =n 时．GHCE= ．（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④)．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿 MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为 ．【答案】（1）12GH CE =，证明见解析 （2）13GH CE = （3）2GH mCE n=（4 【解析】【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可；（2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到C M BC H AM A =，代入解方程即可． 【小问1详解】 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． 【小问2详解】 解：13GH CE =， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴23AB BF BC BE ==， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ， ∴13GH CE =． 故答案为：13． 【小问3详解】 解：2GH m CE n=， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =2m ，BE =12BC =2n ， ∴AB BF m BC BE n==， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ， ∴2GH m CE n=．故答案为：2m n． 【小问4详解】解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC =设CM =PM =x ，HM =y ，由sin sin C APM ∠=∠知，AB HM AC PM=，y x =，y =， ∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ， ∴CM BC H AM A =，即3y =，3y =⨯，3=解得：x ，． 【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键． 24. 综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 ；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--（2）（1，2） （3）254（4）123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得到关于m ，n 的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为1x =，求出直线AB 与对称轴的交点即可求解；的（3）设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<，根据二次函数的性质求解即可； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【小问1详解】解：将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得，101645m n m n -+=⎧⎨++=⎩， 解这个方程组得23m n =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--；小问2详解】解：如图，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把点 A （-1，0），B （4，5）代入y kx b =+，得045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线AB 的解析式为：1y x =+ ，由（1）知抛物线223y x x =--的对称轴为2121x -=-=⨯， 点C 为抛物线对称轴上一动点，AC BC AB +≥，∴ 当点C 在AB 上时，AC BC +最小，把x =1代入1y x =+，得y =2，∴点C 的坐标为（1，2）；【【小问3详解】解：如图，由（2）知 直线AB 的解析式为y =x +1设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<， 当32d =时，DE 有最大值为254，【小问4详解】解：如图， 直线AB 的解析式为：y =x +1，∴ 直线与y 轴的交点为D （0，1），1OD =(1,0)A - ，1OA =∴ ,45OA OD DAO ADO =∠=∠=︒，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C 作1CM y ⊥轴于点1M ，则1DM C ∆为等腰直角三角形，过点C 作11CN DN ⊥ ，则四边形11CM DN 为正方形，依题意，知D 与F 重合，点1N 的坐标为（1，1）；②以1M 为中心分别作点F ，点C 点的对称点22,M N ，连接2222,,CM M N N F ，则四边形22M N FC 是正方形，则点2N 的坐标为（-1，2）；③延长22N M 到3N 使322N M M C =，作31N F AB ⊥于点1F ，则四边形231M N F C 是正方形，则3N 的坐标为（1，4）；④取2M C 的中点4N ，FC 的中点2F ，则124M F CN 为正方形，则4N 的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，点N 的坐标为：123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键。

2019年中考数学试卷(附答案) 一、选择题1．如图所示，已知A（12，y1），B(2,y2)为反比例函数1yx图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．(12，0)B．(1,0)C．(32,0)D．(52,0)2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥3．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3D．x＜34．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．A．1B．2C．3D．45．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()A．15°B．22.5°C．30°D．45°6．函数31x y x +=-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－3B ．x ≥－3且1x ≠C ．1x ≠D ．3x ≠-且1x ≠7．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．238．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα9．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 10．如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A ．23π﹣3B ．13π3 C ．43π﹣3 D ．43π3 11．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）A ．B ．C ．D ．12．若0xy <，则2x y化简后为（ ） A ．x y -B ．x yC ．x y -D ．x y --二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 14．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第n 个图形中有______个三角形（用含n 的式子表示）15．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是x= ．16．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______ 17．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2．18．已知（a -4）（a -2）=3，则（a -4）2+（a -2）2的值为__________． 19．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____．20．在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是___．三、解答题21．“安全教育平台”是中国教育学会为方便学长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A ．仅学生自己参与；B ．家长和学生一起参与；C ．仅家长自己参与；D ．家长和学生都未参与.请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数. 22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？24．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100米到达C处，在C处观察A地的俯角为39°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1=2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：122122k bk b⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=52，∴直线AB的解析式是y=-x+52，当y=0时，x=52，即P（52，0），故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．2．A解析：A【解析】试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A．考点：由三视图判定几何体.3．B解析：B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．C解析：C【解析】【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题；②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题；③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题；④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题，真命题有3个，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．5．A解析：A【解析】试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．考点：平行线的性质．6．B解析：B【解析】分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．x ≥0，解答：解：∵3∴x+3≥0，∴x≥-3，∵x-1≠0，∴x≠1，∴自变量x的取值范围是：x≥-3且x≠1．故选B．7．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13； 故选：C ． 【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题； 【详解】在Rt △ABC 中，AB=ACsin α， 在Rt △ACD 中，AD=ACsin β， ∴AB ：AD=ACsin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．9．C解析：C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．C解析：C 【解析】分析：连接OB 和AC 交于点D ，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：22213-=，3∵sin∠COD=3 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=12B×AC=12×2×33S扇形AOC=2120243603ππ⨯⨯=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=423 3π-故选C．点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12 a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n rπ，有一定的难度．11．D解析：D【解析】【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．12．A解析：A【解析】【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简． 解答【详解】y>0，∵xy<0，∴x<0，∴原式=-故选A【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义二、填空题13．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m 的方程求得m 的值即可【详解】∵关于x 的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．14．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形【详解】分 解析：()43n -【解析】【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1=4×1-3；图②中三角形的个数为5=4×2-3；图③中三角形的个数为9=4×3-3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n-3．故答案为4n-3．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．15．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【解析：﹣4．【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．【详解】解：3241112x xxx≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②,∵解不等式①得：x≤﹣4，解不等式②得：x＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，∴不等式组的整数解为x=﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键．16．【解析】试题分析：如图设AF的中点为D那么DA=DE=DF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图当DE⊥BC时DE最小设DA=DE=m此时DB=m由AB=DA+DB 得m+m=10解得m=此时AF=2解析：15 2【解析】试题分析：如图，设AF的中点为D，那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.如图，当DE⊥BC时，DE最小，设DA=DE=m，此时DB=53m，由AB=DA+DB，得m+53m=10，解得m=154，此时AF=2m=152.故答案为15 2.17．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD3【解析】【分析】【详解】如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD=60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=83432=，∴S△OCD=12CD•OE=12×8×332．∴S 正六边形=6S △OCD =6×163=963cm 2．考点：正多边形和圆18．10【解析】【分析】试题分析：把（a ﹣4）和（a ﹣2）看成一个整体利用完全平方公式求解【详解】（a ﹣4）2+（a ﹣2）2=（a ﹣4）2+（a ﹣2）2-2（a ﹣4）（a ﹣2）+2（a ﹣4）（a ﹣2）=解析：10【解析】【分析】试题分析：把（a ﹣4）和（a ﹣2）看成一个整体，利用完全平方公式求解．【详解】（a ﹣4）2+（a ﹣2）2=（a ﹣4）2+（a ﹣2）2-2（a ﹣4）（a ﹣2）+2（a ﹣4）（a ﹣2） =[（a ﹣4）-（a ﹣2）]2+2（a ﹣4）（a ﹣2）=（-2）2+2×3=10故答案为10【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a 2±2ab+b 2求解，整体思想的运用使运算更加简便． 19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15 xy=⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为考点：列表法与树状图法；概率公式解析：14．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）=416=14.故答案为14．考点：列表法与树状图法；概率公式．三、解答题21．（1）400；（2）补全条形图见解析；C类所对应扇形的圆心角的度数为54°；（3）该校2000名学生中“家长和学生都未参与”有100人.【解析】分析：（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C 类别人数占被调查人数的比例可得；（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．详解：（1）本次调查的总人数为80÷20%=400人；（2）B类别人数为400-（80+60+20）=240，补全条形图如下：C 类所对应扇形的圆心角的度数为360°×60400=54°； （3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×0N F N ==100人． 点睛：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x 元，则玉兰树的单价为1.5x 元，根据题意得：1200090001501.5x x+= 解得：x =120，经检验x =120是原分式方程的解，∴1.5x =180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【解析】【分析】（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=，整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =，∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩． 故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=46时，w 大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x 1=55，x 2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．25．123米．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用tanBC CABAB∠=即可求解．【详解】解：∵CD∥AB，∴∠CAB=∠DCA=39°．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanBC CABAB∠=．∴100123tan0.81BCABCAB==≈∠．答：A、B两地之间的距离约为123米．【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键．。