湖北省荆门市2016届高三数学元月调考试题 理

2016年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

(l) i 505的虚部为(A) -i (B) i (C)-l (D) l(2)命题“∀x ∈的值为．(A)e-l (B)e (C)3 (D)e+l(9)设M 、N 是抛物线C: y 2 =2px (p>0)上任意两点，点E 的坐标为（一λ，0）（λ≥0）若 EM EN ⋅ 的最小值为0，则λ= (A)2p (B)p (C) 2p (D)0 (10)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为(11)已知集合P={n|n=2k 一l ，k ∈N*，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T ={xy|x ∈P, y ∈Q} 中元素的个数为(A) 147 (B) 140 (C) 130 (D) 117(12)设向量a=(1，k)，b=(x ，y)，记a 与b 的夹角为θ．若对所有满足不等式|x 一2|≤y ≤l的x ，y ，都有θ∈（0，2π），则实数k 的取值范围是 (A)（一l ，+∞） (B)（一l ，0） (0，-∞)(C)(1,+∞) (D)（一l,0) (1,+∞)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)观察下列等式l+2+3+…+n=12n(n+l)；l+3+6+…+12n(n+1)=16n（n+1）（n+2）；1+4+10+ (1)6n(n+1)(n+2)=124n(n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+124n（n+1）（n+2）（n+3）= .(14)函数f(x)=3-x +x2-4的零点个数是(15)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD= m．(16)平面区域A1={(x，y)|x2+ y2<4，x，y∈R}，A2={(x, y)||x|+|y|≤3，x，y∈R)．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

荆门市 高三年级元月调考试卷数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

1．已知集合}0lg |{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则A.{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C.{|1}A B x x =<U D ．A B =∅I 2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0 B ．2 C ．2 D ．4 3．下列各式中错误．．的是 A ．330.80.7> B. lg1.6lg1.4> C. 6.0log 4.0log 5.05.0> D. 0.10.10.750.75-<4．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，双曲线C 的一条渐近线方程为30x y +=，则双曲线C 的方程为 A ．2213x y -=B ．2213y x -= C ．221412x y -= D ．221124x y -= 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<） 的部分图象如图所示，则ωϕ⋅= A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π36．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=A ．15B ．14C ．12 D ．347．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是A ．15,25⎡⎤--⎣⎦B ．25,25⎡⎤-⎣⎦C ．25,15⎡⎤-+⎣⎦D ．4,15⎡⎤-+⎣⎦8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。

2016届湖北省荆门市高三元月调考文科综合试试题2016.1.6第I卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

第Ⅱ卷共160分。

第I卷（选择题共140分）本卷共35个小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（每小题4分，共35题）读下列材料，依据所学知识，完成1～2题。

摩洛哥国地处非洲西北角，其国内的东南部与西北部自然环境差异极大。

摩洛哥国在M地创办了免税加工工业园，产品大部分销往欧洲。

图为摩洛哥国示意图。

1．导致摩洛哥国内自然环境差异大的主导因素是A．海陆位置B．大气环流C．洋流D．地形2．M地的工业园突出优势是A．劳动力廉价B．地价低C．地理位置优越D．政府支持读材料，依据所学知识，完成3～5题。

左图中A城有悠久的酿酒历史，是世界公认最大的葡萄酒产地，所产的葡萄酒受到世人的欢迎。

随着时代的发展，A城的葡萄酒行业也在探索新的发展道路。

在A城沿海地区的皮拉大沙丘是该国的著名自然景观（如右图所示，白色部分为沙丘），沙丘的东边是郁郁葱葱的森林。

该沙丘以每年5米的速度持续向内陆推进。

3．皮拉大沙丘推进的主要原因是A．寒流流经，具有降温减湿的作用B．沿岸山地阻挡海洋水汽的深入，降水少C．副热带高气压带控制，盛行下沉气流，降水少D．受盛行西风的影响4．与其他著名葡萄酒产地相比，A城红酒更受人欢迎是因为A.A城所产葡萄品质最好B．A城酿酒工艺独特C．A城所产葡萄酒价格更昂贵D．A城地形条件特殊5．下列关于A城葡萄酒行业新发展的做法中，正确的是A．进一步扩大葡萄种植面积B．发展与葡萄酒有关的多元旅游业C．改造气候条件，提高葡萄品质D．全部迁移到发展中国家，降低生产成本读材料，依据所学知识，完成6～8题。

材料一跨国自驾游在我国逐渐兴起，一名自驾爱好者在论坛中的游记写道：“这次穿越之旅我将跟随一汽丰田LC200车队，呈C字形行车路线，从北京出发经蒙古国、抵达俄罗斯贝加尔湖，最后从俄罗斯赤塔返回中国满洲里，历时15天，全程5000余公里……”“…大约有300 条河流汇入贝加尔湖…”“…原本生活在北冰洋冰面和海水中的海豹，却在淡水湖中生存下来。

2016年湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l2．（5分）命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l3．（5分）二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣244．（5分）《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．7．（5分）己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．8．（5分）T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．e C．3 D．e+l9．（5分）设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．411．（5分）已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．11712．（5分）设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=．14．（5分）函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是．15．（5分）如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=m．16．（5分）平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．（12分）已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．2016年湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l解：i505=（i4）126•i=i，∴i505的虚部为1．选D2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 选A3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣24解：T r+1==99﹣r，令=1，解得r=6．∴二项式的展开式中x的系数==84．选A4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．选B5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．7解：由题意，模拟执行程序，可得：s=1，n=1n=2，s=﹣3，满足条件n＜3，n=3，s=﹣3+（﹣1）4•32=6，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为6．选C6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，选A7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心（1，2），半径r==，直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，∴a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2=9，∴ab≤，∴当且仅当a=2b=3时，ab取最大值．选B8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．e C．3 D．e+l解：由题意可得，f（e）=e﹣lne=e﹣1＜2，则f2（e）==2，又f（2）=2﹣ln2＜2，所以f3（2）==3，即f3[f2（e）]=3，选C9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=+λ•+λ2﹣p2，∵的最小值为0，∴λ=．选B10、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．4解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．∴该几何体的体积=×22×3﹣=2．选B11．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．117解：P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数}，Q={2，3，5}，T={xy|x∈P，y∈Q}，当x∈P，y=2时，xy为偶数，有50个；当x∈P，y=3时，xy为奇数，有50个；当x∈P，y=5时，xy为奇数，有50个．在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个．故集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为150﹣10=140．选B12．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）解：画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，当k=0时，x＞0显然成立；旋转直线l，当l∥QR，即有直线l的斜率为1，可得k=﹣1，由图象可得k＞﹣1，又θ≠0，所以与不能同向，因此k＞1或k＜0；所以k的范围是﹣1＜k＜0或k＞1；选D二、填空题13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=．解：根据已知中的等式：l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，故1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是．解：函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数；即函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；作函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象如下，，故函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象共有2个交点，15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=m．解：作出平面ABD的方位图如图所示：由题意可知∠W AD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB2=x2+y2﹣2xycos∠ADB，即16900=x2+y2+xy．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴CD=，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴CD=．∴x=3y．解方程组得．∴CD==10．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为．解：平面区域A2={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，表示为半径为2的圆及其内部，其面积为4π，A1={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R），表示正方形，其面积为6×6×=18，∴A2内随机取一点，则该点取自A1的概率为=，则不在的A1概率P=1﹣三、解答题17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．∴a n=1，b n=1；或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=﹣1﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=（n﹣1）•3n+1．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．解：利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×（1.5+2.5+3）×0.1=7人，发放200元优惠券的购物者有：10×（2+0.8+0.2）×0.1=3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）==，P（X=600）==，300 400 500EX=+=390．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．∴EF∥AG，∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角∴tan∠DMH==．∴cos∠DMH=∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（0，，），∴．取SD的中点G（0，0，），则．∴∴EF∥AG∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）．∴EF中点M（）∴，∴=0∴MD⊥EF又=（0，﹣，0），∴=0∴EA⊥EF，∴和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．∵cos＜，＞==．∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．解：（Ⅰ）由x2+y2+2x﹣15=0，得（x+1）2+y2=42，∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，又|AH|=2＜4，故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为；（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得，于是．（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取P（），Q（），E（2，0），F（﹣2，0），∴；（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得；（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则直线EF的方程为y=，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，于是，=（1+k2）[x P x Q﹣（x P+x Q）+1] =．将上面的k换成，可得，∴=，令1+k2=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：=．由t＞1，得0，∴．综合（1）（2）（3）可知，所求的取值范围为[]．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣8sinx+12sin2x﹣4sin4x=8sinx（﹣1+3cosx﹣2cosxcos2x）=8sinx（1﹣cosx0（4cos2x+4cosx﹣1）；x∈（0，）时，得sinx＞0，1﹣cosx＞0，由cosx＞，得：4cos2x+4cosx﹣1＞0，古f′（x）＞0，即f（x）在[0，）递增，又f（0）=3，故f（x）在[0，）的最小值是3；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，x∈（0，）时，g′（x）=cosx﹣cos2x﹣1=﹣（cosx﹣1）2＜0，故g（x）在[0，）递减，得g（x）＜g（0）=0，即sinx﹣sin2x＜x，①，设函数h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，h′（x）=cosx﹣2cos2x+cos4x﹣1=f（x）﹣1，x∈（0，）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，故h（x）在[0，）上递增，得h（x）＞h（0）=0，即sinx﹣sin2x+sin4x＞x，②，综合①②，x∈（0，）时，有sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）（1）令x=，得：sin﹣sin＜＜sin﹣sin+sin，即sin﹣sin＜π＜nsin﹣nsin+sin，易知s n=sin，s2n=nsin，=sin，即s2n﹣s n＜π＜S2n一2S n+；（2）易得，s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，得：π＞s24﹣s12＞×3.105﹣×3=3.14，π＜s24﹣2s12+s6＜×3.106﹣2×3+××1.733＜3.15，综上，3.14＜π＜3.15．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG2=FA•FD．又EF=FG，所以EF2=FA•FD，即．因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，所以，FE∥BC（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．因为∠EAD=∠DEF=30°，所以=tan30°=，所以===[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为y=x2，，直线l的普通方程为x+y=2；联立，解得，或（舍去）；故直线l与曲线C1的直角坐标为（1，1），其极坐标为；（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax﹣2ay=0，即：（x+a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）；由曲线l与C2相切，得；∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x＜1时，由f（x）≥（x+1），有1﹣x≥（x+1），解得：x≤，当x≥1时，f（x）≥（x+1），有x﹣1≥（x﹣1），解得：x≥3，综上，不等式的解集是（﹣∞，]∪[3，+∞）；（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=，g（x）的值域A=[a﹣2，2﹣a]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，当a≥2时，g（x）=，g（x）的值域A=[2﹣a，a﹣2]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，综上，所求a的范围是[1，3]．。

荆门市2 0 1 6年高三年级元月调考数学（理科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数231izi+=+（i为虚数单位）在复平面上的对应点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为A．14 B．15 C．16 D．213．函数f(x) =xe x在点A(0，f(0))处的切线斜率为A．0 B． 1 C．1 D．e4．已知变量x，y满足约束条件422,1y xxy-=⎧⎪-≤<⎨⎪≥⎩，则z=x-2y的最小值是A．0 B． 6 C． 10 D． 125．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A．21 B．34 C．55 D．896．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )cm2A.12πB.24πC.15π+12D.12π+127．已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，以P为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，12|F1F2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为A． B．2 C．3 D．48．在△ABC中，若sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB，则△ABC的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知集合A={l ，2，3，4，5，6}，若从集合A 中任取3个不同的数，则这三个数可以作为三角形三边长的概率为10．(x+1+ )6的展开式中的常数项为 A ．32 B ．90 C ．140 D ．14111．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ+cos θ=，则方程x 2sin θ-y 2cos θ=1表示 A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在x 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的椭圆12．含有甲、乙、丙的六位同学站成一排，则甲、乙相邻且甲、丙两人中间恰有两人的站法的种数为A ．72B ．60C ．32D ．24第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．{}n a 13．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项之积为Tn ，且T 3=14，T 6 =32，则q 的值为 ． 14. 到两定点F 1(-1，0)，F 2(1，0)距离之和为2的点的轨迹的长度为 ．15. 下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2，l 3 +23 +33+43 +53 +63 +73=(4×7)2，…由归纳思想，第n 个式子为 。

绝 密 ★ 启用前荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（理）本试卷共4页，21题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =IA ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤ 2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥C ．2,2x x R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点5．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122ab--的上确界为A ．5-B ．4-C ．92D ．92-6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为A．3π2+ B．π+ C ．3π2D．5π27．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．148. 在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u r u u u r, 且OA uur 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为 A ．14-B ．25C ．25或43- D ．529．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为 A ．991B ．992C ．993D ．99910．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u r u u r u u r ，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为 A．3 B．5 C．2D ．98二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 11．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．12．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．13．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ．14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20N 的力能使弹簧伸长4cm ，则把弹簧从平衡位置拉长8cm （在弹性限度内）时所做的功为 ▲（单第6题图第7题图位：焦耳）.15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →⊆，若集合C A ⊆，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于{}3,,,,q A a b c d ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ▲ ；②对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,πA =，映射:f A B →的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 π f (x )11111yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中3个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(,,)q y z 为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),,cos )222x x xm n =-=rr ，设函数()f x m n =． （Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，12n S b b =++…n b +，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ； （Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；第18题图（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 20．（本小题满分13分）如图，已知圆E:22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OB l OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求12S S S+的取值范围．21．(本小题满分14分) 设函数2()ln a f x x x=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]3s t ∈，都有()()sf s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．第20题图荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数学(理)参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1. B2. D3. B4. C5. D6. A7.B8. C9. D 10. A 二、填空题（每小题5分，5小题共25分）11．1-； 12； 13．3[1,)2； 14．1.6； 15．①5，②(5,1,2). 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．因为2(cos,1),,cos )222x x xm n =-=rr ，函数()f x m n =r r g ．所以21cos ()cos cos 2222x x x xf x x +=-=-………………………2分11π1cos sin()22262x x x =--=--………………………4分 （Ⅰ）由()0f x =，得π1sin()62x -=． ππ=+2π66x k -∴，或π5π=+2π66x k k Z -∈，π=+2π3x k ∴，或=+2πx k k Z π∈， ………………………6分又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3和π． ………………………8分（Ⅱ）在△ABC 中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-===≥． 由1cos 2B ≥且(0,π)B ∈，得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-， ……………10分π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴． ………………12分17. （Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩…………4分当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2n n a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=． …………………6分(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n n a =，∴122log 22n n n n b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅ ③………………………8分2312[1222(1)22]nn n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅④ 由③－④，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅ ………………………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥ 故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ……………………12分18.(选修2一1第109页例4改编) 方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． ………………………2分 又ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ⊂平面,SAD ∴.AM DC ⊥ 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC SC ⊂平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分 由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ．∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ． ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影． ∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ． ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,222a MF SA FQ DE ====，∴tan4aFQM∠==．∴二面角D AC M--的余弦的大小为3．………………………12分方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz-，由SA AB=,可设1AB AD AS===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M．Q11(,0,)22AM=uuu r，()1,1,1CS=--uu r，1122AM CS∴⋅=-+=uuu r uu rAM CS∴⊥uuu r uu r,即有SC AM⊥…6分又SC AN⊥且AN AM A=．SC∴⊥平面AMN．又SC⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面AMN．………………………8分（Ⅲ）Q SA⊥底面ABCD，∴ASuu r是平面ABCD的一个法向量，(0,0,1)AS=u u r．设平面ACM的法向量为(,,)n x y z=,11(1,1,0),(,0,)22AC AM==uur uuu r, 则0,0.ACAMnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uurr uuu r即00,1100.22x yx z++=⎧⎪⎨++=⎪⎩, ∴,.y xz x=-⎧⎨=-⎩令1x=-,则(1,1,1)n=-．……………………10分cos,||||ASASASnnn<>===⋅uu r ruu r r guu r r由作图可知二面角D AC M--为锐二面角∴二面角D AC M--．………………………12分19．（本小题满分12分）(必修一第127页例2改编)（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x=，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x∈时，()f x是增函数；②当[]10,100x∈时，()5f x≤恒成立；③当[]10,100x∈时，()5xf x≤恒成立．………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x=+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①；但当80x=时，5y=，因此，当80x>时，5y>，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．………………………7分（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分 设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此 2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求． ………………………12分20．(选修2一1第49页习题第7题改编)（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >= 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c 1b =，……3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=． ………………………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ．………………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而((0,2)m ∈．故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-= ……………………………………10分 ∵22221212144x x y y +=+=则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． ……………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：12S S S +的取值范围是5π[)4+∞，． ……………………13分21. (Ⅰ)233212()a x af x x x x -'=-+=, 定义域（0，+∞） ……………………1分①当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, …………………2分②当0a >时，()0f x x '⇒≥，函数()f x 的单调递增区间为)+∞.()00f x x '⇒<≤()f x 的单调递减区间为. …………4分 (Ⅱ)存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立,等价于12max [()()]g x g x M -≥. ……………………5分 考察3222()3,()323()3g x x x g x x x x x '=--=-=-x 13- 1(,0)3- 0 2(0,)323 2(,3)33 ()g x '+ 0- 0+ ()g x8527-递增3-递减8527-递增15……………7分由上表可知min 1285()()()3327g x g g =-==-，max ()(3)15g x g == 12max max min490[()()]()()27g x g x g x g x --==， 所以满足条件的最大整数18M =． ……………………9分 （Ⅲ）当1[,2]3x ∈时，由（Ⅱ）可知，()g x 在12[,]33上是减函数，在2[,2]3上增函数，而183()(2)1327g g =-<=()g x ∴的最大值是1. ……………………………………10分要满足条件，则只需当1[,2]3x ∈时，()ln 1axf x x x x=+≥恒成立, 等价于2ln a x x x -≥恒成立, 记2()ln h x x x x =-，()12ln h x x x x '=--，(1)0h '=.…………11分当1[,1)3x ∈时,10,ln 0,()0x x x h x '-><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，当12]x ∈（，时,10,ln 0,()0x x x h x '-<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(12]，上递减， ∴1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =． ………………………13分所以1a ≥. ……………………14分 另解:设()12ln ,()32ln m x x x x m x x '=--=--， 由于1[,2],()32ln 03x m x x '∈=--<，所以()()12ln m x h x x x x '==--在1[,2]3上递减，又(1)0h '=∴当1[,1)3x ∈时，()0,(1,2]h x x '>∈时()0h x '<，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，在区间(1,2]上递减， ……………13分所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥. ………………………14分。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，则=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．已知命题p ，q ，“pq 为真”是“p ∨q 为真”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争则a 与a +2b 的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．直线y= 4x 与曲线y=x 2围成的封闭区域面积为( )A ．223B ．8C ．323D ．163 6．设a=12201441(),log 2015,log 22b c ==，则( ) A. a>b>c B. b>c>a C. b>a>c D. a>c>b7．若向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，则函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，若a b =，， 则tanA=( )A B ．1 C ．3D. 9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310．若函数f (x)= sin(2x+ϕ)满足对一切x ∈R ，都有f (x)≥()7f π成立，则下列关系 式中不成立的是( )11．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时，1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，则f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<012．在矩形ABCD 中，,P 为矩形内一点，且(,),53A P A B A D R λμλμμ=+∈的最大值为( ’ ABCD第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数()1()tan 026f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为3π，则ω= 。

荆门市2012-2013学年度高三元月调研考试数 学（理）注意：1、全卷满分150分，考试时间120分钟.2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.设:f x →2x 是集合M 到集合N 的映射，若N ＝{1，2}，则M 不可能是A 、{－1}B 、{－2，2}C 、{1，2，2}D 、{－2，－1，1，2}2.已知函数()y f x =的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3.复数ii-+22表示复平面内点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4.已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、85.由直线1,2,02x x y ===，及曲线1y x=所围图形的面积为 A 、154 B 、174C 、1ln 22D 、2ln26.命题“x x R e x ∃∈<，”的否定是A 、x x R e x ∃∈，＞B 、x x R e x ∀∈，≥C 、x x R e x ∃∈，≥D 、x x R e x ∀∈，＞7.若x ，y 满足1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤且z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是A 、(－1，2)B 、(－2，4)C 、(－4，0]D 、(－4，2)8.已知函数7(13)10(6)()(6)x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩≤若数列{a n }满足a n ＝()f n （n ∈N ＋）且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是 A 、(31，1) B 、(31，21) C 、(31，85) D 、(85，1) 9.函数[]sin ,π,πy x x x =+∈-的大致图象是A 、B 、C 、D 、10.6的线段。

荆门市2016年高三年级元月调考理科综合试卷2016.1.6★祝考试顺利★可能用到的相对原子质量：H:l C:12 O:16 Al：27 Si:28 S:32 C1:35.5 Fe:56 Cu:64第I卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．下列有关物质性质的应用正确的是A．浓硫酸有吸水性，可用于干燥氨气和二氧化硫B．明矾溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒C．常温下铁能被浓硝酸钝化，可用铁质容器贮运浓硝酸D．金属钠具有强还原性，可用与TiCl4溶液反应制取金属Ti8．下列根据实验操作和现象所得出的结论正确的是9．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．使甲基橙变红色的溶液：Mg2+、K+、SO42-N03-B．使酚酞变红色的溶液：Na+、Cu2+、HC03-、NO3-C．0. 1mol．L-1AgN03溶液：H+、K+、SO42-、I-D．0. 1mol．L-l NaAl02溶液：H+、Na+、Cl、SO42-10.右图是部分短周期主族元素原子半径与原子序数的关系图。

下列说法错误的是A．X、Y两种单质在常温条件下反应生成的产物为碱性氧化物B．Y、Z的单质在空气中加热，均能燃烧C．Y、Z、R三种元素对应的最高价氧化物的水化物相互之间可以发生反应D．电解熔融的X与Z构成的化合物可以得到单质Z11. 一定温度下，将1mol A(g)和1mol B(g)充人2L密闭容器中发生反应，在t l时达到平衡：A(g)+B(g)xC(g)+D(s)。

在t2、t3时刻分别改变反应的一个条件，测得容器中C(g)的浓度随时间变化如图所示。

下列有关说法正确的是A．反应方程式中x=2B．t2时刻改变的条件是使用催化剂C．t3时刻改变的条件是移去少量DD．t1～t3间该反应的平衡常数不相同12. 25℃时，浓度均为1 mol／L的AX、BX、AY、BY四种正盐溶液，AX溶液的pH=7且溶液中c(X-) =1 mol／L，BX溶液的pH=4，BY溶液的pH=6。

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（理）全卷满分150分。

考试用时120分钟。

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的应用、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、集合、排列组合、命题、简单的线性规划等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =IA ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B解析：因为{}{}{}{}260,1,2,3,4,5,6,303A x N x B x R x x x x =∈==∈->=>≤或x<0，所以A B =I {4，5，6},则选B .【思路点拨】先明确集合A 中的元素及集合B 中的元素范围，再求交集.【题文】2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2xx R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件【知识点】命题A2 【答案】【解析】D解析：因为0xe >,所以A 是假命题，当x=2π-时，22sin 13sin x x+=-<，所以B 错误，当x=2时，222=2，所以C 错误，则只有D 正确，所以选D.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时，可利用特例法进行排除判断. 【题文】3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【知识点】三角函数的图象C4 【答案】【解析】B解析：因为πsin(2)=sin236y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可知用6x π+换x 即可得到函数y=sin2x 的图象，所以向左平移6π个长度单位，则选B.. 【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移，只需观察x 的变换，结合左加右减进行判断.【题文】4．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】C解析：由二次函数的图象可知，若a,b 在二次函数的两个零点外侧，则有()0,()0f a f b >>，所以函数()f x 在区间(,)a b 内可能有两个零点，所以选C. 【思路点拨】判断二次函数的零点，可结合其图象进行判断.【题文】5．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122ab--的上确界为A ．5-B ．4-C ．92D ．92-【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】D 解析：因为()121252592222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以12292a b --≤-，则选D.【思路点拨】由题意可知上确界即为函数的最大值，利用基本不等式求所给式子的最大值即可.【题文】6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 A ．3π32+ B ．π3+ C ．3π2D ．5π32+【知识点】三视图G2 【答案】【解析】A第6题图解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为211122ππ⨯=，侧面面积为21222ππ⨯+=+3π2+ A.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【题文】7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．14【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC 上取到，即x+ay=0应与直线AC 平行，进而计算可得a 值，最后结合目标函数yx a-的几何意义求出答案即可．【题文】8. 在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-uu r uu u r, 且OA uu r 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．14-B ．25C ．25或43- D ．52【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】C第7题图解析：设直线l 的一个方向向量为()1,v k =r，由题意可得OA v OB v v v••=u u u r r u u u r r rr ,∴|1+4k|=|-3+k|，解得k=25或43-,故选C ． 【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标，再利用向量的投影得到斜率的方程，解答即可.【题文】9．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为 A ．991 B ．992 C ．993D ．999【知识点】数列求和D4 【答案】【解析】D∴129999000S S S +++=K ，则100项的数列()12999,,,,p pp K “蔡查罗和”为【思路点拨】理解新定义的含义，结合新定义列出已知和所求，即可得到解答.【题文】10．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u r u u r u u r，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为A3B5C 2D ．98【知识点】双曲线的性质H6 【答案】【解析】A解析：双曲线的渐近线为：y=±b a x ，设焦点F （c ，0），则A （c ，bc a ），B （c ，－bca），P （c ，2b a ），∵OP OA OB λμ=+uu r uu r uu r ，∴（c ，2b a ）=（（λ+μ）c ，（λ－μ）bca），∴λ+μ=1，λ－μ=b c ，解得λ=2c b c + ，μ=2c b c -，又由316λμ⋅=，得2c b c +×2c b c -=316，解得2234a c =∴e=c a = A. 【思路点拨】可结合向量关系寻求点的坐标关系，得到a,b,c 的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 【题文】11．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．【知识点】分段函数B1【答案】【解析】－1解析：因为当x ＞1时，f(x) ＞3，所以若()2f x =，则1,12x x ≤-=，解得x=－1. 【思路点拨】可先分析分段函数当x ＞1时的函数值的取值范围，再由所给函数值求自变量的值.【题文】12．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为▲ ．【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小值==.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【题文】13．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ． 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为()()()21211'222x x f x x x x +-=-=,由x ＞0可知函数的极值点只有x=12,若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则1012112a a ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得312a ≤<，所以实数a 的范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【思路点拨】因为所给函数已知，则可先求出函数的极值点，再结合函数的定义域及极值点得到关于a 满足的条件求解即可.【题文】14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20N 的力能使弹簧伸长4cm ，则把弹簧从平衡位置拉长8cm （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）. 【知识点】定积分B13 【答案】【解析】1.6解析：由F=kl 可知20N 的力能使弹簧伸长4cm,若使弹簧伸长8cm ，由公式可求伸长到8cm 时需40N 的力，由定积分可知有关力与距离的函数F=kl 图像中函数与x 轴在（0,8）围成的面积即为力做的功180.4 1.62W J =⨯⨯= . 【思路点拨】由力与伸长距离的函数关系求得所需的力，再由定积分求得力所做的功.【题文】15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →⊆，若集合C A ⊆，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于{}3,,,,q A a b c d ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ▲ ；②对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,πA =，映射:f A B →的对应关系如下表：若当且仅当中含有和至少中3个整数或者中至少含有中5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(,,)q y z 为 ▲ ．【知识点】映射 排列组合的应用B11 J2 【答案】【解析】①5；②(5,1,2)解析：①因为A 中的每个元素对应的B 中的元素都是1，所以所A 的子集所有元素之和大于等于3，则子集的元素个数最少为3个，所以集合A 的所有好子集的个数为34445C C += ;②由当且仅当C 中含有π和至少A 中3个整数时C 为A 的好子集，知：z+1+1+1大于等于q 且z+1+1+y 大于等于q ，（1）同时，z+1+1小于q 且z+y+1小于q ，（2），又B 包含于正整数集所以y 大于等于1，（3），由上（1）（2）（3）知y=1，∵C 中至少含有A 中5个整数时，得出5大于等于q ，且4小于q ．所以q=5，将q=5代入（1）式，得：z 大于等于2 且z 小于3，∴z=2，综上（q ，y ，z ）=（5，1，2）．【思路点拨】本题主要考查的是映射、排列组合的综合应用，注意分类讨论思想的运用. 【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】16．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-=r r ，设函数()f x m n =u r r g ．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．【知识点】向量的数量积 解三角形C8 F3【答案】【解析】（Ⅰ）π3和π；（Ⅱ）(－1,0]解析：因为2(cos ,1),,cos )222x x xm n =-=r r ，函数()f x m n =r r g ．所以21cos ()cos cos 22222x x x x f x x +=-=- ………………………2分11π1cos sin()2262x x x =--=--………………………4分 （Ⅰ）由()0f x =，得π1sin()62x -=．ππ=+2π66x k -∴，或π5π=+2π66x k k Z -∈，π=+2π3x k ∴，或=+2πx k k Z π∈， ………………………6分又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3和π． ………………………8分（Ⅱ）在△ABC 中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-===≥． 由1cos 2B ≥且(0,π)B ∈，得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-， ……………10分π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴． ………………12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时，通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，12n S b b =++…n b +，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =或612n n a -=；(Ⅱ)5解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩…………4分 当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2nn a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=．…………………6分(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n n a =，∴122log 22n n nn b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅L③ ……………8分2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅L ④ 由③－④，得 2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅L ………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5.……………………12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路. 【题文】18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ；（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值．【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11 【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）33解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线．∴//ME SB ． ………………………2分 又ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ⊂平面,SAD ∴.AM DC ⊥又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC SC ⊂平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分 由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN第18题图又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ． ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ． ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影．∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ． ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，112,222a MF SA FQ DE a ====， ∴2tan 224aFQM a∠==． ∴ 二面角D AC M --的余弦的大小为33． ………………………12分方法二：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，由SA AB =,可设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M ．Q 11(,0,)22AM =uuu r ， ()1,1,1CS =--uu r ，11022AM CS ∴⋅=-+=uuu r uu r AM CS ∴⊥uuu r uu r ,即有SC AM ⊥…6分又SC AN ⊥且AN AM A =I ．SC ∴⊥平面AMN ． 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN ． ………………………8分（Ⅲ） Q SA ⊥底面ABCD ，∴AS uu r 是平面ABCD 的一个法向量，(0,0,1)AS =u u r．设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =r ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==uuruuu r, 则0,0.AC AM n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩, ∴,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =-,则(1,1,1)n =-r． ……………………10分cos ,3||||AS AS AS n n n <>===⋅uu r ruu r r g uu r r , 由作图可知二面角D AC M --为锐二面角 ∴二面角D AC M --………………………12分 【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答. 【题文】19．（本小题满分12分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数；②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．（Ⅱ）函数模型2log 2y x =-符合公司要求解析：（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x =+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．……………7分（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．…………12分【思路点拨】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，可先将文字语言转化为数学符号语言，再用数学方法定量计算得出所要求的结果. 【题文】20．（本小题满分13分）如图，已知圆E :22(3)16x y ++=，点(3,0)F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OBl OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求12S S S+的取值范围． 【知识点】圆 椭圆 直线与圆锥曲线 等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）5π[)4+∞，解析：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||23EF >=， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．……………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =，…3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=．…………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ．…………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而(2,0)(0,2)m ∈-U ． 故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=第20题图||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=…………………………10分 ∵22221212144x x y y +=+= 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值．…………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：12S S S +的取值范围是5π[)4+∞，．……………13分 【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【题文】21．(本小题满分14分)设函数2()ln af x x x=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]3s t ∈，都有()()sf s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）当0a ≤时，在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，单调递增区间为)+∞，单调递减区间为；（Ⅱ）18；（Ⅲ）1a ≥解析：(Ⅰ)233212()a x a f x x x x -'=-+=, 定义域（0，+∞）………………1分①当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,………2分②当0a >时，()0f x x '⇒≥()f x 的单调递增区间为)+∞.()00f x x '⇒<≤()f x 的单调递减区间为.………4分 (Ⅱ)存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立, 等价于12max [()()]g x g x M -≥.………………5分 考察3222()3,()323()g x x x g x x x x x '=--=-=-…7分由上表可知min 1285()()()3327g x g g =-==-，max ()(3)15g x g == 12max max min 490[()()]()()27g x g x g x g x --==， 所以满足条件的最大整数18M =．……………9分（Ⅲ）当1[,2]3x ∈时，由（Ⅱ）可知，()g x 在12[,]33上是减函数，在2[,2]3上增函数，而183()(2)1327g g =-<=()g x ∴的最大值是1.…………………………10分要满足条件，则只需当1[,2]3x ∈时，()ln 1a xf x x x x =+≥恒成立, 等价于2ln a x x x -≥恒成立,记2()ln h x x x x =-，()12ln h x x x x '=--，(1)0h '=.…………11分当1[,1)3x ∈时,10,ln 0,()0x x x h x '-><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增， 当12]x ∈（，时,10,ln 0,()0x x x h x '-<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(12]，上递减，∴1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =．…………13分所以1a ≥.……………14分另解:设()12ln ,()32ln m x x x x m x x '=--=--，由于1[,2],()32ln 03x m x x '∈=--<，所以在1[,2]3上递减，又(1)0h '=∴当1[,1)3x ∈时，()()12ln m x h x x x x '==--()0,(1,2]h x x '>∈时()0h x '<，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，在区间(1,2]上递减，…13分所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.…………14分【思路点拨】理解函数的单调性与导数的关系是解题的关键，遇到不等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题进行解答.。