山东省烟台市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 (word版含答案)

【答案】1-12 CACBD ADBDD CB13．3．14．2．15．6．16．①③④17．【解析】全集U=R，集合A={x|0＜log2x＜2}={x|1＜x＜4}，B={x|x≤3m﹣4或x≥8+m}（m＜6）；（1）当m=2时，B={x|x≤2或x≥10}，∴∁U B={x|2＜x＜10}，A∩（∁U B）={x|2＜x＜4}；（2）∁U B={x|3m﹣4＜x＜8+m}，当∁U B=∅时，3m﹣4≥8+m，解得m≥6，不合题意，舍去；当∁U B≠∅时，应满足，解得﹣4≤m≤，∴实数m的取值范围是﹣4≤m≤．18．【解析】（1）∵在正三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．∴DE∥AC，∵DE⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（2）连结PD，CD，∵正三棱锥P﹣ABC中，D是AB的中点，∴PD⊥AB，CD⊥AB，∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴AB⊥PC．19．【解析】（1）AB中点坐标为（3，0），∴直线l的方程为y=（x﹣3），即x+y﹣3=0；（2）设D（a，b），则，∴a=2，b=4，即D（2，4），直线BC的方程为y+1=（x﹣7），即2x+3y﹣11=0，D到直线BC的距离d==，|BC|==3，∴△BCD的面积S= = ．20．【解析】证明：（1）在△ABC中，∵AC=，AB=2BC=2，∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC．∵AC⊂平面平面EAC，∴平面EAC⊥平面FCB．（2）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN．由CDEF为正方形，得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M，且=1，使得EA∥平面FDM成立．21．【解析】（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20﹣x（0≤x≤20），设价格为y，则y=，x=15时，t=5万件，y=4万元；（2）总利润L=（x﹣）t=xt﹣20=x（20﹣x）﹣20≤﹣20=80，当且仅当x=10元时总利润最大，最大利润80万元．22．【解析】（1）∵a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（+a）．函数f（x）过点（1，1），∴f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，∴此时函数f（x）=log2（）．（2）g（x）=f（x）+2log2x=+2log2x=log2（x+ax2），∵函数g（x）=f（x）+2log2x 只有一个零点，∴h（x）=ax2+x=1只有一个解，∴当a=0时，h（x）=x﹣1，只有一个零点，成立；当a≠0时，h（x）=ax2+x﹣1只有一个零点，解得a=﹣．综上，a=0或a=﹣．（3）f（x）=，，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值分别是f（t）与f（t+1），由题意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，∴≤2，整理，得a≥，设Q（t）=，Q′（t）=，当t∈[，1]时，Q′（t）＜0，则a≥Q（t），∴a≥Q（），解得a≥．∴实数a的取值范围是[，+∞）．。

2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜02．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．4．（5分）若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或45．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10 D．11+6．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2 7．（5分）母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．14．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．15．（5分）已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．16．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．18．（12分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．21．（12分）某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有﹣＞0，＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k 为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有﹣＞0，＜0，分析可得：m＞0，n＜0，故选：C．【点评】本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．故选：B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．3．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D．【点评】本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．4．（5分）若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或4【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0互相垂直，∴（k﹣3）×（k+1）+（k+4）×2（k﹣3）=0，即k2﹣9=0，解得k=3或k=﹣3，故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10 D．11+【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S==12+．故选：A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．6．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2【分析】根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=，倾斜角为60°，结合题意可得直线l的倾斜角为120°，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是﹣1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．【点评】本题考查直线的斜截式方程，关键是由直线的倾斜角求出直线的斜率．7．（5分）母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，可得B1G⊥BN，即异面直线C1M 与BN所成角为90°．【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，∴B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，∴B1G⊥BN，即异面直线C1M与BN所成角为90°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y﹣20=0的距离即可．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．【点评】本题考查点到直线的距离公式，也利用利用二次函数的性质求解，考查计算能力，是基础题．10．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选：C．【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V ABCDEF=V BCF﹣GHE+V E﹣AGHD，由此能求出结果．=6，由整个几何体大于法二：连接BE、CE，求出四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD四棱锥E﹣ABCD的体积，能求出结果．【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V BCF﹣GHE+V E﹣AGHD=S△BCF×EF+=+=．故选：D．解法二：如下图所示，连接BE、CE=×3×3×2=6，则四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，∴所求几何体的体积V ABCDEF＞V E，﹣ABCD故选：D．【点评】本题考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．【分析】求出m，转化为直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离．【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：．【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数零点的判断，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n 的值，得到答案．【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是C （6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为k AB=﹣，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2）所以k CD==﹣，①CD的中点为（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案为：．【点评】解决两点关于一条直线的对称问题，利用两点的连线斜率与对称轴斜率乘积为﹣1，两点的中点在对称轴上，列出方程组来解决．16．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是③④．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．【点评】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．【分析】求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，∴．…（3分）设圆柱底面圆的半径为r，则，…（6分）．…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查剩余部分几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）【点评】此题考查学生会根据两点的坐标写出直线的方程，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AC，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，…（4分）∵PD⊂平面PCD，所以AC⊥PD．…（5分）（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…（6分）证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，所以EF∥AD，且，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…（10分）又因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD所以BE∥平面PCD．…（12分）【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．20．（12分）如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC 方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…（2分）又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…（4分）联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（6分）（2），…（8分）又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直线BC的距离，…（10分）所以△ABC的面积=．…（12分）【点评】本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【分析】（1）通过，化简，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．【解答】解：（1）因为，则．…（2分）当f（x）=2时，，得，即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（4分）（2）设t=log25（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，则，…（7分）显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，则f（x）max=max{g（0），g（1）}，…（9分）因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，…（11分）又a∈（0，1），故调节参数a应控制在内．…（12分）【点评】本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．22．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．【分析】（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB ⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P﹣ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求【解答】解（Ⅰ）证明：连接CF．∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC．∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．∵PC⊂平面PCF，∴PC⊥AB，∴PC⊥平面PAB．（4分）（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，∴∠PFC为所求二面角的平面角．设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．∴cos∠PFC==．（8分）解法二：设P在平面ABC内的射影为O．∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC．得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．∴∠PFO为所求二面角的平面角．设AB=a，则PF=，OF=•a．∴cos∠PFO==．（8分）（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．∴△ABC的边长为2．（12分）解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD 为直角三角形．设AB=x，球半径为R．∵4πR2=12π，∴PD=2．∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，∴=x（2﹣x）．于是x=2．∴△ABC的边长为2．（12分）【点评】本小题主要考查空间线面垂直的关系、二面角的度量、几何体的构造的等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．。

2016-2017学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列四个命题中，真命题的是（）A．空间中两组对边分别相等的四边形为平行四边形B．所有梯形都有外接圆C．所有的质数的平方都不是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是偶数2．若命题p：α是第一象限角；命题q：α是锐角，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题p：若x＞y，则tanx＞tany；命题q：x2+y2≥2xy．下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p D．q4．命题“∃x0∈R，”的否定是（）A．不存在x0∈R， B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2+x+1＜0 D．∀x∈R，x2+x+1≥05．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于，则这样的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ（ρ∈R）的圆心到直线的距离是（）A．B． C．1 D．28．与x轴相切且和半圆x2+y2=4（0≤y≤2）内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．x2=﹣4（y﹣1）（0＜y≤1）B．x2=4（y﹣1）（0＜y≤1）C．x2=4（y+1）（0＜y≤1）D．x2=﹣2（y﹣1）（0＜y≤1）9．已知椭圆，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为（）A．B． C．8 D．411．设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点）B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点）C．当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）D．当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点）12．已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别是F1，F2．若点M坐标为（2，1），过双曲线左焦点且斜率为的直线与双曲线右支交于点P，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若命题“∃x∈R，|x﹣1|+|x+a|＜3”是真命题，则实数a的取值范围是．14．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，则实数m的取值范围是．15．如图，圆（x+2）2+y2=4的圆心为点B，A（2，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线BP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为．16．下列三个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②“”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件；③已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．上述命题中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知实数c＞0，设命题p：函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减；命题q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．18．已知命题p：﹣x2+8x+20≥0；命题q：x2+2x+1﹣4m2≤0．（1）当m∈R时，解不等式x2+2x+1﹣4m2≤0；（2）当m＞0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（1）求与双曲线共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程．20．在直角坐标xOy平面内，已知点F（2，0），直线l：x=﹣2，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，试判断λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．22．已知曲线C1的参数方程是为参数），曲线C2的参数方程是为参数）．（1）将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值．2016-2017学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列四个命题中，真命题的是（）A．空间中两组对边分别相等的四边形为平行四边形B．所有梯形都有外接圆C．所有的质数的平方都不是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是偶数【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由平行四边形的定义判断A；根据只有等腰梯形有外接圆判断B；举例说明C错误；由命题的等价命题判断D．【解答】解：由平行四边形的定义可知A错误；只有等腰梯形有外接圆，可知B错误；2为质数，2的平方为偶数，C错误；命题“不存在一个奇数，它的立方是偶数”⇔“所有奇数的立方是奇数”为真命题．故选：D．2．若命题p：α是第一象限角；命题q：α是锐角，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由α是锐角，则α是第一象限角；反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：由α是锐角，则α是第一象限角；反之不成立，例如是第一象限的角，但是不是锐角．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．3．命题p：若x＞y，则tanx＞tany；命题q：x2+y2≥2xy．下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p D．q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若x为钝角，y为锐角，则x＞y，tanx＜tany，故命题p：若x＞y，则tanx＞tany，为假命题；（x﹣y）2≥0恒成立，故命题q：x2+y2≥2xy为真命题；故命题p∨q，￢p均为真命题，p∧q为假命题，故选：B4．命题“∃x0∈R，”的否定是（）A．不存在x0∈R， B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2+x+1＜0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：∃x0∈R，使x02+x0+1＜0的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．故选：D5．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a ≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．6．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于，则这样的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的焦距，利用三角形面积求出三角形的高，求出椭圆的短半轴的长，推出结果即可．【解答】解：椭圆可得b=1，c=，点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于，可得，解得h=1=b，所以这样的三角形只有2个．故选：B．7．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ（ρ∈R）的圆心到直线的距离是（）A．B． C．1 D．2【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将极坐标方程化为普通方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵圆ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ．，化为普通方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，∴圆心的坐标为（2，0）．∵直线（ρ∈R），∴直线的方程为y=x，即x﹣y=0．∴圆心（2，0）到直线x﹣y=0的距离=．故选A．8．与x轴相切且和半圆x2+y2=4（0≤y≤2）内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．x2=﹣4（y﹣1）（0＜y≤1）B．x2=4（y﹣1）（0＜y≤1）C．x2=4（y+1）（0＜y≤1）D．x2=﹣2（y﹣1）（0＜y≤1）【考点】轨迹方程．【分析】当两圆内切时，根据两圆心之间的距离等于两半径相减可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为M（x，y），做MN⊥x轴交x轴于N．因为两圆内切，|MO|=2﹣|MN|，所以=2﹣y，化简得x2=4﹣4y（1≥y＞0）故选A．9．已知椭圆，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，求出椭圆半通径长，代入，化为关于e 的方程求解．【解答】解：如图，∵PF⊥x轴，∴|PF|=，而|AF|=a+c，∴由，得，即4（a2﹣c2）=a2+ac，∴4e2+e﹣3=0，解得e=﹣1（舍）或e=．故选：A．10．已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为（）A．B． C．8 D．4【考点】抛物线的参数方程．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．【解答】解：抛物线的参数方程为，普通方程为y2=4x，抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故选C．11．设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点）B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点）C．当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）D．当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】把m＜﹣1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点），判断A不正确，把﹣1＜m＜0代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点），判断B不正确，把0＜m＜1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点），判断D不正确，设出P点坐标，由向量之积等于m列式，可得P的轨迹方程，核对四个选项得答案．【解答】解：设P（x，y），则=（x≠4），（x≠﹣4），由k BP•k AP=m，得，∴mx2﹣y2=16m．当m＞0时，方程化为（x≠±4），轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）．故选：C．12．已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别是F1，F2．若点M坐标为（2，1），过双曲线左焦点且斜率为的直线与双曲线右支交于点P，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】过双曲线左焦点F1（﹣3，0）且斜率为的直线方程为：5x﹣12y+15=0．由⇒P（3，）所以直线PF2的方程为：x=3，求出点M到直线PF1，PF2的距离分别为d1、d2，即可【解答】解：过双曲线左焦点F1（﹣3，0）且斜率为的直线方程为：5x﹣12y+15=0．由⇒∴P（3，）所以直线PF2的方程为：x=3，设点M到直线PF1，PF2的距离分别为d1、d2，d1=，d2=1．则=．故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若命题“∃x∈R，|x﹣1|+|x+a|＜3”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣4，2）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“∃x∈R，|x﹣1|+|x+a|＜3”是真命题⇔|x﹣1|+|x+a|＜3由解⇔（|x ﹣1|+|x+a|）min＜3⇔|1+a|＜3解得实数a的取值范围【解答】解：命题“∃x∈R，|x﹣1|+|x+a|＜3”是真命题⇔|x﹣1|+|x+a|＜3有解⇔（|x﹣1|+|x+a|）min＜3⇔|1+a|＜3．解得﹣4＜a＜2，∴实数a的取值范围（﹣4，2）故答案为：（﹣4，2）14．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，则实数m的取值范围是（1，4）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m＞4﹣m＞0，m≠4﹣m，解得2＜m＜4．命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线．∴（m﹣1）（m﹣3）＜0，解得1＜m＜3．若p∨q为真命题，则2＜m＜4或1＜m＜3．则实数m的取值范围是（1，4）．故答案为：（1，4）．15．如图，圆（x+2）2+y2=4的圆心为点B，A（2，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线BP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为．【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹的方程可求．【解答】解：由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵||QA|﹣|QB||=|PB|=2＜|AB|=4，满足双曲线的定义，且a=1，c=4，b=，方程为，故答案为．16．下列三个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②“”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件；③已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．上述命题中真命题的序号为②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”；②，当或﹣2时，直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③，点（1，2）在渐进线y=上，∴，【解答】解：对于①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”，故错；对于②，当或﹣2时，直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3=0相互垂直，故正确；对于③，已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则点（1，2）在直线y=上，∴，则该双曲线的离心率的值为，故正确．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知实数c＞0，设命题p：函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减；命题q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案．【解答】解：由函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减可得，0＜2c﹣1＜1，解得．设函数，可知f（x）的最小值为2c，要使不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，只需，因为p或q为真，p且q为假，所以p，q只能一真一假，当p真q假时，有，无解；当p假q真时，有，可得c≥1，综上，c的取值范围为c≥1．18．已知命题p：﹣x2+8x+20≥0；命题q：x2+2x+1﹣4m2≤0．（1）当m∈R时，解不等式x2+2x+1﹣4m2≤0；（2）当m＞0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）x2+2x+1﹣4m2=（x+1﹣2m）（x+1+2m）=0的两根为﹣1+2m，﹣1﹣2m，分﹣1+2m＞﹣1﹣2m，1+2m=﹣1﹣2m=﹣1，1+2m＜﹣1﹣2m三种情况求解不等式（2）求出p：﹣2≤x≤10，q：﹣1﹣2m≤x≤﹣1+2m，由¬p是¬q的必要不充分条件，得q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，解得实数m的取值范围，【解答】解：（1）x2+2x+1﹣4m2=（x+1﹣2m）（x+1+2m）=0，所以x2+2x+1﹣4m2=0对应的两根为﹣1+2m，﹣1﹣2m，当m＞0时，﹣1+2m＞﹣1﹣2m，不等式的解集为{x|﹣1﹣2m≤x≤﹣1+2m}，当m=0时，﹣1+2m=﹣1﹣2m=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}，当m＜0时，﹣1+2m＜﹣1﹣2m，不等式的解集为{x|﹣1+2m≤x≤﹣1﹣2m}；（2）由﹣x2+8x+20≥0可得，（x﹣10）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10由（1）知，当m＞0时，不等式的解集为{x|﹣1﹣2m≤x≤﹣1+2m}，所以q：﹣1﹣2m≤x≤﹣1+2m，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，解得．故实数m的取值范围为．19．（1）求与双曲线共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）设与共渐近线的双曲线的方程为，将点（3，4）代入双曲线中，求出λ=﹣3，即可得到双曲线的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将A，B坐标代入椭圆，利用平方差法，由直线AB的斜率为﹣1可得，求出OP的斜率为，推出a2=2b2，通过，求解即可．【解答】解：（1）设与共渐近线的双曲线的方程为，将点（3，4）代入双曲线中，可得，即λ=﹣3，代入可得，双曲线的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将A，B坐标代入椭圆可得，，（1）﹣（2）可得，，由直线AB的斜率为﹣1可得，，而OP的斜率为，所以a2=2b2，直线过椭圆的右焦点，可得，由a2=b2+c2，得到a2=6，b2=3，所以椭圆的标准方程为．20．在直角坐标xOy平面内，已知点F（2，0），直线l：x=﹣2，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，试判断λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），则Q（﹣2，y），表示出向量通过，可得轨迹方程．（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消x可得y2﹣8ty﹣16=0，利用韦达定理，通过a＞2，推出，，同理可得，然后化简即可．【解答】解：（1）设P（x，y），则Q（﹣2，y），所以，由可得，4（x+2）=﹣4（x﹣2）+y2，整理可得：y2=8x．（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，可设直线方程为x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消x可得y2﹣8ty﹣16=0，所以y1+y2=8t，y1y2=﹣16．又a＞2，即，，得，同理可得，所以=0．21．已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．22．已知曲线C1的参数方程是为参数），曲线C2的参数方程是为参数）．（1）将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）点P到直线3x﹣4y+12=0的距离d为：，即可求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的普通方程为3x﹣4y+12=0；（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C1任意一点，则点P到直线3x﹣4y+12=0的距离d为：，因为cos（θ+φ）∈[﹣1，1]，所以，即曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值为，最小值为．2017年3月15日。

山东省烟台市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（5分）已知圆的半径为π，则60°圆心角所对的弧长为（）A．B． C． D．3．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知正五边形ABCDE的边长为2，则•=（）A．1 B．C．2 D．6．（5分）已知函数f（x）=tan（2x+），则下列说法正确的是（）A．f（x）在定义域是增函数B．f（x）的对称中心是（﹣，0）（k∈Z）C．f（x）是奇函数D．f（x）的对称轴是x=+（k∈Z）7．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）已知向量=（cos20°，sin20°），=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且=+t，则||的最小值为（）A．B．1 C．D．10．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=（x cosθ﹣y sinθ，x sinθ+y cosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．若平面内点A（1，2），点B（1+，2﹣2），把点B绕点A顺时针方向旋转角后得到点P，则点P的坐标为（）A．（4，1）B．（0，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，5）12．（5分）已知函数f（x）=sin x|cos x|，则下列说法错误的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）在区间[，]上单调递减C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1+x2=+kπ（k∈Z）D．f（x）的最小正周期为2π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）函数y=3sin x+4cos x的最小值为．14．（5分）若．则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=．15．（5分）已知函数y=2sin（x+）cos（x﹣）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为A1，A2，A3，…，则|A1A5|=．16．（5分）已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（3，0），则|++|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=4．（1）若（+k）⊥（﹣k），求实数k的值；（2）若（k﹣4）∥（﹣k），求实数k的值．18．（12分）（1）化简：sin40°（tan10°﹣）；（2）证明：﹣2cos（α+β）=．19．（12分）已知函数f（x）=2sin x cos x+2sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的表达式．20．（12分）把平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（﹣θ）的值；（2）若+=，•=，求cos（+θ）的值．21．（12分）（1）证明：sin3x=3sin x﹣4sin3x；（2）试结合（1）的结论，求sin18°的值．（可能用到的公式：4t3﹣2t2﹣3t+1=（t﹣1）（4t2+2t﹣1））22．（12分）某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）近似描述，求该函数解析式．（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？【参考答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】tanθ=2，则===﹣3．故选B．2．C【解析】根据弧长的公式l===．故选C．3．C【解析】由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．4．D【解析】sin（α﹣）=，即．cos（α+）===．故选D．5．C【解析】如图正五边形ABCDE的边长为2，则•=AD cos∠BAD×AB=AB2==2；故选C．6．B【解析】根据正切函数的单调性，可得选项A：f（x）在定义域是增函数，错误；令2x+=，求得x=﹣，k∈Z，可得f（x）的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故B正确；显然，函数f（x）=tan（2x+）不是奇函数，故选项C错误；显然，函数f（x）=tan（2x+）的图象无对称轴，故选项D错误，故选B．7．D【解析】∵=+=+=+（﹣）=+，∴λ=，μ=，∴+=3+=，故选D.8．A【解析】∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．9．C【解析】向量=（cos20°，sin20°），=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且=+t，则||=|（cos20°+t sin10°，sin20°+t cos10°）|===，当t=时，表达式取得最小值：=．故选C．10．B【解析】根据函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象，可得A=1，•=﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得，2×+φ=π，求得φ=．故f（x）=sin（2x+），故把f（x）的图象向右平移个单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选B．11．B【解析】由已知可得=（，﹣2），将点B（1+，2﹣2），绕点A顺时针旋转，得=（cos﹣2sin，﹣sin﹣2cos）=（﹣1，﹣3）∵A（1，2），∴P（0，﹣1 ）故选B12．C【解析】∵f（x）=sin x|cos x|=，k∈Z，故函数的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称，故A正确；f（x）在区间[，]上单调递增，故B正确；函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；f（x）的周期为2π中，故D正确；故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．﹣5【解析】∵y=3sin x+4cos x=5（sin x+cos x）=5sin（x+φ），其中tanφ=，∴函数y=3sin x+4cos x的最小值为﹣5．故答案为﹣5．14．2【解析】因为tan（α+β）==﹣1，所以，tanα+tanβ=﹣1+tanαtanβ即：2=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=（1﹣tanα）（1﹣tanβ）故答案为2.15．2π【解析】y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，令sin2x=可得2x=+2kπ或2x=+2kπ，∴x=+kπ或x=+kπ，k∈Z．∴A1的横坐标为，A2的横坐标为，…，A5的横坐标为，∴|A1A5|=2π．故答案为2π．16．2【解析】由题意，AC为直径，∴|++|=|2+|≥|2|﹣||=6﹣||；∴当B为（﹣1，0）时，6﹣|PB|≥6﹣4=2，∴|++|的最小值为2．故答案为2．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．解：（1）∵（+k）⊥（﹣k），∴（+k）•（﹣k）=0，即，∴=，则k=；（2）∵（k﹣4）∥（﹣k），且﹣k，∴存在实数λ，使得k﹣4=λ（﹣k）=λ﹣λk，∵||=3，||=4，且与不共线，∴，解得k=±2．18．（1）解：原式=sin40°×=sin40°×=﹣=﹣=﹣1．（2）证明：∵sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）∴====，∴原等式成立．19．解：（1）函数f（x）=2sin x cos x+2sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，∴函数f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z，由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，（2）由f（x）=2sin（2x﹣），将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），得到y=2sin（4x﹣），然后把所得图象向左平移个单位，得到g（x）=2sin[4（x+）﹣]=2sin（4x﹣）=﹣2cos4x．20．解：（1）点B（﹣，），如图：则tanθ=﹣，∴tan（）===；（2），=（cosθ，sinθ）．∴=（2+cosθ，sinθ）．∴=cosθ（2+cosθ）+sin2θ=2cosθ+1=．∴cosθ=；又θ∈（0，π），∴sinθ==．∴cos（）=cos cosθ﹣sin sinθ==．21．（1）证明：sin3x=sin（2x+x）=sin2x cos x+cos2x sin x=2sin x cos x•cos x+（1﹣2sin2x）sin x=2sin x•cos2x+sin x﹣2sin3x=2sin x（1﹣sin2x）+sin x﹣2sin3x=3sin x﹣4sin3x；（2）解：由（1）知，3sin18°﹣4sin318°=sin（3×18°）=sin54°=cos36°=1﹣2sin218°，∴4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1=0，∴（sin18°﹣1）（4sin218°+2sin18°﹣1）=0，即4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=或sin18°=（舍）．∴sin18°=．22．解：（1）由题意可得：，解得A=200，b=300．又=2×（8﹣2），解得ω=．∴y=f（x）=200sin+300．又sin=﹣1，又0＜|φ|＜π，解得φ=．∴y=f（x）=200sin+300．（2）由200sin+300≥400，化为：sin，（x∈N*，1≤x≤12）解得x=6，7，8，9，10．因此应该在6，7，8，9，10月份要准备不少于400人的用餐．。

2015-2016学年山东省烟台市牟平一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|x2＜3}，则M∩N等于（）A．∅B．{﹣1，1} C．{﹣2，2} D．{﹣1，0，1}2．设向量与的夹角为60°，且，则等于（）A．B．C．D．63．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．4．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=x2+4 B．y=|tanx| C．y=cos2x D．y=3x﹣3﹣x5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，a1=4，则S5等于（）A．﹣2 B．0 C．5 D．106．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．2 C．D．38．圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）A．B．C．2 D．49．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．ω=2B．C．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象10．若关于x的方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知函数则f（f（2））=．12．设S n为数列{a n}的前n项和，若S n=8a n﹣1，则=．13．若x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为．14．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=．15．设向量．若对任意恒成立，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，3sinA=sinB．（1）若△ABC的面积为，求b的值；（2）求cosB的值．17．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G．（1）证明：平面ACD1⊥平面BB1D；（2）证明：GH∥平面ACD1．19．设函数的最小正周期为π，设向量，，．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若x∈[0，2016π]，求满足的实数x的个数．20．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设，且，求k的值；②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．21．设a，b∈R，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：f（x）＜x3﹣2x2．2015-2016学年山东省烟台市牟平一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|x2＜3}，则M∩N等于（）A．∅B．{﹣1，1} C．{﹣2，2} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），∵M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设向量与的夹角为60°，且，则等于（）A．B．C．D．6【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义计算．【解答】解：．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．3．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．【解答】解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，∴3（1﹣2a）﹣2=0，∴，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．4．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=x2+4 B．y=|tanx| C．y=cos2x D．y=3x﹣3﹣x 【考点】函数奇偶性的判断．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】逐一判断各个选项中所给函数的奇偶性，从而得出结论．【解答】解：对于所给的4个函数，它们的定义域都关于原点对称，选项A、B、C中的函数都满足f（﹣x）=f（x），故他们都是偶函数，对于选项D中的函数，满足f（﹣x）=﹣f（x），故此函数为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，a1=4，则S5等于（）A．﹣2 B．0 C．5 D．10【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，即可求出S5的值．【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为d，则且a3=a1+2d，又a1=4，解得d=﹣2，a3=0；所以S5=5a3=5×0=0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．6．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，a与α平行、相交或a⊂α；在②中，a，b有可能异面垂直；在③中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到a⊥b有可能成立．【解答】解：由a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，得：在①中，若α⊥β，α⊂β，则a与α平行、相交或a⊂α，故①错误；在②中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a，b有可能异面垂直，故a⊥b可能成立，故②正确；在③中，若a⊥l，b⊥l，则a⊥b有可能成立，例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为正方体与三棱柱的组合体．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体与三棱柱的组合体，正方体的棱长为1，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，棱柱的高为1．所以几何体的体积V=13+=．故选A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，结构特征和体积计算，属于基础题．8．圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）A．B．C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得A（），代入圆的方程求得p值．【解答】解：∵直线AB恰好经过抛物线的焦点，∴A，B的横坐标为，不妨设A（），则由A（）在圆C：（x+2）2+y2=32上，得，即5p2+8p﹣112=0，解得：p=或p=4，∵p＞0，∴p=4．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了圆与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．ω=2B．C．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，从而得出结论．【解答】解：根据函数的部分图象如图所示，可知，A=2，，∴，再根据f（0）=Asinφ=2sinφ=1，且，∴，∴，∴，故函数f（x）的图象不关于对称，易得f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象，故选：C．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．若关于x的方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根．当x＞0时，方程|x4﹣x3|=ax等价为a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f （x ）在上递减，在上递增，又f （1）=0，∴当x=时，函数f （x ）取得极小值f （）=﹣，则|f （x ）|取得极大值|f （）|=，∴设的图象如下图所示，则由题可知当直线y=a 与g （x ）的图象有3个交点时0＜a ＜， 此时方程|x 4﹣x 3|=ax 在R 上存在4个不同的实根，故．故选：A ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知函数则f （f （2））= ．【考点】函数的值；分段函数的应用． 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数，将x=2代入可得答案．【解答】解：∵函数，∴f （2）==，∴f （f （2））=f （）==．故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．12．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =8a n ﹣1，则=．【考点】数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系、等比数列的性质即可得出． 【解答】解：∵S n =8a n ﹣1，∴当n=1时，a 1=8a 1﹣1，解得a 1=．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（8a n ﹣1）﹣（8a n ﹣1﹣1），化为．∴==．故答案为：．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若x ，y 满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y 的最小值为 ﹣4 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，从而利用截距求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，目标函数z=﹣2x+y可化为y=2x+z，故结合图象可知，当过点B（3，2）时，z有最小值为﹣2×3+2=﹣4；故答案为：﹣4．【点评】本题考查了简单线性规划的一般解法，注意作图要认真，注意实线与虚线．14．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用离心率公式，建立方程，即可求得双曲线的实轴长．【解答】解：∵，且m＞0，∴，解得或（舍去）．故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15．设向量．若对任意恒成立，则的取值范围为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】由于，即m2+m+6≤8cosθ对任意m∈[﹣1，0]恒成立．当m∈[﹣1，0]，利用二次函数的单调性可得（m2+m+6）max，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：，∴，即m2+m+6≤8cosθ对任意m∈[﹣1，0]恒成立．当m∈[﹣1，0]，（m2+m+6）max=6，∴8cosθ≥6，∴，∴cosθ∈（0，1]，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，3sinA=sinB．（1）若△ABC的面积为，求b的值；（2）求cosB的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得3a=b，利用三角形面积公式可得，进而解得a，b的值．（2）由余弦定理可得，进而利用余弦定理即可解得cosB的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵3sinA=sinB，∴由正弦定理得，3a=b，∴，∴a=2，b=6．…（6分）（2）由余弦定理得，∴，∴．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵a2，a5，a10成等比数列，∴（7+d）（7+9d）=（7+4d）2，又∵d≠0，∴d=2，∴．…（7分）（2）由（1）可得，∴．…（12分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G．（1）证明：平面ACD1⊥平面BB1D；（2）证明：GH∥平面ACD1．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由BB1⊥平面ABCD得AC⊥BB1，又AC⊥B1D，所以AC⊥平面BB1D．所以平面ACD1⊥平面BB1D；（2）设AC∩BD=O，连OD1，由相似三角形得G为OD中点，由中位线定理得HG∥OD1，故GH∥平面ACD1．【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又AC⊥B1D，BB1⊂平面BB1D，B1D⊂平面BB1D，BB1∩B1D=B1，∴AC⊥平面BB1D．∵AC⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D．（2）设AC∩BD=O，连OD1，∵E、F分别为AD、CD的中点，∴△DEF∽△DAC，∴，∴G为OD的中点．∵H为DD1的中点，∴HG∥OD1，∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，∴GH∥平面ACD1．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．19．设函数的最小正周期为π，设向量，，．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若x∈[0，2016π]，求满足的实数x的个数．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）利用，可得ω．再利用正弦函数的单调性即可得出．（2）利用数量积运算性质、正弦函数的单调性最值即可得出．（3）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（1）∵，∴ω=2．∴，令，解得，此即为f（x）的递增区间．（2）=．∵，∴，∴，∴．（3）若，则，∴g（x）=4sin2x=0，∴，又x∈[0，2016π]，∴，即k∈[0，4032]，k∈Z，∴k的值有4033个，即x有4033个．【点评】本题考查了数量积运算性质、正弦函数的单调性最值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设，且，求k的值；②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有，所以．因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．由解得，①∵，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S△AOD的最大值为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值的方法，属于中档题．21．设a，b∈R，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：f（x）＜x3﹣2x2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，可得f（x）的解析式，求出单调区间、极值和最值；（2）设出h（x）=f（x）﹣（x3﹣2x2），求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，进而得到证明．【解答】解：（1）∵，由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，∴解得，∴．，令f'（x）=0，得，令f′（x）＞0，得，此时f（x）单调递增；令f′（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．∴．（2）证明：设，，令h′（x）=0，得x=1，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．∴，∴h（x）＜0．从而f（x）＜x3﹣2x2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，求出最值，考查运算能力，属于中档题．。

2016—2017学年度第一学期高二期末自主练习文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

下列四个命题中，真命题的是（ )A ．空间中两组对边分别相等的四边形为平行四边形B ．所有梯形都有外接圆C ．所有的质数的平方都不是偶数D ．不存在一个奇数，它的立方是偶数2.若命题p ：α是第一象限角;命题q ：α是锐角，则p 是q 的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件3。

命题p ：若y x >,则y x tan tan >；命题q ：xy y x 222≥+.下列命题为假命题的是（ )A ．q p ∨B ．q p ∧C ．p ⌝D ．q4.命题“R x ∈∃0，01020<++x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈0，01020≥++x xB ．R x ∈∃0,01020≥++x xC ．R x ∈∀，012<++x xD ．R x ∈∀，012≥++x x5.平面内有两定点B A ,及动点P ,设命题甲：“PA 与B P 是定值”，命题乙:“点P 的轨迹是以B A ,为焦点的椭圆",那么命题甲是命题乙的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C 。

充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点,且以点P 及焦点21,F F 为顶点的三角形的面积等于3，则这样的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C 。

3D ．47.在极坐标系中，圆)(cos 4R ∈=ρθρ的圆心到直线3πθ=的距离是( )A ．3B ．32 C.1 D ．28。

与x 轴相切且和半圆)20(422≤≤=+y y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．)10)(1(42≤<--=y y xB ．)10)(1(42≤<-=y y xC 。

2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（ ）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A ．0B ．1C ．2D ．32．如果两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，那么实数a 等于（ ）A ．﹣1B ．2C ．2或﹣1D ． 3．函数f （x ）=e x +2x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若函数f （x ）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜﹣1或a ＞1D ．﹣1＜a ＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y 元 90 51 90根据上表数据，当a ≠0时，下列函数：①y=ax +k ；②y=ax 2+bx+c ；③y=alog m x 中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是（只需写出序号即可） ．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 ．14．已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC 中，给出如下三个命题：①异面直线AB 与SC 所成角为60°；②BC 与平面SAB 所成角的余弦值为；③二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值为，其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AA 1=AB=2．（1）求证：平面AA 1C ⊥平面BA 1C ； （2）若AC=BC ，求几何体A 1﹣ABC 的体积V ．17．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点．（1）求证：A 1C ∥平面BDE ；（2）求二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f （x ）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x 的范围； （3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC 中，A （2，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为3x+2y+1=0．角B 的平分线所在直线BT 的方程为x ﹣y+2=0． （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C ．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，那么实数a 等于（ ）A ．﹣1B ．2C ．2或﹣1D ．【分析】两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，直线l 1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，直线l 1的斜率存在，分别化为：y=﹣x ﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f （x ）=e x +2x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S=4πR2，球截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），（1﹣x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，∴中间的一个根满足log2解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y （单位：圆）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据，当a ≠0时，下列函数：①y=ax +k ；②y=ax 2+bx+c ；③y=alog m x 中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是（只需写出序号即可） ② ． 【分析】随着时间x 的增加，y 的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k 和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax 2+bx+c ．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A 1C ⊥B 1D 1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD 为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，AA 1⊥B 1D 1，易得B 1D 1⊥平面AA 1BB 1， 则A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ， 则四边形ABCD 为菱形，故答案为：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 135° ．【分析】由两平行线间的距离，得直线m 和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m 的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m 被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°， 故直线m 的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 （4，+∞） ．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x ）有4个零点，只需当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），∴函数为偶函数， 若f （x ）有4个零点，∴当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a ﹣4＞0， ∴a ＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC 中，给出如下三个命题：①异面直线AB 与SC 所成角为60°；②BC 与平面SAB 所成角的余弦值为；③二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值为，其中所有正确命题的序号为 ②③ ．【分析】①根据线面垂直性质可判断； ②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可； ③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB 中点M ，易证AB 垂直平面SMC ，可得AB 垂直SC ，故错误；②易知BC 在平面上的射影为∠ABC 的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°， ∴cosθ=，故正确；③取BC 中点N ，∴二面角为∠ANC ，不妨设棱长为1，∴cos ∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AA 1=AB=2．（1）求证：平面AA 1C ⊥平面BA 1C ； （2）若AC=BC ，求几何体A 1﹣ABC 的体积V ．【分析】（1）证明BC ⊥平面AA 1C ，即可证明平面AA 1C ⊥平面BA 1C ；（2）求出AC ，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，所以AC ⊥BC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，而AC∩AA 1=A ，所以BC ⊥平面AA 1C ．又BC ⊂平面BA 1C ，所以平面AA 1C ⊥平面BA 1C ．…（6分）（2）解：在Rt △ABC 中，AB=2，则由AB 2=AC 2+BC 2且AC=BC ，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A 1﹣ABC 的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点．（1）求证：A 1C ∥平面BDE ；（2）求二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．【分析】（1）连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，则A 1C ∥EO ，由此能证明A 1C ∥平面BDE ．（2）由BD ⊥AC ，BD ⊥EO ，得∠AOE 是二面角E ﹣BD ﹣A 的平面角，由此能求出二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．【解答】证明：（1）连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，∵E 是AA 1的中点，O 是BD 的中点，∴A 1C ∥EO ，又EO ⊂面BDE ，AA 1⊄面BDE ，所以A 1C ∥平面BDE ．…（6分）解：（2）由（1）知，BD ⊥AC ，BD ⊥EO ， ∴∠AOE 是二面角E ﹣BD ﹣A 的平面角，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE==．∴二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x ＞5时，由f （x ）=8.2﹣x ＞0，得5＜x ＜8.2． ∴要使工厂有盈利，求产量x 的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f （x ）=，∴当x ＞5时，函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分） 当0≤x ≤5时，函数f （x ）=﹣0.4（x ﹣4）2+3.6， 当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC 中，A （2，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为3x+2y+1=0．角B 的平分线所在直线BT 的方程为x ﹣y+2=0． （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．【分析】（1）设B （x 0，y 0），利用中点坐标公式可得：AB 的中点M ，代入直线CM ．又点B 在直线BT 上，联立即可得出．（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 在直线CM 上，所以+1=0，即3x 0+2y 0+6=0 ①…（2分）又点B 在直线BT 上，所以x 0﹣y 0+2=0 ②…（4分） 由①②得：x 0=﹣2，y 0=0，即顶点B （﹣2，0）．…（6分）（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）===﹣4，…（11分）因为kBC所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集=[﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．可得：a＜﹣1．利用S△AOB【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为：+=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．=|a﹣2|||==3+≥∴S△AOB3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测数学(理科)注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设集合U=R ，集合{}{}22A=log 1,230x x B x x x <=--≤，则()U C A B ⋂=A ．[]2,3B ．[]1,2-C ．[]1,0-D ．[][]1,02,3-⋃ 2．设0.0192,lg 2,sin5a b c π===，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b3．己知函数()2y f x x =-是偶函数，且()12f =，则()1f -= A ．2 B ．－2 C ．0 D ．14．已知l 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//l ααβ，则//l βB ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥C ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥D ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ 5．已知()12tan ,tan 25ααβ=-=-，那么()tan 2βα-的值为 A ．34- B ．112- C ．98- D ．986．若变量,x y 满足430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，实数2z 是2x 和y 的等差中项，则z 的最大值为A ．3B ．6C ．12D ．157．在ABCD 中，已知AB=2，AD=l ，∠BAD=60°，若E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 则BF DE uu u r uuu rg =A ．2B ．－2C ．54D ．54-8．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若()0f x ''=方程有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()f x 的“拐点”．已知函数()2sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则直线OM 的斜率为A ．2B ．12C ．1D ．4π 9．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M ，若O 为坐标原点，△OFM 的面积是212a ，则该双曲线的离心率是 A ．2BC10.对任意实数a ，b ，定义运算⊕“”：,1,,1b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩设()()()214f x x x =-⊕+，若函数()y f x k =-有三个不同零点，则实数k 的取值范围是 A ．(]1,2- B. []0,1 C ．[)1,3-D ．[)1,1-二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．计算：00212log sin15log sin 75-=12．若抛物线y 2=8x 的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为13．若函数()()lg 23f x x x a =-+--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且)n a n N *=∈．若不等式18n n a nλ++≤对任意n N *∈恒成立，则实数λ的最大值为三、解答题：本大题共6个小题，共75分． 16．(本小题满分12分) 已知函数()()()c o s 23co s ,02fx x x R ππωωω⎛⎫=-++∈> ⎪⎝⎭满足()()2,2fm fn =-=，且m n -的最小值为2π． (1)求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数g (x )的图象，已知a 为△ABC 中角A 的对边，若g (A)=1，a =4，求△ABC 面积的最大值．17．(本小题满分12分)如图，四棱锥V-ABCD 的底面是直角梯形，VA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，VA=AD=CD=12BC=a ,点E 是棱VA 上不同于A ，V 的点．(1)求证：无论点E 在VA 如何移动都有AB ⊥CE ；(2)设二面角A —BE —D 的大小为α，直线VC 与平面ABCD 所成的角为β，试确定点E的位置使tan tan 2αβ=18．(本小题满分12分)在数列{}{},n n a b 中，()11111,2,1,1n n n n a b a b b a n N *++===+=+∈． (1)求数列{}{},n n n n b a a b -+的通项公式；(2)设n S 为数列的前n 项的和，求数列()1411n n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+-⎪⎪⎩⎭的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式()22,191220,1015480x xP x N x x *⎧≤≤⎪⎪-=∈⎨+⎪≤≤⎪⎩，(日产品废品率=100%⨯日废品量日产量) 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．(1)将该厂日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?20．(本小题满分13分)已知椭圆()2222C 10x y a b a b+=>>：的焦距为，F 1，F 2为其左右焦点，M 为椭圆上一点，且∠F 1MF 2=60°，123F MF S =(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．21．(本小题满分14分) 已知函数f (x )=ln x ． (1)判断函数()()1g x af x x=-的单调性； (2)若对任意的x >0，不等式()xf x ax e ≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+.高三数学理科参考答案及评分标准一、选择题D A B D B CD AB A 二、填空题11.2- 12.22(2)25x y -+= 13.1a <-或5a > 14.44315.25三、解答题16.解：（1）()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+…………………………2分由题意可知，22T π=，所以T π=， 故2,2ππωω==， …………………………4分即()2cos(2)3f x x π=+，而()f x 在2[2,2],3x k k k ππππ+∈-∈Z 上单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为2[,],36k k k ππππ--∈Z . ……………6分（2）由题意可得，()2cos[2()]2cos(2)333g x x x πππ=-+=-，…………………7分 由()1g A =可得，2cos(2)13A π-=，而(0,)A π∈,可得，3A π=， …………………………………………………9分由余弦定理得：22162cos b c bc A bc +-==，即22162bc b c bc +=+≥，得16bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立，………11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==≤ …………………………………12分故三角形面积的最大值为17.解：(1)证明：连接AC ,在直角梯形ABCD 中，,,2AC AB BC a ===，所以222BC AC AB =+,所以AB AC ⊥， ……………1分 又因为VA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB AV ⊥, ……………2分 而AV AC A =I ,所以AB ⊥平面VAC ， ………………………………………3分CE ⊂平面VAC ，所以AB CE ⊥. ………………………………4分（2）取BC 中点F ，以点A 为坐标原点，,AF AD AV ，所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设(01)AE AV λλ=<<,可得(,,0),(0,,0),(0,0,)B a a D a E a λ-，故(,,0),(0,0,)AB a a AE a λ=-=u u u r u u u r， …………5分设(,,)x y z =m 为平面ABE 的一个法向量，则=0,=0AB AE m m u u u r u u u r g g ，可得00x y z -=⎧⎨=⎩， 令1x =可得，(1,1,0)=m ， …………………………………………………………6分又(0,),(,2,0)DE a a DB a a λ=-=-，，设(,,)x y z =n 为平面DBE 的一个法向量，则020y z x y λ-+=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(2,,1)λλ=n ，…………………………………7分故cos ,||||<>=m n m n m n g ，即cos α=8分因为AC 为VC 在平面A B C D 内的射影，所以C A V β∠=，在R t V A C ∆中，t a n2A V AC β===, ………………………………………………………9分所以tan tan 2αβ=，所以tan 1α=，cos 2α=，…………………………10分2，解得1=2λ或12-， …………………11分又01λ<<，所以12λ=，点E 为VA 的中点.……………………………………12分 18.解：（1）因为11n n a b +=+，11n n b a +=+，所以11()n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为1，公比为1-的等比数列，所以111(1)(1)n n n n b a ---=⋅-=-.………………………………………3分11()2n n n n a b a b +++=++，且113a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为3，公差为2的等差数列，故32(1)21n n a b n n +=+-=+. ………………………………………6分（2）由121(1)n n n n n a b n b a -+=+⎧⎨-=-⎩，得11[1(1)]2n n b n -=++-，…………………………7分 221[1(1)]24n n n n S +=+--， ………………………………………9分所以211111()41(1)2(2)42n n S n n n n ==--+-++……………………10分 故1111111111(1)432435112n T n n n n =-+-+-++-+--++L 3111()8412n n =-+++ 232384812n n n +=-++………………………12分 19.解：（1）由题意可知，当19x ≤≤时，21822(1)12x x y x p px x-=--=-， (2)分当1015x ≤≤时，2152(1)8160x x y x p px =--=-， ……………………4分 所以该厂日利润23182,191215,10158160x x x xy x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-≤≤⎪⎩.…………………………5分 （2）当19x ≤≤时，令222482160(12)x x y x -+'==-，解得6x =（18x =删）， (6)分当16x ≤<时，0y '>，函数单调递增， 当69x <≤时，0y '<，函数单调递减，而6x =时，max 6y =， …………………………………………………………………8分当1015x ≤≤时，令215308160x y '=-=，解得10x =， (9)分当1015x ≤≤时，0y '<，函数单调递减， 所以当10x =时，max 252y =， …………………………11分由于2562>，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为252千元. ……12分 20.解：（1）由题意可知，c =12||,||MF x MF y ==，在12F MF ∆中，22282cos 601sin 6023x y a x y xy xy ⎧⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪⎪=⎪⎩oo ，…………………………………2分解得24a =，………………………………………………………………………4分 所以2222b a c =-=所以椭圆方程为22142x y +=.………………………………………………………5分 （2）联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得222(21)4240k x kmx m +++-=， …………6分22222=4)4(21)(24)8(42)0km k m k m ∆-+-=+->（，所以2242m k <+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222424,2121km m x x x x k k --+==++，…………………8分 212122242()2+22121k m my y k x x m m k k -+=++==++，而1212(,)OP OA OB x x y y =+=++，所以2242(,)2121km mP k k -++…………………9分因为点P 在椭圆上，所以22221412(+)=1421221km m k k -++）（， 整理可得：2212m k =+，满足0∆>，………………………………………………10分又12|||AB x x =-==…11分设O 到直线AB 的距离为d，则2d ===， (12)分所以||2OAPBSAB d =⋅==.……………13分 21. 解：（1）∵()ln f x x =，∴1()ln g x a x x=-， 故2211()a ax g x x x x+'=+=…………………………………………………………2分 因为0x >，所以当0a ≥时，()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，当1(0,),()0x g x a'∈->，函数()g x 单调递增，当1(,+),()0x g x a'∈-∞<，函数()g x 单调递减； ……………………………4分 （2）∵对任意0x >，不等式对任意的0x >，不等式()e xf x ax ≤≤恒成立，∴ln e x x a x x ≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为max min ln e ()()x x a x x≤≤， (5)分设2ln 1ln (),()x xh x h x x x-'==，当(0,e)x ∈时，()0h x '>；当(e,+)x ∈∞时，()0h x '<，∴当e x =时，max 1()eh x =． (7)分设22e e e e (1(),()x x x x x x t x t x x x x--'===)，当(0,1)x ∈时，()0t x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0t x '>，所以1x =时，min ()e t x =，…………………………9分 即1e e a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1[,e]e………………………………………10分（3）当120x x >>时，122221212()()2f x f x x x x x x ->-+等价于112212222ln ()1x xx x x x ⋅->+． (11)分令t =12x x 1>，设222()ln 1t u t t t -=-+，则22221)(+21)()(1)t t t u t t t --'=+（， ∵当1t ∈+∞（，）时，2210,+210t t t ->->，∴()0u t '>………………………13分 ∴()u t 在1+∞（，）上单调递增，∴()(1)=0u t u >，∴122221212()()2f x f x x x x x x ->-+． ………………………………………………………14分。

高一数学2017.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列选项中，表示同一集合的是A.{0,1},{(0,1)}A B ==B.{2,3},{3,2}A B ==C.{|11, },{1}A x x x B =-<∈=N ≤D.12,{|0}A B x x =∅=≤ 2.下列选项中与函数y x =是同一函数的是A.y =B.2y =C.y =2x y x=3.直线210ax y +-=与直线2310x y --=垂直，则a 的值为 A.3 B.3- C.43D.43-4.如图，O 为正方体1111ABCD A B C D -底面ABCD 的中心，则下列直线中与D O 垂直的是A.1BCB.1AAC.ADD.11AC5.下列函数在区间[0,1]上单调递增的是A.|ln |y x =B.ln y x =-C.2xy -= D.||2x y =6.已知1222112,(),log 22a b c ===，则三个数的大小关系正确的是 A.b a c<< B.c a b<< C.c b a<<D.b c a<<7.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论不正确．．．的是A.若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥B.若α⊥l ，//l m ，则α⊥mC.若l ⊥α，α⊥m ，则//l m D.若//l α,//m α,则//l m8.两平行直线210x y +-=与2430x y ++=间的距离为9.已知函数()()(01)xg x a f x a a =->≠且,其中()f x 是定义在[6,2]a a -上的奇函数，若5(1)2g -=，则(1)g = A.0B.3-C.1D.1-10.一笔投资的回报方案为：第一天回报0.5元，以后每天的回报翻一番，则投资第x 天与当天的投资回报y 之间的函数关系为 A.2*0.5,N y x x =∈B.*2,N x y x =∈C.1*2,Nx y x -=∈D.2*2,N x y x -=∈11.将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体， 其三视图如图2所示，则该几何体的体积为 A.43 B.83 C.2 D.412.已知函数()()(3)f x a x a x a =+-+，2()21x g x +=-，若对任意x ∈R ，()0f x >和()0g x >至少有一个成立，则实数a 的取值范围是A.(1,2)B.(2,3)C.(2,1)(1,)--+∞UD.(0,2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．俯视图正视图侧视图（图1）（图2）13.一圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30o，则圆锥的表面积为__________.14.计算32log 238()lg 25lg 43___________27-+++=.15.已知函数13,1,()22,1.xx x f x x ⎧⎪-<=⎨⎪≥⎩ 则1(())2f f = . 16.下列四个结论：①函数10.7xy =的值域是(0,)+∞；②直线210x ay +-=与直线(1)10a x ay ---=平行，则1a =-；③过点(1,2)A 且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为3x y +=；④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的侧面积等于球的表面积.其中正确的结论序号为 .三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知平面内点(1,3),(2,1),(4,)A B C m --. （Ⅰ）若,,A B C 三点共线，求实数m 的值； （Ⅱ）若ABC V 的面积为6，求实数m 的值.18.（本小题满分10分）已知函数()lg(1)f x x =+的定义域为集合A ，函数2()lg(2)g x x x a =-+的定义域为集合B .（Ⅰ）当8a =-时，求A B ；（Ⅱ）若{|13}A B x x =-<≤ ðR ，求a 的值.19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 为直角三角形，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PD 的中点. （Ⅰ）求证：//EF 面PBC ； （Ⅱ）求证：AP ⊥面PCD .PFECBDA20.（本小题满分12分）光线1l 从点(1,3)M -射到x 轴上，在点(1,0)P 处被x 轴反射，得到光线2l ，再经直线40x y +-=反射，得到光线3l ，求2l 和3l 的方程.21.（本小题满分12分）函数2()(2)23f x k x kx =-+-.（Ⅰ）当4k =时，求()f x 在区间(4,1)-上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上至少有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 在区间[1,2]上单调递增，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分14分）函数()f x 的图象如图所示，曲线BCD 为抛物线的一部分. （Ⅰ）求()f x 解析式； （Ⅱ）若()1f x =，求x 的值；（Ⅲ）若()(2)f x f x >-，求x 的取值范围.高一数学参考答案一、选择题B A A D D ，CD B A D ，B A 二、填空题13. 300π 14. 25415. 2 16. ④ 三、解答题17.（本小题满分10分） 解：（I ）3(1)41(2)3AB k --==--，所以直线AB 的方程为43(1)3y x -=-，整理得4350x y -+=； -----------------------3分将点C 坐标带入直线方程得16350m -+=，解得7m =. ---------------5分（II ）||5AB ===， -----------------------6分点C 到直线AB 的距离|213|5m d -==， -----------------------8分1|213|||622m S AB d -=⋅==，解得3m =或11m =. -----------------------10分18.（本小题满分10分）解：（I ）函数()lg(1)f x x ++有意义，则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤，-----------------------2分当8a =-时，2()lg(28)g x x x =--，所以2280x x -->，解得4x >或2x <-，-----------------------4分所以{A B x =<≤. -----------------------5分（II ）212{|20}{|}B x x x n x x x x =-+≤=≤≤ðR ， -----------------------6分由{|13}A B x x =-<≤ ðR ，可得121,3x x ≤-=， -----------------------8分将23x =带入方程，解得13,1a x =-=-，满足题意， 所以3a =-.-----------------------10分 19.（本小题满分12分）证明：（I ）法1：取PC 中点G ，连接FG BG 、， -------------1分 因为F G 、分别为PD PC 、的中点，所以FG ∥CD 且12FG DC =；-------------2分因为ABCD 为正方形，所以BE ∥CD ， 又因为E 为AB 中点，所以12BE DC =，所以BE ∥FG ，且BE FG =，------4分 所以BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG ；因为,EF PBC BG PBC ⊄⊂面面，所以EF ∥PBC 面； -----------------------6分 法2：取CD 中点H ，连接,FH EH ， -------------1分 因为,F H 分别为PD CD 、的中点，所以FH ∥PC ，EH ∥BC ； -------------2分 又FH ⊂平面EFH ，EH ⊂平面EFH ，PC PBC ⊂面，BC PBC ⊂面，且FH EH H = ，所以平面EFH ∥平面PBC ， -----------------------4分又因为EF ⊂平面EFH ，所以EF ∥PBC 面； -----------------------6分（II ）因为ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， ---------------------7分面PAD ⊥面ABCD 且AD 为交线，所以CD PAD ⊥面， -----------------------8分AP PAD ⊂面，所以CD AP ⊥， -----------------------9分PAD 为直角三角形，且PA PD =，所以PD AP ⊥， ----------------------10分又CD PD D =I ，所以，AP ⊥面PCD ； -----------------------12分20.（本小题满分12分）解：∵(1,3)M -关于x 轴的对称点为(1,3)M '--， -----------------------1分又(1,0)P ∴2l 的直线方程为3(1)2y x =-， -----------------------3分设直线2l 与直线40x y +-=的交点为N ，由3(1)240y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩得119(,)55N-----------------------6分设(1,0)P 关于直线40x y +-=的对称点为00(,)P x y '则有00001402211x y y x +⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩整理得0000701x y y x +-=⎧⎨=-⎩ -----------------------8分解得(4,3)P ' -----------------------10分3l 的方程为93253(4)(4)11345y x x --=-=--， 即2310x y -+= -----------------------12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当4k =时， 22()2832(2)11f x x x x =+-=+-， 所以min ()(2)11f x f ==-，max ()(1)7f x f ==所以()f x 的值域为[11,7)- -----------------------3分（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上至少有一个零点，可分为以下三种情况： ①若20k ->即2k >时，2()(2)23f x k x kx =-+-的对称轴方程为02kx k=<-， 又(0)30f =-<，由图象可知()f x 在(0,)+∞上必有一个零点；----------------------4分②若20k -=即2k =时，()43f x x =-，令()0f x =得304x =>，知()f x 在(0,)+∞上必有一个零点34；----------------------5分③若20k -<即2k <时，要使函数()f x 在(0,)+∞上至少有一个零点，则需要满足2202412(2)0k x k k k ⎧=>⎪-⎨⎪∆=+-≥⎩解得023322k k k <<⎧⎪⎨--≥≤⎪⎩或，所以2k ≤<--------------------7分 综上可知，若函数()f x 在(0,)+∞上至少有一个零点，k 的取值范围为3[,)2-+∞----------------------8分 （III ）①当2k =时，()43f x x =-在区间[1,2]上单增，所以2k =成立； -------9分 ②当2k >时，(0)30f =-< ，显然在()f x 在区间[1,2]上单增，所以2k >也成立；--------------------10分③当2k <时，(0)3f =- ，∴必有22k k ≥-成立，解得423k ≤<. ---------------11分综上k 的取值范围为4[,)3+∞----------------------12分 22.（本小题满分14分）解：（I ）当10x -≤≤时，函数图象为直线且过点(1,0)-(0,3)，直线斜率为3k =，所以33y x =+； -----------------------1分 当03x <≤时，函数图象为抛物线，设函数解析式为(1)(3)y a x x =--，当0x =时，33y a ==，解得1a =，所以2(1)(3)43y x x x x =--=-+ -----------------------3分所以233,1043,03x x y x x x +-≤≤⎧=⎨-+<≤⎩. -----------------------4分（II ）当[1,0]x ∈-，令331x +=，解得23x =-； -----------------------5分当(0,3]x ∈，令2431x x -+=，解得2x ==因为03x <≤，所以2x =分所以23x =-或2x =分（III ）当1x =-或3x =时，()(2)0f x f x =-=； -----------------------9分当10x -<<时，223x <-<，由图象可知()0,(2)0f x f x >-<，所以()(2)f x f x >-恒成立； -----------------------11分当02x ≤≤时，022x ≤-≤，()f x 在[0,2]上单调递减，所以当2x x <-，即1x <时()(2)f x f x >-，所以01x ≤<； -------------12分 当23x <<时， 120x -<-<，此时()0,(2)0f x f x <->不合题意；----13分 所以x 的取值范围为11x -<< -----------------------14分法二：当120x -≤-≤，即23x ≤≤，(2)3(2)393f x x x -=-+=- 当023x ≤-≤，即当-12x ≤<，22(2-)(2)4(2)31f x x x x =---+=-所以21, 12(2)93, 23x x f x x x ⎧--≤<-=⎨-≤≤⎩，()(2)f x f x >- …………10分当10x -≤≤时，()33f x x =+，2(2)1f x x -=-， 即 22331,340,(4)(1)0,x x x x x x +>---<-+<解得14x -<<-，所以10x -<≤ …………11分 当02x <≤时，2()43f x x x =-+，2(2)1f x x -=-， 即 22431,x x x -+>-解得1x <所以01x << …………12分 当23x ≤≤时，2()43f x x x =-+，2(2)1f x x -=-， 即 224393,60,(3)(2)0,x x x x x x x -+>--->-+>解得32x x ><-或，所以x φ∈ …………13分 综上可知 11x -<< …………14分。