01优化设计绪论

（3）设计约束条件：
（a）体积要求 （b）长度要求
太原工业学院机械工程系
1.2 机械优化设计的设计简例 设计变量：
x1 , x2 , x3
目标函数： min S x1 x2 2( x2 x3 x1 x3 ) 约束条件：
g1 x1 5 g 2 x2 0 g 3 x3 0 h1 x1 x2 x3 100

第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工 程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法， 能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工 程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方 法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新 的途径。
1.2 机械优化设计的设计简例
无盖箱的优化设计
用一块边长为3cm的正方形薄板，在四角各裁去一个大小 相同的方块，做成一个无盖箱子。试确定如何裁剪可以做成的 箱子具有最大的容积。
分析：
（1）目标：裁剪高，箱子具有最大的容积。 （2）设计参数确定：裁剪小正方形的边长x ；
（3）设计约束条件：体积要求
设计目标：
2016/8/20
太原工业学院机械工程系
4. 优化方法
实际问题表达成的函数类型很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
（d）最小齿数要求
2016/8/20
太原工业学院机械工程系

绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确 反映实际设计问题的优化数学模型； • 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是 计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选 出最优方案； • 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快， 分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒， 因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
第一章 优化设计概述
第二节 机械优化设计问题实例
要用薄钢板制造一体积为5m3 的长方形汽车货箱(无上盖), 其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
分析：
（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件： （a）体积要求 （b）长度要求
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r

第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的 函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束 条件（或称设计约束）。

实际问题优化设计的描述： 进行最优化设计时，首先必须将实际问题 加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的 数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法 和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一 组最佳的设计参数。 优化设计方法作为现代设计方法之一，与 CAD设计、可靠性设计、有限元分析等具有同 样重要的地位。
g 2 ( x1 , x2 ) 3 x1 10 x2 300 g 3 ( x1 , x2 ) 4 x1 5 x2 200 g 4 ( x1 , x2 ) x1 0 g 5 ( x1 , x2 ) x2 0
实例 3
图1 所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力 105 2F=3× N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm, 105 钢管材料的弹性模量E=2.1 × Mpa，材料密度ρ=7.8 × 103 kg / m3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力 不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字 架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
可行域是由 约束边界线 围成的封闭 五 边 形 O ABCD。
图5
可行域
返回
优化问题的图解法
1、图解法的定义 在设计平面作出约束可行域，画出目标 函数的一簇等值线，根据等值线与可行域的 相互关系确定出最优点的位置，这种解优化 问题的方法叫图解法。 ２、图解法的步骤 1）确定设计空间； 2）作出约束可行域； 3）画出目标函数的一簇等值线； 4）最后判断确定易优点。
2、等值面和等值线 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述 函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。 1）目标函数的等值面，其数学表达式为 f(x)=c。 在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此， 这种线或面就称为函数的等值线或等值面。 当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形 态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或 等值面簇。

第一章 优化设计概述
第一节 优化设计问题的示例
第二节 优化设计的数学模型
第三节 优化问题的几何解释和基本解法 第四节 优化问题的分类
第一节 优化设计问题的示例
优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取 工程问题的最优设计方案。 优化设计包括：
（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；
......
设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计
的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈
大、求解亦愈复杂。
小型设计问题：一般含有2 — 10个设计变量；
中型设计问题：10 — 50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。
（2）选用适当的一种最优化数值计算方法和计算程序进行 运算求解。
箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱 盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。
分析： （1）箱盒的表面积的表达式； （2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件： x2 （a）体积要求； （b）长度要求。
h( x ) 0 g ( x) 0
约束条件的分类
根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束 ——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。 例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求； 边界约束 ——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称 作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度 的限定范围就属于边界约束。 显式约束 与 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明 显的函数关系，有的只能表示成隐式形式 ,如某些复杂结构的性 能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计 算求得。

其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化: 在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法:
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
图1-11 寻求极值点的搜索过程
A TDh
钢管的临界应力 e
Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh

,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数, 则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零, 即
第二章 优化设计的数学基础
机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题, 因此, 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论 基础上的。
机械优化设计问题分为:
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点, 不能肯定为极值 点, 即使为极值点, 也不能判断为极大点还是极 小点, 还得给出极值点的充分条件

制造理论和工艺理论。
现代设计方法
3. 产品功能要求的变化
过去，机械产品功能单一、造型简单、实用。随着人们对客观世界
认识的深化和生活水平的提高，对产品的功能要求越来越高，具体
表现为以下几个方面： （1）设计对象由单机走向系统；
（2）设计要求由单目标走向多目标；
（3）设计所涉及的领域由单一领域走向多个领域； （4）承担设计工作的人员从单人走向小组；
1. 适应激烈市场竞争的需要
随着网络经济时代的到来，全球化经济进程加速，迫使企业参与国际市 场的竞争，市场竞争具有国际化、动态化以及多元化的特征。 为了适应市场的激烈竞争，必须以最快的速度率先推出满足功能要求、 质量上乘、价格合理、服务完善而且符合环保要求的产品，即在满足功 能的前提下，综合考虑Time（时间）、Quality（质量）、Cost（成本）、 Service（服务）、Environment （环境）的要求。因此，需要采用更先 进的设计方法进行机械产品设计。 此外，在网络经济时代，企业间的合作越来越广泛，为了整合资源，形
定义1： 以满足产品的质量、性能、时间、成本、价格等综 合效益最优为目的，以计算机辅助设计技术为主体，以知识 为依托，以多种科学技术方法为手段，研究、改进、创造产 品活动过程所用到的技术群体总称。
现代设计方法
定义2：以市场需求为驱动、以知识获取为中心、以现
代设计思想、方法和现代技术手段为工具，考虑产品
现代设计方法
（3）设计的综合含义（3种） 定义1：从给定的合理的目标参数出发，通过各种方法和手 段创造出一个所需的优化系统或结构的过程。
定义2：设计是一种创造性活动，其目的在于决定产品性能、
过程、服务及整个生命周期等各个方面的品质，获得一种

电子系统优化案例
结果
芯片面积减小，集成度提高，功耗降低。
案例2
通信系统信号处理优化
目标
提高信号传输质量和效率。
电子系统优化案例
方法
采用信号处理算法和编码技术，优化信号传输和处理过程。
结果
信号传输质量提升，误码率降低。
物流系统优化案例
案例1
1
配送路线优化
2
目标
降低运输成本，提高配送效率。
3
方法
采用路径规划和物流仿真技术，优化配送路线的 选择和车辆调度。
降低桥梁自重，提高承载能力。
桥梁结构设计优化
建筑抗震性能提升，结构更加安 全可靠。
结果
案例2
目标
建筑结构优化案例
方法
采用有限元分析和优化算法，优化桥梁的截面尺寸和材料分布。
结果
桥梁自重减轻，承载能力提升。
电子系统优化案例
案例1
集成电路设计优化
目标
减小芯片面积，提高集成度。
方法
采用电路仿真和布局布线技术，优化芯片的电路和版图设计。
案例2
航空器机翼设计优化
目标
降低机翼阻力，提高飞行效率。
机械设计优化案例
方法
采用计算流体动力学分析，优化机翼形状和结构。
结果
机翼阻力减小，燃油消耗降低。
建筑结构优化案例
案例1
高层建筑抗震设计优化
目标
提高建筑结构的抗震性能。
方法
采用抗震分析和优化算法，优化建筑结构布局和材料分布。
建筑结构优化案例
缺点
结果依赖于启发式规则和经验，可能无法保证全局最优 解。
多目标优化算法
定义
多目标优化算法是用于解决多个目标之间存 在冲突和竞争的优化问题的方法。

• 学生运动：①自古以来都是被利用的，焚书坑儒。躲 避大的，小的也躲避着。评分、集体提意见都算小的 学生运动。②本质上是不学习运动；浮燥，应脚踏实 地；虚幻，应睁开双眼，而不能自欺欺人。 • 考试成绩是大家自己考的，不是老师给的。谁也不敢 随便给分，否则学校就该关门了，所以没人敢公开戴。 阅卷必须统一标准。 • 考试分数×70% + 平时成绩×30%
2018/5/4 15
盯着分数线学习是非常错误的！
• 比如学位课不够70分、考场作弊没有学位。就盯 着70分学习。
• 一门学位课不够或者一门课考场作弊之后就会盯 着毕业证要求的60分。 • 不及格的课程学分开始逐渐增多，就盯着留级的 学分数学习。 • 更多补考不过的课程，就盯着退学的学分学习。 • 最后呢？入学的时候跟别人有多大的差距？现在 呢？
2
2
2
2
2
2
2
b
2018/5/4
= 2
23
20世纪60年代，随着计算机和计
算技术的迅速发展，对优化思想的研 究不仅在数学上发展为运筹学的相关 内容，而且在数值算法上形成了针对 隐式目标、试验数据、经验公式的优 化技术（方法）。后者是本课程的重 点。
2018/5/4 24
（1）来源：优化一语来自英文O 其本意是寻优的过程。
2018/5/4 19
课程介绍
计划学时数：32学时 学习参考书
[0]TH122.191 叶元烈. 机械优化理论与设计. 中国计量出版社, 2001.1 [1] 孙靖民. 机械优化设计（第3版）. 北京：机械工业出版社，2005 [2] 陈立周. 机械优化设计方法（第3版）.北京：冶金工业出版社, 20053 [3] 刘惟信. 机械最优化设计. 北京：清华大学出版社，1994TH122/36-2 [4] 綦耀光编. 机械优化设计. 石油大学印, 2000 [5] 梁锦江编. 机械优化设计. 机械工业出版社, 1995, 北京, 第一版 [6] 何季雄主编. 机械优化设计. 机械工业出版社, 1989, 北京, 第一版

为设计变量；梯形槽截面面积 S 是设计变量 l 和θ 的函数，优化设 计的目标是确定 l 和θ ，使函数 S 之值达到最大，故称此函数为目 标函数。
由上述讨论，可将该梯形槽截面面积优化设计问题的数学模型 表述为： 求设计变量 l 和θ，使目标函数
1 f (l , ) S [( 24 2l ) (24 2l 2l cos )] l sin 2
以 n个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间，或 称 n 维实欧式空间，用 Rn 表示。 当 n=2 时，设计变量x1、x2 组成二维设计空间,即设计平面R2。 当 n=3 时，设计变量x1、x2、x3 组成三维设计空间，即设计空 间 R3。 当 n>3 时，设计空间是一个想象的超越空间，此时设计空间无 法用图形表示。二维和三维设计空间如图1-3所示。
(3) 选择优化设计方法
根据所建立的数学方程式的性质、设计精度的要求等选用合适 的优化计算方法，并做出相应的程序设计。
(4) 上机电算求解
将所编程序及有关数据上机运算，自动得出最优值。然后对计 算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案。 上述优化设计过程的四步，其核心是进行如下两项工作： 一是分析设计任务，将实际工程设计问题转化为一个最优化问 题，即建立优化问题的数学模型； 二是选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，寻求最优 设计方案。
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
为最小，并满足约束条件
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
(1-2)
确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅 直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过程。 目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，例如： 机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、承载能 力；机械设计中的运动误差、功率、应力、动力特性；产品设计中 的成本、寿命等。 优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即最优点X*，从而使 优化目标函数达到最优值 f (X* ) 。 在优化设计中，一般取最优值为目标函数的最小值。