2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)解析版

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密★启用前本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2x xy-==在R上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B.考点： 古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C考点： 函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a7560637270a −1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年北京高考文科数学真题试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A=x 2<x<4，B= x x<3或x>5，则A∩B= A. x 2<x<5B. x x<4或x>5C. x 2<x<3D. x x<2或x>52. i是虚数单位，复数3+ i1− i= A. 2+4 iB. 1+2 iC. −1−2 iD. 2− i3. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为 A. 8B. 9C. 27D. 364. 下列函数中，在区间−1,1上为减函数的是 A. y=11−xB. y=cos xC. y=ln x+1D. y=2−x5. 圆x+12+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 A. 1B. 2C.D. 26. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 A. 15B. 25C. 825D. 9257. 已知A2,5，B4,1．若点P x,y在线段AB上，则2x−y的最大值为 A. −1B. 3C. 7D. 88. 10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远单位:米 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳单位:次63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量a=1,，b=3,1则a与b夹角的大小为．10. 函数f x=xx−1x≥2的最大值为．11. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12. 已知双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为5,0，则a=；b=．13. 在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，则bc=．14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知a n是等差数列，b n是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求a n的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列c n的前n项和．16. 已知函数f x=2sinωx cosωx+cos2ωxω>0的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x的单调递增区间．17. 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少?（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF?说明理由．19. 已知椭圆：C:x2a +y2b=1过点A2,0，B0,1两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20. 设函数f x=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f x在点0,f0处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f x有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2−3b>0是f x有三个不同零点的必要而不充分条件．答案第一部分1. C2. B3. B4. D 【解析】选项A中，y=11−x =1−x−1的图象是将y=−1x的图象向右平移1个单位得到的，故y=11−x在−1,1上为增函数，不符合题意；选项B中，y=cos x在−1,0上为增函数，在0,1上为减函数，不符合题意；选项C中，y=ln x+1的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的，故y=ln x+1在−1,1上为增函数，不符合题意；选项D中，y=2−x=12x在−1,1上为减函数，符合题意．5. C【解析】由于圆x+12+y2=2的圆心为−1,0，则圆心−1,0到直线x−y+3=0的距离为2=2．6. B 【解析】记5名同学为甲，乙，A，B，C，从中抽两个人的所有可能结果如下：甲,乙,甲,A ,甲,B ,甲,C ,乙,A ,乙,B ,乙,C ,A,B,A,CB,C共10种，其中还有甲的有4种，所以P=25．7. C 【解析】作出线段AB（如图），令z=2x−y，则直线y=2x−z过点B4,1时，z取得最大值2×4−1=7．8. B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1−8号．所以：进入30秒跳绳决赛的6人需要从1−8号里产生．数据排序后可知第3，6，7号必须进跳绳决赛，目前还需要3人（需要从63，a，63，60，a−1四个得分中抽3人）．若63分的人未进决赛，则60分的人就会进决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．第二部分9. π6【解析】cosθ=a ⋅ba⋅b =234=32，θ=π6．10. f2=2【解析】f x =x x−1=x−1+1x−1=1+1x−1，所以f x 在 2,+∞ 上是单调递减的，最大值是f 2 =2．11. 32【解析】由四棱柱的三视图可知，该四棱柱的底面积为12× 1+2 ×1=32，高为1，则该四棱柱的体积为32×1=32． 12. a =1，b =2【解析】y =±2x ，所以ba=21，c 2=5，所以a =1；b =2．13. 1【解析】在△ABC 中，由正弦定理知a sin A=c sin C，又∠A =2π3，a = 3c ，所以3csin2π3=c sin C，解得sin C =12，又∠C 为锐角，所以∠C =π6，∠B =π−∠A −∠C =π6，所以bc =sin Bsin C =1． 14. ①16，②29【解析】①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13−3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，为29种． 第三部分15. （1）等比数列 b n 的公比q =b 3b 2=93=3，所以b 1=b 2q=1，b 4=b 3q =27．设等差数列 a n 的公差为d ． 因为a 1=b 1=1，a 14=b 4=27， 所以1+13d =27，即d =2． 所以a n =2n −1 n =1,2,3,⋯ ．（2）由（1）知，a n =2n −1，b n =3n−1． 因此c n =a n +b n =2n −1+3n−1． 从而数列 c n 的前n 项和S n=1+3+⋯+ 2n −1 +1+3+⋯+3n−1=n 1+2n −1 2+1−3n 1−3=n 2+3n −12.16. （1）f x =2sin ωx cos ωx +cos2ωx=sin2ωx +cos2ω= 2sin 2ωx +π4 .因为T =2π2ω=π，w >0 .所以ω=1．（2）由 1 可知f x = 2x +π4 ， 2kπ−π2≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，2kπ−3π4≤2x≤π4+2kπ，kπ−3π8≤x≤π8+kπ．所以单调递增区间是 kπ−3π8,π8+kπ k∈Z．17. （1）由频率分布直方图得：用水量在0.5,1的频率为0.1，用水量在1,1.5的频率为0.15，用水量在1.5,2的频率为0.2，用水量在2,2.5的频率为0.25，用水量在2.5,3的频率为0.15，用水量在3,3.5的频率为0.05，用水量在3.5,4的频率为0.05，用水量在4,4.5的频率为0.05，因为用水量小于3立方米的频率为85%，所以为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，所以w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5,所以当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．18. （1）因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面PAC．（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面PAC．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF．证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF．又因为E 为AB 的中点， 所以EF ∥PA ．又因为PA ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以PA ∥平面CEF ．19. （1）由题知a =2，b =1，c = 3， 所以椭圆方程为x 24+y 2=1，离心率e =32． （2）设P x 0,y 0 则k PA =y 0x 0−2，l PA :y =y 0x 0−2x −2 ，令x =0得y =−2y 0x 0−2，所以M 0,−2y 0x 0−2，k PB =y 0−1x 0， l PB :y =y 0−1x 0x +1，令y =0得x =−x 0y 0−1，所以N−x 0y 0−1,0 ，所以四边形ABNM 的面积S =12BM ⋅ AN ，AN = 2+x 0y 0−1= x 0+2y 0−2y 0−1 ， BM = 2y 0x 0−2+1 = x 0+2y 0−2x 0−2 ，所以S=12BM ⋅ AN =1⋅ x 0+2y 0−20 ⋅ x 0+2y 0−20= x 02+4y 02 +4x 0y 0−4x 0−8y 0+4x 0y 0−x 0−2y 0+2, 因为点P 在椭圆上，所以x 024+y 02=1⇒x 02+4y 02=4， S =12⋅ 4x 0y 0−4x 0−8y 0+8x 0y 0−x 0−2y 0+2 =2，故四边形ABNM 的面积为定值2．20. （1）f0=c，fʹx=3x2+2ax+b，fʹ0=b，所以切线方程为y−c=bx，即y=bx+c．（2）f x=x3+4x2+4x+c，fʹx=3x2+8x+4=3x+2x+2．令fʹx=0，得x=−23或x=−2，所以，x−∞,−2−2 −∞,−23−23−∞,−23fʹx+0−0+ f x增极大减极小增因为f x有三个不同的零点，所以f−2>0,f −23<0,解得0<c<3227．（3）因为有三个不同的零点，所以f x不单调，因为fʹx=3x2+2ax+b，二次函数Δ=4a2−12b>0，即a2−3b>0故是必要条件．由2知，当a=b=4时，满足不等式a2−3b>0，当c=−1时没有三个零点，不合题意，故不充分．。

绝密★启封前2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} 2．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x5．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 位：米）30秒跳绳（单63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 位：次）在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店：①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．【解答】解：===i，故选：A3．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B4．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．5．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．6．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．7．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．8．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．10．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．11．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：12．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．13．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．14．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+= n2+．16．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．17．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．18．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．19．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴= =﹣== = ．∴四边形ABNM的面积为定值2．20．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t ）取得最大值，=．∴．∴a 的取值范围是．11。

数学（文）（北京卷）参考答案第1页（共7页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C（6）B（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）30︒ （10）2 （11）32（12）12 （13）1（14）1629三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===， 所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==． 所以11327d +=，即2d =． 所以21(1,2,)n a n n =-= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．因此．从而数列的前项和．21n a n =-13n n b -=1213n n n n c a b n -=+=-+{}n c n ()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+数学（文）（北京卷）参考答案第2页（共7页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos 2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+π)4x ω=+所以()f x 的最小正周期为22T ωωππ==． 依题意，ωπ=π，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，π())4f x x +函数的单调递增区间为（）． 由，得． 所以的单调递增区间为（）．sin y x =2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 222242k x k πππππ-≤+≤+388k x k ππππ-≤≤+()f x 3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z数学（文）（北京卷）参考答案第3页（共7页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率 依次为，，，，． 所以该月用水量不超过立方米的居民占%， 用水量不超过立方米的居民占%． 依题意，至少定为．（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）．0.10.150.20.250.15385245w 340.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10.5=数学（文）（北京卷）参考答案第4页（共7页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC DC ⊥． 又因为DC AC ⊥， 所以DC ⊥平面PAC ． （Ⅱ）因为//AB DC ，DC AC ⊥，所以AB AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAC ， 所以平面PAB ⊥平面PAC ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面CEF ．证明如下：取PB 中点F ，连结EF ，CE ，CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以//EF PA ． 又因为PA ⊄平面CEF ， 所以//PA 平面CEF ．PDCBEF数学（文）（北京卷）参考答案第5页（共7页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c = 故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设00(,)P x y ，其中000,0x y <<，则22004x y +=．又(2,0),(0,1)A B ，所以 直线PA 的方程为． 令，得，从而||BM ． 直线PB 的方程为． 令，得，从而||AN ．所以四边形ABNM 的面积1||||2S AN BM =⋅．从而四边形ABNM 的面积为定值．()0022y y x x =--0x =0022y y x M =--002112y y x MBM =-=+-0011y y x x -=+0y =001x x y N =--00221x x y N AN =-=+-00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=数学（文）（北京卷）参考答案第6页（共7页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）由32()f x x ax bx c =+++得2()32f x x ax b '=++．因为(0)f c =，(0)f b '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时，32()44f x x x x c =+++，所以2()384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：所以，当且时，存在，， ，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（Ⅲ）当24120a b ∆=-<时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ． 当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增；0c >32027c -<()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++数学（文）（北京卷）参考答案第7页（共7页）当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件． 当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同的零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此，230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要不充分条件．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学1.已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，则A∩B＝()A．{x|2<x<5}B．{x|x<4或x>5}C．{x|2<x<3}D．{x|x<2或x>5}答案C∵A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，∴A∩B＝{x|2<x<3}.故选C．2.复数1＋2i2﹣i＝()A．i B．1＋i C．﹣i D．1﹣i答案A1＋2i2﹣i ＝(1＋2i)(2＋i)(2﹣i)(2＋i)＝2＋i＋4i﹣25＝i，故选A．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．8B．9C．27D．36答案B由程序框图可知，k＝0，s＝0；满足k≤2，则s＝0＋03＝0，k＝1；满足k≤2，则s＝0＋13＝1，k＝2；满足k≤2，则s＝1＋23＝9，k＝3；不满足k≤2，退出循环，输出s＝9.故选B．4.下列函数中，在区间(﹣1，1)上为减函数的是()A．y＝11﹣xB．y＝cos xC．y＝ln(x＋1)D．y＝2﹣x答案D选项A中，可设μ＝1﹣x，则y＝1x.由x∈(﹣1，1)，知μ∈(0，2).由同增异减，可知复合函数y＝11﹣x在(﹣1，1)上为增函数；选项B中，由y＝cos x在(﹣π，0)上是增函数，在(0，π)上是减函数，可知y＝cos x在(﹣1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数；选项C中，可设μ＝x＋1，则y＝lnμ.由x∈(﹣1，1)，知μ∈(0，2).由同增异减，可知复合函数y＝ln(x＋1)在(﹣1，1)上为增函数；选项D中，y＝2﹣x＝(12)x，易知该函数在R上为减函数，故y＝2﹣x在(﹣1，1)上为减函数.故选D．5.圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B．2C．√2D．2√2答案C由题意可知圆心坐标为(﹣1，0)，故圆心到直线y＝x＋3的距离d＝2√2，故选C．6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A．15B．25C．825D．925答案B从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法，其中2人中包含甲的有4种方法，故所求的概率为4 10＝25.7.已知A(2，5)，B(4，1).若点P(x，y)在线段AB上，则2x﹣y的最大值为()A．﹣1B．3C．7D．8答案C由题意得，线段AB的方程为y﹣1＝5﹣12﹣4(x﹣4)(2≤x≤4)，即y＝﹣2x＋9(2≤x≤4)，∴2x﹣y＝2x﹣(﹣2x＋9)＝4x﹣9.又∵2≤x≤4，∴﹣1≤4x﹣9≤7.∴2x﹣y的最大值为7，故选C．8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛答案B将30秒跳绳成绩确定的学生，按其成绩从大到小，把他们的序号排列为3，6，7，10，1与5并列，4；由题意可知3，6，7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛，则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛，故选B．9.已知向量a＝(1，√3)，b＝(√3，1)，则a与b夹角的大小为__________.答案π6解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝x·x|x||x|＝2√32×2＝√32，且两个向量夹角范围是[0，π]，∴所求的夹角为π6.10.函数f(x)＝xx﹣1(x≥2)的最大值为__________.答案2解析∵f(x)＝1＋1x﹣1在[2，＋∞)上是减函数，∴f(x)的最大值为2.11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为__________.答案32解析由三视图 可知，四棱柱高h 为1，底面为等腰梯形，且底面面积S ＝12×(1＋2)×1＝32，故四棱柱的体积 V ＝S ·h ＝32.12.已知双曲线x 2x2−x 2x 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(√5，0)，则a ＝__________；b＝__________. 答案1 2解析∵双曲线的方程为x 2x2−x 2x2＝1， ∴双曲线的渐近线 方程为y ＝±xx x.∴由题意可知{xx ＝2，x ＝√5，x 2＝x 2＋x 2.∴{x ＝1，x ＝2.13.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝√3c ，则x x＝__________. 答案1解析由正弦定理知sin x sin x ＝xx ＝√3，即sin C ＝sin 2π3√312，又a>c ，可得C ＝π6，∴B ＝π﹣2π3−π6＝π6，∴b ＝c ，即xx＝1. 14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有__________种； (2)这三天售出的商品最少有__________种. 答案(1)16 (2)29解析(1)由于前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种.(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的，剩下的1种商品在第一天未售出；且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中，此时商品总数最少，为29种.如图，分别用A ，B ，C 表示第一、二、三天售出的商品种数.15.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解(1)等比数列{b n }的公比 q ＝x3x 2＝93＝3，所以b 1＝x2x ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差 为D ． 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n ﹣1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知，a n ＝2n ﹣1，b n ＝3n ﹣1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n ﹣1＋3n ﹣1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n ﹣1)＋1＋3＋…＋3n ﹣1＝x (1＋2x ﹣1)2＋1﹣3x 1﹣3＝n 2＋3x ﹣12. 16.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.解(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx＝√2sin (2xx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期 T ＝2π2x ＝πx . 依题意，πx ＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝√2sin (2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间 为[2x π﹣π2，2x π＋π2](k ∈Z). 由2k π﹣π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2， 得k π﹣3π8≤x ≤k π＋π8.所以f (x )的单调递增区间 为[x π﹣3π8，x π＋π8](k ∈Z).17.某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF?说明理由.解(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，所以DC⊥平面P AC．(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．所以AB⊥平面P AC．所以平面P AB⊥平面P AC．(3)棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥P A．又因为P A ⊄平面CEF ， 所以P A ∥平面CEF .19.已知椭圆C ：x 2x 2＋x 2x2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：四边形ABNM 的面积为定值.解(1)由题意，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝√x 2﹣x 2＝√3，所以离心率 e ＝xx ＝√32.(2)设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 02＋4x 02＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，所以直线P A 的方程 为y ＝x 0x 0﹣2(x ﹣2).令x ＝0，得y M ＝﹣2x 0x 0﹣2，从而|BM|＝1﹣y M ＝1＋2x 0x 0﹣2.直线PB 的方程 为y ＝x 0﹣1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝﹣x 0x 0﹣1，从而|AN|＝2﹣x N ＝2＋x 0x 0﹣1.所以四边形ABNM 的面积 S ＝12|AN|·|BM|＝12(2＋x 0x 0﹣1)(1＋2x 0x 0﹣2) ＝x 02＋4x 02＋4x 0x 0﹣4x 0﹣8x 0＋42(x 0x 0﹣x 0﹣2x 0＋2)＝2x 0x 0﹣2x 0﹣4x 0＋4x 0x 0﹣x 0﹣2x 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值. 20.设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋C ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2﹣3b>0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 解(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f'(x )＝3x 2＋2ax ＋B ．因为f (0)＝c ，f'(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程 为y ＝bx ＋C ． (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f'(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f'(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝﹣2或x ＝﹣23. f (x )与f'(x )在区间(﹣所以，当c>0且c﹣3227<0时，存在x1∈(﹣4，﹣2)，x2∈(﹣2，﹣23)，x3∈(﹣23，0)，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈(0，3227)时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.(3)当Δ＝4a2﹣12b<0时，f'(x)＝3x2＋2ax＋b>0，x∈(﹣∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(﹣∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点.当Δ＝4a2﹣12b＝0时，f'(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(﹣∞，x0)时，f'(x)>0，f(x)在区间(﹣∞，x0)上单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a2﹣12b>0.故a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a＝b＝4，c＝0时，a2﹣3b>0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，所以a2﹣3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|24},{|3>5}A x xB x x x=<<=<或，则A B=（A）{|2<<5}x x（B）{|<45}x x x>或（C）{|2<<3}x x（D）{|<25}x x x>或（2）复数12i= 2i +-（A）i（B）1+i（C）i-（D）1i-（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C ）27 （D ）36（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 （A ）11y x=-（B ）cos y x =（C ）ln(1)y x =+（D ）2xy -=（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C（D ）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25（C ）825（D ）925（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛（B ）5号学生进入30秒跳绳决赛（C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. （10）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.(12) 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为（5,0），则a =_______；b =_____________.(13)在△ABC 中，23A π∠=，3c ，则bc=_________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数f（x）=2sin ωx cosωx+cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.（17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，,∥AB DC DC AC⊥（I）求证：DC PAC⊥平面；（II）求证：PAB PAC⊥平面平面；(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA CEF⊥平面?说明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆C：22221x ya b+=过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y 轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM 的面积为定值.（20）（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.。