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26.3 实际问题与二次函数(4)课件

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26.3.1 建立二次函数模型解决实际问题 课件(共20张PPT)华东师大版数学九年级下册

26.3.1 建立二次函数模型解决实际问题 课件(共20张PPT)华东师大版数学九年级下册
直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距 离x（m）之间的函数关系式是 y x2 2x 5 .
4
y x2 2x 5 4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）y x2 2x 5 x 12 Nhomakorabea94
4
9
当x＝1时， y最大 4 .
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 9 .
D或E的坐标
抛物线的函 数表达式
可设抛物线表达式 为 y＝ax2（a＜0）
顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞
宽ED是多少？是否会超过1 m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0）
∵ AB＝1.6m ， ∴ CB AB 0.8 m 又由题可知OC＝2.4 m， 2
∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82
∴ a 15 因此，函数关系式是 y 15 x2
4
4
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
所以涵洞宽ED是 2 10 ，超过1m. 5
练 练习 习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向
通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，
并保持车辆顶部与隧道有不少于 1
3
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数 关系式. 利润=（售价－进价）×售出件数

《实际问题与二次函数》课件

《实际问题与二次函数》课件
(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆
只围 AB，BC 两边)，设 AB=x m，花园面积为 S m2.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式；
(2)当 x 为何值时，S 有最大值？请求出最大值.
解：(1)由题意得 AD=(28-x) m，
则 S=x(28-x)=-x2+28x(0<x<28).
篱笆 EF 与 GH 将矩形ABCD 分割成①②③三块矩形区域，而且
这三块矩形区域的面积相等，现有总长 80 m的篱笆，当围成的
花圃 ABCD 的面积 y m2最大时，AB 的长为 15 m.
∵a= -
1
x+10＞0，∴x＜40.
4
∵y= -
3 2
x (
2
+ 300(0＜x＜40），

30
因此，当l=- ==15时，
2
2×(−1)
4−2 −302
S 有最大值
=
=225.
4
4×(−1)
也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大.
例2 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，
菜园的面积最大？最大面积是多少?
《实际问题与二次函数》
知识回顾
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最
值.
(1) y=x2-4x-5；(配方法) (2) y=-x2-3x+4.(公式法)
解：(1) y = x2-4x-5
(2) y=-x2-3x+4 中 a=-1，b=-3，c=4，
= x2-4x+4-9 a=-1<0，开口方向：向下；

九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索教学课件新版华东师大版

九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索教学课件新版华东师大版
它们的交点A,B的横坐标 3 和2 就是原方程的根. 2
对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论.
课外作业
在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离 是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已 知球门高2．44米，问能否射中球门？
分析 根据已知条件，要求涵洞的宽ED，只要求出 FD的长度即可，即在如图所示的平面直角坐标系中， 求出点D的横坐标.因为点D在涵洞界截面的抛物线上， 又由已知条件可得到点D的众坐标，所以利用抛物线所 对应的函数表达式可以进一步算出点D的横坐标，你会 求吗？
画出函数 y x2 x 3 的图象，根据图象回答下列问
育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习
中出现了争论：求方程 x2 1 x 3 的解时，几乎 2
所有学生都是将方程化为 x2 1 x 3 3 的图象，观察它与x轴的交点，得 2
出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画
出了函数 y x2和y 1 x 3 的图象，如图，认为 2
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题， 比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮 球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你 知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂 直于水面竖立一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷 头向外喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m.水流 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图。
根据设计图纸已知：在如图所示的平面直角坐标 系中，水面喷出的高度y(m)与水平距离之间的函数 关系式是 y x2 2x 5
4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池 外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的 水流都落在水池内？

实际问题与二次函数课件

实际问题与二次函数课件

03 二次函数的应用
最大最小值问题
要点一
总结词
通过求二次函数的顶点，解决生活中的最大最小值问题。
要点二
详细描述
在二次函数中，顶点坐标可以通过公式$-frac{b}{2a}$和 $fleft(-frac{b}{2a}right)$求得。在解决实际问题时，我们 可以通过找到二次函数的顶点，来找到某个量的最大值或 最小值。例如，在建筑设计中，为了使建筑物的窗户或阳 台获得最好的视野，需要找到最佳的窗户或阳台的高度和 宽度。
02 实际问题与二次函数
生活中的二次函数问题
抛物线运动
在投掷、射箭等运动中，物体的运动 轨迹可以近似地用二次函数描述。这 是因为物体在空中的运动受到重力的 影响，形成抛物线形状。
桥梁振动
大型桥梁在风力或地震作用下会产生 振动，其振动幅度和频率与二次函数 相关，通过研究这些函数的特性，可 以预测桥梁的安全性。
04 实际问题的解决策略
建模策略
总结词
将实际问题转化为数学模型的关键步 骤
详细描述
通过理解问题的本质，将实际问题的 语言描述转化为数学表达式，构建出 反映问题内在规律的数学模型。
图像分析策略
总结词
利用二次函数的图像解决实际问题的有 效方法
VS
详细描述
通过绘制二次函数的图像，直观地展示函 数的性质和变化规律，从而解决与二次函 数相关的实际问题，如最值问题、交点问 题等。
面积问题
总结词
利用二次函数解决生活中的面积问题。
详细描述
在解决与面积相关的问题时，我们可以将面积表示为二次函数的形式。例如，在农业中，为了最大化 农作物的产量，需要找到最佳的种植密度。通过将种植密度表示为二次函数，可以找到最佳的种植密 度，从而最大化农作物的产量。

26.3 二次函数 练习课件 (新人教版九年级下册)

26.3 二次函数 练习课件 (新人教版九年级下册)

作业：1、.某幢建筑物，从10 m高的窗口A， 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状 (抛物线所在的平面与墙面垂直，如图5， 如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m， M 求水流落地点B离墙的距离
A
2、若二次函数的图象的对称轴方程是
O
，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数图象上点A关于对称轴 对称的点A′的坐标
y
O
x D B
C A
E
将进货单价40元的商品按50元出售，能 卖出500个，已知这种商品每涨价1元， 就会少销售10个。为了赚得8000元的 利润，售价应定为多少？这时应进货多 少个？
• 合肥百货大搂服装柜在销售中发现： “宝乐”牌童装平均每天可售出20件， 每件盈利40元。为了迎接“十· 一”国 庆节，商场决定采取适当的降价措施， 扩大销售量，增加盈利，尽快减少库 存。经市场调查发现：如果每件童装 降价4元，那么平均每天就可多售出8 件。要想平均每天在销售这种童装上 盈利1200元，那么每件童装应降价多 少？
• 5、已知函数y= x2 -2x -3 , • （１）把它写成的形式；并说明它是由怎 样的抛物线经过怎样平移得到的？ • （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、 开口方向、最值； • （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； • （4）画出函数图象的草图； • (5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P 点，求△APB的面积； • （6）根据图象草图，说出 x取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
• 有一座抛物线型拱桥，在正常时水面AB的宽为20m， 如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m。（1）建立 如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式。（2） 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开 往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)货车正 以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，急然 接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水 位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）。试问：如果 货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请 说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超 过多少

实际问题与二次函数_课件

实际问题与二次函数_课件
(2)当x=20时，绿化带面积最大
练习
如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大 ，最大面积是多少？
练习
如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ，墙长18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大 ，最大面积是多少？
225.
0<15<30 满足要求
即l是15m时，场地的面积S最大（. S=225㎡)
归纳
篱笆问题的求解步骤
①写出关系式：写出面积和边长之间的函数关系式
取顶点时，一定要 考虑自变量的范围 是否符合要求
练习
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大 ？答案：
抛球问题
小球的运动时间是多少时，小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？
小球运动的时间是3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
归纳
顶点是最低（高）点，
当
时
最小（大）值
练习 7
篱笆问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边 长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
练习
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
答案：（1） （2）能．
(0＜x＜15)；
定价问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调 查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件； 每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？

人教版数学九年级上册：2《实际问题与二次函数》课件(共37张)

【思路点拨】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数 据写出函数解析式。 （2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6 相比较即可得出答案。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
Hale Waihona Puke 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝ 3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B（10，－h），D（5，3－ h）。 设抛物线的函数解析式为y=ax2，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
解得
n 4
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，y 1 9
9
25 （ 4） 3.6
25
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。
实际问题与二次函数
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式： 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求 其解析式； 当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 y a(x h)2 k 求其解析式； 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0）时，可用交点式 y a(x x1)(x x2 ) 求其解析式。
当水面降落1米，通过抛物线在图上的视察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直 线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代 入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
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G
G
将上题的二次函数y=x2-2x-3的图象平移后， 得到抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2， 此抛物线交x轴正半轴从左到右分别于点A、 B，交y轴于点C，且S⊿ABC=6 （1）写出点A、B坐标 C （用m的代数式表示） （2）求出平移后的抛物线的解析式；O A
y D B x
（3）在平移后的抛物线上是否存在一点D， 使S⊿ABD=2S⊿ABC ，若存在，求出点D的坐标； 若不存在，请说出理由。
商品 百货类 服装类 家电类
每1万元营业额所 需人数
商品 百货类 服装类 家电类
每1万元营业额 所得利润
5 4 2
0.3万元 0.5万元 0.2万元
例２.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为 了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买 回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的 方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花 圃各放一个1米宽的门（木质）。 花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ D
M P G O N
x
1、如图，抛物线y=x2-2x-3，与x轴从 左至右交于点M、N，与y轴交于点P， 顶点为点G。Байду номын сангаас：
（3）连结MP、PN，则S⊿MNP= 6 ， （4）连结PG、NG，则S四OPGN= 。 y 7.5 y y
O P O P M P G O N
M
N
x
M
N
x
x
想一想： 以MN为直径的圆的面积等于多少？
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x ∵AB≤10 ∴6.25≤x
H E
G F
C B
A
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25
谈谈今天你的收获
y
1B
O
A 1
x
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共 有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收 到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部 的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营 业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情 况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设 分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z （单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数 式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万 元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三 个经营部？各应分别安排多少名售货员？
26.3 实际问题与二次函数(4)
1、如图，抛物线y=x2-2x-3，与x轴从左 至右交于点M、N，与y轴交于点P，顶 点为点G。则： （1）点M、N、P、G的坐标分别为： M (-1,0) ，N (3,0) ， y y=x2-2x-3 (0,-3) ，G (1,-4) 。 P
（2）线段OM= 1 ， ON= 3 ，OP= 3 ， MN= 4 。
二次函数y=ax2 +bx+c的图象的一部分如图所示，已 知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点 B（0，1）。（04杭州） （1）请判断实数a的取值范围，并说明理由； -1＜a＜0 （2）设此二次函数的图象 与x轴的另一个交点为C， 当△AMC的面积为△ABC 的 5 倍时，求a的值。 4 M