第九届(2017年)大学生高等数学初赛试题-非数学

第24卷第3期2021年5月高等数学研究STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICSVol24,No.3May2021doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.03.022历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析刘烁—，马丽娜2,吴克坚—，徐清华—，王瑞星—，赵清波1$•空军军医大学基础医学院数学物理教研室，陕西西安,710032*2.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安,710062)摘要本文对历届全+大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题及答案进行了统计分析，剖析了竞赛试题的命题理念与结构特点，并提出竞赛准备的几点建议•关键词大学生数学竞赛；统计分析中图分类号O13文献标识码A文章编号1008-1399(2021)03-0077-03Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsLIU Shuo1,MA Lina2,WU Kejian1,XU Qinghua1,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo1 (18TeachingandResearchLaboratoryofMathematicsandPhysics!SchoolofBasic Medical!AirForce MedicalUniversity!Xian710032,PRC；28Co l ege of Mathematics and Information Science!Shaanxi Normal University!Xi'an710062!PRC)Abstract With al the past test questions of the Chinese Mathematics Competitions for Non-Mathematical Professionals,this paper presents the statistics of the questions'proposition idea and structural character-iDticD!andputDforwardDomeDuggeDtionD.Keywords TheChineDe MathematicDCompetitionD!DtatiDticalanalyDiD为激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才,自2009年起，中国数学会每年举办一次全国大学生数学竞赛(The Chinese Mathematics Competitions(简称CMC)).竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生，分为数学专业类和非数学专业类两组，数学专业类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，非数学专业类竞赛内容为大收稿日期：2020-05-28修改日期：2020-09-01作者简介：刘烁(1979—),男，湖南安乡人，硕士，副教授,主要从事生物数学传染病动力学模型研究,Email：liushuo912@.通讯作者：赵清波(1966—),女，河南洛阳人，硕士，教授，主要从事卫生统计学研究，Email：zhaoqbo@.学本科理科高等数学课程的教学内8竞赛分为初赛和决赛进行,试题均由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命制.分区初赛由各省(市、区、军队院校)数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试;决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施.作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为高校发现和选拔优秀数学人才并进一步促进数学课程建设的改革和发展积累了调研素材.竞赛试题在所考查的知识内容、题量分布与命题理念方面有何特点，在解题方法上应该怎样准备，是许多大学数学老师和学生十78高等数学研究2021年5月分关心的问题，有鉴于此，笔者对历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛的试题进行了全面的统计分析，希望能有助于大家进一步明确全国大学生数学竞赛的试题特点与复习教学目标，从而更好地加强教学及备考的针对性.一、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题统计分析1.试题来源及整体情况试题来源于全国大学生数学竞赛资源网，网址：.选取2009年至2019年共11届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题，共101题，总分值1100分.2.题将11届试题的每一道题按题型、分值、所考查的知识点、用到的解题方法进行整理，利用python 统计题型分布，知识点及解题方法出现的频次.（1）题量除2011年9道,2009年和2012年11道外，其余均为10道题.（2）型题型主要有填空、计算、证明、综合（既有证明又有计算）四类。

中山大学新华学院第九届高等数学竞赛姓名 学号 班级 成绩一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数()11y ln x =++()()1,00,-⋃+∞。

2. 2111.dx x+∞=⎰。

3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-;4. 11(1x x -+=⎰2π. 5.a =6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=861331615.64310C C -=⨯二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2++=x x d dy )1(1122++++=x x d x x ............3分dx x xx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=111122 ----------5分.112dx x +=------------7分2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，(1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。

解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0;3a b =⎧⎨=-⎩------------------ 2分（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+-由上表可得，极大值(1)2f -=。

------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0()lim0,x f x x→=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：4、设211()x x f x e-⎧⎪+=⎨⎪⎩00x x >≤，求31(2)d f x x -⎰. 解：令2=-t x，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3=x 时，1=t ------------------ 3分3101111(2)d ()d ()d ()d ---==+⎰⎰⎰⎰f x x ft t f t t f t t 0211d 1+x x -=⎰1-0e d x x +⎰114eπ=-+ ------------------ 7分5. 计算40⎰t =，则2,2x t dx tdt == ------------------ 2分4202t te dt =⎰⎰ ------------------- 4分222220002()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+⎰ -----------------7分2000011()1()()lim ln 1lim lim 0000()1()(0)1limlim (0)222002()(0)lim ()lim 000,()(0)()(0)lim lim 0,()lim 1.x x x x f x f x f x xx x xx xx x x x f x f x f f xxx x f x f f x x xf x f f x f x xf x e eex eeee →→→→⎛⎫+•⎪⎝⎭→→→==→'''-''→→===⨯=-'===⎛⎫+= ⎪⎝⎭====6.解：)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, ------------------ 2分yx xe y z y x +++=∂∂+11, ------------------ 4分 于是 =)0,1(dz dy e edx )2(2++. ------------------ 7分7. 计算二次积分 23120y xx I dx e dy =⎰⎰．解：被积函数是22y e ，对于y 而言，它的原函数不能用初等函数表示，需改变积分次序才能进行．区域D ： 3,01,y x y y ⎧≤≤⎨≤≤⎩ 如图所示．--------- 2分2312y xxI dx e dy=⎰⎰2312y yye dy dx=⎰⎰=2122201(1)2y e y dy -⎰， 令22y u =， 由上式得----- 4分 1112220111222(12)212()|23uuu u u I e u du e du ue du e ue e e =-=-=---=-⎰⎰⎰------------------ 7分 三、（10分）0()()()()2.().设有任意阶导数，且满足试求xf x x t f t dt f x x f x -=-⎰12()()()2()+()()()2()=()2()()()xxxxx x f t dt tf t dt f x xx f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e -=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰000解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()xx x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.四、应用题（每题9分，共18分）3x y =oxy x=-111 1y o1. 解：如图（略），曲线与x 轴的交点为)0,1(-和)0,1(，..........2分(1) ⎰112)1(--=dx x S 34=............5分(2) 12V dy π=⎰()12101122y dy y y πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ .......9分 2. 解：设L 为获得的总利润,L R C =-= 1p 1q +2p 2q -C=1p ()1120.1p -+2p ()220.01p --(())123540q q ++=2211220.1160.01 2.4595p p p p -+-+- (2)分解方程组1112220.2160,0.02 2.40,p p L p p L p p =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得1p =80, 2p =120,唯一驻点是(80,120)．又 ..........6分A =L 11=－0.2<0,B =L 12=0,C =L 22=－0.02<0,因此 Δ=AC －B 2=0.004>0．故L 在驻点(80,120)处有极大值. .........8分于是可以断定,当两个市场售价分别为80和120个单位时,利润最大,最大利润为L (80,120)=189． ...............9分五、综合拓展题（5分）兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

1省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号0 ⎣ ⎦三 (本题满分 11 分)设函数f(x ) 在闭区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得 四 (本题满分 12 分)求极限： lim n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (t ) d t + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ⎣ 1⎦ = ⎡ 1 x 2 f (t ) d t + f (x ) arctan x ⎤ (1 - x ).⎢1 + x 2 ⎰0 2 2⎥3⎣2⎦密封线密封线密封线得分 评阅人得分 评阅人H (x ) = ∑ x -五 (本题满分 12 分)六 (本题满分 12 分)设 x = (x , x , , x )T∈ R n，定义设函数 f (x , y ) 在区域D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2} 上具12nnn -1 2ii i 1，n ≥ 2 .有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )x 2 + y 2 =a 2= a 2，以及i =1ni =1⎡⎛ ∂f ⎫2 ⎛ ∂f ⎫2 ⎤4(1) 证明：对任一非零 x ∈ R ， H (x ) > 0 ； max ⎢ ⎪ + ⎪ ⎥ = a 2 ，其中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ π a 4 . (2) 求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.( x , y )∈D ⎢⎣⎝ ∂x ⎭⎝ ∂y ⎭ ⎥⎦ D3省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号密封线密封线密封线七 (本题满分 12 分)ln 1设0 < a n < 1 , n = 1, 2, ，且lim n →∞∞a nln n∞= q (有限或+ ∞ ).(1) 证明：当q > 1 时级数∑ a n收敛，当q < 1 时级数∑ a n发散；n =1n =1∞(2) 讨论q = 1 时级数∑ a n的收敛性并阐述理由.n =1省市 学校 准考证号姓名 考场号座位号密封线密封线密封线。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2017年数学竞四川赛区（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l nc o sl n c o s211==cos cos cos x x e e dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n co s xx c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。