几何多结论选择题(二)——四边形

第3关 多结论的几何及二次函数问题为背景的选择填空题【考查知识点】以多结论的几何图形为背景的选择填空题题，主要考察了学生对三角形、四边形、圆知识的综合运用能力；以二次函数为背景的选择填空题，主要考察了二次函数的性质及二次函数系数与图象的关系。

【解题思路】1.以多结论的几何图形为背景的选择填空题题中，用“全等法”和“相似法”证题应该是两个基本方法，为了更好掌握这两种方法，应该熟悉一对全等或一对相似三角形的基本图形，下图中是全等三角形的基本图形。

大量积累基本图形，并在此基础上“截长补短”，“能割善补”，是学习几何图形的一个诀窍，每一个重要概念，重要定理都有一个基本图形，三线八角可以算做一个基本图形.2. 以二次函数为背景的选择填空题中，根据图象的位置确定a 、b 、c 的符号，a ＞0开口向上，a ＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=2ba-，由图像确定对称轴的位置，由a 的符号确定出b 的符号．由x=0时,y=c ，知c 的符号取决于图像与y 轴的交点纵坐标，与y 轴交点在y 轴的正半轴时，c ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c ＜0．确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号；根据对称轴确定a 与b 的关系；根据图象还可以确定△的符号，及a+b+c 和a -b+c 的符号。

【典型例题】【例1】（2019·新疆中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABMFDM SS=；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【名师点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质【例2】（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断： ①0ab >且0c <； ②420a b c -+>； ③8>0+a c ； ④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【名师点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac>0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点．【例3】（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF；③BCCG =﹣1；④HOM HOGS S ＝2）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【名师点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．【例4】（2018·广西中考真题）如图，抛物线y=14（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【名师点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.【方法归纳】1.多结论的几何选择填空题考查的知识点较多，如相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、四边形的知识、圆的知识、等腰三角形的判定与性质以及特殊角三角函数等知识．这类题目的综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2. 多结论的二次函数选择题主要考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．数形结合思想贯穿这类题目的始终，解题时应时时注意.【针对练习】1.（2018·四川中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点．给出以下结论：①四边形AECF 为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ ； ③△FPC 为等腰三角形； ④△APB ≌△EPC ；其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.（2018·辽宁中考真题）已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论： ①abc ＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧； ③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根； ④a b cb++≥2． 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2019·四川中考真题）如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③14DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．（2019·广西中考真题）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ，则下列结论错误的是（ ）A ．212S S CP +=B ．2AF FD =C ．4CD PD = D ．3cos 5HCD ∠=5．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2019·黑龙江中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E F 、是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且42AB EF ＝，＝，设AE x ＝．当PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时，P 点有6个②当02x ＜＜时，P 点最多有9个③当P 点有8个时，x ＝﹣2④当PEF 是等边三角形时，P 点有4个 A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③7．（2019·广东中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使2EB =，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM 、AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB 、AM 交于点N 、K .则下列结论：①ANH GNF ∆≅∆；②AFN HFG ∠=∠；③2FN NK =；④:1:4AFN ADM S S ∆∆=.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2019·湖北中考真题）如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2018·黑龙江中考真题）抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是x 1.=下列结论中：abc 0>①；2a b 0+=②；③方程2ax bx c 3++=有两个不相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()2,0-；⑤若点()A m,n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++． 其中正确的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．（2018·黑龙江中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC 、BD 于点E 、P ，连接OE ，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②③S 平行四边形ABCD =AB•AC ④OE=14AD ⑤S △APO =12，正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线与AB 交于E ，点F 在DE 的延长线上，∠BFE=90°，连接AF 、CF ，CF 与AB 交于G ，有以下结论： ①AE=BC ②AF=CF ③BF 2=FG•FC ④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2019·四川中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①0abc ＜；②b c ＜；③30a c +=；④当0y ＞时，13x -＜＜其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2019·山东中考真题）如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且:1:2AF FB =，CE DF ⊥，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使12BG BC =，连接CM ．有如下结论：①DE AF =；②4AN AB =；③ADF GMF ∠=∠；④:1:8ANF CNFB S S ∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④14．（2018·湖北中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且BC ＞AB ，BD=8．给出以下判断：①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S=AC•BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④当A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为256； ⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为678125． 其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）15．（2019·广西中考真题）我们定义一种新函数：形如2y ax bx c =++（0a ≠，且240b a ->）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x 2-2x -3|223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为()1,0-，()3,0和()0,3；②图象具有对称性，对称轴是直线1x =；③当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；⑤当1x =时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.16．（2018·新疆中考真题）如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．17．（2018·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中： ①abc ＜0；②9a ﹣3b+c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ＞b ， 正确的结论是_____（只填序号）18．（2019·湖南中考真题）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则2k =④若25MF MB =，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是_______．19．（2019·辽宁中考真题）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 延长线上的一点，连接PA ，过点P 作PE ⊥PA 交BC 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BP 于点F ，则下列结论中：①PA ＝PE ；②CE PD ；③BF ﹣PD ＝12BD ；④S △PEF ＝S △ADP ，正确的是___（填写所有正确结论的序号）20．（2019·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,ABC BC D ︒∠==为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B C 、重合），过点B 作BE BD ⊥交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论：①若BF CF =，则222CE AD DE +=；②若,4BDE BAC AB ∠=∠=，则158CE =； ③ABD ∆和CBE ∆一定相似；④若30,90A BCE ︒︒∠=∠=，则DE =其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）21．（2018·湖北中考真题）如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA=OB=a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交OM′于点D ，连接AC ，AD ，有下列结论：①AD=CD ；②∠ACD 的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC 为菱形；④△ACD a 2；其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．。

四边形练习题（含答案）1、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。

解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是。

（2）三角形的“二分线”可以是。

（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.2、用配方法解方程时，原方程可变形为（）A． B．C． D．3、用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4、在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）5、下列命题中错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行的四边形是梯形6、如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A． B．2 C． D．7、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）8、如下图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是A．10 B．16 C．18 D．209、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连接B′E交CD于F，则的值为( )A． B． C． D．10、用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_______（只填题号）．11、某陶瓷市场现出售的有边长相等的正三角形、正方形、正五边形的地板砖，某顾客想买其中的镶嵌着铺地板，则他可以选择的是．12、在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为______________。

第10章 四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析 如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠． 所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析 如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析 如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积． 解析 如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析 设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =6CD =，求AD ． 解析 如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB A F =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析 如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析 如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析 如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠． 又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析 如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析 如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B E C E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析 如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ． 由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =． 解析 如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =． 问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =． 解析 如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析 如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析 如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =． 不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析 如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =． 又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析 如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证：AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析 如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应 边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析 延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =． 又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==． 设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析 如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析 如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

几何动点训练题1一、单选题（共8题；共16分）1.（2020·绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形2.（2020八下·泰兴期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形3.（2020八下·杭州期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点(不与点C、D重合)，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G。

若FD=5AF，则CE：ED的值为( )A. 6-2B.C. -1D.4.如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点C运动终止，连接，设运动时间为xs，的面积为，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A. B. C. D.5.（2019九上·遵义月考）如图，正方形边长为4个单位，两动点、分别从点、处，以1单位/ 、2单位/ 的速度逆时针沿边移动.记移动的时间为，面积为（平方单位），当点移动一周又回到点终止，同时点也停止运动，则与的函数关系图象为（）A. B. C. D.6.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC 边上,以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q 也停止),在这段时间内,线段PQ有（）次平行于AB?A. 1B. 2C. 3D. 47.（2019八下·滦南期末）如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A. ②③B. ②⑤C. ①③④D. ④⑤8.（2019九下·江阴期中）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）A. 变大B. 先变大后变小C. 先变小后变大D. 不变二、填空题（共8题；共9分）9.（2020·嘉兴·舟山）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN=1cm。

初中数学几何四边形、三角形综合题大全（含动点、旋转等类型）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)若AB＝4，BC＝6，求EC的长；(2)若∠F＝55°，求∠BAE和∠D的度数．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．(1)求证：AD＝EC．(2)当∠BAC＝90°时，证明四边形ADCE是菱形．如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB 交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；（2）连接线段MN,探究当MN取到最小值时,判断MN与对角线BD 的数量关系和位置关系，并说明你的理由．已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若∠EOD =30°，求CF 的长．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．(1)△ADE ∽△FDB 吗?为什么?(2)你能推出结论CD 2=DE ·DF 吗?请试一试．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BC 相交于点O ，∠ABD=∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明．如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE =CF ．请你以点F 为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）．（1）连结；（2）猜想：=；（3）证明：如图，将?ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接AC 、BE ，求证：四边形ABEC 是矩形．ODCBABCDE FA在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2) ∠BAD=60°，AC平分∠BAD ，AC=2，求BN的长。

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》（二）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）①求S与t之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？2．共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB＝13，AE＝5．（1）如图1，求证：DG＝BE；（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF．①连结BH，BG，求的值；②当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长．3．如果将（1）中的条件“▱ABCD”改为“四边形ABCD的对角线AC⊥BD”（如图②）．试探索：S1：S2与S4：S3之间的关系；（3）如果将（2）中的对角线AC⊥BD的条件去掉（如图③），试探索S1，S2，S3，S4之间的关系．4．如图1，在等腰直角△ABC和△DCE中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜45），使点A、D、E在同一直线上，AF平分∠BAE交CE延长线与F，探究AB、DE、EF之间的数量关系；（3）如图3，在正方形ABCD中，CD＝．若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．5．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC＝160cm，高AD＝120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG 于点M．（1）设HG＝ycm，HE＝xcm，试确定用x表示y的函数表达式．（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？（3）以面积最大时的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎样围，圆桶的体积较大？请说明理由，（接缝处忽略不计，结果可保留π）6．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，请利用上述有关思想，解答下列问题．如图1，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于点F．若△BEF的面积为2，求四边形CDFE的面积．【类比延伸】如图2，在▱ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC＝m：n（n＞m＞0），AE与BD相交于点F．求△ABF的面积与四边形CDFE的面积的比．（用含m、n的代数式表示）【拓展迁移】如图3，在▱ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC＝，点G是线段CD的中点，AE 与BD相交于点F．则△ABF的面积与四边形CGFE的面积的比等于．（直接写出答案）7．，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（b，0），（0，d），求点C 的坐标．（2）如图（2），四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是（c，0），（0，d），点A，B在坐标轴上，求A，B两点的坐标．（3）如图（3），四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，d），求B，C两点的坐标．8．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连结BE、CE、DE、BF、CF、EF．（1）若∠EDC＝∠FBC，ED＝FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求BE：BF的值．（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+）cm，∠EDC＝30°，求△BCF的面积．9．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足方程x2﹣（2+2）x+4＝0的两根．（1）求B、C两点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式．（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．10．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，若点G在BC边上时（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是；（3）①如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是；②如图3，若点G在CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是；（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝7，故答案为7．（2）①当0＜t＜4时，S＝（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝（6﹣t）×8＝﹣4t+24．当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）（2t﹣8）＝t2﹣10t+24．②当0＜t＜4时，S＝（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为9．当4≤t＜6时，S＝（6﹣t）×8＝﹣4t+24，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）（2t﹣8）＝t2﹣10t+24＝（t﹣5）2﹣1，t＝7时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为9．2．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB＝CB，AG＝AE，∠DAB＝∠GCE＝90°，∴∠DAB﹣∠GAF＝∠GCE﹣∠GAF，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴DG＝BE；（2）解：①连接GH，延长HF交AB于N，设AB与EF的交点为M，如图2所示：∵四边形BCHF是平行四边形，∴HF∥BC，HF＝BC＝AB，∵BC⊥AB，∴HF⊥AB，∴∠HFG＝∠FMB，又AG∥EF，∴∠GAB＝∠FMB∴∠HFG＝∠GAB，在△GAB和△GFH中，，∴△GAB≌△GFH（SAS），∴GH＝GB，∠HGF＝∠BGA，∴∠HGF﹣∠BGF＝∠BGA﹣∠BGF，∴∠HGB＝∠AGF＝90°，∴△GHB为等腰直角三角形，∴BH＝BG，∴＝；②分两种情况：a、如图3所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，∵四边形BCHF为菱形，∴CB＝FB，∵AB＝CB，∴AB＝FB＝13，∴点B在AF的垂直平分线上，∵四边形AEFG是正方形，∴AF＝EG，OA＝OF＝OG＝OE，AF⊥EG，AE＝FE＝AG＝FG，∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，∴点B、E、G在一条直线上，∴BG⊥AF，∵AE＝5，∴AF＝EG＝AE＝10，∴OA＝OG＝OE＝5，∴OB＝＝＝12，∴BG＝OB+OG＝12+5＝17，由①得：BH＝BG＝17；b、如图4所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，同上得：点B、E、G在一条直线上，OB＝12，BG＝OG+OB﹣OG＝12﹣5＝7，由①得：BH＝BG＝7；综上所述，BH的长为17或7．3．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，∴S1＝S2，同理S2＝S3，S3＝S4，S4＝S1，∴S1＝S2＝S3＝S4；（2）∵AC⊥BD，垂足为O，∴S1＝OAOB，S2＝OBOC，S3＝OCOD，S4＝ODOA，∴S1S3＝S2S4，∴；（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h1，点D到线段AC所在直线的距离为h2，∴S1＝OAh1，S2＝OCh1，S3＝OCh2，S4＝OAh2，∴S1S3＝S2S4；4．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE．（2）结论：AB﹣DE＝EF，理由：如图2中，∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CED＝45°，DE＝CE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，AB＝CA，∵∠CED＝∠F+∠EAF，∴∠F＝45°﹣∠EAF，∵∠CAF＝∠CAB﹣∠F AB＝45°﹣∠F AB，∵∠EAF＝∠F AB，∴∠CAF＝∠F，∴CA＝CF，∵EF＝CF﹣CE＝CA﹣CE，∴EF＝CA﹣CE＝AB﹣DE．∴AB﹣DE＝EF．（3）如图3中，以D为圆心1为半径作⊙D，过点B作⊙D的切线BP、BP′，连接BD，作AE⊥BP′于E，AF⊥BP于F．∵四边形ABCD是正方形，CD＝BC＝AB＝AD＝，∴BD＝DC＝2，∠ABC＝90°，在Rt△PBD中，∵∠BPD＝90°，BD＝2，DP＝1，∴∠PBD＝30°，同理∠P′BD＝30°，∴∠ABE＝∠CBP＝15°，在△ABE和△BAF中，，∴△ABE≌△BAF，∴∠ABE＝∠OAB＝15°，∴∠AOE＝∠FOB＝30°，∴AO＝OB＝2AE，设AE＝a，则AO＝OB＝2a，EO＝a，∴EB＝AF＝2a+a，∵AB2＝AE2+BE2，∴2＝a2+（2a+a）2，∴a＝（负根已经舍弃），∴AE＝，AF＝BE＝2a+a＝．故答案为或．5．解：（1）∵四边形GHEF为矩形，∴GH∥FE，∴△AHG∽△ABC，∵AM和AD分别是△AHG和△ABC的高，∴，∴，∴y ＝﹣x +160；（2）∵S ＝xy ，∴S ＝﹣+160x ＝﹣（x 2﹣120x ）＝﹣（x 2﹣120x +3600﹣3600）＝﹣（x ﹣60）2+4800．∴当x ＝60cm 时，Smax ＝4800cm 2；（3）围圆柱形铁桶有两种情况：当x ＝60cm 时，y ＝﹣×60+160＝80cm ．第一种情况：以矩形EFGH 的宽HE ＝60cm 作铁桶的高，长HG ＝80cm 作铁桶的底面周长．则底面半径R ＝cm ，铁桶体积V 1＝π（）260＝（cm 3），第二种情况：以矩形EFGH 的长HG ＝80cm 作铁桶的高，宽HE ＝60cm 作铁桶的底面周长，则底面半径r ＝cm ，铁桶体积V 2＝π（）280＝（cm 3）．因为V 1＞V 2．所以矩形EFGH 的宽HE ＝60cm 作铁桶的高，长HG ＝80cm 作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．6．解：（1）∵点E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，∴AD ＝BC ＝2BE ，BE ∥AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴＝，∴＝（）2＝， ∵△BEF 的面积为2，∴S △ABF ＝2S △BEF ＝4，S △ADF ＝4S △BEF ＝8，∴S △ABD ＝S △ABF +S △ADF ＝12，∴S 四边形DCEF ＝S △BCD ﹣S △BEF ＝S △ABD ﹣S △BEF ＝12﹣2＝10；（2）【类比延伸】∵在▱ABCD 中，E 是BC 的一点，且BE ：BC ＝m ：n ，∴AD ＝BC ，BE ∥AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴＝，∴＝（）2＝，设△BEF 的面积为a ，∴S △ABF ＝S △BEF ＝，S △ADF ＝S △BEF ＝，∴S △ABD ＝S △ABF +S △ADF ＝＝a ，∴S 四边形DCEF ＝S △BCD ﹣S △BEF ＝S △ABD ﹣S △BEF ＝a ﹣a ＝a ， ；△ABF 的面积与四边形CGFE 的面积的比＝：（a ）＝； （3）【拓展迁移】设△BEF 的面积为a ，∵由（2）得：m ＝2．n ＝3，∴△ABF 的面积＝a ，四边形CDFE 的面积＝a ，连接CF ，如图所示： ∵△ABF 的面积+△CDF 的面积＝△ABD 的面积，∴△CDF 的面积＝△ADF 的面积＝a ，∵G 是CD 的中点，∴△DGF 的面积＝△CDF 的面积＝a ，∴四边形CGFE 的面积＝a ﹣a ＝a ，∴△ABF 的面积与四边形CGFE 的面积的比＝a ：a ＝， 故答案为：．7．解：（1）如图1中，∵B（b，0），D（0，d），∴OB＝b，OD＝d，∵四边形OBCD是矩形，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，CD＝OB＝b，BC＝OD＝d，∴C（b，d）．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵C（c.0），D（0，d），∴OA＝OC＝c．OB＝OD＝d，∴A（﹣c，0），B（0，﹣d）．（3）如图3中，∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵D（0，d），∴OD＝d，∴OB＝BC＝CD＝d，∴B（d，0），C（d，d）．8．（1）证明：在正方形ABCD中，CD＝CB，∠DCE+∠BE＝∠BCD＝90°，∵EC⊥CF，∴∠BCF+∠BCE＝90°，∴∠BCF＝∠DCE，在△BCF和△DCE中，∴△BCF≌△DCE（ASA），∴EC＝FC，∴∠ECD＝∠BCF，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形；（2）解：∵BE：CE＝1：2，∴设BE＝a，CE＝2a，∵△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝2a，∵∠BEC＝135°，∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝3a，∴BE：BF＝1：3；（3）解：如图所示：作FM⊥BC垂足为M，设BF＝3b，FC＝2b，∵∠EDC＝30°，∴∠CBF＝30°，在Rt△BFM中，∴MB＝×3b＝b，MF＝b，∴MC＝＝b，∴b+b＝3，∴b＝2，则FM＝×2＝3，∴△BCF的面积是：×BC×FM＝×（3+）×3＝+．9．解：（1）∵x2﹣（2+2）x+4＝0，∴（x﹣2）（x﹣2）＝0，解得：x1＝2，x2＝2，∴OA＝2，OC＝2∴B点坐标为：（2，2），C点坐标为（2，0）．（2）∵△ABC≌△AB′C．∴AB＝AB′＝2，CB′＝CB＝2，∵A（0，2），C（2，0）∴设B′的坐标为（x，y），则，解得：B′的坐标为（，﹣1），由两点式解出BB′的解析式为y＝x﹣4．（3）假如存在设P（a，a﹣4），D（，0），又A（0，2），∴AD2＝（）2+22＝，PD2＝（a﹣）2+（a﹣4）2，AP2＝a2+（a﹣4﹣2）2＝4a2﹣12a+36，①当∠ADP为直角时，AD2+PD2＝AP2，解得a＝，则P（，1）；②当∠APD为直角时，AP2+PD2＝AD2，此时无解；③当∠P AD为直角时，AD2+P A2＝PD2，解得a＝3，则P（3，5）；综上可得，P为（3，5）或（，1）．10．证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．（2）EF+BF＝AF．理由：∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF．∵AE+EF＝AF，∴BF+EF＝AF．（3）①由（1）可知：△ABF≌△DAE，∴AE＝BF．∵AF+EF＝AE，∴AF+EF＝BF．②∵BF⊥AG，DE⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴FB＝AE．∵EF＝AE+AF，∴AF+BF＝EF．（4）如图所示：∵BF⊥AG，DE⊥AG，∴∠BF A＝∠DEA＝90°．∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠FBA．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴FB＝AE．∵AE＝EF+AF，∴AF+EF＝BF．。

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

2017届中考复习多结论几何综合题专题试卷一、单选题1、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②=;③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2=DE2⑤BE+DC=DE;其中正确的是( )A、①②④B、③④⑤C、①③④D、①③⑤3、如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD ，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（）.A、1B、2C、3D、44、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A、①②B、②③C、①④D、③④5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（）A、1B、2C、3D、47、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A、②③B、②④C、①③④D、②③④9、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（）个．A、4B、3C、2D、111、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个12、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A、0B、1C、2D、313、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、414、如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个15、（2016•攀枝花）如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD =S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ；⑥若S △OGF =1，则正方形ABCD 的面积是6+4 ，其中正确的结论个数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、516、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP= ；④S四边形ECFG=2S △BGE ．A 、4B 、3C 、2D 、117、如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD=MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论： ①a ﹣b=0；②当﹣2＜x ＜1时，y ＞0； ③四边形ACBD 是菱形； ④9a ﹣3b+c ＞你认为其中正确的是（）A、②③④B、①②④C、①③④D、①②③18、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A、2B、3C、4D、519、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE= ；④S△DEF=4 ，其中正确的是（）A、①②③B、②③④C、①②④D、①③④20、如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB 于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A、①③⑤B、②④⑤C、①②⑤D、①③④答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】等腰三角形的性质，梯形中位线定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号)解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b)2，∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a2+b2)≥ab（a=b时取等号)，∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED)=（BC+CD)，∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2、【答案】C【考点】全等三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定，旋转的性质【解析】【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD 的面积；④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确；【解答】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本选项正确；②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴=；当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即≠；∴此比例式不一定成立；故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故本选项正确；④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2，∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本选项错误；综上所述，正确的说法是①③④；故选C．【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．3、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定与性质，平移的性质【解析】【解答】∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC ＝CD ，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC ，故①正确；由①可得AD＝BC ，∵AB＝CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE ，故四边形ACED是菱形，即③正确；∵四边形ACED是菱形，∴AC⊥BD ，∵AC∥DE ，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE ，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠COD＝90°，进而判断④正确．4、【答案】B【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴＝，故说法正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，故说法错误．所以正确的是②③．故选B．【分析】①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．5、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3，在△EBC和△FCD中，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE，∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，故③正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故④正确．故选C．【分析】由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．6、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE==，④正确．故选：C．【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．7、【答案】C【考点】等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，平行四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选：C．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．8、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定【解析】【解答】如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD 中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF，∴AE+DF=AF+DE，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO=FO，又∵AE=AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．9、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE ，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．10、【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；综上所述，①②③④均正确，故答案选A．【分析】①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．11、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义【解析】【解答】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知) ∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，在Rt△AOB和Rt△COB中，AB="CB" ,BO=BO ，∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL)，则全等三角形共有4对，故②正确；③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；④∵OB⊥AC，且AB=CB，∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，又∵∠BFD为三角形ABF的外角，∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠BFD=∠BDF，∴BD=BF，故④正确；⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，∴S△AOF=S△COF，∵∠AEF=∠ACD=45°，∴EF∥CD，∴S△EFD=S△EFC，∴S四边形DFOE=S△COF，∴S四边形DFOE=S△AOF，故⑤正确；故正确的有3个．故选C．12、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定，旋转的性质【解析】【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D．【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．13、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．14、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，故④错误；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．15、【答案】B【考点】菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF= OG，∴BE= EF= ×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG= ，∴BE=2OG=2 ，GF= ==2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2 +2，∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．16、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x= ，∴sin=∠BQP= = ，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE= BC，BF= BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．故选：B．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．17、【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，菱形的判定【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b，a﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③∵点A、B关于x=0.5对称，∴AM=BM，又∵MC=MD，且CD⊥AB，∴四边形ACBD是菱形，③正确；④当x=﹣3时，y＜0，即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③．故选D．【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，由此即可得出a=b，①正确；②根据抛物线的开口向下以及抛物线与x轴的两交点坐标，即可得出当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③由AB关于x=0.5对称，即可得出AM=BM，再结合MC=MD以及CD⊥AB，即可得出四边形ACBD是菱形，③正确；④根据当x=﹣3时，y＜0，即可得出9a﹣3b+c＜0，④错误．综上即可得出结论．本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．18、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正确；设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵CG2+CE2=GE2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= ，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣×4×（×3）= =3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选：D．【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE= ∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．19、【答案】C【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵= ，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG= = ，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，∴tan∠E= ；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，∴S△ADF= DF•AG= ×6×=3 ，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴= ，∴S△AED=7 ，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；故④正确．故选C．【分析】①正确．由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②正确．由= ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③错误．由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4 ．20、【答案】D【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵在⊙O中，点C是的中点，∴= ，∴∠CAD=∠ABC，故①正确；∵≠ ，∴≠ ，∴AD≠BC，故②错误；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠ABC，又∵C为的中点，∴= ，∴∠CAP=∠ABC，∴∠ACE=∠CAP，∴AP=CP，∵∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC2=AE•AB，故④正确；如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，∵≠ ，∴≠ ，∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故⑤错误．故答案为：D．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ 的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．。

2022年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难）一．选择题1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（）A．当∠B＝90°时，则EF＝2B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（）A．B．C．D．3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）A．4 B．4C．D．64．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB 的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE 的最小值是（）A．B．C．D．6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（）A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．188．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．B．C．2 D．二．填空题9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为．11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF ＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝；线段EF的最大值为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为．14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠CFH＝．15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2，则该矩形周长的最小值＝．16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为．17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为．19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝．20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE 交BG于F，则∠BFC等于．三．解答题21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD＝PE．（2）连接PC，求PC的最小值．（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；（2）若k＝1，点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（m，），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．（1）求证：CF＝DE．（2）设＝m．①若m＝，试求∠ABE的度数；②设＝k，试求m与k满足的关系．25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足（1）求证：GE+GF＝AB；（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称．（1）若ED∥CF，①求证：四边形ECFD是菱形．②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、如图1中，∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故选项A不符合题意．B、如图2中，当BF＝CF时，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12，故选项B符合题意．C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意．D、如图3中，当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意．故选：B．2．解：如图，AC，BE交于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∵2∠ABE＝3∠ACB，∴∠ABE＝＝67.5°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ABE＝∠AFB，∴AB＝AF，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，∴x+1＝，解得x＝+1，故选：B．3．解：设点M（a，0），N（0，b）∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）则点C（a，b）s△CMN＝＝ab＝1∴ab＝2∵AC＝，BC＝＝＝4即，且ab＝2（k﹣2）2＝16解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）故选：D．4．解：连接FC，如图所示：∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；∵四边形ADFE为平行四边形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；在△DBF和△EFA中，，∴△DBF≌△EFA（SAS）；综上所述：①③④正确，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4，∵E为边BC的中点，∴BE＝BC＝2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，PC+PE的最小值＝AE，∵AE＝＝＝2，∴PC+PE的最小值是2，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，故选：D．7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故选：A．二．填空题（共12小题）9．解：连接AC、DE、BD，如图：∵E为AB中点，∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，同理可得：S△CDF＝8，∵F为AD中点，∴S AEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；故答案为：12．10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF为正三角形；设BE＝BF＝EF＝x，则S＝•x•x•sin60°＝x2，当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，∴S最小＝×（）2＝，当BE与AB重合时，x最大＝2，∴S最大＝×22＝，∴≤S≤．故答案为：≤S≤．12．解：连接EM，∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，∴FM＝，EM＝，当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，故答案为：1；4．13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，∵BP＝2，∴CP＝5，∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ，∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，∴△BDC≌△DQH（AAS）∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，∴CH＝DH﹣CD＝2，∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，∴△PCE≌△QHE（AAS）∴CE＝EH，且CH＝2，∴CE＝EH＝1，∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，故答案为：6．14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质）又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等），∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等），又∵AH⊥BC，∴△AHC是直角三角形，∵HF是斜边上的中线，∴HF＝AC＝FC，∴∠FHC＝∠FCH＝50°．∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示：设CE＝x，则BE＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴DE＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4，∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，∴矩形的周长最小值为2+4；②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示：设CF＝x，则BF＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以和（1）的结果一致，综上所述：矩形周长的最小值为2+4．故答案为：2+4．16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：∵△ABM和△ACN是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，∴BP＝BC+PC＝5+＝，∴BN＝＝＝7，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，故答案为：14．17．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为：40°．18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，∴A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．故答案为：±1或±．19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝AB＝＝＝x，∴＝＝，故答案为：1．20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵GE⊥CG，∴∠AGE+∠CGD＝90°，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠AGE＝∠DCG，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AGE∽△DCG，∴，∵G是AD的中点，∴AG＝DG，∴，∵∠D＝∠CGE＝90°，∴△CDG∽△CGE，∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，∵G是AD的中点，∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．故答案为：67.5°．三．解答题（共10小题）21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠EAP＝45°，在△DAP和△EAP中，，∴△DAP≌△EAP（SAS）∴PD＝PE；（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值为；（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PG＝PH，设PG＝PH＝a，由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得，a1＝2（舍去），a2＝，当a＝时，AP＝，综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B，∴，∴x2＝k2，∴x＝±k，∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1），（2）∵k＝1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1），∵点P的坐标为（m，），∴直线PA解析式为：y＝+，当y＝0时，x＝m﹣1，∴点C（m﹣1，0）同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴点D（m+1，0）∴PD＝＝，PC＝＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形；（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD，∴CD＝2PH，∴m+1﹣（m﹣1）＝2×∴m＝1，∴点P（1，1），∵点B（1，1），且点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B 重合），∴不存在点P使△PCD为直角三角形．24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，∴∠BEF＝∠EBC，∴BC＝CE，∵∠BFC＝∠D＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴CF＝DE．（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，∴∠BCF＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠ABF＝30°．②∵＝k，＝m，∴AE＝kAD，AB＝mAD，∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，整理得，m2＝2k﹣k2．25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：连接CG，如图所示：在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5当x＝1时，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，当x＝5时，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，∴AM＝EN，∵EF⊥AE，∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，∴∠EAM＝∠FEN，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA），∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示：由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，∵∠AME＝∠ENF＝90°，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA）；∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（3）分两种情况：①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示：则BE＝2DE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示：则DE＝2BE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，则AF：CF的值为或．27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．28．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．29．（1）证明：①如解图1，∵点E，点F关于CD对称．∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，∴∠ECO＝∠FCO，∵ED∥CF，∴∠FCO＝∠EDO，∴∠ECO＝∠EDO，∴DE＝EC，∴DE＝DE＝EC＝CF，∴四边形ECFD是菱形．②由得①得四边形ECFD是菱形，∴EO＝OF＝，OD＝OC，又∵AE＝EC，∴OF＝．∴AD＝EF（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，∴∠FDC＝45°，∵E，点F关于CD对称，∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD，∴EF∥BC，∴∠DEF＝∠BDC＝45°，∴△EFD为等腰直角三角形，∴DF＝DE＝BE，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴即＝．Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或．30．解：（1）①EG＝EH，理由如下：如图，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴AF∥BE，且GH∥EF∴四边形GHEF是平行四边形∴∠GHE＝∠GFE∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠1＝∠GEF∵AF∥BE，GH∥EF∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF∴∠GEF＝∠HGE∴∠GHE＝∠HGE∴HE＝GE②GH平分∠AGE理由如下：∵AF∥BE∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE ∴∠AGH＝∠HGE∴GH平分∠AGE（2）①EG＝GH理由如下，如图，∵将△ABC沿EF折叠∴∠CEF＝∠C'EF，∠C＝∠C'∵GH∥EF∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC'＝∠GHE ∴∠GHE＝∠HGE∴EG＝EH②∠AGH＝∠HGE+∠C理由如下：∵∠AGH＝∠GHE+∠C'∴∠AGH＝∠HGE+∠C。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。