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1. 学习指导及思考题1）学习要点1. 掌握液压传动的工作原理及组成。
2. 掌握气压传动系统的工作原理及组成。
3. 掌握液压传动和气压传动的特点。
4. 掌握液压元件的职能符号及规定。
5. 了解液压传动和气压传动的发展概况、应用情况及优、缺点。
6. 了解液压传动和气压传动的不同点。
2）填空题1.液压系统由动力元件、执行元件、控制元件、辅助元件四个主要组成部分。
2. 液压传动是以液压油为传动介质，依靠液体的压力能来传递动力。
3. 液压系统工作时外界负荷越大，所需油液的压力也越大，反之亦然，负载为零，系统压力为零。
4. 活塞或工作台的运动速度取决于单位时间通过节流阀进入液压缸中油液的体积，流量越大，系统的速度越大，反之亦然。
流量为零，系统速度为零。
5. 液压元件的职能符号只表示元件的职能、控制方式及外部接口，不表示元件的结构、参数及连接口的实际位置和元件的安装位置。
6. 液压传动系统的传动比比机械传动的大，传动效率比机械传动的低。
7. 液压传动系统可以实现无级调速，过载保护。
8. 液压传动系统单位质量输出功率大，传动均匀平稳。
9. 气压传动系统介质费用低廉，不会造成环境污染。
3）判断题1. 液压传动不易获得很大的力和转矩。
（×）2. 液压传动装置工作平稳，易于实现无级调速，但不能快速起动、制动和频繁换向。
(×)3.. 液压传动适宜在传动比要求严格的场合采用。
(×)4. 液压系统故障诊断方便、容易。
（×）5. 液压传动适宜于远距离传动。
（×）6. 气压传动能使气缸实现准确的速度控制和很高的定位精度。
（×）7. 液压及气压传动介质成本都很高。
（×）8. 液压传动可在高温下运行。
（×）9. 气压传动介质可以回收循环使用，故成本很低（×）4）选择题1. 液压系统的执行元件是（ C ）。
A．电动机 B.液压泵 C．液压缸或液压马达 D.液压阀2. 液压系统中，液压泵属于（ A ）。
《科学学习指导与训练》习题解答第五单元生物与环境20蚯蚓找家同步记录1.我们来研究蚯蚓的生活环境。
同步自测一、我来填一填1.我们在草丛、水池边的土壤里等地方能够捉到蚯蚓，这说明蚯蚓喜欢生活在阴暗、潮湿的环境里。
2.各种生物都必须生活在特定的环境里，所以在不同的环境中生活着不同的生物。
3.大象生活在丛林，北极熊生活在北极，鲸生活在海洋，骆驼生活在沙漠。
不同的自然环境中生活着不同的动物，动物与环境相互依存。
4.热带雨林的环境特点是湿热，沙漠的环境特点是干燥，北极的环境特点是寒冷。
二、当好小法官。
1.仙人掌在少水的沙漠中能存活，这说明它能适应任何一种环境。
（×）2.环境的变化会给动物带来灭顶之灾，但对植物没有影响。
（×）3.用蚯蚓做完实验后，要把它放到干燥、明亮的环境中。
（×）4.为了生活在自己适应的环境中，有的动物需要随着季节的变化而迁徙，例如燕子、大雁等。
（√）5.麻雀不随季节的变化而迁徙，这说明麻雀能适应任何一种环境。
（×）科学探究1.探究蜗牛（填动物名称）的生活环境。
【实验准备】5只蜗牛、纸盒、剪刀。
【实验步骤】（1）用剪刀把纸盒的盒盖的一半剪掉，使盒盖只能遮盖纸盒的一半，纸盒的一端是明亮的，另一端是阴暗的。
（2）把5只蜗牛放在纸盒中间，观察它们向哪个方向爬。
【实验现象】5只蜗牛都爬向阴暗的一端。
【我的发现】蜗牛喜欢阴暗的环境。
科学与生活1.苹果树往往生长在北方，而柑橘则生长在南方；南方盛产水稻，而北方则盛产小麦。
这说明了什么？答：南方气温高、雨水多，适合柑橘和水稻生长；北方气温低、雨水少，适合苹果和小麦生长。
这说明各种生物都必须生活在特定的环境里，在不同的环境中生活着不同的生物。
21变色龙同步记录1.观察草地里的蝗虫，分析它有哪些特点适合生活在那样的环境中。
答：草地里的蝗虫，体色多为绿色，和草的颜色一致，不易被天敌发现。
同步自测一、我来填一填1.动物的体色与周围的环境越相近，就越容易隐蔽自己。
A1型选择题1.以下哪项不是社区获得性肺炎常见的病原体社区获得性肺炎的病原体包括多种细菌、病毒和真菌，其中最常见的病原体包括肺炎链球菌、肺炎支原体、流感嗜血杆菌、肺炎衣原体等。
因此，选项C“肺炎克雷伯菌”不是社区获得性肺炎常见的病原体。
肺炎链球菌是最常见的社区获得性肺炎病原体之一，是一种革兰阳性球菌，常引起上呼吸道感染和肺炎。
流感嗜血杆菌也是社区获得性肺炎的常见病原体，是一种革兰阴性杆菌。
肺炎支原体和肺炎衣原体都是一种细菌，它们能引起轻度至中度的肺炎。
2.以下哪项是诊断重症肺炎的主要标准之一重症肺炎是指严重的肺炎病情，可能会导致多个器官功能衰竭，甚至危及生命。
常见的重症肺炎症状包括呼吸急促、低氧血症、多叶肺浸润等。
在诊断重症肺炎时，需要综合考虑患者的临床症状、体征和影像学表现等多个因素，其中是否需要有创机械通气是诊断重症肺炎的主要标准之一。
因此，选项A“需要有创机械通气”是正确的选项。
多叶肺浸润也是重症肺炎的常见表现之一，但并不是诊断重症肺炎的主要标准。
其他选项中，意识障碍和低血压是重症肺炎常见的并发症，但不是诊断重症肺炎的主要标准。
白细胞计数在诊断肺炎时具有一定的参考价值，但并不是重症肺炎的诊断标准。
3.以下哪项对鉴别肺炎与急性支气管炎最有价值？A. 发热，乏力等全身中毒症状B. 咯较多黄脓痰C. 胸部X线检查D. 双肺可闻及散在湿啰音E. 痰中带血正确答案是C，即胸部X线检查。
肺炎和急性支气管炎都是呼吸道感染引起的疾病，临床上症状相似，如咳嗽、咳痰、胸闷等。
但两者的病因、治疗及预后有很大不同。
肺炎是由细菌、病毒、真菌或其他微生物感染引起的肺实质炎症，症状严重，需要及时治疗。
急性支气管炎则是由病毒感染引起的气道炎症，症状轻微，一般自愈。
因此，在临床上需要对两者进行鉴别诊断。
选项A、B、D和E都是常见的肺炎和急性支气管炎的症状或体征，但并不能鉴别两者的差异。
而胸部X线检查可以显示肺部实质的情况，如肺部实质浸润、炎症等，对鉴别肺炎和急性支气管炎具有重要意义。
武汉大学生科院武汉大学生科院张楚富教授等原作！非常感谢！第二章氨基酸和蛋白质的一级结构基本内容蛋白质含有20种标准氨基酸，这些氨基酸在它们的α碳原子上分别含有一个氨基、一个羧基和一个侧链基团（或称R基团）。
除甘氨酸外，所有其它氨基酸的α碳原子都是一个不对称的碳原子，即手性碳原子。
蛋白质中的所有氨基酸都是L-型的。
20种标准氨基酸可以根据它们侧链的结构分为含脂肪烃基的氨基酸、含芳香基的氨基酸、含硫的（或含羟基的、或含酰胺基的）氨基酸。
如果根据它们的侧链极性（或在生理pH下的解离），可分为侧链非极性氨基酸、侧链不带电荷的极性氨基酸和侧链解离带正电荷或负电荷的氨基酸。
氨基酸侧链的性质对于决定蛋白质的性质、结构和功能来说是很重要的。
氨基酸的α-氨基和α-羧基都是可解离的基团，它们的解离取决于介质的pH。
在生理pH下，α-氨基解离带正电荷（–NH3+），α-羧基解离带负电荷（–CO O–）；侧链可解离基团的解离取决于它们的pK值和介质的pH。
氨基酸的解离性质是建立分离和分析氨基酸的方法的基础，它们的解离也影响蛋白质的性质、结构和功能。
分离分析氨基酸的主要方法是离子交换法以及电泳法。
蛋白质是由氨基酸借肽键连接而成多聚物。
在蛋白质多肽链中，肽键是唯一的共价键，由一个氨基酸的α-羧基和相邻氨基酸的α-氨基脱水缩合而成。
在多肽链中，氨基酸残基的顺序称为蛋白质的一级结构。
蛋白质是生物大分子，虽然它们具有与氨基酸相似的解离性质，但这一性质却比氨基酸复杂。
蛋白质的许多重要的性质，例如，溶解性、极性、带电性质、分子大小以及配体亲和性等，是构成分离分析它们的方法的基础。
离子交换法、凝胶过滤法、亲和层析法、超速离心法以及各种电泳法是常用的方法。
蛋白质一级结构的测定通常采用这样的程序，即纯净样品的末端分析、氨基酸组成分析、专一性酶或化学试剂进行部分水解、Edman降解法测定肽碎片的氨基酸残基的顺序以及片段重叠。
末端分析常有丹磺酰氯法和二硝基氟苯法；肽链的部分水解一般是有胰蛋白酶法、胰凝乳蛋白酶法以及溴化氰法。
第三章静态分析指标习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 总量指标：指反映在一定时间、空间条件下某种现象的总体范围、总体规模、总体水平的指标。
2. 强度相对数：指同一时期两个性质不同但有一定联系的总量指标之比。
3. 平均指标：指将同质总体内各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映同类现象在具体条件下的一般水平。
4. 算术平均数：指总体标志总量与总体单位总量之比，它是分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本指标。
5. 调和平均数：指总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，也称为倒数平均数。
6. 众数：指总体中出现次数最多的标志值，它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。
7. 中位数：指现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值。
8. 标准差：指总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的平均数的算术平方根。
9. 标志变异指标：指反映总体各单位标志值之间差异大小的综合指标，又称为标志变动度。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. 平均指标、相对指标2. 两个有联系、联系程度3. 104. 系数、成数、有名数5. 相对数、平均数6. 期中7. 102.22、660、6488. 水平法、累计法9. 结构相对数10. 高11. 不同空间12. 计划完成相对数、结构相对数13. 总体标志总量、总体单位总量14. 调和平均数、算术平均数15. 集中趋势、离中趋势16. 那个标志值17. 绝对数、比重18. 同质总体19. 平均差、标准差、离散系数、标准差20. P21. 标准差、其算术平均数22. 360023. 平方、平均差24. 412.31元、103.08%25. 相等、中位数三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1 B2 D3 C4 B5 C6 D7 C8 B9 B 10 D11 D 12 B 13 B 14 D 15 D16 C 17 A 18 B 19 B 20 B21 A 22 C 23 B 24 B 25 B26 A 27 D 28 B 29 A 30 B四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
第六章思考题与习题解答6-1 要满足下列要求，应引入何种反馈?(1)稳定静态工作点；(2)稳定输出电压；(3)稳定输出电流；(4)提高输入电阻；(5)降低输入电阻；(6)降低输出电阻、减小放大电路对信号源的影响；(7)提高输出电阻、提高输入电阻。
目的复习引入反馈的原则。
解(1)欲稳定静态工作点应引入直流负反馈，因为静态工作点是个直流问题。
(2)稳定输出电压应引入电压负反馈。
输出电压是交流参量，电压负反馈属于交流反馈组态。
在四种交流负反馈组态中，电压串联负反馈和电压并联负反馈均能达到稳定输出电压的目的。
(3)稳定输出电流应引入电流负反馈。
输出电流也是交流参量，在四种组态中，引电流串联负反馈或电流并联负反馈均可。
(4)提高输入电阻应引入串联负反馈，如电压串联负反馈或者电流串联负反馈。
(5)降低输入电阻应引入并联负反馈，如电压并联负反馈或者电流并联负反馈。
(6)降低输出电阻、减小放大电路对信号源的影响是一个减小输出电阻并提高输入电阻的问题，应引入电压串联负反馈。
(7)输入、输出电阻均提高应引入电流串联负反馈。
6-2 负反馈放大电路为什么会产生自激振荡?产生自激振荡的条件是什么?解在负反馈放大电路中，如果把负反馈引的过深会将负反馈变成正反馈，于是自激振荡就产生了。
产生自激振荡的条件是幅度条件相位条件arg AF=±(2n+1)π,n为整数∆=±180°或者附加相移φ6-3 判断下列说法是否正确，用√或×号表示在括号内。
(1)一个放大电路只要接成负反馈，就一定能改善性能。
( )(2)接入反馈后与未接反馈时相比，净输入量减小的为负反馈。
( )(3)直流负反馈是指只在放大直流信号时才有的反馈；( )交流负反馈是指交流通路中存在的负反馈。
( )。
(4)既然深度负反馈能稳定放大倍数，那么电路所用各个元件都不必选用性能稳定的。
( )(5)反馈量越大，则表示反馈越强。
( )(6)因为放大倍数A越大，引入负反馈后反馈越强，所以反馈通路跨过的级数越多越好。
第六章思考题与习题解答6-1 要满足下列要求，应引入何种反馈?(1)稳定静态工作点；(2)稳定输出电压；(3)稳定输出电流；(4)提高输入电阻；(5)降低输入电阻；(6)降低输出电阻、减小放大电路对信号源的影响；(7)提高输出电阻、提高输入电阻。
目的复习引入反馈的原则。
解(1)欲稳定静态工作点应引入直流负反馈，因为静态工作点是个直流问题。
(2)稳定输出电压应引入电压负反馈。
输出电压是交流参量，电压负反馈属于交流反馈组态。
在四种交流负反馈组态中，电压串联负反馈和电压并联负反馈均能达到稳定输出电压的目的。
(3)稳定输出电流应引入电流负反馈。
输出电流也是交流参量，在四种组态中，引电流串联负反馈或电流并联负反馈均可。
(4)提高输入电阻应引入串联负反馈，如电压串联负反馈或者电流串联负反馈。
(5)降低输入电阻应引入并联负反馈，如电压并联负反馈或者电流并联负反馈。
(6)降低输出电阻、减小放大电路对信号源的影响是一个减小输出电阻并提高输入电阻的问题，应引入电压串联负反馈。
(7)输入、输出电阻均提高应引入电流串联负反馈。
6-2 负反馈放大电路为什么会产生自激振荡?产生自激振荡的条件是什么?解在负反馈放大电路中，如果把负反馈引的过深会将负反馈变成正反馈，于是自激振荡就产生了。
产生自激振荡的条件是AF=-1幅度条件AF=1=±(2n+1)π,n为整数相位条件a r g AF或者附加相移φ∆=±180°6-3 判断下列说法是否正确，用√或×号表示在括号内。
(1)一个放大电路只要接成负反馈，就一定能改善性能。
( )(2)接入反馈后与未接反馈时相比，净输入量减小的为负反馈。
( )(3)直流负反馈是指只在放大直流信号时才有的反馈；( )交流负反馈是指交流通路中存在的负反馈。
( )。
(4)既然深度负反馈能稳定放大倍数，那么电路所用各个元件都不必选用性能稳定的。
( )(5)反馈量越大，则表示反馈越强。
《科学学习指导与训练》习题解答第三单元物体的运动9静止和运动同步记录1.描述静止和运动。
同步自测一、我来填一填1.我们所说的物体的运动，是指这一物体相对于另一物体来说，它的位置发生了变化。
2.要想描述物体是运动的还是静止的，必须先确定一个物体做标准，这个被选定的物体叫参照物。
3.从宏观上来讲，自然界的一切物体每时每刻都在运动，绝对静止的物体是不存在的。
因此说，运动是绝对的，静止是相对的。
4.若物体相对于参照物的位置在改变，则称物体是运动的；若物体相对于参照物的位置不改变，则称物体是静止的。
5.坐在向前行驶的船上，你会看到岸上的柳树在向后运动，这是以船为参照物。
二、认真选一选1.下列有关参照物的说法正确的是C。
A.运动的物体不能做参照物B.只有固定在地面上的物体才能做参照物C.研究某一物体的运动，必须选定参照物2.两只轮船沿河顺流而下，甲船在前，乙船在后。
甲船的速度大于乙船的速度，甲船上的人感到乙船在后退。
甲船上的人所选择的参照物为A。
A.甲船B.乙船C.都有可能科学探究1.小实验：研究物体运动的相对性。
【实验准备】墨水瓶、课本、橡皮、铅笔。
【实验步骤】（1）将课本平放在课桌面上，墨水瓶、橡皮放在课本上（如图）。
（2）拉动课本，观察并思考：橡皮相对于墨水瓶是运动的还是静止的？橡皮相对于课桌呢？若以墨水瓶为参照物，则课本是运动的还是静止的？以课桌为参照物呢？【实验结论】拉动课本，橡皮相对于墨水瓶是静止的，橡皮相对于课桌是运动的。
若以墨水瓶为参照物，则课本是静止的。
以课桌为参照物，课本是运动的。
选取的参照物不同，物体的运动状态不同。
科学与生活1.两列火车相向停在车站，其中一列火车内的乘客不能看到其他物体，仅能看到对面的列车。
过了一会儿，他们看到对面的列车在运动，就认为自己的车停在车站还没开。
这种判断正确吗？答：这种判断不一定正确。
至少有三种情况，他们会看到对面的列车在运动。
（1）以自己的车为参照物，自己的车未动，对面的列车在运动；（2）以自己的车为参照物，对面的列车未动，自己的车在运动；（3）以自己的车为参照物，两列车都在运动。
《科学学习指导与训练》习题解答第二单元物质的变化5蜡烛的变化同步记录1.我们来观察蜡烛的变化。
2.我们来观察其他物质的变化。
同步自测一、我来填一填1.像蜡烛熔化、纸折叠、铁熔化这样的变化，仅仅是形态发生了变化；像蜡烛、木头燃烧这样的变化，不仅仅是形态发生了变化，还会产生新物质。
2.根据物体的变化方式进行分类。
①捏橡皮泥②弯折铁丝③鸡蛋在醋中产生气泡④划着火柴⑤打碎玻璃⑥纸燃烧⑦冰融化⑧布制作成衣服⑨折叠纸玩具⑩铁生锈二、当好小法官1.蜡烛燃烧，仅仅是形态发生了变化，不会产生新的物质。
（×）2.木块燃烧后，不仅仅是形态发生了变化，还会产生新的物质。
（√）3.泥塑或面塑，只是改变了泥或面的形态，没有产生新的物质。
（×）4.物质形态的自然变化，往往与温度变化有着密切的关系。
（√）5.干燥的麦粒被煮熟后，形态不会发生变化。
（×）三、认真选一选1.下列没有产生新物质的变化是C。
A.纸燃烧B.植物的光合作用C.面塑2.下列变化中，只有物质形态发生变化的是B。
A.铁生锈B.纸做成纸杯C.水泥做成地砖3.下列变化中，既有形态改变，又有新物质产生的是B。
A.金属热胀冷缩B.煤炭燃烧C.纸折叠科学探究1.物质在燃烧时，都会有新物质产生。
请你设计一个实验予以证明。
答：实验设计：（1）点燃蜡烛；（2）用试管夹夹一个玻璃片放在火焰上方，观察现象。
实验结果：玻璃片上有一层黑色的灰，该实验证明了蜡烛在燃烧时有新物质产生。
科学与生活1.请你找一找，看看生活中哪些地方需要改变物质的形态。
答：（1）炒土豆丝之前，要把土豆切成土豆丝；（2）洗桑拿时，要把水变成水蒸气；（3）面粉可加工成挂面；（4）木头做成椅子。
这些都需要改变物质的形态。
6 食盐和水泥同步记录1.我们来观察食盐的变化。
2.我们来观察水泥的变化。
同步自测一、我来填一填1.食盐、白糖等物质溶解于水中之后，可通过蒸发去掉水分，使其恢复到原来的状态。
第五章 电路的瞬态分析【引言】①○2当电路发生接通、断开、联接方式改变及电路参数突然变化时，电路将从一种稳态变换到另一种稳态，这一变换过程时间一般很短，称为瞬态过程或简称瞬态（也称暂态过程或过渡过程）。
○3学习目的和要求１、了解产生瞬态过程的原因和研究瞬态过程的意义。
２、掌握分析一阶电路的三要素法。
理解初始值、稳态值、时间常数的概念。
３、理解ＲＣ电路和ＲＬ电路瞬态过程的特点。
４、了解微分电路和积分电路本章重点：分析一阶电路的三要素法，ＲＣ电路的充放电过程。
本章难点：初始值的确定。
5-1 瞬态过程的基本知识一、电路中的瞬态过程【演示】用根据图5-1-1制作的示教板。
观察开关S 合上瞬间各灯泡点亮的情况。
稳定状态（简称稳态）瞬态分析的目的 交流电路：电压、电流为某一稳定的时间函数直流电路：电压、电流为某一稳定值掌握瞬态过程规律，获得各种波形的电压和电流。
防止出现过电压或过电流现象，确保电气设备安全运行。
【讲授】开关S合上瞬间二、换路定律【讲授】①换路定律是表述换路时电容电压和电感电流的变化规律的，即换路瞬间电容上的电压和电感中的电流不能突变。
②设以换路瞬间作为计时起点，令此时t＝０，换路前终了瞬间以t＝０—表示，换路后初始瞬间以t ＝０+表示。
则换路定律可表示为：u C（０+）= u C（０—）换路瞬间电容上的电压不能突变i换路瞬间电感中的电流不能突变【说明】①换路定律实质上反映了储能元件所储存的能量不能突变。
因为W C=21CuC2、W L=21LiL2，u C和i L的突变意味着能量发生突变，功率p=twdd趋于无穷大，这是不可能的。
②当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态的过程中，u C和i L必然是连续变化的，不能突变。
这种电流和电压的连续变化过程就是电路的瞬态过程。
③电阻是耗能元件，并不储存能量，它的电流、电压发生突变并不伴随着能量的突变。
因此由纯电阻构成的电路是没有瞬态过程的。
第五章数论基础§5.1 基本要求1. 掌握整除、因数、倍数等概念，记住并会应用整除的性质。
2. 掌握最高公因数的概念，能够使用辗转相除法求两个数的最高公因数并表示为它们的倍数和。
会利用数的数码特征判别某些整除性。
3. 掌握互质的概念和质数的性质。
掌握质数、合数的概念以及算术基本定理、欧几里得定理。
4. 掌握合同的概念以及合同的基本性质。
5. 掌握剩余系、剩余类的概念。
了解一次合同方程在什么条件下有解、什么条件下无解、什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类），并对有解的情况掌握求解方法。
6. 掌握秦九韶定理(及其推广)、合同方程组的一般解法。
7. 掌握简化剩余系、Euler函数、Euler函数的可乘性、欧拉定理、费尔马定理。
8. 掌握二次同余的概念、二次同余方程的判定和求解、勒让德符号、欧拉判别法则。
9.了解合同在计算机编码中的应用。
§5.2 主要解题方法5.2.1 关于整除的问题这部分习题主要是应用整除的性质。
整除的性质教材中列举得已经很详细，比如，若在一等式中，除某项外，其余各项都是a 的倍数，则此项也是a 的倍数，等7条。
下面一些例题中还常用到质数的一个性质如教材中定理 5.2.5所述：若质数p 整除a 1a 2…a n ，则p 整除a 1，a 2，…，a n 之一。
关于使用辗转相除法求两个数a ，b 的最高公因数并表示为它们的倍数和，在教材中已有实例和习题，不再举例，需要使用的主要公式如下：S 0=0，S 1=1，T 0=1，T 1=q 1。
以及S k = q k S k-1+S k-2 ，T k = q k T k-1+T k-2。
若使用辗转相除法到某一步有r n-1=q n+1r n ，则r n 即最高公因数d ，且d=(-1)n-1S n a+(-1)n T n b 。
例5.2.1 对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y ，9x+5y同时能被17整除。
证明：设u=2x+3y ，v=9x+5y 。
（1）往证对于能使17|u 的整数x 和y ，也能使17|v ，反之亦然。
由（1）式可得：3v-5u=17x ，故，3v=5u+17x ， （2）5u=3v-17x 。
（3）由（2）式知，如果整数x ，y 能使17|u ，则由教材中整除性质2有：17|5u ，又因为17|17x ，所以由整除性质5有：17|3v 。
而17是质数，由定理5.2.5知，17必整除3和v 之一，显然，17不整除3，故必有17|v 。
同理，由（3）式知，如果整数x ，y 能使17|v ，则由教材中整除性质2有：17|3v ，又因为17|17x ，所以由整除性质5有：17|5u 。
而17是质数，由定理5.2.5知，17必整除5和u 之一，显然，17不整除5，故必有17|u 。
例5.2.2 证明：对于一切整数n ，1222++n n 均不是121的倍数。
证明：使用反证法。
假设存在整数n ，使得1222++n n 是121的倍数。
故，有整数k ，使1222++n n =121k 。
即2)1(+n +11=11×11k 。
于是，有2)1(+n =11（11k-1）。
（a ） 又由11|11（11k-1）及整除性质5，知：11|2)1(+n 。
由于11是质数，由定理5.2.5知，11|(n+1)。
于是，112|2)1(+n ，又由（a ）式及整除的性质5知，112|11（11k-1）。
故，11|（11k-1），从而有11|-1，这显然是不可能的，因此原假设不对，对于一切整数n ，1222++n n 均不是121的倍数。
例5.2.3 设a ，b 是整数，试证明：如果22b ab a ++能被9整除，那么a ，b 均能被3整除。
证明：将22b ab a ++写作： 22b ab a ++=ab b a 3)(2+-。
（*）根据假设9|22b ab a ++，而3|9，故由整除性质1知，3|22b ab a ++。
又因3|3ab ，故由（*）式及整除性质5知，3|2)(b a -。
由于3是质数，由定理5.2.5知，3|（a-b ）。
因此，9|2)(b a -，而由假设9|22b ab a ++，故再由（*）式及整除性质5知，9|3ab ，即， 3|ab 。
3是质数，根据定理5.2.5知，3|a 或3|b 。
而当3|a 或3|b 有一个成立时，又由3|（a-b ）知，必有另一个也成立。
因此，a ，b 均能被3整除。
说明：整数a 和b 的每一个被3 除时，其余数只能是0，1，2中的一个，如果我们取其余数的所有可能九种组合，也能得到例5.2.3的证明。
例5.2.4 任给五个整数，试证明：必能从其中选出三个，使得它们之和能被3 整除。
证明：任意整数必可写作下列形式之一：3k ，3k+1，3k+2，其中k 是整数。
如果给定的五个整数中有三个分别属于上述三种形式，那么显然这三个整数的和必可被3整除。
如果给定的五个整数只属于上述三种形式之一种或两种，那么必有三个整数属于同一种形式，这三个整数之和便可被3整除。
因此，从给定的五个整数中，必可选出三个，使得它们之和能被3 整除。
例5.2.5 任给n个整数，试证明：必能从其中选出k个，使得它们之和能被n 整除。
证明：设a1，a2，…，a n是给定的n个整数。
作和：s1= a1，s2= a1+ a2，s3= a1+ a2+ a3，s n= a1+ a2+…+ a n .下面将这n个和s i分类，所有被n除余数相同的算作同一类。
由于一个整数被n除，其余数只能是下列形式之一：0，1，2，…，n-1，所以，如果s i（i=1，2，…，n）属于不同的类，那么其中一定有某个s k可被n整除；否则，如果这n个和数s i中，有两个s p和s q属于同一类，不妨设p<q=p+k，则n|s p-s q且s p-s q= a p+1+ a p+2+…+ a p+k，因此，n| a p+1+ a p+2+…+ a p+k。
说明：在例5.2.4，例5.2.5中，我们实际上使用了用模m合同关系将数进行分类的思想。
例5.2.6 试证明如下结论：（1）当n是偶数时，数3n+1能被2 整除；（2）当n是奇数时，数3n+1能被2 2整除；（3）不管n是偶数还是奇数，3n+1不能被2的任何更高次幂整除。
证明：首先证明：任何奇数的平方被8除时余1。
对于任意一个奇数，都形如2k+1（k 0），而（2k+1）2 = 4k（k+1）+1，因为2| k（k+1），故8|4k（k+1），因此，用8去除上式余数为1。
（1）当n是偶数时，设n=2m，则3n+1=32m+1=(3m) 2+1。
因为3m是奇数，所以由上面结论知，(3m) 2被8除时余1，不妨设(3m) 2=8a+1，于是，3n+1=(3m) 2+1=8a+2=2(4a+1)，①因此，3n+1能被2 整除。
（2）当n是奇数时，设n=2m+1，则3n+1=32m+1+1=3(3m) 2+1。
与（1）同理可设(3m) 2=8a+1，于是3n+1=3(3m) 2+1=3（8a+1）+1=4(6a+1)，②因此，3n +1能被2 2 整除。
（3）由①式和②式可知，4a+1和6a+1都是奇数，不能被2整除，所以不管n 是偶数还是奇数，3n +1不能被2的任何更高次幂整除。
说明：（1）利用本题的结论，容易证明下面结论：对于任意大于1的整数m ，3m +1不可能被2m 整除。
（2）如果利用合同的概念，本题的证明会更简单些，读者可作为练习。
5.2.2 关于质数的问题上面已经接触到几个关于质数的习题。
这部分习题还要常用到算术基本定理及其推论。
另外，要记住质数与互质有一定的联系：质数p 和a 互质，必要而且只要p |\a 。
在5.2.1中我们也常使用从教材中定理5.2.5“若质数p 整除a 1a 2…a n ，则p 整除a 1，a 2，…，a n 之一”可直接得到的一个结论：若质数p 整除q n ，则p 整除q 。
例5.2.7 设n 是大于1的整数，试证明：如果n 不能被不大于n 的立方根的所有质数整除，则n 或者是质数，或者是两个质数的乘积。
证明：n 不能是三个或三个以上的乘积即可。
由算术基本定理知，可设n 是k 个质因数的乘积：n=p 1…p k ，往证k=1或2。
使用反证法，假设k ≥3，则由题设知，n 的质因数均大于3n ，故有：n=p 1…p k≥p 1p 2 p 3>（3n ）（3n ）（3n ）=n 。
因此产生了矛盾，原假设不对，只能是k=1或2，即n 或者是质数，或者是两个质数的乘积。
例5.2.8 设 n 是任意正整数，试证明：n 可唯一表示为n=k 2m ，其中k 2是平方数，m 或者是1或者是不同的质数的乘积。
证明：（1）首先证明可表性。
当n=1时，1= 121，即k 2=1，m=1。
命题成立。
当n>1时，由算术基本定理的推论2知，可设n=s ls l l p p p 2121，其中p 1，…，p s 是不同的质数。
用2去除每个l i ，设商为q i ，余数为r i ，即l i =2q i +r i ，其中，i=1，2，…，s ，r i =0或1。
则n=s l s l l p p p 2121=s s rs r r q s q q p p p p p p 212121221)(，因此，如果设k=s q s q q p p p 2121，m=s r s r r p p p 2121，那么n=k 2m ，且由于r i =0或1， 所以m 是1或是不同的质数的乘积。
（2）再证明唯一性。
为证明表达方便，引进一表法。
设p 是质数，若非零整数a 可被p r 整除，而不能被p r+1整除，这时称p r 是a 的p 成分，用p(a)表示a 的p 成分的幂指数。
假设n=a 2b ，b 或者是1或者是不同的质数的乘积。
由算术基本定理的推论2知，n 可唯一地表为：n=s l s l l p p p 2121，则n ，a ，b 的p i 成分的幂指数有如下关系：l i =p i (n)= p i (a 2b)= p i (a 2) +p i (b)=2 p i (a) +p i (b). i=1，2，…，s ，因为b 或者是1或者是不同的质数的乘积，所以p i (b)=0或者p i (b)=1。
因此，p i (a) 和p i (b)分别是用2去除l i 所得的商数和余数。
由（1）证明过程知，q i 和r i 也是用2去除l i 所得的商数和余数，又由教材中定理5.1.1知，用2去除l i 所得的商数和余数是唯一确定的，因此，p i (a)= q i ，p i (b)= r i 。
