江苏省2014届高考数学(文)三轮专题复习考前体系通关训练：倒数第8天

倒数第 1天高考数学应试技巧经过紧张有序的高中数学总复习, 高考即将来临, 有人认为高考数学的成败已成定局, 其实不然, 因为高考数学成绩不仅仅取决于你现有的数学水平, 还取决于你的高考临场发挥,所以我们要重视高考数学应试的策略和技巧, 这样有利于我们能够“ 正常发挥” 或者“ 超常发挥”.一、考前各种准备1.工具准备:签字笔、铅笔、橡皮、角尺、圆规、手表、身份证、准考证等. (注意:高考作图时要用铅笔作图,等确认之后也可以用签字笔描2.知识准备:公式、图表强化记忆,查漏补缺3.生理准备:保持充足的睡眠、调整自己的生物钟、进行适度的文体活动4.心理准备:有自信心,有恰当合理的目标二、临场应试策略1.科学分配考试时间试卷发下来以后,首先按要求填涂好姓名、准考证号等栏目,完成以上工作以后,估计还未到考试时间,可先把试卷快速浏览一遍,对试题的内容、难易有一个大概的了解,做到心中有数,考试开始铃声一响,马上开始答题. 2.合理安排答题顺序解题的顺序对考试成绩影响很大,试想考生如果先做最难的综合题,万一做不出,白白浪费了时间,还会对后面的考试产生不良的影响,考试时最好按照以下的顺序:(1从前到后.高考数学试卷前易后难,前面填空题信息量少、运算量小,易于把握,不要轻易放过,解答题前三、四道也不太难,从前往后做,先把基本分拿到手,就能心里踏实,稳操胜券.(2先易后难.先做简单题,再做综合题,遇到难题时,一时不会做,做一个记号,先跳过去,做完其它题再来解决它,但要注意认真对待每一道题,力求有效,不能走马观花,有难就退,影响情绪.(3先熟后生.先做那些知识比较熟悉、题型结构比较熟悉、解题思路比较熟悉的题目,这样,在拿下熟题的同时,可以使思维流畅、达到拿下中高档题目的目的.3.争取一个良好开端良好的开端是成功的一半,从考试心理角度来说,这确实很有道理.拿到试题后,不要急于求成、立即下手解题,在通览一遍整套试题后,稳操一两个易题熟题,让自己产生“旗开得胜”的感觉,从而有一个良好的开端,以振奋精神,鼓舞信心,很快进入最佳思维状态,之后做一题得一题,不断产生正激励,稳拿中低,见机攀高.4.控制好解题节奏考场上不能一味地图快,题意未清,条件未全,便急于解答,容易失误.应该有快有慢,审题要慢,解答要快.题目中的一些关键字可以用笔圈一下, 以提醒自己注意.审题是整个解题过程的“基础工程”,题目本身是“怎样解题”的信息源,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识,为形成解题思路提供全面可靠的依据.而思路一旦形成,则可尽量快速解答.5.确保运算准确,立足一次成功在规定的时间内要完成所有题, 时间很紧张, 不允许做大量细致的检验工作, 所以要尽量准确运算,关键步骤,宁慢勿快,稳扎稳打,不为追求速度而丢掉准确度,力争一次成功.实现一次成功的一个有效措施是做完一道题后如果觉得没有把握随即检查一下 (例如可逆代检验、估算检验、赋值检验、极端检验、多法检验 .做完当即检查,思路还在,对题目的条件、要求等依然很熟悉,检查起来可以省时间.6.追求规范书写,力争既对又全卷面是考试评分的唯一依据,这就要求不但会而且要对、不但对而且要全, 不但全而且要规范.会而不对,令人惋惜;对而不全,得分不高;表述不规范,处处扣分.要处理好“会做”与“得分”的关系.要用心揣摩阅卷时的得分点步骤,得分点步骤不能漏掉,一定要写好,写清楚.例如立体几何论证题,很多因条件不全被扣分.7.面对个别难题,争取部分得分高考成绩是录取的重要依据,相差一分就有可能失去录取资格.解答题多呈现为“一题多问”、难度递进式的“梯度题”,这种题入口宽,入手易,看似难做,实际上也有可得分之处,所以面对“难题”不要胆怯,不要简单放弃,应冷静思考,争取部分得分.那么面对不能全面完成的题目如何分段得分,下面有两种常用方法.①缺步解答.对难题,啃不动时,明智的解题策略是:将它划分为一个个子问题或一系列的步骤,先解决问题的一部分,能解决到什么程度就解决到什么程度,能写几步就写几步,每写一步就可能得到一定分数.②跳步解答.解题过程卡在一中间环节上时,可以承认中间结论,往下推, 看能否得到正确结论,如得不出,说明此途径不对,立即改变方向,寻找它途,如能得到预期结论,就再回头集中力量攻克这一过渡环节,若因时间限制,中间结论来不及得到证实,就只好跳过这一步,写出后继各步,一直做到底;若题目有两问,第二问做不上,可将第一问作为“已知”,完成第二问,这样也可能得分.8.把握“最后 10分钟”同学们一般都有这样的感觉, 前面 10分钟往往是得分的黄金时间, 而最后的 10分钟往往很难添分加彩,究其原因有两个,一是最后 10分钟往往既要复查纠错,又想攻克难题,结果顾此失彼,两头落空;二是考试的最后时刻就象长跑的最后时刻, 体力消耗大, 思维有所迟钝. 那么“最后 10分钟”应该做什么呢?可以用来检查前面有疑问没把握的试题或者用来做前面未能解答的试题,但是一定要先解决把握性大一点、相对容易一点、得分可能性大的试题.总之,我们的应试策略是: (1难易分明,决不耗时; (2慎于审题,决不懊悔; (3必求规范,决不失分; (4细心运算,决不犯错; (5提防陷阱,决不上当; (6愿慢求对,决不出错; (7思路遇阻,决不急躁; (8奋力拼杀,决不落伍.。

2014高考数学（理科）三轮考前体系通关：体系通关四 临考易忘、易混、易错知识大排查倒数第10天 集合与常用逻辑用语[保温特训]1．设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为________．解析 M ＝[0,1]，N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．答案 [0,1)2．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________． 解析 分四种情况：(1)a ＞0且b ＞0；(2)a ＞0且b ＜0；(3)a ＜0且b ＞0；(4)a ＜0且b ＜0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案 {3，－1}3．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是________．解析 命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A ⊆B ，∴a ＜5.答案 a ＜54．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12人．答案 125．“a ≥0”是“∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0为真命题”的________条件．解析 a ≥0时，∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0；但∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0时，a ＜0也可以． 答案 充分但不必要6．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B )＝________.解析 易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B )＝{5}．答案 {5}7．已知不等式x 2－2x ＋1－a 2＜0成立的一个充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值X 围应满足________．解析 由题意可知，当0＜x ＜4时，x 2－2x ＋1－a 2＜0成立，令f (x )＝x 2－2x ＋1－a 2，∴f (4)＜0得，a ＜－3或a ＞3， f (0)＜0得，a ＞1或a ＜－1.综上，a ＞3或a ＜－3.答案 a ＜－3或a ＞38．已知集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ＜0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}(a ∈R )，则S ∪T ＝R 的充要条件是________．解析 S ＝{x |0＜x ＜2}，T ＝{x |x ≥a ＋1或x ≤a }，若S ∪T ＝R ，则a ≥0且a ＋1≤2⇒0≤a ≤1.反之，若0≤a ≤1，则S ∪T ＝R .答案 0≤a ≤19．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，故满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数即为集合{3,4}的子集个数22＝4个．答案 410．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析 依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素．故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4，5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．答案 611．若自然数n 使得作加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为________．解析 给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A ＝{0,1,2,3}集合A 中的数字和为6.答案 612．“a ＝1”是“函数f (x )＝2x －a 2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析 根据奇函数的定义求出a 的值，再判断充分条件、必要条件．由函数f (x )＝2x －a 2x ＋a是定义域上的奇函数，所以f (－x )＝2－x －a 2－x ＋a ＝－f (x )＝－2x －a 2x ＋a对定义域上的每个x 恒成立，解得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝2x－a 2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件．答案 充分不必要13．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥n n ⊂α⇒m ⊥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；④ ⎭⎪⎬⎪⎫n ⊂βm ∥β⇒m ∥n其中为真命题的序号是________．解析 ①错误，m 与α有可能斜交或平行或在α内；②正确；③正确；④错误，m 与n 可能异面．答案 ②③14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012·(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011＜a 2；④S 2 011＜S 2.解析 该题通过条件(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，考查函数与方程的思想，由于函数f (x )＝x 3＋x 是奇函数，由条件有f (a 2－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1.另外，f ′(x )＝3x 2＋1＞0，所以，f (x )是单调递增的，而f (1)＝2＞1＝f (a 2－1)，∴a 2－1＜1，a 2＜2，所以，a 2－1＝－(a 2 011－1)，∴a 2＋a 2 011＝2，且a 2－1＞a 2 011－1，∴a 2＞0＞a 2 011；又由等差数列{a n }考查等差数列概念与通项公式，由此可得S 2 012＝a 1＋a 2 0122×2 012＝2 012，d ＜0，∴S 2 011＝S 2 012－a 2 012＝2 012－(2－a 2＋d )＝2 010＋a 1＞a 1＋a 2＝S 2.答案 ②③[知识排查]1．在集合的基本运算中，一定要抓住集合的代表元素．2．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，忽略A 为空集的情况，不要忘了借助数轴和Veen 图进行求解．3．命题的否定与否命题搞清楚，否定含有一个量词的命题时注意量词的改变．4．“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”弄清楚了吗？5．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1,2n－2.。

2014高考数学（理科）三轮考前体系通关： 倒数第6天 立体几何 [保温特训] 1．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则依题意有4πR 33＝43π，解得R ＝ 3.因为3a ＝2R ＝23，所以a ＝2.故该正方体的面积为6a 2＝24.答案 242．一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.解析 由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧高为5 cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3.答案 483．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， 所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， 所以V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23. 答案 234．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．解析①：只有当l与m相交时，才可证明α∥β；③：l可能在平面β内．答案②④5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，则α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．解析③错误，α，β相交或平行；④错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.答案①②6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．解析①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．答案①④7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.上述命题中，所有真命题的序号是________．解析若a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a⊥α，a⊥β，则α∥β，即命题②不正确；若a ∥α，b ∥α，则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，即命题③不正确；若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，即命题④正确，综上可得真命题的序号为④. 答案 ④8．已知棱长为2的正方体，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析 以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝23. 答案23 9．已知平面α，β，γ，直线l ，m 满足：α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，那么 ①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．解析 画图可知①m ⊥β、③β⊥γ不一定成立．答案 ②④10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l∥m ⇒α⊥β；④l⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析 α∥β⇒直线l ⊥平面β，由于直线m ⊂平面β，∴l ⊥m 故①正确；由l ∥m ，直线l ⊥平面α可推出直线m ⊥平面α，而直线m ⊂平面β，∴α⊥β故③正确． 答案 ①③11．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，∠A 1AC ＝60°，AA 1＝AC ＝BC ＝1，A 1B ＝ 2.(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)如果D 为AB 的中点，求证：BC 1∥平面A 1CD .证明 (1)在△A 1AC 中，∠A 1AC ＝60°，AA 1＝AC ＝1，∴A 1C ＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C＝1，A1B＝2，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC ⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为A1C中点得，OD∥BC1，OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.12．如图，在三棱锥S­ABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)GH∥EF；(3)GH⊥平面SAC.证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以SA⊥GH.又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，所以AB∥GH.因为AB⊄平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.(2)因为AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AB∥EF.又因为AB∥GH，所以GH∥EF.(3)因为SA⊥平面EFGH，SA⊂平面SAC，所以平面EFGH⊥平面SAC，交线为FG.因为GH∥EF，EF⊥FG，所以GH⊥FG.又因为GH⊂平面EFGH，所以GH⊥平面SAC.13．如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿线EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求证：AB⊥平面BCE；(2)求三棱锥C­ADE体积．(1)证明 在题图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，∴EF ⊥AD ，在题图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ， CE ⊥平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A ­CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝CE ＝2，∴S △CDE ＝12×2×2＝2，∴V C ­ADE ＝13·S △CDE ·AF ＝13×2×1＝23. [知识排查]1．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球的半径为32a . 2．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．3．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面，线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面，这些转化各自的依据是什么？4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”．5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节．。

[小题押题练 F 组](建议用时：40分钟)1．集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{y |y ＝e x，x ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}解析 B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，e ，1e ，∴A ∩B ＝{1}．答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋iB. 5C.52D.54 解析 (1＋2a i)i ＝i －2a ＝1－b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝1，1＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－2＝52. 答案 C3．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1＝－3，S 5＝S 10，则当S n 取最小值时n 的值为( )．A ．5B ．7C ．8D ．7或8解析 由S 5＝S 10，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，即a 8＝0，又a 1＝－3，所以当S n 取最小值时n 的值为7或8. 答案 D4．执行如图的程序框图，输出的S 和n 的值分别是( )．A ．9，3C ．11，3D ．11，4解析 执行第一次循环后，S ＝3，T ＝1，n ＝2；执行第二次循环后，S ＝6，T ＝4，n ＝3；执行第三次循环后，S ＝9，T ＝11，n ＝4，T >S ，此时输出S ＝9，n ＝4，选B. 答案 B 5．已知函数f (x )＝1x －x ＋，则y ＝f (x )的图象大致为( )．解析 令g (x )＝x －ln (x ＋1)，则g ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1，由g ′(x )>0，得x >0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0，得－1<x <0，即函数g (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝0时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (0)＝0，于是对任意的x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B ，D ；因函数g (x )在(－1，0)上单调递减，则函数f (x )在(－1，0)上递增，故排除C ，故选A. 答案 A6．在下列命题中，①“α＝π2”是“sin α＝1”的充要条件； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋1x 4的展开式中的常数项为2； ③设随机变量X ～N (0，1)，若P (X ≥1)＝p ，则P (－1<X <0)＝12－p .其中所有正确命题的序号是( )．A ．②B ．③C ．②③D ．①③解析 ①由sin α＝1得α＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以①错误．②展开式的通项公式为T k ＋1＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k x 12－4k ，由12－4k ＝0，得k ＝3.所以常数项为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，②正确；③因为P (X ≥1)＝P (X ≤－1)＝p ，所以P (－1<X <0)＝1－P X－P X ≤－2＝12－p ，③正确．7．已知一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为( )．A ．8－2π3B ．8－4π3C ．4－4π3D ．4－2π3解析 由三视图知，该几何体为一个长方体里面挖去一个半球，长方体的体积为：2×2×1＝4，半球的体积为12×43πr 3＝12×43×π×13＝2π3，故该几何体的体积为4－2π3.答案 D8．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是 ( )．①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；③f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数A ．①③B ．②④C ．①③④D ．③解析 ①当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，①错误；②当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，sin 5π6≠0，②错误；③f (x )的图象向左平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，③正确；④由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6上递减，④错误．9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0，表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )．A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞) 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a >1时才能够使函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，由图可知当函数y ＝a x的图象经过点A 时a 取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，解得x ＝2，y ＝9，即点A (2，9) ，代入函数解析式得9＝a 2，即a ＝3 ，故1<a ≤3. 答案 A10．已知椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若|ON |＝1，则|MF 1|等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．5解析 由椭圆方程知a ＝4，∴|MF 1|＋|MF 2|＝8， ∴|MF 1|＝8－|MF 2|＝8－2|ON |＝8－2＝6. 答案 C11．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种( )．A ．150B ．114C ．100D ．72解析 先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1，或者3，1，1，所以共有C 25C 23C 112C 35C 12C 112＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种． 答案 C12．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－ln x x ，则下列关于y ＝f [f (x )]－2的零点个数判断正确的是( )．A ．当k ＝0时，有无数个零点B ．当k <0时，有3个零点C ．当k >0时，有3个零点D ．无论k 取何值，都有4个零点解析 当k ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－ln x x ，当x >1时，－ln x <0，所以f [f (x )]＝f (－ln x )＝2，所以此时y ＝f [f (x )]－2有无数个零点；当k <0时，y ＝f [f (x )]－2的零点即方程f [f (x )]＝2的根，所以f (x )＝0或f (x )＝e －2，由图可知方程只有两根：当k >0时，由图可知：f (x )＝2有两根，所以由f [f (x )]＝2得：f (x )＝0或f (x )＝e －2，又f (x )＝0有两根，f (x )＝e －2有两根，所以f [f (x )]＝2有四根． 答案 A 二、填空题13．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为________．解析 依题意知C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，C 2：x 2＋(y －b )2＝1，则|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，∴a 2＋b 2＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3 cos θ，b ＝3 sin θ(θ为参数)，∴a ＋b ＝3(sin θ＋cos θ)＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤3 2.答案 3 214．在等比数列{a n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式a r －st ·a s －tr ·a t －rs ＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{b n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式________成立．答案 (r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )·b s ＝015．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析 因为K 2≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故①正确；②显然错误；因为我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，故③④错误． 答案 ①16．如右图放置的正方形ABCD ，AB ＝1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB →·OC →的最大值是________．解析 令∠OAD ＝θ，∵AD ＝1，∴OA ＝cos θ，OD ＝sin θ，∠BAx ＝π2－θ，故x B ＝cos θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＋sin θ，y B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，∴OB→＝(cos θ＋sin θ，cos θ)，同理可求得C (sin θ，cos θ＋sin θ)，∴OC →＝(sin θ，cos θ＋sin θ)，∴OB →·OC →＝(cos θ＋sin θ，cos θ)·(sin θ，cos θ＋sin θ)＝1＋sin 2θ≤2. 答案 2。

体系通关四 临考易忘、易混、易错知识大排查 倒数第10天 集合、逻辑用语、算法、复数[保温特训] (时间：30分钟)1．已知集合M ＝{a ，b ，c }，集合N 满足N ⊆M ，则集合N 的个数是( )．A ．6B ．7C ．8D ．9 解析 集合M 的子集个数为：23＝8(个)． 答案 C2．已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝ ( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 集合U ＝{y |y >0}，P ＝{y |0<y <13}，∴∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥13. 答案 A3．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析 ∵1＋a i2－i＝＋a ＋－＋＝－a ＋a ＋5，∴2－a ＝0且2a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案 A4．设i 为虚数单位，复数z 1＝1＋i ，z 2＝2i －1，则复数z 1·z 2在复平面上对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z 1·z 2＝(1－i)(2i －1)＝1＋3i ，其对应的点为(1，3)，故在第一象限． 答案 A5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )．A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析 先将“存在”改为“任意”，再否定结论即可． 答案 B6．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )．A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 依题意知命题p 为假，命题q 为假，故p ∧q 为假． 答案 C7．设a ∈R ，则“a ＝1”是直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 a ＝1⇒l 1∥l 2，反之不一定成立． 答案 A8．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为－9时，其输出的结果是( )．A ．－9B ．1C ．3D ．6解析 依题意得该算法输出的结果，即为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋，x ≤0，log 3x ，x >0中，当x ＝－9时的函数值．∵f (－9)＝f (－9＋3)＝f (－6)＝f (－6＋3)＝f (－3)＝f (－3＋3)＝f (0)＝f (0＋3)＝f (3)＝log 33＝1.答案 B9．某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填入( )．A ．k >4B ．k >5C ．k >6D ．k >7解析 k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，故判断框中应为k >4. 答案 A10．执行如图所示的程序框图，则输出结果为( )．A.49B.511C.712D.613解析 第一次循环S ＝11×3，k ＝3； 第二次循环S ＝11×3＋13×5，k ＝5；第三次循环S ＝11×3＋13×5＋15×7，k ＝7；第四次循环S ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9，k ＝9；第五次循环S ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11，k ＝11；循环结束，故S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋19－111＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝511.答案 B11．设A ＝{x |x 2－4x －5<0}，B ＝{x ||x －1|>1}，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1<x <0，或2<x <5}B ．{x |－1<x <5}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0，或x >2}解析 A ＝{x |x 2－4x －5<0}＝{x |－1<x <5}，B ＝{x ||x －1|>1}＝{x |x <0，或x >2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <0，或2<x <5}． 答案 A12．下列有关命题的说法正确的是( )．A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得：x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析 对于A ：命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，故错误．对于B ：因为x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，应为充分不必要条件，故错误．对于C ：命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.故错误．由排除法得到D 正确． 答案 D13．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z ＝________.解析 z ＝－3＋2i i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案 1－3i14．已知M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x 2＋y 2＝2}，则M ∩N ＝________.解析 M ＝{y |y ≥0}，N ＝{y |x 2＝2－y 2}＝{y |－2≤y ≤2}．∴M ∩N ＝[0，2]． 答案 [0，2]15．“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 依题意知：Δ＝(a －1)2－4>0，解得a >3或a <－1. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)16．若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．解析 依题意知，根据方差公式得s 2＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.答案 23[知识排查]1．在集合的基本运算中，一定要抓住集合的代表元素．2．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，忽略A 为空集的情况，不要忘了借助数轴和Veen 图进行求解．3．命题的否定与否命题搞清楚，否定含有一个量词的命题时注意量词的改变． 4．“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”弄清楚了吗？5．弄清楚程序框图要计算的是什么，这个计算是从什么时候开始，中间按照什么规律进行，最后计算到什么位置．6．对复数的概念掌握了吗？运算法则特别是除法法则熟练掌握了吗？。

倒数第6天立体几何[保温特训](时间：45分钟)1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )．解析空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长相等”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.答案 C2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )．A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在α内，所以n与α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由面面垂直的性质可知C正确．答案 C3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )．A．2 2 B. 3C．2 3 D．4解析所给三棱柱的侧视图为矩形，矩形的长为2，宽为等边三角形ABC的高3，所以三棱柱的侧视图面积为2 3.答案 C4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( )．A．若a⊂α，b⊂β，且α∩β＝l，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b解析在两相交平面内分别与交线平行的两条直线平行，A错误；如图ABCD为矩形，设BC为a，AB为b，虽然有a⊥b，a⊂α，b⊂β，但平面α与β不一定垂直，B错误；由a∥α，b⊂α，可知a，b无交点，但a与b平行或异面，C错误；由直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的直线平行，知D正确．答案 D5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．2B ．4 C.23D.43解析 该几何体为四棱锥，如图所示，SC ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1.∴V ＝13×1×1×2＝23.答案 C6．一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)如图所示，则该几何体的表面积是( )．A ．20＋4πB ．24＋4πC ．20＋3πD ．24＋3π解析 该几何体为一个正方体和一个半圆柱的组合体，且正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2，故该几何体的表面积为：2×2×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.答案 C7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β，其中正确的命题是( )．A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③解析 对于命题①：由α∥β，l ⊥α，可得l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m ，正确；对于命题③：由l ∥m 可得m ⊥α，又m ⊂β，故α⊥β，正确；命题②，命题④错误． 答案 D8．一个空间几何体的三视图均是边长为2的正方形，则以该空间几何体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )．A.26B.23C.33D.23解析 由题意可得这个空间几何体为正方体，以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝23.答案 B9．如图所示，则根据图中数据可知该几何体的体积为( )．A ．8πB ．9π C.4＋3153π D.4＋153π 解析 该几何体的上面部分是球，下面部分是圆锥，球的半径为1，故球的体积为4π3，圆锥的底面半径为1，高为15，故圆锥的体积为153π，所以该几何体的体积为4＋153π. 答案 D10．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是________上的一段弧．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，所以动点M 在面ABCD 内的轨迹是圆的一部分． 答案 A11．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )．A.63B.12C.155D.32解析 连接B 1C ，∴B 1C ∥A 1D ，又∵A 1D 与BC 1所成的角为π2.∴B 1C ⊥BC 1，又AB ＝BC ＝2，∴长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，取B 1D 1的中点M ，连接C 1M ，BM ，∴C 1M ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BM 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵AB ＝BC ＝2，∴C 1M ＝2，BC 1＝22， ∴sin ∠C 1BM ＝C 1M C 1B ＝12. 答案 B12．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为________cm 2.解析 由该正三棱锥的正视图和俯视图可知，其侧视图为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高即32，高等于正视图的高即3，所以侧视图的面积为S ＝12×32×3＝34(cm 2)．答案 3413．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则依题意有4πR33＝43π，解得R ＝ 3.因为3a ＝2R ＝23，所以a ＝2.故该正方体的面积为6a 2＝24. 答案 2414．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥平面CB 1D 1；③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是 2. 解析 ①∵BD ∥B 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，∴BD ∥平面CB 1D 1；②∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1，又∵A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1；③∠C 1AC 为AC 1与平面ABCD 所成的角，tan ∠C 1AC ＝CC 1AC ＝CC 12CC 1＝22.答案 ①②15．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．(1)证明：PA ∥平面BDE ；(2)求二面角B-DE-C 的余弦值．解 (1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE .(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2. 则A (2，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，B (2，2，0)，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ，→＝0，n ·DB ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋2y ＝0，取y ＝－1，得n ＝(1，－1，1)，又DA →＝(2，0，0)是平面DEC 的一个法向量． ∴cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA ，→|n |·|DA ，→|＝23×2＝33.故结合图形知二面角B-DE-C 的余弦值为33. [知识排查]1．应注意根据几何体的三视图确定几何体的形状和数量特征，尤其是侧视图中的数据与几何体中的数据之间的对应．2．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球的半径为32a . 3．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．4．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面，线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面，这些转化各自的依据是什么？5．如何求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角？如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即证明它们垂直．6．两条异面直线所成角的范围：0°<α≤90°；直线与平面所成角的范围：0°≤α≤90°；二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°.7．空间向量求角时，易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．。

倒数第8天 三角函数、平面向量[保温特训] (时间：45分钟)1．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( )．A ．－53B ．－19 C.19 D.53 解析 cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2 α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度解析 注意到把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝sin [2(x－π4)＋π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B.答案 B3．已知向量a 与b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|a ＋3b |等于( )．A.7B.10C.13 D ．13解析 |a ＋3b |2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝10＋6×1×1×cos π3＝13.∴|a ＋3b |＝13. 答案 C4．函数y ＝sin x ＋cos x 的最大值和最小正周期分别是( )．A.2，π B ．2，π C.2，2π D ．2,2π 解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故y max ＝2，最小正周期为T ＝2π.答案 C5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(2,4)D ．(－2，－4)解析 BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，BD →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．答案 A6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )．A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π6 解析 由图可知，A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6.答案 D7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形解析 根据余弦定理，得c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →等于( )．A.49B.43 C ．－43 D ．－49解析 由AP→＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →＝2AP →·PM →＝2|AP →|·|PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.答案 A9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 根据正弦定理，得c ＝23b ，又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°.答案 A10．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos θ，向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ，13，且a ∥b ，则锐角θ为 ( )．A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°解析 ∵a ∥b ，∴32×13－cos θsin θ＝0，∴sin 2θ＝1，又θ为锐角，∴θ＝45°. 答案 D11．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．解析 由题意可知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4在第四象限，且点P 落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝7π4. 答案 7π412．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________. 解析 λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λa ＋b )·a ＝(λ＋4，－3λ－2)·(1，－3)＝(λ＋4)－3(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，得λ＝－1. 答案 －113．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14()b 2＋c 2－a 2，若a ＝10，则bc 的最大值是________．解析 S ＝12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理，得sin A ＝cos A ，故A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，故bc ≤1002－2＝100＋50 2. 答案 100＋50 214．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝________. 解析 sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ－1tan 2 θ＋1＝9＋2×3－19＋1＝1410＝75.答案 7515．已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．解 (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a ＝2sin ωx －2(1－cos ωx )＋2＋a ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ，∴2ω＋π4＝π2，得ω＝π8，∴f (x )的最小正周期T ＝2πω＝16. (2)由(1)可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ，∵x ∈[6,16]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4，∴当π8x ＋π4＝9π4，即x ＝16时，f (x )最大， 由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2.[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x 的系数的正负，最好经过变形使x 的系数为正．3．求y ＝sin ωx 的周期一定要注意ω的正负． 4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？ 5．由y ＝sin x ―→y ＝A sin (ωx ＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)． 7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 8．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . 9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R .10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？ 11．a ＝0，则a ·b ＝0，但由a ·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b ，a ·b ＝0.12．由a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．。

倒数第5天 解析几何[保温特训] (时间：45分钟)1．抛物线y ＝8x 2的焦点坐标是( )．A ．(2，0)B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0 解析 抛物线y ＝8x 2的标准方程为：x 2＝18y ，则2p ＝18，所以p 2＝132，又抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，132. 答案 C2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 把点(1，2)代入四个选项，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴，排除C. 答案 A3．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( )．A.17B.15C.174 D.154解析 依题意知b a ＝4，则e ＝ca＝1＋b 2a2＝17.答案 A4．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(x －b )2＝2相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 据已知直线与圆相切的充要条件为：|a －b ＋2|2＝2⇒|a －b ＋2|＝2⇒a ＝b 或a－b ＝－4，故a ＝b 是直线与圆相切的充分不必要条件． 答案 A5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )．A.72B.32 C.3 D ．4 解析 F 1(－3，0)，|PF 1|＝1－－324＝12， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.答案 A6．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析 由|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案 C7．若直线过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )．A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0. 答案 D8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )．A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ． 5x 2－5y24＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，∴c ＝1，又e ＝5，a ＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，所以该双曲线方程为5x 2－5y24＝1.答案 D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1得x 20＝1， 所以b a＝2，e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.答案 C10．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )．A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋()y －12＝1C ．(x －1)2＋()y －32＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析 依题意设圆心C (a ，1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1. 答案 B11．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )．A. 3B. 6 C ．2 D ．3解析 y 2＝4x 的准线x ＝－1，焦点(1，0)，A 点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－a 2a ，△FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，△FAB 为等腰直角三角形，由几何关系得1－a2a＝2，解得a 2＝15，c 2＝a 2＋b 2＝65，从而求得e ＝ 6.答案 B12．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ，3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C.()－∞，－22∪(22，＋∞) D.()－∞，－2∪()2，＋∞解析 直线AB 方程为y ＝4t x －1，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，直线与抛物线没有公共点，故Δ＝4t2－2<0，解得t >2或t <－ 2.答案 D13．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________.解析 由a (a －1)－2×1＝0得：a ＝－1，或a ＝2，验证，当a ＝2时两直线重合，当a ＝－1时两直线平行． 答案 －114．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析 依题意知直线l 过定点P (1，2)，圆心C (2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ·2－11－2＝－1，得k ＝1.答案 115．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2ay －6＝0，x 2＋y 2＝4，得2ay ＝2，即y ＝1a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋()32＝22，解得a ＝1. 答案 116．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________． 解析 不妨设|F 1F 2|＝1.∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°，∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1，∴e ＝ca＝2－ 3. 答案 2－ 3[知识排查]1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况． 2．判断两直线的位置关系时，注意系数等于零时的讨论．3．直线的斜率公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式记住了吗？4．直线和圆的位置关系利用什么方法判定(圆心到直线的距离与圆的半径的比较)？两圆的位置关系如何判定？5．截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？6．记得圆锥曲线方程中的a ，b ，c ，p ，c a的意义吗？弦长公式记熟了吗？ 7．离心率的大小与曲线的形状有何关系？等轴双曲线的离心率是多少？ 8．在椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点，三点连线所组成的直角三角形． 9．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦．10．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式Δ≥0的限制．(求交点、弦长、中点、斜率、对称，存在性问题都在Δ>0 下进行)。

倒数第8天 三角与向量[保温特训]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－55，则tan α＝________.解析 利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－255－55＝2.答案 22．sin 2π4－cos 2π4的值是________．解析 利用二倍角的余弦公式求解．sin 2π4－cos 2π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＝0.答案 03．已知tan(α＋β)＝12，tan β＝－13，则tan α＝________. 解析 tan α＝tan[(α＋β)－β]＝12＋131－16＝1.答案 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则△ABC 的面积为________． 解析 由正弦定理得sin B ＝b sin Cc ＝12，所以B ＝π6＝A ，所以a ＝b ＝1，故△ABC 的面积为12ab sin C ＝34. 答案 345．设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋15BC →，则S △APD S △ABC＝________.解析 取BC 的中点为P ，则AD →＝14(AB →＋AC →)＝12AP →，则点D 是中线AP 的中点，所以S △APD S △ABC ＝110. 答案 1106．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝________.解析 因为函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝π2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π2＝12.答案 127．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________.解析 由诱导公式可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝29－1＝－79. 答案 －798．若α，β∈(0，π)，cos α＝－750，tan β＝－13，则α＋2β＝________. 解析 由条件得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－17，tan β＝－13，所以tan 2β＝－231－19＝－34，tan(α＋2β)＝－17－341－328＝－1，所以α＋2β＝11π4. 答案 11π49．在△ABC 中，若A ＝30°，b ＝2，且2BA →·BC →－AB →2＝0，则△ABC 的面积为________．解析 因为2BA →·BC→－AB →2＝0，所以2ac cos B －c 2＝0⇒a 2＋c 2－b 2＝c 2⇒a ＝b＝2，所以∠A ＝∠B ＝30°，∠C ＝120°，所以△ABC 的面积为12×2×2×32＝3. 答案310．已知函数f (x )＝1－3sin 2x ＋2cos 2x ，则函数y ＝f (x )的单调递减区间为________．解析 因为f (x )＝1－3sin 2x ＋2cos 2x ＝2＋cos 2x －3sin 2x ＝2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z 时函数递减，所以递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )11．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BDC ＝120°.BD ＝CD ＝10米．并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.解析 在△BCD 中，由余弦定理可得BC ＝103，在直角△ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝30. 答案 3012．在△ABC 中，AB 边上的中线CO ＝2，若动点P 满足AP →＝sin 2θ·AO →＋cos 2θ·AC →(θ∈R )，则(P A →＋PB →)·PC→的最小值是________． 解析 因为AP →＝sin 2θ·AO →＋cos 2θ·AC →(θ∈R )，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以C 、P 、O 三点共线，且sin 2θ，cos 2θ∈[0,1]，所以点P 在线段OC 上，设|PO →|＝t (t ∈[0,2])，故(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2t (2－t )·(－1)＝2t 2－4t ，当t ＝1时，取最小值－2. 答案 －213．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，2]，则b －a 的取值范围是________．解析 由条件可得，长度最小的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，此时b －a ＝3π4，长度最大的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，此时b －a ＝3π2，即b －a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π214．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC 的最大值为________．解析 由三角形的面积公式得12c 2＝12ab sin C ⇒c 2ab ＝sin C ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ⇒a b ＋b a ＝c 2ab ＋2cos C ＝sin C ＋2cos C ，所以AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC ＝2sin C ＋2cos C ＝22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4，最大值是2 2. 答案 2 2[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x 的系数的正负，最好经过变形使x 的系数为正．3．求y ＝sin ωx 的周期一定要注意ω的正负． 4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？ 5．由y ＝sin x ―→y ＝A sin (ωx ＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)． 7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 8．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . 9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R .10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？ 11．a ＝0，则a ·b ＝0，但由a ·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b ，a ·b ＝0.12．由a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．。

填空题押题练E 组1．复数：5(1＋4i )2i (1＋2i )＝________. 解析 5(1＋4i )2i (1＋2i )＝5(－15＋8i )－2＋i ＝5(－15＋8i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝5(38－i )5＝38－i. 答案 38－i2．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析 高三年级总人数为：900.05＝1 800人；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案 8103．已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________． 解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4. 答案 44．曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为________．解析 根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率．45．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ，即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确；若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误；若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误；与若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确．答案 ①④6．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ＋y ≤1，x －y ＋1≥0y ≥0，，则x 2＋(y ＋1)2的最大值与最小值的差为________．解析 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间距离公式求解．不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当(x ，y )为(0,1)时，x 2＋(y ＋1)2取得最大值4；当(x ，y )为(0,0)时，x 2＋(y ＋1)2取得最小值1，故最大值与最小值的差是3.答案 37．一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________．解析 应用例举法共有16种等可能情况，(1,1)(1,2)，(1,3)(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种情况，所以所求概率为34.48．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是________．解析阅读算法中流程图知：运算规则是S＝S×k2故第一次进入循环体后S＝1×32＝9，k＝3；第二次进入循环体后S＝9×52＝225＞100，k＝5.退出循环，其输出结果k＝5.故答案为：5.答案 59．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为________．解析利用a1，a2，a5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，所以a1，a2，a5成等比数列⇒a22＝a1a5⇒(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)⇒d＝2a1，代入不等式a1＋a2＋a5＞13解得a1＞1.答案(1，＋∞)10．已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③a－b＞a －b；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．解析因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒ab＞b＞0，而(a－b)2－(a－b)2＝a－b－a－b＋2ab＝2(ab－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b 3＝35＜2a 2b ＝36，故④不正确．答案 ①②③11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.答案 32412．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．解析 由题意可以求出sin C ，得到∠C 有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值．由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C为三角形的内角，所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为∠B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3.答案 533或－ 313．定义集合M 、N 的新运算如下：Mx N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但x ∉M ∩N }，若集合M ＝{0,2,4,6,8,10}，N ＝{0,3,6,9,12,15}，则(Mx N )xM 等于________． 解析 由定义得：Mx N ＝{2,3,4,8,9,10,12,15}，所以(Mx N )xM ＝N .答案 N14．若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx 2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．解析根据新定义逐一判断．因为函数y＝e x，x∈R递增，且e x＞x，x∈R 恒成立，函数y＝e x，x∈R不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f(x)＝x3存在稳定区间[－1,0]或[0,1]或[－1,1]，故②存在“稳定区间”；函数f(x)＝cos πx2存在稳定区间[0,1]，故③存在“稳定区间”；函数f(x)＝ln x＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x＋1≤x，x＞0恒成立，函数f(x)＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．答案②③。