2018春人教版数学九年级下册第27章《相似》单元测试卷1

人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（）A．11B．﹣C．D．﹣112．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．3．下列图形一定是相似图形的是（）A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（）A．1B．2C．D．37．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．138．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知：＝，则＝．10．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．11．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．15．△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，点E在AB边上，∠BEC＝2∠ABC，若AB＝9，DE＝1，则AD的长为．16．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．证明：∵＝，∴+1＝+1．∴＝．根据以上方法，解答下列问题：（1）若＝，求的值；（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．19．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．21．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，∴x＝3y，∴＝＝．故选：C．2．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．3．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．4．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．5．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，A、三边之比为1：：，选项A符合题意；B、三边之比：：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．故选：A．6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得：EF＝3，∴DH＝EF＝×3＝，故选：C．7．解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，∴AD＝9，∴AB＝AD+BD＝13．故选：D．8．解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵＝，∴＝，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，故答案为：5．11．解：如图1，点C在线段AB上，过E作EF∥AB交OC于F，∵点E为OA边的中点，EF∥AB，∴OF＝CF，∴EF＝AC，∵BC＝3AC，∴BC＝6EF，∵EF∥AB，∴，∴CG＝6FG，∴FC＝OF＝7FG，∴OG＝OF+FG＝8FG，∴＝＝；如图2，点C在线段BA的延长线上，过E作ED∥BC交OC于D，∵点E为OA边的中点，ED∥BC，∴OD＝CD，∴DE＝AC，即AC＝2DE，∵BC＝3AC，∴BC＝6DE，∵ED∥BC，∴，∴CG＝6DG，∴CD＝OD＝5DG，∴OG＝OD﹣DG＝4DG，∴＝＝；故答案为：或．12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当时，△ABP∽△CDP，即；解得x＝，BP＝14﹣＝8.4；当时，△ABP∽△PDC，即；整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．13．解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t≤12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t≤12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t≤12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；当t＝12时，此时E点在AC的中点，DE∥AB，此时△CDE是直角三角形．综上可知t的值为4或7或9或12，故答案为：4或7或9或1215．解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则CE＝CF，∴∠CFE＝∠BEC＝2∠ABC，∵∠CFE＝∠ABC+∠BCF，∴∠ABC＝∠BCF，∴BF＝CF，∵CD⊥AB，∴DF＝DE＝1，设BF＝CF＝x，∵AB＝9，∴AD＝8﹣x，∵∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD•BD＝x（8﹣x），又∵CD2＝CF2﹣DF2＝x2﹣12，∴x（8﹣x）＝x2﹣12，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴BF＝，∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝9﹣﹣1＝．故答案为：．16．解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，∴A（6，6），B（8，2），∵E是AB中点，∴E（7，4），故答案为：（7，4）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝．（2）∵＝，∴﹣1＝﹣1，∴＝，∵＝，∴÷＝÷，∴＝．18．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．21．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．22．解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．。

ABCPD(第6题图)(第3题图)(第4题图)A BCDEF人教版数学九年级下《第27章相似》单元检测题有答案一、选择题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且BC ∶B ′C ′＝ AC ∶A ′C ′，若AC ＝3，A ′C ′＝1.8，则△ABC与△A ′B ′C ′的相似比是( ).A ．2∶3B ．3∶2C ．5∶3D ．3∶5 2. 下列说法正确的是（ ）.A ．所有的矩形都是相似形B ．所有的正方形都是相似形C ．对应角相等的两个多边形相似D ．对应边成比例的两个多边形相似 3. 若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为( ).A . 1:2B . 1:4C . 1:5D . 1:16 4. 如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）. A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m5．如图，已知△ABC 与△ADE 中，则∠C ＝∠E , ∠DAB ＝∠C A E,则下列各式①∠D =∠B , ② AF AC ＝ AD AB , ③DEBC＝AE AC ,④ AD AE ＝ ABAC中，成立的个数是（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图， AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4， CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于 （ ）． A ．7011 B ．407 C ．704D ．40117．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）.A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对（第7题图）(第13题图)ACBD E (第11题图) DCB A(第12题图) (第7题图)8．如图，∠ABD =∠BDC =90°，∠A =∠CBD ，AB =3，BD =2，则CD的长为（ ）A ．43B ． 34C ．2D ．3二、填空题9．若///C B A ABC ∆∆∽，且∠A ＝45°，∠B ＝30°，则∠C ′＝_________ ．10.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2:3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________.10．在一张比例尺为1∶20的图纸上，某矩形零件的面积为12cm 2；则这个零件的实际面积为 cm 2．11．如图，在Ｒt △ABC 中,∠B =90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是___________．12.如图，BC 平分∠ABD ，AB =12，BD =15，如果∠ACB =∠D ，那么BC 边的长为 .13.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 为角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．写出图中一对相似比不为1的相似三角形并加以证明．16.已知△ABC ∽△ADE ，AB =30cm ，AD =18cm ，BC =20cm ，∠BAC =75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE 和∠AED 的度数；D EA（2）求DE 的长．18.如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC 向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A 1B 1C 1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应点A 1（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A 2B 2C 2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．19.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B . （1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =6，AF =4，求AE 的长．九年级数学单元检测题答案(第27章)一、选择题(本大题共8小题.每小题4分，共32分) 1.C 2.B 3.A 4. A 5.C 6.D 7.D 8.B 二、填空题(本大题共6小题.每小题4分，共24分)•9.105 ° 10.2:3 11. 4800 12. DE AC 13.14. 22.5三、解答题（本大题共5小题，共44分） 15. (6分)解：△ABC ∽△BCD ；证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°． ∵BD 为角平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ． 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD ．16. (8分)解：（1）∵∠BAC =75°，∠ABC =40°，∴∠C =180°﹣∠BAC ﹣∠ABC =180°﹣75°﹣40°=65°， ∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE =∠ABC =40°，∠AED =∠C =65°；（2）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠A ＝∠BCD ．在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°．∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．18. (10分)（1）△A 1B 1C 1如图所示，其中A 1的坐标为：（0，1）；（2）符合条件△A 2B 2C 2有两个，如图所示．∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠C +∠B =180°，∠ADF =∠DEC ． ∵∠AFD +∠AFE =180°，∠AFE =∠B ， ∴∠AFD =∠C ． ∴△ADF ∽△DEC ．（2）解：∵□ABCD ，∴CD =AB =8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ，∴DE AD =CD AF ，∴DE =AFCDAD ∙==12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE =22AD DE -=22)36(12-=6．。

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

第二十七章相似全章测试一、选择题1.如图，ciABCD 中，EF 〃AB, DE : EA=2 : 3, EF = 4,则 CD 的长为（）16A. —B. 8C. 10D. 163 【答案】CEF DE 2【解析】试题分析：由EF 〃AB 可得△ DEF^ADAB,根据相似三角形的性质可得一=——=-,再由EF=4AB AD 5 即可得AB=10,根据平行四边形的性质可得CD=AB=10.故答案选C. 考点：相似三角形的判泄及性质；平行四边形的性质.2.如图，ZACB=ZADC=90°, BC=a, AC=b, AB=c, S^A ABC^ACAD,只要 CD 等于（）ab C.— c【解析】解:假设厶ABC-A CAD, 即・・・要使△ ABC-ACAD,只要CD 等于故AC ABAB cc3.在菱形ABCD'P ，BFE 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC=2BE,则一的值是（）Fl ）c a【答案】A选A.1 1 1A•— B•— C. _2 3 41 D.-5【答案】B【解析】解：如图，VABCD 是菱形，月.4D=BC, •••△BEFSAD4F,BF BE 1・：EC=2BE, ：•吟BE,即 AZ>3BE, 故选 B.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性 质得出线段的长度关系.4.己知：如图，DE 〃BC, AD:DB=1:2,则下列结论不正确的是（）【答案】ADE AD AD I•••△ADESGBC ,・••芫荷莎面=亍・・•相似三角形周长比等于相似比,:・B, C 选项正确，：•四边形BCED 的面积=ZBC 的面积-AADE 的面积，•ID 选项正确. 故选A.5.如图，铁路道口的栏杆短臂长lm,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m竺=匹又FD ADAADE 的面积_1AABC 的面积9 AADE 的周长_ 1 AABC 的周长3 AADE 的面积 _ 1 四边形BCED 的面积8 面积比为相似比的平方, A' ^=2 B - 略不计）（ ）•【答案】C【解析】试题分析：设长臂端点升高X 米，则—/.解得：x 二&故选C. x 16 考点：相似三角形的应用. 止方形ABCD 与止方形BEFG 是以原点0为位似屮心的位似图形，且相似比【解析】试题解析：・・•正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为£ AD 1OA 1 OA 1 , z ,•••— , •: BG=J :.AD=BC=2, •: AD//BG, ：./XOAD^/XOBG, :.― 一，••- ------ ,解得：04=1, BG 3 OB 3 2 + OA 3 :・0B=3, ・・・C 点坐标为：（3, 2）,故选A.7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼J 它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原來的鱼位似C. 将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以丄，得到的鱼与原来的鱼位似2 【答案】C【解析】解：平面直角樂标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同吋乘以同一个非0的实数匕得到的图形 与原图形关于原点成位似图形，位似比是冈・若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点 对称.故选C ・8. 对于平面图形上的任意两点P, Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P'，Q',保持PQ=P r Q\我为点A, B, E 在x 轴上, 若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为（C. (2, 2)D. (4, 2)6.如图，在平面直角坐标屮,y个■屮 ■ I* JI ■ !■丄们把这种变换称为“等距变换”，下列变换屮不一定是等距变换的是（） A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似【答案】D【解析】试题解析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换〃； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换〃； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选D.在格点上）为顶点的三角形与AABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） A. (6, 0) B. (4, 2) C. (6, 5) D. (6, 3) 【答案】D【解析】解：•・•点人、B 、C 的坐标分别是(1, 7) , (1, 1) ,(4, 1),・・・AB=6, BC=3, ZABC=90°.AB BC 3 AED=4, CD=2, ZEDO90。

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分120分,时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.方框中的两个图形不是位似图形的是( )2.若两个相似三角形周长的比为9：25，则它们的面积比为( )A.3:5B.9:25C.81:625D.以上都不对3.如图,△ABC中,E是BC 中点,AD 是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则 FC的长为( )A.11B.12C.13D.144.如图,在△ABC中,高BD,CE 交于点O,下列结论错误的是( )A. CO·CE=CD·CAB. OE·OC=OD·OBC. AD·AC=AE·ABD. CO·DO=BO·EO5.如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是( )A. EG=4GCB. EG=3GCGC D. EG=2GCC.EG=526.如图，在长为8cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A.2 cm²B.4 cm²C.8cm²D.16 cm²7.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A.(-2a,-b)B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-2b)8.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点 A恰好落在BC 边上的A₁处，则点 C的对应点C₁的坐标为( )A.(−95,125)B.(−125,95)C.(−165,125)D.(−125,165)10.如图,已知AB,CD,EF都与BD 垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么 EF 的长是 ( )A.13B.23C.34D.45二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.已知c4=b5=a6≠0,则b+ca的值为 .12.如图,在△ABC中,MN∥BC,分别交 AB,AC 于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,,则 MN的长为13.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点AC=3AD,AB=3AE,,点 F 为 BC 边上一.点，添加一个条件：，可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)14.已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a的值为 .15.如图,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD′E′,，点D的对应点落在边BC上，已知BE′=5,D′C=4,则BC的长为 .16.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)和点 B(0,3),点C是AB 的中点,点 P在折线AOB 上,用直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似,则点 P 的坐标是 .17.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且(CM⊥AB,M 为垂足AM=13AB.若四边形 ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是 .18.如图,CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线,垂足为点 O,CE 与DA 的延长线交于点 E.连接AC,BE,DO,DO与AC 交于点F,则下列结论:①四边形 ACBE 是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF:BE=2:3;④S四边形AFOE :S△CD=2:3.其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)小颖用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离.EA=21m,当与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面的高度DC=1.6m,，请你帮助小颖计算出教学大楼的高度AB是多少米?(注：根据光的反射定律，有反射角等于入射角)20.(8分)已知a+bc =a+cb=b+ca=k,求k的值.21.(10分)某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底长分别是10m，20m的梯形空地上种植花草，如图，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为 10元/m²的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由.22.(10分)如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC,EF的中点,求AD的值.BE23.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AC=AD,AC 平分∠BAD,点 P 是AC 延长线上一点,且PD⊥AD.(1)求证:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD 相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.24.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为AB的中点.(1)求证:AC²=AB⋅AD;B(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求AC的值.AF参考答案1. D2. C3. C4. D5. B6. C7. D8. B9. A10. C12.111.3213.∠A=∠BFD(答案不唯一)14.1215.2+√3416.(2,0)或 (0,32)或 (78,0)17.1 18.①②④19.解:根据光的反射定律,有∠1=∠2 所以∠BEA=∠DEC.又∠A=∠C=90°,所以△BAE∽△DCE.所以 BA DC =AECE所以 BA =AECE⋅DC =212.5×1.6=13.44(m ). 答:教学大楼的高为13.44 m.20.解:当a+b+c≠0时,由a+b c=a+c b=b+c a=k得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2;当a+b+c=0时,有a+b=--c则a+b c=−c c=−1此时k=--1.综上可知，k的值是2或-1.21.解:不够用.理由:在梯形ABCD中因为AD∥BC,所以△AMD∽△CMB.因为AD=10m,BC=20m所以S A对DS BMC =(1020)2=14.因为S AMD=500÷10=50(m2),所以S BC=200m2.还需要资金200×10=2000(元),而剩余资金为2 000-500=1500(元),1500<2000,所以资金不够用.22.解:如图,连接OA,OD∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O为 BC,EF 的中点∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30°,∠BAO=30°∴OD:OE=OA:OB=√3:1.∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA,即∠DOA=∠EOB,∴△DOA∽△EOB∴OD:OE=OA:OB=AD:BE=√3: 1.∴ADBE 的值为√3.23.(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD ∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°∴∠BDC=∠PDC.(2)解:如图,过点C作CM⊥PD于点M.∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P∴CPMAPD,∴CMAD =PCPA.设CM=CE=x∵CE:CP=2:3,∴PC=32x.∵AB=AD=AC=1∴x1=32x32x+1,解得x=13∴AE=1−13=23.24.(1)证明:∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB.又∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB.∴ADAC =ACAB,∴AC2=AB⋅AD.(2)证明:∵E为AB的中点∴CE=12AB=AE,∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB∴∠CAD=∠CAB.∴∠DAC=∠ECA.∴CE‖AD. (3)解:∵CE∥AD∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF∴AFDCFE,∴ADCE =AFCF.∵CE=12ΛB,∴CE=12×6=3.又∵AD=4,由ADCE =AFCF,得43=AFCF.∴AFAC =47,∴ACAF=74.。

人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练一．选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( )图K－6－3图K－6－48．如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )图K－10－6A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)9．如图K－14－4所示，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )图K－14－4A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶910．观察图K－6－1中各组图形，其中相似的图形有( )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－412．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－513．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－816.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－1119．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1120．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．图K－12－821. 如图K－7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB＝20米，AD＝30米，试问当小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？(A′B′与AB是对应边)图K－7－422．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K－12－9参考答案一、选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( C )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( B )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( A )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( A )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( D )图K－6－3图K －6－48．如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)9．如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( A )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶910．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－4[答案] (1，2)12．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 2913．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－2[答案].5＋1214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．[答案] (4，6)或(－4，－6)15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是 三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形． (2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－11[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.19．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－11解：∵矩形ABCD 的周长为24， ∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4.20．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE ，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE ，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.21. 如图K －7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB ＝20米，AD ＝30米，试问当小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？(A ′B ′与AB 是对应边) 图K －7－4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似，由相似多边形的性质可知，这两个矩形的对应边成比例，即可求出相似比，再由相似比求出x 与y 的比值．解：由题意可知，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似(A′B′与AB 是对应边)，则应有AB A′B′＝BC B′C′，即2020＋2y ＝3030＋2x ，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，解得x y ＝32.22．如图K －12－9 所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K －12－9解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.∵∠DCF ＝30°，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD 2－DF 2＝2 3 米． 根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米，∴BE ＝(14＋2 3)米．∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ，∴△DFE ∽△ABE ，∴DF AB ＝EF BE，∴2AB ＝4BE， ∴AB ＝12BE ＝7＋3≈8.7(米)． 即电线杆的高度约为8.7米．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ， 若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比=___________．15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．2.244 1.520．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC 边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•A C；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．答案（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．【答案】A【解析】选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确．故选A．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形【答案】D3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．【答案】C【解析】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；B．∠B=∠E正确，故本选项错误；C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；D．正确，故本选项错误．故选C．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m【答案】A解得y=16000（cm）=160（m）∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)【答案】D6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以,,所以，所以△DEF∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BE，∵CG∥AE，∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，∴，，CF=AG，∴DF=BG，，∴选项A、B正确；∵AD∥BE，∴，∴，∴选项C正确，D不正确；故选D．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．【答案】25【解析】根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB . 12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.【答案】3.2 【解析】利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x ，得到AE=DE=DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1=10-3x ，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=32x ，然后利用勾股定理列式求出E 1F=132x ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=85，从而可得AD 的长为2×85=165=3.2． 13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD的长为 .【答案】23．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．【答案】1：4【解析】根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．【答案】1：2【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】152【解析】设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下的矩形的长为y ，宽为(x －y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．【答案】1．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．【答案】13【解析】根据菱形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，求出AD=3BE ，根据相似三角形的判定得出△AFD ∽△EFB ，根据相似得出比例式BF BE DF AD =，代入求出即可求得结果为13． 19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．41.52.24【答案】3.08 【解析】根据三角形相似的性质可得：x24.25.144=+，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论： ①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB 是正三角形．其中正确结论的序号是．【答案】①②③⑤在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=22BF BP +=22343⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433，∵DE=1，∴PF=433DE ，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC=3，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=3，∴S 矩形ABCD =AB×AD=2×3=23，∵BF=2，BP=433，∴S △BPF =12BF×BP=12×2×433=433， ∴4S △BPF =1633，∴S 矩形ABCD =≠4S △BPF ，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm ，BD=4cm ，求AC 的长．【答案】4622．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ，按要求画出格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2． （1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1；（2）以A 1为一个顶点，在网格内画格点△A 1B 2C 2，使得△A 1B 1C 1∽△A 1B 2C 2，且相似比为1：2．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【答案】4．【解析】∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD DEAB AC，∴DE=BD ACAB⋅=8714⨯=4．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【答案】8米【解析】如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG AG EH AH=又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，所以1.628EH=，EH=6.4，∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.【解析】(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ADBP=APBC.即AD·BC=AP·BP．(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP=APBC.，∴AD·BC=AP·BP．(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP，又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。

第二十七章相似一、选择题1.如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米2.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是() A． 1∶1B． 1∶2C． 1∶3D． 1∶43.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是()A． 8 cmB． 10 cmC． 20 cmD． 60 cm4.下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是()A．点EB．点FC．点GD．点D5.如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，不能添加的条件是()A．DE∥BCB．AD·AC＝AB·AEC．AD∶AC＝AE∶ABD．AD∶AB＝DE∶BC6.下面各组的两个比不能组成比例的是()A． 8∶7和16∶14B． 0.6∶0.2和3∶1C． 19∶110和10∶9D． 0.2∶1.2和∶2.47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.如图，线段BC的两端点的坐标分别为B(3,7)，C(6,3)，以点A(1,0)为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为()A． (1，)B． (2，)C． (1,2)D． (2,2)9.已知2∶x＝3∶9，则x等于()A． 2B． 3C． 4D． 610.已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为()A． 1∶4B． 4∶1C． 1∶2D． 2∶1二、填空题11.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距 4.7 m，则路灯AD的高度是____________．12.已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是____________．13.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．14.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的__________．15.下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是__________．16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．17.已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________．18.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)，在方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，则点B的对应点B′的坐标为______________．19.一个矩形的长为a，宽为b(a＞b)，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么＝__________.20.如图是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基．一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边，经检查，地板AB刚接触到高的一边的路面边缘P，已知AB＝130 cm，轮子A、B处在地板以下部分与地面的距离AC＝BD＝30 cm，两路面的高度差为50 cm.设路面是水平的，则PC的长是____________ cm.三、解答题21.如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE.22.如图所示，Rt△ABC～Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB ＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？23.将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：24.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.(3)求出A2B2、C2三点的坐标．25.如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ABC与△DEF是否相似？为什么？26.如图，已知，直线l1，l2，l3依次截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点E、B、F，截直线l6于点G、H、F，且l1∥l2∥l3，BE＝2，BF＝4，AB＝2.5，FG＝9.求BC、FH、GH的长．27.如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE＝AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G.(1)求证：BF＝AF；(2)若BD＝12 cm，求DG的长．28.如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E.(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明(不添加其他线条的情况下)；(2)若∠D＝45°，BC＝4，求⊙O的面积．答案解析1.【答案】D【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y.∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴＝，＝，即＝，∴x＝5；又＝，∴y＝1.5，∴x－y＝3.5，故变短了3.5米．故选D.2.【答案】D【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是1∶4.故选D.3.【答案】A【解析】∵DE∥AB，∴CD∶AC＝DE∶AB，∴40∶60＝DE∶12，∴DE＝8 cm，故选A.4.【答案】D【解析】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D.故选D.5.【答案】D【解析】A.当DE∥BC，则△AED∽ACB，所以A选项错误；B．当AD·AC＝AB·AE，即AD∶AB＝AE∶AC，而∠A公共，则△AED∽ACB，所以B选项错误；C．当AD∶AC＝AE∶AB，而∠A公共，则△AED∽△ABC，所以C选项错误；D．AD∶AB＝DE∶BC，而它们的夹角∠ADE和∠ABC不确定相等，则不能判断△AED与△ABC相似，所以D选项正确．故选D.6.【答案】C【解析】8∶7＝16∶14,0.6∶0.2＝3∶1,0.2∶1.2＝0.4∶2.4，而19∶110≠10∶9，所以A、B、D选项中的比可组成比例，而C选项中的比不能组成比例．故选C.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】B【解析】∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，以点A(1,0)为位似中心，点B的坐标为(3,7)，∴点D的坐标为(4×，7×)，即(2，)，故选B.9.【答案】D【解析】∵2∶x＝3∶9，∴3x＝18，∴x＝6，故选D.10.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4，故选A.11.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为x m，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，即＝，解得DF＝x－1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴＝，即＝，解得DN＝x－1.5，∵两人相距4.7 m，∴FD＋ND＝4.7，∴x－1.8＋x－1.5＝4.7，解得x＝4.12.【答案】(，0)【解析】∵EO＝1，DC＝2，∴△ACD与△GOE的位似比是2∶1，∴AD∶OG＝2∶1，∵△ADC是等腰直角三角形，∴AD⊥x轴，∴AD∥OG，∴△OPG∽△DPA∴PD∶OP＝2∶1，∵OD＝2，∴OP＝，∴位似中心P点的坐标是(，0)．13.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4,2)或(－4，－2)．14.【答案】丙【解析】应该为丙，因为当R在丙的位置时，若设每一个小正方形的边长为1，则△PQR的三边分别为4,2，2.△ABC的各边分别为2，，.各边对应成比例且比例相等均为2，则可以得到两三角形相似．15.【答案】②③【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．16.【答案】【解析】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且＝，故的值为.17.【答案】45【解析】∵△DEF∽△ABC，△ABC的三边之比为2∶3∶4，∴△DEF的三边之比为2∶3∶4，又∵△DEF的最大边长为20，∴△DEF的另外两边分别为10,15，∴△DEF的周长为10＋15＋20＝45，18.【答案】(－5，－5)或(11,11)【解析】当B在第三象限，点B的对应点B′的坐标为(－5，－5)，当B在在第一象限，点B的对应点B′的坐标为(11,11).19.【答案】【解析】由题意，得＝，整理，得a2－ab－b2＝0，解得a＝b，则＝，20.【答案】72【解析】已知如图：由题意可知四边形BEFD是矩形，AC＝30 cm，CF＝50 cm，∴BD＝EF＝30 cm，∴CE＝20 cm，∵AB＝130 cm，AE＝50 cm，∴BE＝＝120 cm，∵CP∥BE，∴△ACP∽△AEB，∴＝，∴＝，∴CP＝72 cm.21.【答案】解∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC∶S△ADE＝，∴20∶S△ADE＝，解得S△ADE＝.【解析】由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可求S△ADE.22.【答案】解(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝AB＝7.5，∵Rt△ABC～Rt△DFE，∴＝，即＝＝，∴DF＝5，∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝DF＝2.5；(2)∵＝＝，相似比为＝＝，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据相似三角形的性质解答即可．23.【答案】解【解析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．24.【答案】解(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；(3)A2、(3,6)；B2(5,2)；C2(11,4)；【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用图形得出各点坐标即可．25.【答案】解△ABC∽△DEF.理由如下：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.【解析】三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，根据题目给出的三角形的三边长可求出解．26.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝，∴BC＝5，＝.∵FG＝9，∴GH＝3，HF＝6.【解析】由l1∥l2∥l3，得到＝＝，代入数据即可得到结果．27.【答案】(1)证明∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠E＝∠BCF.∵AE＝AD，∴AE＝BC.∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF≌△BCF.∴BF＝AF.(2)解∵BC∥DE，∴BC∶DE＝BG∶DG.∵DE＝2BC，∴DG＝2BG.∴DG＝BD.∵BD＝12，∴DG＝8.【解析】(1)欲证BF＝AF，只需证△AEF≌△BCF即可．(2)DG是BD的一部分，要找DG与BD的关系，可找DG与BG的关系，由BC∥DE可以得出．28.【答案】解(1)结论：△ABE∽△DCE，证明：在△ABE和△DCE中，∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.(2)作⊙O的直径BF，连接CF，∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°.∴△BCF是等腰直角三角形．∵FC＝BC＝4，∴BF＝4.∴OB＝2.∴S⊙O＝OB2·π＝8π.【解析】(1)容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；(2)求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．。