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1.矩阵的概念

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矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]

矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]

所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质 定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2， ，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2

第一章 矩阵

第一章 矩阵

(c)
对称矩阵的和、差、数乘仍是对称矩阵； 反对称矩阵的和、差、数乘仍是反对称矩阵，
但：设 n 方阵 A，B 对称，则 AB 对称 ⇔ AB = BA ； 设 对称 ⇔ AB = BA ． 另: A 为任意级方阵，则 A + A′ 为对称矩阵， A − A′ 为反对称矩阵, 且 A 可表为对称矩阵与反对称矩阵之和 A =
⎛ Er ⇔ 对任意 A ∈ P m×n 都可以经过行和列的初等变换化为 ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ Er ⇔ 存在可逆矩阵 U ∈ F m× m ， Q ∈ F m×n ，使得 UAQ = ⎜ ⎜ 0 ⎝
3．可逆矩阵
（1）定义：设 A ∈ P n×n ，若存在 B ∈ P n×n ，使得 AB = BA = E ，则称 A 是可逆矩阵，并 称 B 是 A 的逆矩阵，记为 B = A −1 。 （2）一些性质：
a12 ⎛ b11 ⎜ ⎜b L ain )⎜ 21 L ⎜ ⎜b ⎝ n1 b12 b22
(ai1
ai 2
L
an2
L b1m ⎞ ⎟ L b2 m ⎟ = (ci1 L L⎟ ⎟ L abm ⎟ ⎠
ci 2 L cin ) ，
及其它分块方法． （ii）可逆分块矩阵的逆： ⎛ A1 ⎜ ⎜ 设A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ，其中 Ai 为方阵，则 O ⎟ As ⎟ ⎠
A 可逆 ⇔ Ai ≠ 0, i = 1,L , s ⇔ Ai可逆, i = 1,L , s ，且
⎡ A1−1 ⎢ −1 A =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−1 A2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ As−1 ⎥ ⎦．
2
主讲：陈顺民
数学竞赛：高等代数部分
另：两个相同分法的准对角矩阵的和、积仍然是分块对角矩阵，且主 对角线上的子块是对应子块的和、积。 （iii）一般： AB ≠ BA ； ( AB ) ≠ A k B k （但不排除特殊情况）

1 矩阵及其运算单位单位

1 矩阵及其运算单位单位

§1 矩阵及其运算教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。

能熟练正确地进行矩阵的计算。

知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。

比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。

对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。

若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。

如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。

今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。

这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。

由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（ 1）交换律：；（ 2）结合律：；（ 3）存在零元：；（ 4）存在负元：。

2 、数与矩阵的乘法：设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。

由定义可知：。

容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1 ）；（2 ）；（3 ）；（4 ）。

3 、矩阵的乘法：设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且。

线性代数知识点汇总1

线性代数知识点汇总1

第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。

A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

线性代数 第一章、矩阵

线性代数 第一章、矩阵

张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,

线性代数第一章 矩阵

线性代数第一章 矩阵

16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

第一章线性代数


2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)

第一章 矩阵

1、数乘
阳光普照
定义3 规定数 与矩阵 A [ai j ]mn 的乘积 A 为
A A [ai j ]m n .
显然
0 A O, 1 A A. A (1) A [ai j ]m n 称为矩阵A的负矩阵。
数乘满足运算律：
1 A A; 2 A A A;
二、矩阵的乘法运算
显然可考虑定义矩阵的乘法和除法为：
A B [ai j bi j ]mn
和
A B [ai j bi j ]mn ,
这是个著名的病态矩阵，称为Hilbert矩阵。
例 4 （图的邻接矩阵） 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干 航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用箭头从 A指向 B.
到达城市
A
出 发 城 市
B
C
D
A
B
C
A B C D

D
我们先用表格来表示航班图（见前页） 。表格中
太繁琐了，得换个思路！！
注意到二元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a21、a22
及常数项 b1、b2 所确定。
三元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33
及常数项 b1、b2、b3 所确定。
一般地，归纳可知，n元的线性方程组
将上式回代入
(1)
中，并整理，可得
b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12a21
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1

矩阵方程求解方法(1)

矩阵方程求解方法(1)矩阵方程求解方法是线性代数中的一个重要的应用领域，广泛应用于科学和工程领域。

矩阵方程求解方法从求解几何方程组的角度来看是极为高效和准确的。

以下是矩阵方程求解方法的一些相关内容。

一、矩阵的基本概念1.矩阵的定义：矩阵是由数域上的一个矩形数组组成，一般用大写字母表示。

2.特殊矩阵：上、下、对称、反对称矩阵、单位矩阵，正交矩阵等各有其意义。

3.矩阵的运算：矩阵的加、减、数乘、矩阵乘法等运算，是矩阵方程求解方法中不可或缺的基础。

二、矩阵方程的基本概念1.矩阵方程的定义：将矩阵和向量等符号的组合写在等于号两边，并以此来求解某个元素未知的矩阵或向量，这样的形式就称为矩阵方程。

2.线性矩阵方程：即矩阵乘积形式的矩阵方程，是矩阵方程求解方法中的主要研究对象。

3.非线性矩阵方程：除了线性矩阵方程之外，还有很多研究非线性矩阵方程的相关问题。

三、矩阵方程的求解方法1.高斯消元法求解线性方程组：应用系数矩阵按照高斯消元的方法，对方程组进行变形和化简。

2.矩阵分块和分解：将一个大矩阵分成若干个小矩阵，然后再通过特殊的运算将小矩阵分离出来，进而求解整个矩阵方程组。

3.特征值和特征向量：将矩阵方程表示为矩阵的本征值和本征向量的形式，利用相关算法来求解矩阵方程。

4.迭代法求解矩阵方程：迭代法是很多求解大型矩阵方程的常用方法，包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、广义逆的迭代法等等。

总之，矩阵方程的求解方法非常丰富多彩，不同的方法适用于不同的问题。

选择合适的求解方法才能更快、更准确地解决问题。

第1课时矩阵的概念与几种常见的变换


图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换
纵坐标不变，横坐标变 为原来的k倍 x轴方向的伸缩变换
横坐标不变，纵坐标变 为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
x x
(5)
y
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
(6)
x
y
y x
0 1 1 0
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
► 探究点：平面图形的变换 例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
椭圆 4x2＋y2＝1 在矩阵 A＝20 01对应的变换下得到曲线
F，求 F 的方程． 【思路】用矩阵变换的意义来解题．
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C 1 D 0
2 0 1 0
1 1 0 3
0 0 3 1
小结：
1.矩阵的概念及其表示、行、列、元素; 2.特殊矩阵：零矩阵，行矩阵，列矩阵； 3.相等矩阵; 4.用矩阵表示实际生活中的问题 ,数学问题.
A B C
0 1 3 4 思考:若像例1那样用矩阵M 表示 0 2 2 0 平面内的图形，那么该图形有什么几何特征？
例3.设A为二阶矩阵，且规定其元素aij i j， i 1, 2，j 1, 2. 试求A. 变式:设A为二阶矩阵，其元素满足aij a ji， i 1, 2，j 1, 2，a12 a21 2，试求A.
80 90 简记为 60 85
2 x 3 y mz 1, 3x 2 y 4 z 2 将方程组中
未知数x, y, z的系数按原来的次序排列
2 3 m 3 2 4
2 3 简记为 3 2
m 4
1 A= B=1 3 , , 3
2×1矩阵 1×2矩阵
80 90 211 a 3 a a 12 11 a 12 , (aij)= C= a22 60 85 321 2 a a 21 a 22
2×2矩阵 (二阶矩阵)
a m 13 a23 4
2×3矩阵
形如这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵①. 一般用黑体大写拉丁字母A、B、…来表示， 或者用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母) 叫做矩阵的行②,
0 1 A 1 0
例4.某公司负责从两个矿区向三个城市送煤:从甲
矿区向城市A, B , C 送煤的量分别是200万吨、 240 万吨、 160万吨;从乙矿区向城市A, B , C 送煤的量 分别是400万吨、 360万吨、 820万吨.请用矩阵表 示从两矿区向三个城市送煤的量.
解：
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A
城市B
城市C
200 240 160 400 360 820
例5.下面是由4个点A,B,C,D和连接 它们的一些线组成的一个图.
（1）试用矩阵A表示这4点间的直接连线条数； （2）矩阵A从结构上看有什么规律？
B A A 0 B C D
B 2
A C D
同型 矩阵
解
A B,
x 1, y 3, z 4.
特殊的矩阵
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵⑥.
a11
a12 称为行矩阵 （只有一行），
⑦
a11 ⑧ a 称为列矩阵 （只有一列）, 12 并用希腊字母， 来表示.
向量a ( x, y )和平面上的点（ P x, y )都可以 x 看成行矩阵 x y , 也可以看成列矩阵 . y x 我们常将 x y 称为行向量， y 称为列向量. 注:一般的
x 平面向量(x, y )的坐标常写成列向量 的形式. y
x y 既表示点P(x, y),也表示向量OP .
例1.用矩阵表示下图中的△ABC， 其中 y A(-1,0)，B(0,2)，C(2,0).
2
A 1
B
1
1
2 x mn 例2.已知A ,B y 3 2 x y 若A B , 试求x , y , m , n的值.
矩阵与变换 §2.1.2 矩阵的概念
普通高中数学课程标准系列4－2
y
3
P(1,3)
1 3
x
1 简记为 3
o
1
1 3 简记为1 3
初赛 复赛
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙 两选手初赛、复赛成绩如表： 将表中的数据按原来的 位置排80 90 60 85
C 2 x
x y , m n
例3.设A为二阶矩阵，且规定其元素aij i j， i 1, 2，j 1, 2. 试求A.
例1.用矩阵表示下图中的△ABC， 其中A(-1,0)，B(0,2)，C(2,0).
y B 2
A 1
1
1
1 2 0 C M 0 0 2 2 x
同一竖排中按原来次序排列的一行数(或字母)
叫做矩阵的列③. 组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素④.
对于两个矩阵A、B，只有当A、B的行数与列数 分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时， A与B才相等，记作A=B ⑤.
x 3 1 y 例2.已知A , B , 4 -2 z 2 若A B, 试求 x , y , z .