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《三角形》专题训练一．选择题12x3x）．若三角形三边长分别为，且，，为正整数，则这样的三角形个数为（A2B3C4D5．．．．2ABCA36ABACBDABC，则图中等腰三角形的个数＝，°，平分∠．如图，在△＝中，∠）是（A0 B1 C2 D3 个个个．．．．个3MONOOMA，交射线．如图，在∠为圆心，任意长为半径作弧，交射线中，以点于点ONBABOAMON的内部交于点，再分别以为圆心，，于点的长为半径作弧，两弧在∠COCOA10AB12BAC）＝到，＝的距离为（，作射线，则点．若C10DB12A．．．．4ABCACB90DABCDEDE，使°，并延长至点为．如图，在△中，∠边的中点，连接＝CDAEBBFDEAEFBF7AB的长为（则的延长线于点，若＝＝．连接，过点作）∥交，A3.5B7C10D14．．．．5ABACAEECCDA60EF2DF）＝（，则＝°，若＝，∠＝＝，＝．如图，A3B4C5D6．．．．6ABCDlACACEAC，顺次在直线，．如图，点，为底边向下作等腰直角三角形，上，以bCDEFDABFBDFBDbFBBDa与△，，记△＝为底边向上作等腰三角形＝，＝＝．以SBCSab）的面积的差为，，当的长度变化时，满足（始终保持不变，则DBCA．．．．7ABC8BCBDBAABCADP，＝的平分线交，．如图，已知△的面积为作∠，在于点上截取PCBPC）连接的面积为（，则△A2B4C5D6．．．．8ABCABACDEACBCD14BC6AC，则．如图，△中，，＝，的周长是垂直平分，若△＝）的长是（A6B8C10D14．．．．BP5cmAB13cmAC9Rt ACBACB90出发沿射线＝从点＝＝．如图，°，△，中，∠，动点ttssAPBBC2cm/）为等腰三角形时，的值为（以的速度运动，设运动时间为，当△412AB或．或．或4D12C12或或．．或或2ABCc90bca+|b1|+a10ABC）（满足＝﹣﹣，（则△﹣．若△三边长，），是，BA．等边三角形．等腰三角形DC．等腰直角三角形．直角三角形OACB8ABCAABC90AB6AC11，中，∠＝，∠°，＝＝的平分线交于点，与∠．如图，在△ADDODABO）过点，若则作⊥的长为（于点4DB2CA．．．．O12出发，按向右，向上，．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点11m次移动到向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第AOAAnA2A）次移动到的面积是（．则△，第次移动到， (2020612)2222m505.5m1010m A505m B504.5DC．．．．二．填空题90+213°，那么，我们将这样的三角形称为βα与∠β满足＝α．如果三角形的两个内角∠DAC490ABCCBC3（如图所示），点中，已知∠＝，“准互余三角形”．在△°，＝＝BDACABDAD（写的长为那么线段，“准互余三角形”为如果△．联结边上，在．出一个答案即可）．ADACB14Rt ABC90DEFABAC的中点，若＝分别是°，点、、．如图，在、△中，∠、AB8EF．，则＝＝CAACABA15ABCSABC得到第一个三，取的中线．△的面积为，连接，作△的中点1111ABAAABCACCABC，得到第二个三角形，连接中线角形△，取，作△的中点2211112121ABC2019ABC．……重复这样的操作，则△个三角形△的面积为201922201916A40B03P），在第一象限内找一点的坐标为（的坐标为（．如图，已知点，，），点abPAB2ab．﹣（，）＝），使△为等边三角形，则（17OAB18COCABaGABC的重的直径＝＝为△，为半圆，点上一动点，∠．如图，半圆GO．心．则的长为18Rt ABCACB90ADABCADACCADABC，连△，∠＝＝°，，∠在△外，＝∠．如图，在BDAB5AC3BD．＝，则＝，＝．若接．DEF19ABC．现与△．△是两个全等的等腰直角三角形，DEFABCDEFABC且保持不动，与△△按如图所示的方式叠放在一起，使△运动，将△ABCBDECEFACME在（不与重合）始终经过点与，交于点，．满足点边在边，上运动BE DEFAEM．的长为△运动过程中，若△能构成等腰三角形，则三．解答题20ABAa0Bb0a，．如图所示，在平面直角坐标系中，点，），的坐标分别为，（（，），且b|a+3|+0C03）．的坐标为（，点＝满足，1abS；，（的值及）求ABC△MxS2SM的坐标．在＝）若点轴上，且（，试求点ABCACM△△21ABCABACOABCcc（，点的三个顶点的距离均等于．如图，在平面内给定△到△，＝OcGAABBCE，作的距离等于的所有点组成图形的垂线交，过点于点，为常数）到点GDDADAFABFABC．的延长线上存在一点，在交图形＝∠于点，延长，使得∠1）依题意补全图形；（2BFG交点的个数并证明；）判断直线（与图形AD4cos3ABFDE的长．，求＝∠，＝）若（．22演绎推理的过程称为证明，证明的出发点和依据是基本事实．证明三角形全．我们知道，等的基本事实有：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，三边分别相等的两个三角形全等．1）请选择利用以上基本事实和三角形内角和定理，结合下列图形，证明：两角分别相（等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．2如果两个三角形有四对对应）（把三角形的三条边和三个角统称为三角形的六个元素．元素相等，这两个三角形一定全等吗？请说明理由．23．思维启迪：BA1AB间的距离，，（，）如图①，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量BCCB，取，连接点的点但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达APCPACDABBCP的延长线于可以直接到达∥点）（点，利用工具过点作的中点交AB DCD200米．米，那么点，，此时测得间的距离是＝思维探索：90AEDAEDEACB2ABCADEACBC4°，将△（）在△＝和△，∠中，＝＝＝＝，＝∠ADEACAEADE 的位置作为起始位置（此时点顺时针方向旋转，把点边上时△在绕点PCPBDBDACBD，的中点，α，连接连接，点是线段和点位于设旋转角为的两侧），PE．PEPEPCPCADE．＝，当△①如图②，在起始位置时，求证：⊥90DABPCPE的数量关系和位置关系分别落在边上，与＝，当如图②③α°时，点．为PC135的值．③当α°时，直接写出＝24．数学课上，张老师出示了如下框中的题目．FBCEA90ABACDABC分别是边°，的中点，点＝中，∠＝为，点已知，在△和点DFDEACABDEDF的大小关系．上的点，且始终满足，试确定⊥和与小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：CF1EA1重合，容易得，若点重合时，点）【特殊情况，探索结论】如图与点（与点DF DFDE DE．“＝”）或请你直接写出结论：（填“＞”，到与“＜”的大小关系．DFDEEA22的大小关系不与点与（重合时，）【特例启发，解答题目】如图，若点AD DFDE，（请你完成剩是：（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：连结下的解答过程）3ABCA90ABACDBC的中点，点＝°，，点（＝）【拓展结论，设计新题】在△中∠为EFABACDEDFABAC1BE，⊥，若上的点，且始终满足＝＝和点分别是直线和直线2CF的长．（请你直接写出结果）＝，求25．问题提出：abAB11ABCBCABC，（填空：）如图，点当∠为线段时，外一动点，且＝＝，＝AC ab的式子表示）．（用含，的长取得最大值，且最大值为线段问题探究：2ABCBC6AB32ABAC为边，）点＝为线段外一动点，且，如图＝，，所示，分别以（ABDACECDBEBE相等的线段，请，连接，找出图中与作等边三角形和等边三角形，BE长的最大值．说明理由，并直接写出线段问题解决：33A20B50），），点（，）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（的坐标为（，PABPA2PMPBBPM90AM长的最大值及＝，求线段点为线段外一动点，且＝，＝，∠P的坐标．此时点参考答案一．选择题142x4+2，＜．解：由题意可得，﹣＜2x6，＜解得＜x为整数，∵x453，∴、为、3．∴这样的三角形个数为B．故选：2ABAC，＝．解：∵ABC为等腰三角形，∴△18036AABCC72180°，）＝＝（＝∠（°﹣∠°﹣∴∠°）＝BDABC，∵平分∠72CBD36ABD°，＝∴∠×＝∠°＝ABDA，∴∠＝∠ABD为等腰三角形，∴△BDCA+ABD72°，＝∠∠∵∠＝BDCC，∴∠＝∠BDC为等腰三角形．∴△D．故选：3AHOBHABOCD，如图，交．解：作，连接⊥于于OCAOB，由作法得平分∠OAOB10，＝而＝ODAB，⊥∴ABBDAD6，＝＝∴＝8OD Rt AOD，△中，在＝＝ABAHOBOD，?＝?∵．AH，∴＝＝ACAO，∵＝AOCACO，∴∠＝∠ACOBOC，∴∠＝∠ACOB，∴∥ACB．到的距离为∴点A．故选：4DAB边的中点，．解：∵为ADBD，∴＝BCDAED中，和△在△，∵BCDAEDSAS），∴△≌△（CBDEAD，∴∠＝∠BCAEBCEF，，即∴∥∥BFCE，又∵∥BCEF是平行四边形，∴四边形CEBF7，＝∴＝CE3.5CD，∴＝＝A．故选：5EEGBCBCG于点，交⊥作．解：如图，过点．ABACA60°＝∵＝，∠ABC是等边三角形∴△ACB60°＝∴∠ECCD＝∵ACBCDE30CED°＝∴∠∠＝∠＝AEF30°∴∠＝AFE90EFAB⊥＝∴∠°，即ABCAECE＝是等边三角形，∵△BEABC平分∠∴EGEF2＝＝∴Rt DEGDE2EG4＝△＝在中，DFEF+DE2+46＝＝∴＝D．故选：6FFHADHEEGADG于，过点于点作．解：过点作⊥⊥ACEACa＝是等腰直角三角形，∵△ACEG＝∴＝bFHADFDFBbBD⊥，＝＝，＝∵．BDBH＝＝∴Rt BHF中△在FH＝＝＝xBC＝设bSaABFHx）×﹣则＝＝（?ABF△xCDEG Sb）×﹣＝＝（?CDE△babxxSS）×（）×∴﹣﹣﹣＝（﹣ABFCDE△△x﹣﹣）＝（BCS始终保持不变∵当的长度变化时，0＝﹣∴a＝∴A．故选：7BDBABPABC的平分线，＝是∠，．解：∵APPD，＝∴SSSS，∴＝，＝ACDBPDABDCPD△△△△SSS+SSS+，∴＝＝＝ABCCPDBPDABDBPCACD△△△△△△ABC8，的面积为∵△84S．＝×＝∴BPC△B．故选：8DEAC，．解：∵垂直平分ADCD．∴＝BCD14BC6，的周长是∵△＝，ABBD+CD1468，﹣＝∴＝＝ABAC，∵＝AC8．＝∴B．故选：9C90AB13cmAC5cm，＝．解：∵∠＝＝，°，BC12cm．＝∴stBA13BP．时，∴＝①当＝＝ABAPBP2BC24cmt12s．时，＝当＝＝，∴＝②PBPAPBPAt cmCP12tcmAC5 cm，，，③当＝（＝）时，﹣＝＝＝222CPACPAP+AC Rt，＝在中，△222st+12tt5．（＝∴（﹣），解得＝）ssABPt12s，＝综上，当△或为等腰三角形时，或C．故选：20b+|cabc1|+a09ABC10，，≥，且满足，＝）﹣（﹣﹣．解：∵△三边长20c90|ba1|≥﹣≥﹣，（﹣）00a+b81b01c9a，∴﹣＝﹣＝＝，﹣，﹣94140abc，∴＝，，＝＝222419+40，∵＝ABC是直角三角形．∴△C．故选：ACCBO11OEOF，．解：过作⊥⊥，90BAC°，又∵∠＝ADOF是矩形，∴四边形OABCACB，与∠的平分线交于点∵∠FODOEO，＝＝∴ADOF是正方形，∴四边形DOAD，∴＝8BACAB906AC，＝＝，∵∠＝°，10BC，＝∴24S，＝＝∴ABC△AO，连接xFOxEODO，＝＝，则＝设+10x8x6x24+，×∴××＝x2，解得：＝DO2，∴＝AD2．∴＝B．故选：12OA2n，＝．解：由题意知n420204505，÷∵＝OA202021010Ax1，，＝∴＝轴距离为÷到620202m5051010OAA1）．则△＝×的面积是×（20206A．故选：7小题）二．填空题（共13DDMABMABDA．＝α⊥于，∠．设∠β．解：过点＝作2+90++DBC90°，°时，∵α∠β①当α＝β＝DBCDBA，＝∠∴∠DMABDCBC，⊥∵⊥，DMDC，∴＝DMBC90DMDCBDBD，＝，＝∠°，＝＝∵∠Rt BDC Rt BDMHL），≌△（△∴BMBC3，＝∴＝C90BC3AC4，，＝＝∵∠＝°，5AB，＝＝∴．AM532ADxCDDM4x，，设＝＝＝∴，则＝﹣﹣＝222+2xx4Rt ADM，＝（中，则有）在﹣△x．解得＝AD．∴＝+290++DBC90°，°时，∵α∠β②当α＝β＝DBCA，＝β∴∠＝∠CC，∵∠＝∠CBDCAB，∽△∴△2CDCABC，?∴＝CD，＝∴4ACCDAD．＝∴﹣＝＝﹣．或故答案为14Rt ABC中，．解：在△DABAB8，的中点，且∵＝是ADBD，∴＝AB4CD，∴＝＝AFDFAEEC，∵，＝＝CD2EF．＝∴＝2．故答案为：15ABCSABCAC，，作△的面积为．解：∵△的中线1SABC，∴△的面积＝1ABA，∵取的中点1SABC，∴△的面积＝＝11SABC，同理得△＝的面积＝22…SA2019BC；的面积为则个△20192019．S．故答案为：16PPMxPNyMN，．解：过点⊥作、⊥轴，垂足分别为轴，A40B03），），点∵点，的坐标为（的坐标为（，OA4OB3，，＝∴＝5AB，＝∴＝Pab）在第一象限，（∵点，OMPNaONPMb，∴＝＝＝＝，AMa4BNb3，＝＝∴﹣﹣，PAB是等边三角形，∵△ABBPPA5，＝∴＝＝222222AM+BNPMBP+PNPA得，＝＝由＝2222253++a4abb，﹣）﹣＝（（＝）2222bb+168a+a4+9a3+bb6，﹣），即，＝＝由，整理得，＝（（﹣①）222a0a31125b4aa16+b＝）＝﹣，整理得，（﹣将﹣，解得＝，或代入＝0a（舍去），＝＜ba，得，代入＝①＝把4+3b2341a）＝，﹣∴﹣﹣＝（﹣1．﹣故答案为：17OC，．解：连接OAB18，的直径＝∵半圆ACB90°，＝∴∠OC9，∴＝GABC的重心，为△∵点．OCG，∴经过OC3GO．∴＝＝3．故答案为：18ACB90°，＝．解：∵∠ABC+CAB90°，＝∴∠∠CADABC，＝∠∵∠CAD+CAB90°，∠＝∴∠DAB是直角三角形，∴△ADAC3AB5，，∵＝＝＝BD，∴＝故答案为：19AEAM AMEAEM45°＝∠则∠＝＝．解：①若C45°＝∵∠AMEC＝∠∴∠AMEC ＞∠又∵∠∴这种情况不成立；AEEM＝②若BAEM45°＝∠＝∵∠BAE+AEB135MEC+AEB135°＝°，∠∴∠∠∠＝BAEMEC ＝∠∴∠ABEECM中，在△和△，ABEECMAAS），≌△∴△（ABCE，＝＝∴．2ABACBC，∵＝＝＝2BE；＝∴﹣MAME MAEAEM45°＝＝∠③若＝则∠BAC90°，∵∠＝BAE45°∴∠＝AEBAC平分∠∴ABAC，∵＝BCBE．∴＝＝2．故答案为或﹣6小题）三．解答题（共+3|+0|a201，）∵＝．解：（0a+305b，，＝∴﹣＝5a3b，＝﹣＝，∴050BA3）．（（﹣，，∴点），点3C0），（又∵点，3CO5|AB|38，∴＝＝＝﹣﹣，128ABCO3S；×＝∴×＝＝?ABC△+3||x|M2x0AMx3|，）设点的坐标为（），），则﹣（﹣＝（＝SS，又∵＝ABCACM△△12AMOC，＝×∴?3|x+3|3，∴＝×2|x+3|，＝∴．x+32，＝±即x15，＝﹣解得：或﹣M1050）．的坐标为（﹣）或（﹣，，故点211ABACOOOB 长为半径作圆，，，以的垂直平分线交于点．解：（为圆心，）如图，作OG；为图形⊙2BFG交点只有一个，（与图形）直线ADAB，⊥理由如下：∵BAD90°，∴∠＝BDADB+ABD90°，∠∴＝是直径，∠ABAC，∵＝ACBABC，∴∠＝∠ACBADBABFABC，∵∠，∠＝∠＝∠ABFADB，∴∠＝∠ABF+ABD90°，＝∴∠∠DBF90°，＝∴∠BDBFOB是半径，⊥∴，且BFO的切线，∴是圆BFG交点的只有一个；∴直线与图形ADBABF coscos3，∠＝（＝）∵∠＝5BD，∴＝3AB，＝∴＝＝ABEADBBAEBAD90°，＝＝∠，∠＝∠∵∠．ABEADB，∴△∽△，∴∴AE，∴＝AEADDE．∴﹣＝＝221ABCDEFBECFABDE，．解：（，∠）已知：在△＝和△＝∠中，∠，＝∠ABCDEF．≌△求证：△A+B+C180D+E+F180°＝＝°，∠∠∠证明：∵∠∠∠BECF，，∠＝∠而∠＝∠AD，∴∠＝∠ABCDEF中，在△和△，ABCDEFASA）．≌△（∴：△2SSS”可证两个三角形全等；（）若三组对边，一组对角对应相等，由“SAS”可证两个三角形全等；若两组对边，两组对角对应相等，由“AASASA”可证两个三角形全等；若一组对边，三组对角对应相等，由“”或“231CDAB，．（∥）解：∵ABPC，＝∠∴∠PBC的中点，∵是PBPC，∴＝DCPABP，和△中，在△ASAABPDCP），≌△∴△（200ABCD米；＝＝∴200；故答案为：F2EPBC所示：，如图于②①（）证明：延长交90AEDACB°，＝＝∠∵∠．DEBC，∴∥EDPFBPDEPBFP，，∠∴∠＝∠＝∠PBD的中点，∵点是线段PBPD，∴＝EDPFBP，和△中，在△AASFBPEDP），≌△（∴△DEPFPEBF，，∴＝＝DEACBCAE，，＝＝∵ECFC，∴＝90ACB°，＝又∵∠EFC是等腰直角三角形，∴△PFPE，＝∵PEEFPCEFPC；⊥＝，∴＝PEPCPCPE；理由如下：解：②，⊥＝HBCED所示：，如图延长于交③90CAE°，＝由旋转的性质得：∠90ACBAED°，∵∠＝＝∠ACHE是矩形，∴四边形CHCHE90AEBHE，°，＝＝∴∠＝∠DEAE，＝∵45DEADECH°，＝∴，∠＝135EDP°，∴∠＝BCACACB90，＝＝∵∠°，45ABC°，∴∠＝BD90PBHE的中点，＝是线段∵∠°，点BPHPHBDPDBDPH是等腰直角三角形，＝，，△＝∴⊥45BHP°，∴∠＝EDP135CHP，°＝∠＝∴∠．EPDCPH，和△中，在△SASCPHEPD），≌△（∴△EPDPCPECPH，，∠∴＝∠＝90CPEHPD°，＝∠∴∠＝PEPC；∴⊥PEPEPCPC；⊥＝故答案为：，AC135AD，＝⊥°时，③解：当αDDFBCFCDCCNBDN所示：⊥于，如图，连接，过点于作过点作④⊥ACFD是矩形，则四边形AE2DFADAC4CF，＝＝＝，∴＝＝2BFBCCF4CD22，＝＝＝∴＝＝，﹣＝﹣2BD，＝∴＝＝CNBCBDDF，＝∵??CN，∴＝＝＝BN，＝＝＝2PNBDBN×﹣﹣∴＝＝，＝PC＝∴．＝＝241）【特殊情况，探索结论】．解：（A90ABACDBC的中点，＝，点∵∠°，为＝ADDC，∴＝DEDF，即＝故答案为：＝；2）【特例启发，解答题目】（A90ABACDBC的中点，＝°，∵∠为＝，点ADDCADCDBADC45°，∴＝＝∠，，∠⊥＝EDFADC90°，＝∠＝∴∠ADECDFADCDBADC45°，，∠＝∠∴∠＝∠＝，且＝ADECDFASA）≌△（∴△DEDF，＝∴故答案为：＝；3）【拓展结论，设计新题】（EBA的延长线上，在若点．ABAC1BE2，＝，∵＝＝AE1，∴＝A90ABACDBC的中点，°，＝为∵∠，点＝ADDCADCDBADC45°，，∠∴⊥＝＝，＝∠EDFADC90DAEDCF135°，°，∠∴∠＝∠＝∠＝＝ADECDFADCDDAEDCF135°，＝∠＝∠，且∴∠，∠＝＝ADECDFASA）≌△（∴△AECF1；＝＝∴EAB的延长线上，若点在A90ABACDBC的中点，＝°，为∵∠＝，点ADDBADCDCADABD45°，∴＝∠＝，，∠⊥＝EDFADB90DBEDAF135°，＝∠＝＝∠°，∠＝∴∠ADFBDEADBDDBEDAF135°，＝∠∴∠＝∠，∠，且＝＝ADFBDEASA）（∴△≌△AFBE2，＝＝∴CF3．＝∴．251ABCBCaABb，为线段，）∵点外一动点，且＝．解：（＝ACBACBC+ABa+b，的长取得最大值，且最大值为位于＝∴当点的延长线上时，线段ABC180°，∴∠＝180a+b；故答案为：°，2CDBE，①（＝）ABDACE是等边三角形，理由：∵△与△ADABACAEBADCAE60°，，∠∴＝＝＝，＝∠BAD+BACCAE+BAC，＝∠∴∠∠∠CADEAB，＝∠即∠CADEAB中，在△与△，CADEABSAS），≌△∴△（CDBE；∴＝BECD的最大值，②∵线段长的最大值＝线段1CDDCB 的延长线上，∴由（的长取得最大值时，点）知，当线段在BD+BCAB+BC3+69；＝∴最大值为＝＝31BM，如图）①，连接（APMP90PBNANAPN是等腰直角三角∵将△°得到△绕着点，连接顺时针旋转，则△形，PNPA2BNAM，＝＝＝，∴A20B50），∵的坐标为（的坐标为（，），点，OA2OB5，，＝∴＝AB3，＝∴．AMBN长的最大值，∴线段长的最大值＝线段NBABN取得最大值，在线段∴当的延长线时，线段AB+AN，最大值＝2ANAP，∵＝＝2+3；∴最大值为2PPExE，⊥如图，过轴于作APN是等腰直角三角形，∵△AEPE，∴＝＝35BOABAEOE2﹣﹣﹣＝﹣＝＝﹣，∴2P）．∴（﹣，。
2025年中考数学二轮复习专题：解直角三角形的应用训练思考：1、解一个直角三角形需要知道几个边或角的条件？2、解一个三角形需要几个条件？例1 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．（限时训练第3题）【变式练习1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．（1）求D点到B点处的水平距离；（2）求山顶A点处的垂直高度是多少米？（结果可以保留根号，也可以用小数表示；若用小数表示，请保留一位小数）例2 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60（）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120（）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（限时训练第5题）【变式训练2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB ＝8km，有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离（结果保留根号）．【拓展提升】如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．（1）如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？（2）如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．（限时训练第6题）2025年中考数学二轮复习专题：解直角三角形的应用训练限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________1．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A ．斜坡AB 的坡度是10°B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC=1.2tan10°米D ．AB= 10cos 12米 2．一艘轮船从O 处出发，以30海里/时的速度沿东偏南30°的航线航行，两小时后到达A 处．此时接到大风警报，轮船必须在1.5小时内赶到B 处避风．B 在O 的正东方，从A 处测得B 的方位是北偏东45°．图所示的坐标系的单位长是1海里．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如果轮船以原速度沿AB 方向直行，能否在限定的时间内到达避风港？3.如图，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A 处利用测角仪测得树顶P 的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ 的方向前进10m 到达点B 处，此时测得树顶P 和树底Q 的仰角分别是60°和30°，设PQ 垂直于AB ，且垂足为C ．（1）求∠BPQ 的度数；（2）求树PQ 的高度（结果精确到0.1m ，≈1.73）．4.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）5．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60（）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120（）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）6.如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．（1）如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？（2）如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠P OP′＝15°，试求AA′的长．（此部分课堂完成）【变式练习1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．（1）求D点到B点处的水平距离；（2）求山顶A点处的垂直高度是多少米？（结果可以保留根号，也可以用小数表示；若用小数表示，请保留一位小数）【变式训练2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB ＝8km，有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离（结果保留根号）．。
二轮复习专题：《三角形的综合》1．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足．D 为线段AC 的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为，．（1）则A 点的坐标为 （0，4） ；点C 的坐标为 （2，0） ．D 点的坐标为 （1，2） ．（2）已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．设运动时间为t （t ＞0）秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．解：（1）∵． ∴a ﹣2b ＝0，b ﹣2＝0，解得a ＝4，b ＝2，∴A （0，4），C （2，0）；∴x ＝＝1，y ＝＝2，∴D（1，2）．故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．（2）如图1中，由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，即CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，∴S△DOP ＝OP•y D＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•x D＝×2t×1＝t，∵S△ODP ＝S△ODQ，∴2﹣t＝t，∴t＝1；（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，∵∠2+∠3＝90°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，∴∠GOC+∠ACO＝180°，∴OG∥AC，∴∠1＝∠CAO，∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，∴＝，＝，＝2．2．平面直角坐标系中，点A坐标为（a，0），点B坐标为（b，2），点C坐标为（c，m），其中a、b、c满足方程组．（1）若a＝2，则三角形AOB的面积为 2 ；（2）若点B到y轴的距离是点C到y轴距离的2倍，求a的值；（3）连接AB、AC、BC，若三角形ABC的面积小于等于9，求m的取值范围．解：（1）∵点A坐标为（a，0），点B坐标为（b，2），a＝2，∴A（2，0），∴三角形AOB的面积为×2×2＝2；故答案为：2；（2）∵a、b、c满足方程组．∴b＝a+3，c＝a﹣4，∴B（a+3，2），C（a﹣4，m），∵点B到y轴的距离是点C到y轴距离的2倍，∴|a+3|＝2|a﹣4|，∴a＝11或a＝；（2）过点C作y轴的平行线l，延长BA交l于M，过点B作x轴的平行线交直线l于点D，直线l交x轴于点E，设EM＝n，则BD＝7，DE＝2，AE＝4，∵S△BDM ＝S△AEM+S梯形BDEA，∴×7×（2+n）＝×4×n+×2×（4+7），解得：n＝，∴M（a﹣4，﹣），∵S△ABC≤9，∴S△BCM ﹣S△ACM≤9，∴|≤9，|≤6，∴﹣，∵m≠﹣∴﹣且m≠﹣．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，点D是BC边上的一个动点（不与B，C 重合），以AD为边作∠ADE＝∠B，交AC边于点E．设BD＝x，AE＝y．今天我们将根据学习函数的经验，研究函数值y随自变量x的变化而变化的规律．下面是某同学做的一部分研究结果，请你一起参与解答：（1）自变量x的取值范围是0＜x＜6 ；（2）通过计算，得到x与y的几组值，如下表：x/cm0.5 1 1.5 2 3 4 4.5 5 5.5 y/cm 3.3125 2.75 2.3125 2 1.75 2 2.3125 2.75 3.3125 请你补全表格；（3）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出该函数的大致图象；（4）根据图象，请写出该函数的一条性质．解：（1）∵点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∴0＜x＜6，故答案为：0＜x＜6，（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝x，AE＝y，则CD＝6﹣x，CE＝4﹣y，∴，∴y＝，当x＝3时，y＝．当x＝4时，y＝4﹣6+4＝2．故答案为：1.75，2．（3）该函数的大致图象如图所示：（4）答案不唯一．如：该函数的图象是轴对称图形；函数的最小值为1.75；当0＜x＜3时，y随x的增大而减小；当3＜x＜6时，y随x的增大而增大．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，7），B（b，﹣2b），C（c，c），其中b、c满足．（1）b＝﹣3 ，c＝ 1 ；（2）在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C 的对应点为点F，若平移后E，F两点都在坐标轴上，请写出E的坐标（0，5）或（﹣4，0）；（3）若在△ABC内部的y轴上存在一点P，在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△APQ的面积为10．则点P的坐标为（0，3）或（0，）．解：（1）∵+（b+3）2＝0，∴c﹣1＝0且b+3＝0，解得c＝1，b＝﹣3，故答案为：﹣3，1；（2）∵b＝﹣3，c＝1，∴点B（﹣3，6），C（1，1），①若先向右平移3个单位、再向下平移1个单位时，点B的对应点E的坐标为（0，5），点C的对应点F的坐标为（4，0）；②若先向左平移1个单位、再向下平移6个单位时，点B的对应点E的坐标为（﹣4，0），点C的对应点F的坐标为（0，﹣5）；综上，点E的坐标为（0，5）或（﹣4，0），故答案为：（0，5）或（﹣4，0）．（3）如图1，若平移方式为：向左平移1个单位、向下平移6个单位，则点Q（﹣1，y﹣6），分别过点Q、A作x轴的平行线，再过点Q、A作y轴的平行线，两平行线交于点G、M，则AG＝5，GH＝1，QG＝13﹣y，PH＝7﹣y，∵S△APQ ＝S△AGQ﹣S△AHP﹣S梯形HGQP∴10＝×（13﹣y）×5﹣×4×（7﹣y）﹣×（7﹣y+13﹣y）×1，解得：y＝3，∴P（0，3）．若平移方式为：向右平移3个单位、向下平移1个单位，则点Q（3，y﹣1），过点Q作QN⊥y轴于N，过点A作AM⊥y轴于M，则AM＝7，MN＝8﹣y，NQ＝3，PM＝7﹣y，∵S△APQ ＝S梯形AMNQ﹣S△AMP﹣S△PNQ：∴﹣﹣＝10，解得：y＝．∴P（0，）．综合以上可得点P的坐标为（0，3）或（0，）．故答案为：（0，3）或（0，）．5．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD 与∠CDE的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，即；（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y+x，∴．即．6．在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF与△BMF全等，判定它们全等的依据是SAS；ⅱ）由∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB＝60 °；…②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．（2）如图2，若∠ABC＝40°，求证：BF＝CA．解：（1）BC＝CD+BE①如图1，在BC上取一点M，使BM＝BE，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠BFE＝60°；故答案为：△BMF，SAS，60；②由①知，∠BFE＝60°，∴∠CFD＝∠BFE＝60°∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBF＝∠MBF，在△BEF和△BMF中，，∴△BEF≌△BMF（SAS），∴∠BFE＝∠BFM＝60°，∴∠CFM＝∠BFC﹣∠BFM＝60°，∴∠CFM＝∠CFD＝60°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠FCM＝∠FCD，在△FCM和△FCD中，∴△FCM≌△FCD（ASA），∴CM＝CD，∴BC＝CM+BM＝CD+BE；（2）如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝80°，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝40°，∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝80°，∠ABC＝∠BCE，∴BE＝CE，在△ABC的边AB左侧作∠ABG＝20°，交CE的延长线于G，∴∠FBG＝∠ABD+∠ABG＝40°＝∠ACE．∵∠AEC＝80°，∴∠BEG＝80°，∴∠G＝180°﹣∠ABG﹣∠BEG＝80°＝∠BEG＝∠AEC，∴BG＝BE，∴BG＝CE，在△BGF和△CEA中，，∴△BGF≌△CEA，∴BF＝AC．7．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．●深入探究如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；●推广应用如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC 边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．解：●特例感知：①等腰直角三角形是勾股高三角形．故答案为是．②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，∴CD＝．●深入探究：如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，∴AD2＝CB2，即AD＝CB；●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，∴△AGD≌△CDB（AAS），∴DG＝BD．易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．又AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝EC＝a，∴ED＝2a．8．在△ABC中，AB＝AC，以BC为边作等边△BDC，连接AD．（1）如图1，直接写出∠ADB的度数150°；（2）如图2，作∠ABM＝60°在BM上截取BE，使BE＝BA，连接CE，判断CE与AD的数量关系，请补全图形，并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，AE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．解：（1）如图1中，∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为150°．（2）结论：CE＝AD．理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°∴∠ABE﹣∠DBM＝∠DBC﹣∠DBM ∴∠1＝∠2，∵AB＝BE，BD＝DC∴△ABD≌△EBC∴CE＝AD．（3）解：∵△ABD≌△EBC∴∠BCE＝∠BDA＝150°∵∠DCE＝90°，∠DEC＝60°∴∠CDE＝30°∵DE＝2∴CE＝1，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°DE＝2，BD＝由勾股BE＝，∵∠ABE＝60°AB＝BE∴△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．9．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ， ∴＝2．10．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，设运动时间为x 秒．（1）请直接写出AD 长．（用x 的代数式表示）（2）当△ADE 为直角三角形时，运动时间为几秒？（3）求证：在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．解：（1）由题意得，CD ＝0.5x ，则AD ＝4﹣0.5x ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝4cm ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝60°．设x 秒时，△ADE 为直角三角形，∴∠ADE ＝90°，BE ＝0.5x ，AD ＝4﹣0.5x ，AE ＝4+0.5x ，∴∠AED ＝30°，∴AE ＝2AD ，∴4+0.5x＝2（4﹣0.5x），∴x＝；答：运动秒后，△ADE为直角三角形；（3）如图2，作DG∥AB交BC于点G，∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，∴△CDG是等边三角形，∴DG＝DC，∵DC＝BE，∴DG＝BE．在△DGP和△EBP中，，∴△DGP≌△EBP（ASA），∴DP＝PE，∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．11．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵BE是高，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠EAO＝∠EBC，在△AOE和△BCE中，，∴△AOE≌△BCE，∴AO＝BC＝5．（2）∵BD＝CD，BC＝5，∴BD＝2，CD＝3，由题意OP＝t，BQ＝4t，①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．（3）存在．①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ＝OP，∴5﹣4t═t，解得t＝1，②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ＝OP，∴4t﹣5＝t，解得t＝．综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等．12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，∴∠OBC＝∠ABC，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；（3）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．13．情景观察：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，CD与AE相交于点F．①写出图1中两对全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE．问题探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，且AD⊥CD 于D，AD与BC交于点E．求证：AE＝2CD．拓展延伸：（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，点D在AC上，∠EDC＝∠BAC，DE⊥CE于E，DE与BC交于点F．求证：DF＝2CE．解：情景观察：（1）①∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝EC＝BC，且AB＝AC，AE＝AE∴△ABE≌△ACE（SSS）∵CD⊥AB，∠BAC＝45°∴∠BAC＝∠ACD＝45°∴AD＝CD，∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠B+∠BAE＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠BAE＝∠BCD，且∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（ASA）故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；∵△ADF≌△CDB∴BC＝AF∴AF＝2CE故答案为：AF＝2CE；问题探究：（2）如图，延长AB、CD交于点G，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°∴∠ABC＝90°＝∠CBG＝90°，∴∠G+∠BCG＝90°，∵∠G+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，，∴△ADC≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD拓展延伸：（3）如图，作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥BC，且DG⊥BC，∴DG∥AB，∴∠GDC＝∠BAC＝45°，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝22.5°＝∠EDG，∴DH＝CH，又∵DE⊥CE，∴∠DEC＝∠DEG＝90°，在△DEC和△DEG中，，∴△DEC≌△DEG（ASA），∴DC＝DG，GE＝CE，∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE，∴∠FDH＝∠GCH，，∴△DHF≌△CHG（ASA），∴DF＝CG＝2CE．14．已知在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CE⊥BC于点C，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数．（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若AB＝2，直接写出CP的最大值．解：（1）如图1，连接AE，∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°．∴∠3＝45°．∴∠B＝∠3．又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠DAE＝∠BAC＝90°．∴△DAE是等腰直角三角形．∴∠ADE＝45°．（2）补全图形，如图2所示，结论成立．证明：如图，连接AE，∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠1＝45°．∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°．∴∠2＝45°．∴∠B＝∠2．又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠DAE＝∠BAC＝90°．∴△DAE是等腰直角三角形．∴∠ADE＝∠3＝45°．（3）由（1）知，△ADE是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴AC＝2，当AP最小时，CP最大，即：DE⊥AC时，AP最小，∵∠ADE＝45°，∠ACB＝45°，∴AD⊥BC，AD＝BC＝×AB＝，在Rt△ADP中，AP＝AD＝1，∴CP＝AC﹣AP＝1．即：CP的最大值为1．15．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，AB＝DE，BE∥AC．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．解：（1）∵∠ACB＝90°，BE∥AC，∴∠CBE＝90°，∴△ABC和△DEB都是直角三角形，∵AC＝BC，点D为BC的中点，∴AC＝BD，又∵AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）；（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB，∴BC＝EB，又∵∠CBE＝90°，∴∠BCE＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠ACE，∴CE是∠ACB的角平分线．②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中∵，∴△ACE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE，又∵AB＝DE，∴AE＝AB，∴△ABE是等腰三角形．16．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC．（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，∵AE∥BD，∴∠EFC＝∠CDB＝45°．∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，∴EC＝CF．∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，∴BF＝BD，∴AE＝BD；（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，∴∠DOE＝∠DCE＝90°．又∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴＝2，∴∠BED＝30°，∴OD＝DE＝×2＝1，∴＝，OB＝＝，∴AD＝BE＝OB+OE＝+．17．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x 轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．18．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．19．问题提出：（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当∠ABC＝180°时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a，b的式子表示）．问题探究：（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，∴∠ABC＝180°，故答案为：180°，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝3+6＝9；（3）①如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．20．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF +S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF +S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF +S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF ，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵D为AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，AC＝2CE，同理：DF ＝AC ，∵AC ＝BC ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形，∴CE ＝DF ＝CF ＝DE ，∵S △DEF ＝S △CEF ＝2＝DE •DF ＝DF 2，∴DF ＝2，∴CE ＝2，∴AC ＝2CE ＝4；（2）S △DEF +S △CEF ＝S △ABC 成立，理由如下：连接CD ；如图2所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠B ＝45°，∠DCE ＝∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，S △ABC ＝2S △BCD ，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，在△CDE 和△BDF 中，，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE ＝DF ．S △CDE ＝S △BDF ．∴S △DEF +S △CEF ＝S △CDE +S △CDF ＝S △BCD ＝S △ABC ；（3）不成立；S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135°，∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ，＝S △CFE +S △DBC ，＝S △CFE +S △ABC ，∴S△DEF ﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF 、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．。
一元二次方程第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一）教学目标：1、使学生理解二次三项式的意义；2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。
教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．教学过程：二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．一、新课引入：（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．二、新课讲解：．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内不可以分解．三、课堂小结：（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．参考题目：一、选择题(15分)将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
2020年中考九年级数学：解直角三角形专题复习题1、如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）2、某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．3、如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）4、如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）5、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）6、南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）7、如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】8、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．10、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.(1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）(2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器)11、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）12、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）13、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．14、某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）15、某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）16、在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？17、长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）18、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．2020年中考九年级数学：解直角三角形专题复习题1、如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）1、解：过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，∴∠ADB=45°，∵AB=6×=4，∴AE=2．BE=2，∴DE=BE=2，∴AD=2+2，∵∠C=90，∠CAD=30°，∴CD=AD=1+．2、某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．2、解：如图，[来源:]过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．3、如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）3、解：由题意可得，CD=16米，∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，∴CB•tan30°=BD•tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8，∴AB=BD•tan45°=（）米，即旗杆AB的高度是（）米．4、如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）4、解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m5、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）5、解：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，∴CD=BC•sinB=10×0.59=5.9，∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．6、南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）6、解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=25°，∠CBD=75°，∴tan∠CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．7、如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】7、解：作DE⊥AB于E，由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：纪念碑的高度约为30.4米．8、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．8、解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．9、解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．10、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.(1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）(2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器)10、解(1) 图，作OC⊥AB，∵OA=OB, OC⊥AB，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°, 在Rt⊿AOC 中，sin∠AOC = , ∴AC≈0.1564×10=1.564, ∴AB=2AC=3.128≈3.13.∴所作圆的半径是3.13cm.(2)图2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点C,作AD⊥BC于点D;∵AC=AB, AD⊥BC，∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD=∠BAC,∵∠AOB=18°,OA=OB ,AB=AC,∴∠BAC=18°, ∴∠BAD=9°,在Rt⊿BAD 中， sin∠BAD = ,∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892,∴BC=2BD=0.9784≈0.98∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm.11、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）11、解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．12、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）12、解：作CM⊥BD于M，如图所示：∵∠A=90°，∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=400m，∴AD=AB=200m，∴△ABD的面积=×200×200=20000（m2），∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m，∴△BCD的面积=×400×242.7=48540（m2），∴这片水田的面积=20000+48540≈83180（m2）．13、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．13、解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．14、某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）14、解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG===6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG===x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．15、某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）15、解：（1）在Rt△ANO中，∠ANO=90°，∴cos∠AON=，∴ON=OA•cos∠AON，∵OA=OB=3m，∠AON=45°，∴ON=3•cos45°≈2.12m，∴ND=3+0.6﹣2.12≈1.5m，∴h=ND=AF≈1.5m；故答案为：1.5．（2）如图，过C点作CM⊥DF，交DF于点M，在Rt△CEO中，∠CEO=90°，∴cos∠COE=，∴OE=OC•cos∠COF，∵OB=OC=3m，∠CON=55°，∴OE=3•cos55°≈1.72m，∴ED=3+0.6﹣1.72≈1.9m，∴CM=ED≈1.9m，∵成人的“安全高度”为2m，∴成人是安全的．16、在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？16、解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC===100，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．17、长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）17、解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．18、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．18、解：（1）由题意可得：tan50°==≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°==≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m．。
2020年九年级数学中考二轮专项——解直角三角形的实际应用1. (2019都江堰区一诊)如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.55)第1题图2. (2019邛崃二诊)某市开展一项全民健身跑步运动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向上，在C地北偏西45°方向上，C地在A地北偏东75°方向上，且BC＝CD＝10 km，问：沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(结果保留1位小数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.4，3≈1.7)第2题图3. 如图，为求出河对岸两棵树A、B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12 m到达点D，测得∠CDB＝90°.取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离．(结果取整数，参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，sin67°≈0.92，tan67°≈2.36)第3题图4. 如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB高度，已知山坡面与水平面的夹角为30°，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB的高度．第4题图5. (2019锦江区二诊)成都市第十三次党代会提出实施“东进”战略，推动了城市发展格局“千年之变”，成都龙泉山城市森林公园借“东进”之风，聚全市之力，着力打造一个令世界向往的城市绿心．下图为成都市龙泉山城市森林公园三个景点A，B，C的平面示意图，景点C在B的正北方向5千米处，景点A在B的东北方向，在C的北偏东75°方向上．(1)求∠BAC的大小；(2)求景点A，C的距离．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，结果精确到0.1)第5题图6. (2019青羊区二诊)如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3 3 m，大门距主楼的距离是45 m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是 3 m.求：(1)学校主楼的高度(结果保留根号)；(2)大门上方A与主楼顶部D的距离(结果保留根号)．第6题图7. (2019岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD(用含a的式子表示)；(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度A B.第7题图8. (2019衡阳)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第8题图8. 2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)第8题图9.(2019眉山模拟)水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．第9题图10. 如图，山顶有一塔AB，塔高33 m，计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45 °，求隧道EF的长度．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51.)第10题图11. 在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE，通过测量，斜坡CE的坡角为30°，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°.斜坡CE的长度为60 m，坡顶C与小山的距离为100 m，求小山AF的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：cos53°≈0.6，sin53°≈0.8，tan53°≈1.33，3≈1.73)第11题图12、(2019甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40 cm，灯罩CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°，CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：3取1.73)题图参考答案1. 解：如解图，作CE ⊥BD 于点E ，AF ⊥CE 于点F ， 易得四边形AHEF 为矩形， ∴EF ＝AH ＝3.4，∠HAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠CAH －∠HAF ＝119°－90°＝29°， 在Rt △ACF 中，∵sin ∠CAF ＝CF AC ，∴CF ＝9sin 29°≈9×0.49＝4.41， ∴CE ＝CF ＋EF ＝4.41＋3.4≈7.8.答：云梯升降车最高点C 距离地面的高度为7.8 m .第1题解图2. 解：如解图，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，则∠DAM ＝75°－30°＝45°，∠DCM ＝180°－75°－45°＝60°，∵BC ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形．∴BC ＝CD ＝BD ＝10，CM ＝12BC ＝5.∴DM ＝DC ·sin60°＝10×32≈8.5.∵∠DAM ＝45°， ∴DM ＝AM ＝8.5.∴AM ＋MC ＋CD ＝8.5＋5＋10＝23.5. 答：从A 地到D 地的路程大约是23.5 km .第2题解图3. 解：如解图，过点A 作AF ⊥BD 于点F ， ∵∠C ＝90°，∠CDB ＝90°， ∴四边形ACDF 是矩形． ∴AF ＝CD ＝12，DF ＝AC . ∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝DE ＝6，∵在Rt △ACE 中，∠AEC ＝56°， tan ∠AEC ＝AC CE，∴AC ＝CE ·tan56°＝6tan56°， ∵在Rt △BDE 中，∠BED ＝67°， tan ∠BED ＝BD DE，∴BD ＝DE ·tan67°＝6tan67°，∴BF ＝BD －DF ＝BD －AC ＝6tan67°－6tan 56°≈5.28， ∴在Rt △AFB 中，AB ＝AF 2＋BF 2≈13. 答：河对岸两树间的距离约为13 m .第3题解图4. 解：如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥CD 于点G ， 在Rt △DEG 中，∵DE ＝540，∠D ＝30°， ∴EG ＝DE ·sin D ＝540×12＝270.∵BC ＝285，CF ＝EG ， ∴BF ＝BC －CF ＝BC －EG ＝15.在Rt △BEF 中，∵tan ∠BEF ＝BFEF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF ＝15 3.在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°， ∵tan ∠AEF ＝AF EF，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝EF ·tan60°＝3EF ， ∴AF ＝45，∴AB ＝AF －BF ＝45－15＝30. 答：雕像AB 的高度为30米．第4题解图5. 解：(1)依题意得，∠BAC ＝75°－45°＝30°； (2)如解图，过点A 作AD ⊥BD ，垂足为D . 设AC 的长度为x 千米，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝75°，AC ＝x ，∴AD ＝AC ·sin 75°≈0.966x ，CD ＝AC ·cos 75°≈0.259x . 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°，∠D ＝90°， ∴AD ＝BD ，∵BC ＝BD －CD ＝AD －CD ＝0.966x －0.259x ，BC ＝5， ∴0.966x －0.259x ≈5， 解得x ≈7.1.答：景点A 、C 的距离约为7.1千米．第5题解图6. 解：(1)如解图，作EF ∥BC 交DC 于点F ， ∵BC ＝45， ∴EF ＝45，∵∠DEF ＝30°，∠DFE ＝90°， ∴tan30°＝DF EF ＝DF 45，∴33＝DF 45， 解得DF ＝153， ∵EB ＝ 3 ，∴DC ＝DF ＋FC ＝153＋3＝16 3. 答：学校主楼的高度是16 3 m ； (2)如解图，作AG ∥BC 交DC 于点G ， ∵BC ＝AG ＝45，DC ＝163，GC ＝AB ＝33， ∴DG ＝DC －GC ＝163－33＝133， ∵∠AGD ＝90°，∴AD ＝AG 2＋DG 2＝2633.答：大门上方A 与主楼顶部D 的距离是2633 m .第6题解图7. 解：(1)根据题意得BD ＝CG ，BF ＝HE ＝a ，BH ＝EF ＝1.5，BG ＝CD ＝1.7， 在Rt △AEH 中，∵HE ＝a ，∠AEH ＝62.3°， ∴tan ∠AEH ＝AHHE ，即AH ＝a ·tan 62.3°≈1.9a .∴AB ＝AH ＋BH ＝1.9a ＋1.5. 在Rt △ACG 中，∵∠ACG ＝45°， ∴∠CAG ＝45°. ∴CG ＝AG .∵AG ＝AB －BG ＝1.9a ＋1.5－1.7＝1.9a －0.2， ∴CG ＝1.9a －0.2. ∴BD ＝CG ＝1.9a －0.2.答：小亮与塔底中心的距离BD 为(1.9a －0.2)米； (2)根据题意，得BD ＋BF ＝52， ∴(1.9a －0.2)＋a ＝52， 解得a ＝18.∴AB ＝1.9a ＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7. 答：慈氏塔的高度AB 为35.7米．8. 解：如解图，过点D 作BC 的垂线，交直线BC 于点F ，过点D 作AB 的垂线，交AB 于点G ，则四边形DGBF 为矩形，DF ＝GB ，DG ＝FB .∵山坡的坡度i ＝1 ∶3， ∴DF ∶FC ＝1 ∶ 3.∴DF ∶FC ∶CD ＝1 ∶ 3 ∶2. ∵CD ＝10， ∴DF ＝5，FC ＝5 3. ∵CE ＝10，∴BE ＝DG －FC －CE ＝DG －53－10. ∵∠ADG ＝30°， ∴DG ＝AG tan30°＝3AG .∵∠AEB ＝60°， ∴tan ∠AEB ＝tan60°＝ABEB. ∵AB ＝AG ＋GB ＝AG ＋DF ＝AG ＋5， ∴3＝AG ＋5EB ＝AG ＋5DG －53－10.即3＝AG ＋53AG －53－10，解得AG ＝53＋10.∴AB ＝AG ＋GB ＝53＋10＋5≈23.7. 答：楼房AB 的高度约为23.7米．第8题解图9. 解：(1)如解图，分别过A 、D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F 、G ， ∵在Rt △ABF 中，AB ＝16米，∠B ＝60°，sin B ＝AFAB ，∴在矩形AFGD 中，DG ＝AF ＝16×32＝83米， ∴S △DCE ＝12×CE ×DG ＝12×8×83＝323平方米，∴需要填土石方150×323＝48003立方米； (2)在Rt △DGC 中，DC ＝16 3 米， ∴GC ＝DC 2－DG 2＝24米， ∴GE ＝GC ＋CE ＝32米，坡度i ＝DG ∶GE ＝83∶32＝3∶4＝1∶433.第9题解图10. 解：如解图，延长AB 交CD 于点H ，则AH ⊥CD .第10题解图在Rt △ACH 中，∠ACH ＝27°，∵tan27°＝AH CH， ∴AH ＝CH ·tan27°.在Rt △BCH 中，∠BCH ＝22°，∵tan22°＝BH CH， ∴BH ＝CH ·tan22°.∵AB ＝AH －BH ，∴CH ·tan27°－CH ·tan22°＝33 m.∴CH ≈300. ∴AH ＝CH ·tan27°≈153 m.在Rt △ADH 中，∠D ＝45°，∵tan45°＝AH HD， ∴HD ＝AH ＝153.∴EF ＝CD －CE －FD＝CH ＋HD －CE －FD＝300＋153－80－50＝323 m.答：隧道EF 的长度约为323 m.11. 解：如解图，过点D 作DH ⊥EF ，垂足为点H ，过点D 作DI ⊥AF ，垂足为点I ，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，交DI 于点G ，第11题解图在Rt △CME 中，CE ＝60，∠CEM ＝30°，∴CM ＝30，ME ＝303， 又∵点D 是CE 的中点， ∴DH ＝CG ＝GM ＝IF ＝15，DG ＝MH ＝HE ＝153，∴DI ＝DG ＋GI ＝153＋100，∵在Rt △AID 中，tan53°＝AI DI， ∴AI ＝DI ·tan53°≈(153＋100)×1.33≈167.5，∴AF ＝AI ＋FI ≈167.5＋15＝182.5 m ，答：小山AF 的高度约为182.5 m.12、解：如解图，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 交AB 交AB 于点E 、DF ⊥AB 交AB 于点F ，CM ⊥DF 于点M ，则MF ＝CE ，CM ＝EF .在Rt △AEC 中，∵∠AEC ＝90°，∠CAE ＝60°，CA ＝40，∴CE ＝CA ·sin60°＝40×32＝20 3. ∴DM ＝DF －MF ＝49.6－20 3.在Rt △CDM 中，∵∠CMD ＝90°，CD ＝30，∴sin ∠DCM ＝DM CD ＝49.6－20330≈49.6－20×1.7330＝12. ∴∠DCM 的度数约为30°.∴此时台灯光线最佳．解图。
