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第三章_刚体力学

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第3章 刚体力学

第3章 刚体力学

说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z

s r
v r
an r 2
O
at r

dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］

理论力学第三章刚体力学课件

理论力学第三章刚体力学课件
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Email:fcj@
1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)

理论力学第三章刚体力学

理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件

(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1

第三章-刚体力学基础

第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O

大学物理第三章刚体力学

大学物理第三章刚体力学

薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理

刚体力学基础第三章

刚体力学基础第三章

二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1

第三章 刚体力学分析


连续分布
J r 2 dm

J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2018/11/1
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y

第03章(刚体力学)习题答案


内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 3­2 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b

理论力学周衍柏第三章

一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

第三章 刚体力学

于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。 说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。
(5) 空间力系向一点简化 力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系 F1 , F2 ......Fn ) （
l sin 0 cos 0 f N2 h l sin 0 cos2 0
2
B C
l
说明：也可用二矩式和三矩式 平衡条件求解
l
A
例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根 绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求: 角与 角之间的关系。 解：(1) 本题需求角与 角的关系，
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
证明：o点任取
M o rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 M o
结论：力偶矩是自由矢量 力的作用面不能随意移动。
2
mxc Fx 即： myc Fy mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)： dJ cx dt M cx dJ c M c 即： dJ cy dt M cy dt dJ cz dt M cz
B C
l
l
A
(3) 本题为平面力系的平衡问题
平衡条件：Fx 0, Fy 0, M z 0
Fx 0 f N1 cos 90 0 0 f N1 sin 0 Fy 0 N 2 N1 sin 90 0 P 0 N 2 P N1 cos 0 M 0 Pl cos N h N Pl sin cos / h 0 1 1 0 0 Az sin 0
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定点转动中，r n r r n r 所以 v lim lim r t 0 t t 0 t
31


理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
对于任意旋转矢量 A 的导数
de e 先考察 A lim A （若O点不转动） dt t 0 t 当 t 0时， 0， eA 将与 eA垂直
刚体力学
许杰制作
LondonEye的座舱
7
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
汽车雨刷
8
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
茶叶揉磨机的揉磨桶
9
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
卸船机的平行杆
10
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体平动： 刚体运动时，在刚体上任选一条直线始终彼此平行 平动特点： 每点速度、加速度相同
平面平行运动特点：
平行于固定平面截刚体，则截面上的点在运动过程中 到固定平面的距离不变 分解为平动(一般质心)和定轴(过质心且垂直固定平面)转动
自由度为3
19
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
定点转动
健身陀螺
机械式陀螺仪
20
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
军用陀螺仪
21
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
32
eA
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
deA e lim A （若O点相对B点有平动和转动） 考察 dt t 0 t D eA 绕B点“公转”α角 如图示，若 D' eA 且 eA 绕O点“自转”β角，则 O eA 对地面观察者来说 eA
绕O点转动了θ＝α + β角
deA eA lim lim t 0 dt t 0 t e e A A
eA e A t
O
eA '

eA

eA
D
eA
注： OD 线为静系观察者看 eA旋转角度的基线 求得：

deA eA 的角速度 eA 为静系观察者看到 dt
当 基点 ' (两转轴平行)时，简化为：


基点 '
基点 '
41
理论力学
第三章
z
O



y
角速度 为静系观察者看到 eA 绕原点B(O)的总角速度
x
B
而不是动系观察者看到 eA 绕原点O的分角速度 deA eA 仌然成立， 为静系观察者看到 eA 的总角速度 dt
n
M p ' ' p r r ' p '' r' r '' r
r PP ' PM r sin en r n r
即 r n r 同理 r ' n ' r '
33
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
对于任意旋转矢量 A 的导数 dA de A dA d ( AeA ) dA eA A( eA ) eA A dt dt dt dt dt d*A dA eA A A dt dt

x O
vP ， P点相对速度 2 rAP P点绝对速度
38
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
vPr vP vPr 1 rOP vP r 动系平动速度 vPr 1 (rOA rAP ) vPr 1 rOA 1 rAP 所以P点速度： vP v ' ve 2 rAP vPr 1 rOA 1 rAP (vPr 1 rOA ) (1 2 ) rAP vA r '
角速度、角加速度恒为0
自由度为3
刚体轨迹可能是直线或曲线
11
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
定轴转动
舞者冰上旋转
12
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
汽车方向盘
皮带轮
13
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
秋千
14
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体定轴转动：
刚体绕一固定轴线转动
定轴转动特点：
轴线以外的点都作同轴圆周运动 角速度、角加速度相同

O
结论： 无限小转动是矢量
30
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
角速度矢量
d 定点转动中： lim t 0 t dt d d de d ( e ) e dt dt dt dt d de e n dt dt 仅当 e 不变时， 与 方向相同

O
r ' r r 又
代入求得 r ' n ' r ' n ' (r r ) n ' r
29
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
r n r
r ' n ' r

n
M ' p ' p '' p r r ' r' r '' r
已知位移是矢量，因而有：
r r ' r ' r
即 n r n ' r n ' r n r (n n ') r (n ' n) r 由于 r 为任意矢量， 所以 n n ' n ' n
在刚体中是以基点为参考点，没有画出坐标系而已
O v vA r ' x vAr 1 rOA (1 2 ) rAP vA r 2 rAP (vAr 1 rOP ) v ' ve
v v ' ve v ' (vt r )
vt
动系平动速度
z
牵连速度 ve vt r 表示在动系中
与动点P重合点的速度，相对动系静止 不妨设刚体绕O点的角速度为1
r
P r' A

rA
y
刚体内P点绕A点的角速度 2
36
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
为刚体所共有
描述刚体在空间的位置可以选择静系和固连在刚体上的动系 静系与动系乊间可看成线性空间的关系 由于线性空间乊间的转换只与转换矩阵有关 即角速度仅与转换矩阵有关，与刚体上的具体某个点无关
37
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体内任意点速度（A为基点）也可由速度合成公式推得 绝对速度＝相对速度+牵连速度
z
P r'
r
A
则有：r rA r '
rA
O
x
y
(刚体AP距离不变) dr drA dr ' vA r ' 一阶导有： v dt dt dt 刚体内任意点速度： v vA r ' (默认了刚体上ω相同)
第三章
刚体力学
许杰制作
自由度
描写物体运动时，独立变化坐标变量的数目
确定刚体的位置 质点 → 3 质点组（n个质点） → 3n
刚体中任意两个质点乊间的距离始终保持不变
6个坐标数
4
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体运动的分类：
平动
平行杆
5
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
液压平动剪的剪头
6
理论力学
第三章
* dA dA d A eA A A dt dt dt
绝对微商 = 相对微商 + 牵连微商
A 大小恒定时
dA A dt
为静系观察者看到 eA 的总角速度
34
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体内任意点速度（A为基点） 如图，在刚体内取任一点P， 它的位矢是r，如果再在刚体上 取异于P点的任意一点A作为基点
P点牵连速度：
vA 不是牵连速度，而是 vPr 1 rOP
为刚体总角速度
39
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
z
质点的速度合成原理：
P
v v ' ve v ' vt r '
刚体内任意点速度：
2
A
1
区别在于，刚体内任意两点距离不变，AP方向 vn ' 0
一般运动 ＝
自由度为6
质心的平动
+
定点转动
25
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作