2019学年高中物理第二章圆周运动第二节第3课时生活中的向心力学案粤教版必修2

必修（2）第二章第二节《向心力》教学设计教材分析教材先讲向心力，后讲向心加速度，回避了用矢量推导向心加速度这个难点，通过实例给出向心力概念，再通过探究性实验给出向心力公式，之后直接应用牛顿第二定律得出向心加速度的表达式，顺理成章，便于学生接受．接着介绍了火车转弯和汽车过拱桥等实际问题，开拓学生的思维，使学生理解向心力的产生原因，能对日常生活中的有关问题有正确的理解和判断，从而对力与运动的关系有进一步的认识。

学生分析1、学生对物体进行受力分析和运动状态的判断已有一定基础，也学习了牛顿三大运动定律，初步具备了以加速度为桥梁的运动和力关系的知识体系。

2、在第一节的教学中，学生已经对匀速圆周运动有了一定的理解。

知道描述匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，知道匀速圆周运动是一种变速运动，因为它的线速度方向时刻在变，但这只是表面的知道，更深一步来分析，为什么线速度的方向时刻在变？是什么力来改变物体的这种运动状态，这个力有何特点？学生带着这些问题进入本节课的学习。

三维目标：1．知识与技能：①理解向心力和向心加速度的概念。

②知道向心力的大小与什么因素有关，理解向心力、向心加速度公式的确切含义，并能应用公式进行计算。

③能运用向心力和向心加速度的公式解答有关问题。

2．过程和方法：①通过对向心力概念的形成过程，培养学生的观察、概括、推理能力。

②通过实验探究，发展学生的实验能力。

3．情趣、态度与价值观：①通过生活中的例子，使学生领略自然的奇妙和谐，激发学生的好奇心和求和欲，体验探索自然规律的情趣。

②通过向心力的探究实验，培养学生参与活动的热情和与他人合作的精神。

③通过知识的探索过程，使学生感受成功的快乐。

教学重点1、理解向心力和向心加速度的概念。

2、知道向心力、向心加速度的大小，并能用来进行计算。

教学难点1、建立向心力的概念。

2、对向心力和向心加速度的正确理解和认识。

教学方法：实验法、讲授法、归纳法首先引导学生对做周围运动的物体进行受力情况分析，并让学生清楚地认识到求出物体沿半径方向受到的合外力，就是提供给物体做圆周运动的向心力．从中引导启发学生认识到：做圆周运动的物体都必须受到指向圆心的力的作用，由此引入向心力的概念。

第2节向心力第3课时生活中的圆周运动一、教学任务分析本节内容选自粤教版高中物理必修二第二章第二节的第三课时《生活中的圆周运动》。

课程标准对本部分的要求是：能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力，关注圆周运动的规律与日常生活的联系。

二、学生学情分析学生在此之前学习了牛顿运动定律及圆周运动的基本知识，并通过实验演示及分析对匀速圆周运动的规律已经掌握。

但对于向心力及向心加速度的理解任然需要提高认识和理解。

对于生活中有关圆周运动的知识还缺乏较深的理解。

三、教学目标（一）知识与技能1.能定性分析火车外轨比内轨高的原因；2.能定量分析汽车过拱形桥最高点和凹形桥最低点的压力问题；3.会在具体问题中分析向心力的来源；4.会用牛顿第二定律解决生活中较简单的圆周运动问题；5.知道离心运动及其产生的条件，了解离心运动的应用和防止。

（二）过程与方法1.通过对匀速圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高分析和解决问题的能力；2.通过对离心现象的实例分析，提高综合应用知识解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观运用生活中的事例，激发学生学习兴趣和探索动机，树立具体问题具体分析的科学观念。

四、教学重点1.掌握处理圆周运动问题的一般步骤；2.知道离心运动及其产生的条件，了解离心运动的应用和防止。

五、教学难点火车轮缘与轨道的受力关系、离心运动。

六、教学流程（一）学生上台表演，复习回顾教师让学生上台弹唱自己作词作曲的《听我说圆周运动》【设计意图】创造一种轻松的课堂氛围，把物理知识融入歌曲里，激发学生学习兴趣，拓宽了学生眼界。

（二）回归生活，积极探索【环节一】火车转弯问题1.提出问题，做好铺垫教师：播放火车转弯的视频，同时展示火车车轮与轨道的构造，介绍火车内轮、外轮、内轨、外轨。

【设计意图】1.引导学生产生对火车问题的探究欲望，为接下来对火车转弯的探究做铺垫。

2.教师顺势提出今天研究的第一个问题火车的转弯问题——水平面内的圆周运动。

2.2 向心力 学案（粤教版必修2）知识梳理一、感受向心力 1.定义做匀速圆周运动中的物体受到的总是指向圆心方向的合外力叫向心力. 2.方向向心力的方向始终指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直.3.向心力大小与哪些因素有关(1)实验证明：向心力大小与物体质量、角速度和半径有关. (2)公式向心力与角速度的关系F=mω2·r.向心力与线速度的关系F=rmv 2.4.向心力的效果向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，向心力就是维持物体做圆周运动的力.二、向心加速度 1.定义由向心力产生的加速度叫向心加速度. 2.方向向心加速度总是沿半径指向圆心,和向心力方向一样，总是不断变化的. 3.大小a=ω2·r 或a=rv 2.4.物理意义向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量.它不改变线速度的大小. 三、生活中的向心力 1.汽车转弯（1）水平公路，靠静摩擦力提供向心力；（2）里低外高的倾斜路面，重力和支持力的合力提供向心力. 2.汽车过桥汽车通过凸形桥最高点或凹形桥最低点：重力和支持力的合力提供向心力. 知识导学假如物体在圆周上某一点的向心力方向跟速度方向不垂直,那样力将在切向有分量,该分量将在切向上改变速度的大小.因此,只有垂直时,切向上无分量,线速度的大小才保持不变，物体才做匀速圆周运动.做匀速圆周运动物体的向心加速度由向心力和物体的质量决定.即a 向=mF 向,向心加速度的方向总是与向心力方向相同. 疑难突破1.向心力的理解剖析：向心力是一种效果力，它不是根据力的性质来命名的，因此向心力不是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等以外的特殊的力，进行受力分析时，切勿把向心力作为一种独立的力重复算入.向心力只是以上这些力的别称，或是这些力的合力，或是这些力的分力，也可能就是某个力.匀速圆周运动中，合外力充当向心力；在一般圆周运动中，物体所受合外力在沿法线方向的分力即为向心力，产生向心加速度，用以改变运动的方向，合外力在沿切线方向的分力产生切向加速度，用以改变速度的大小. 2.向心加速度与半径的关系剖析：由向心加速度公式a=rv 2=ω2r 可知，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比.图2-2-1反映了向心加速度a 的大小与旋转半径r 的关系.其中图线①的条件是ω（或周期T ）一定；图线②的条件是v 大小一定.图2-2-1两个物理量成正比（或反比）是解决问题常用的关系，但要注意其使用条件. 3.匀速圆周运动的性质剖析：物体的运动情况决定其受力情况，做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心，所以其向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，故： （1）匀速圆周运动是非匀变速曲线运动.（2）匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期,运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态（如v 、a 大小方向）也要重复原来的情况. 典题精讲例1 汽车沿半径为R 的圆形跑道行驶,设跑道的路面是水平的,路面作用于汽车的摩擦力的最大值是车重的k 倍.要使汽车不致冲出跑道,车速最大不能超过多少?思路解析：汽车做圆周运动的向心力是由它与地面之间的静摩擦力提供的,如图2-2-2所示.汽车在做圆周运动时会产生一个沿圆弧半径方向远离圆心的运动趋势,因此会使汽车受到一个指向圆心的静摩擦力,用以提供转弯时所需的向心力.根据F 向=rmv 2可知,汽车的速度越大,转弯时所需的向心力越大,当汽车所需的向心力等于汽车和地面之间的最大静摩擦力时,汽车的速度达到最大值(如果速度超过此值,汽车就不能再做圆周运动了).图2-2-2假设车速最大不能超过v m则:2m mv /R=kmg,v m =kgR ,车速最大不能超过kgR . 答案：kgR绿色通道：由F=mv 2/r 可知，r 一定时，v 越大，所需的向心力就越大，即要求路面对汽车的静摩擦力就越大，但静摩擦力是有限度的，不可能无限增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，如果仍继续增大速度，则不可能满足圆周运动的需要，不能正常进行圆周运动. 变式训练 如图2-2-3所示,半径为r 的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO′转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为μ,现要使小物块不下落,圆筒转动的角速度ω至少为____________________.图2-2-3思路解析：由平衡条件得：μF=mg,又F=mω2r ，联立以上两式解得:ω=rg μ. 答案：rg μ 例2 一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的,圆锥固定,有质量相同的两个小球A 和B 贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图2-2-4所示,A 的运动半径较大.则图2-2-4A.A 球的角速度必小于B 球的角速度B.A 球的线速度必小于B 球的线速度C.A 球的运动周期必大于B 球的运动周期D.A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力思路解析：求解匀速圆周运动的向心力常用以下两种方法:(1)先对物体进行受力分析,画好受力图,然后用求合力的方法得到指向圆心的向心力;(2)借助于v 、ω、T 、n 和r 等量求得a 向,再用牛顿第二定律F 向=ma 向求得向心力.本题中两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,它们均受到重力和筒壁对它的弹力作用,这两个力的合力提供向心力,如图2-2-5所示,可知筒壁对小球的弹力F N =mg/sinθ,而重力和弹力的合力为F 合=mgcotθ.图2-2-5由牛顿第二定律,可得mgcotθ=mω2R=R mv 2=m·224Tπ·R所以:ω=R g /cot θ,v=θcot gRT=2πθcot /g R ,F N =mg/sinθ由以上四个表示式可知:①ωA ＜ωB ②v A ＞v B ③T A ＞T B ④F NA =F NB .所以选项AC 正确. 答案：AC绿色通道：处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题： （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如本题小球在水平面上做匀速圆周运动，小球做圆周运动的圆心就在同一水平面上. (2)向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力的情况时，切不可在物体的相互作用（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力.变式训练 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度v ，则下列说法中正确的是（ ）A.当以v 的速度通过此转弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B.当以v 的速度通过此转弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C.当速度大于v 时，轮缘挤压外轨D.当速度小于v 时，轮缘挤压外轨思路解析：铁路转弯处，火车需要向心力，当火车按规定行驶速度v 通过转弯处时，支持力和重力的合力可提供向心力，A 对,B 错.当速度大于v 时，火车需要的向心力增大，轮缘挤压外轨，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力，C 对,D 错. 答案：AC例3 绳系着装有水的小木桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5 kg,绳长L=40 cm.求:(1)桶在最高点而使水不流出的最小速度; (2)水在最高点速度v=3 m/s 时,水对桶底的压力.思路解析：在最高点，水受桶的压力，方向竖直向下，向心力由重力和压力的合力提供. (1)在最高点,水受两个力:一是重力;二是桶底对水的压力,二者均向下. 所以F 向=F+G=mv 2/L,v 变大时,F 变大 当F 为最小,即F=0时 v min =gL =0.410 m/s=2 m/s桶在最高点时而使水不流出的最小速率为2 m/s. (2)当v=3 m/s 时,F=mv 2/L-mg=0.5×(4.09-10) N=6.25 N 根据牛顿第三定律可知,水对桶底的压力为6.25 N,方向竖直向上. 答案：(1)2 m/s(2)6.25 N绿色通道：虽然向心力公式是由匀速圆周运动推出来的，但它仍适用于非匀速圆周运动.此时合外力沿半径方向的分力提供物体做圆周运动的向心力.变式训练 如图2-2-6中，m 为水平传送带上被传送的物体，A 为终端皮带轮，半径为r ，当m 可被水平抛出时，A 轮每秒转数最少是_____________.图2-2-6思路解析：由题意知：m 的速度等于皮带匀速运动的速度，也等于皮带轮A 边缘的线速度，m 刚好被水平抛出时A 轮线速度最小，转速最小.此时物体m 的重力提供向心力，即mg=r mv 2，又v=2πr·n ，联立解得：n=π21rg. 答案：π21rg 问题探究问题 圆周运动中向心力的来源有哪些？导思：确定圆周运动物体所需向心力的来源是研究圆周运动的关键.做圆周运动的物体，其向心力可以由某一个力提供，也可由若干个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供. 若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定.若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向上的分力则用于改变线速度的大小. 向心力是效果力，在受力分析时不能分析进去. 探究：(1)静摩擦力提供向心力如图2-2-7所示，木块随圆盘一起运动即做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供.静摩擦力总是沿半径指向圆心，说明木块相对圆盘的运动趋势方向是沿半径背离圆心，静摩擦力与相对运动趋势方向相反.图2-2-7汽车在十字路口拐弯时所需的向心力就是由路面施加的静摩擦力提供的.(2)合力提供向心力如图2-2-8所示，小球在玻璃漏斗里沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动所需的向心力就是由小球所受的重力和支持力的合力提供.根据平行四边形定则可得：图2-2-8F 向=Gcot 2,如汽车、火车拐弯时所需的向心力均属此类.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第3课时 生活中的向心力1．汽车转弯2.荡秋千通过最低点时：底座对人的支持力与人的重力的合力提供向心力，即F N －mg ＝m v 2R.3．汽车通过拱桥顶部时：桥面对汽车的支持力F N 与汽车的重力的合力提供向心力，即mg －F N ＝m v 2R.4．人坐过山车通过最高点时：座位对人的支持力F N 和人的重力的合力提供向心力，即F N ＋mg ＝m v 2R.1．判断下列说法的正误．(1)高速公路的弯道处，内轨高于外轨．( × )(2)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重．( × ) (3)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车的重力．( √ )2．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图1所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r ＝180 m 的圆周运动，如果飞行员质量m ＝70 kg ，飞机经过最低点P时的速度v ＝360 km/h ，则这时飞行员对座椅的压力大小约为________．(g 取10 m/s 2)图1答案 4 589 N解析 飞机经过最低点时，v ＝360 km/h ＝100 m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力mg 和座椅的支持力F N 两个力的作用，根据牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2r，所以F N ＝mg ＋m v 2r ＝70×10 N ＋70×1002180N≈4 589 N，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4 589 N.【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题一、汽车转弯问题1．物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．2．汽车在水平公路上转弯：车轮与路面间的静摩擦力f 提供向心力，即f ＝m v 2R.3．汽车在倾斜的路面上转弯：若重力和路面的支持力的合力完全提供向心力，此时汽车不受侧向的摩擦力，则有mg tan θ＝m v 2R.由此可知：车速越快，弯道半径越小，汽车需要的向心力越大，倾斜的角度也越大． 4．火车转弯问题(1)弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mg tan θ＝m v 20R，如图2所示，则v 0＝gR tan θ，其中R 为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角，v 0为转弯处的规定速度．图2(2)速度与轨道压力的关系①当火车行驶速度v 等于规定速度v 0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．②当火车行驶速度v >v 0时，外轨道对轮缘有侧压力． ③当火车行驶速度v <v 0时，内轨道对轮缘有侧压力．例1 为获得汽车行驶各项参数，汽车测试场内有各种不同形式的轨道．如图3所示，在某外高内低的弯道测试路段汽车向左拐弯，汽车的运动可看成做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间垂直前进方向的摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )图3A.gRh LB.gRh dC.gRL hD.gRd h答案 B解析 把路基看成斜面，设其倾角为θ，汽车在斜面上受到自身重力mg 和斜面支持力F N ，二者的合力提供向心力，即指向水平方向．根据几何关系可得合力为mg tan θ，即向心力，所以mg tan θ＝mv 2R ，v ＝gR tan θ，根据路基的高度差和水平宽度得tan θ＝hd，所以v＝gRhd.选项B 对．针对训练1 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图4，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v 0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )图4A ．路面外侧高、内侧低B ．车速只要低于v 0，车辆便会向内侧滑动C ．车速虽然高于v 0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v 0的值变小 答案 AC解析 当汽车行驶的速率为v 0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A 正确；当车速低于v 0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B 错误；当车速高于v 0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C 正确；由mg tan θ＝m v 02r可知，v 0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，选项D 错误．【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题 二、圆锥摆模型及其拓展 1.圆锥摆结构和运动模型如图5所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O 点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动．图52．向心力来源(1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力． (2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分力提供向心力． 3．动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系图6如图6所示，设小球的质量为m ，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l ，则小球做圆周运动的半径为r ＝l sin θ.由牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2r或mg tan θ＝m ω2r .所以v ＝gr tan θ＝gl sin θ·tan θ. ω＝g tan θr＝g l cos θ.4．拓展(1)“飞车走壁”(光滑漏斗上小球的运动)(如图7)； (2)飞机在水平面内做匀速圆周运动(如图8)； (3)火车转弯(如图9)．图7 图8 图9例2 长为L 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图10所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：图10(1)线的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的周期． 答案 (1)mgcos α(2)gLcos αsin α (3)2πL cos αg解析 (1)对小球受力分析如图所示，小球受重力mg 和线的拉力F T 作用，这两个力的合力mg tan α指向圆心，提供向心力，由受力分析可知，细线拉力F T ＝mgcos α.(2)(3)由F ＝m v 2R ＝m 4π2RT2＝mg tan α，半径R ＝L sin α， 得v ＝gL sin 2 αcos α＝gLcos αsin α，T ＝2πL cos αg.圆锥摆模型是典型的匀速圆周运动，从圆锥摆模型可以看出匀速圆周运动问题的解题思路： (1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节． (2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的． (3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．针对训练2 如图11所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )图11A ．线速度v A ＞vB B ．角速度ωA ＞ωBC ．向心力F A ＞F BD ．向心加速度a A ＞a B 答案 A解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球受到的合力为F 合＝mgtan θ，由F ＝F 合＝mgtan θ＝m ω2r＝m v 2r＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由于v ＝grtan θ和ω＝g r tan θ知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故选项A 对，B 错误．【考点】类圆锥摆模型【题点】类圆锥摆的动力学问题分析三、汽车过桥问题 1．汽车过拱形桥(如图12)图12汽车在最高点满足关系：mg －F N ＝m v 2R ，即F N ＝mg －m v 2R.(1)当0≤v <gR 时，0<F N ≤mg .(2)当v ＝gR 时，F N ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态． 2．汽车过凹形桥(如图13)图13汽车在最低点满足关系：F N －mg ＝mv 2R ，即F N ＝mg ＋mv 2R.说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态．由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．例3 如图14所示，质量m ＝2.0×104kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m ，如果桥面承受的压力不超过3.0×105N ，则：(g 取10 m/s 2)图14(1)汽车允许的最大速率是多少？(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 答案 (1)10 3 m/s (2)1.0×105N解析 汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，车对桥面的压力最大；汽车驶至凸形桥面的顶部时，合力向下，车对桥面的压力最小．(1)汽车在凹形桥的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力F N1＝3.0×105N ，根据牛顿第二定律F N1－mg ＝m v 2r，即v ＝(F N1m－g )r ＝10 3 m/s 由于v <gr ＝10 6 m/s ，故在凸形桥最高点处汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 3 m/s.(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得mg －F N2＝m v 2r ，即F N2＝m (g －v 2r)＝1.0×105 N由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105N ，此即最小压力． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题针对训练3 在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图15所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( )图15A ．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些B ．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些C ．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态D ．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小 答案 D解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－F N ＝m v 2R ，即F N ＝mg －m v 2R<mg ，根据牛顿第三定律可知玩具车对桥面的压力大小与F N 相等，所以玩具车通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小，选项D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题1．(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( ) A ．适当减小内外轨的高度差 B ．适当增加内外轨的高度差 C ．适当减小弯道半径 D ．适当增大弯道半径 答案 BD解析 设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mg tan α＝m v 2r，解得v ＝gr tan α，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r . 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题2．(汽车过桥问题)如图16所示，质量为1 t 的汽车驶上一个半径为50 m 的圆形拱桥，当它到达桥顶(A 点)时的速度为5 m/s ，此时汽车对桥面的压力大小为________N ．此时汽车处于________(填“超重”或“失重”)状态．若汽车接下去行驶遇到一段水平路面和凹形桥面，则在A 、B 、C 三点中，司机为防止爆胎，需要在到达________(填“A ”“B ”或“C ”)点前提前减速；为了防止汽车腾空离地，需要在到达________(填“A ”“B ”或“C ”)点前提前减速．(g ＝10 m/s 2)图16答案 9 500 失重 C A 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题3.(圆锥摆问题分析)如图17所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆长为L ′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装置可绕竖直轴转动．g 取10 m/s 2，问：(结果保留两位小数)图17(1)要使绳子与竖直方向成45°角，该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力为多大？答案(1)6.44 rad/s (2)4.24 N解析小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为F T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝mω2r①r＝L′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sF T＝mgcos 45°≈4.24 N.【考点】圆锥摆模型【题点】圆锥摆的动力学问题分析一、选择题考点一交通工具的转弯问题1.如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )图1A．f甲小于f乙B．f甲等于f乙C．f甲大于f乙D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关答案 A解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f ＝F 向＝m v 2r，由于m 甲＝m 乙，v 甲＝v 乙，r 甲＞r 乙，则f 甲＜f 乙，A 正确． 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】水平路面内的转弯问题2．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( ) A ．减为原来的12B ．减为原来的14C ．增为原来的2倍D ．增为原来的4倍答案 D【考点】交通工具的转弯问题 【题点】水平路面内的转弯问题3.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图2所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h 的速度转弯，转弯半径为1 km ，则质量为50 kg 的乘客，在转弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g 取10 m/s 2)( )图2A ．500 NB ．1 000 NC ．500 2 ND ．0答案 C解析 乘客所需的向心力F ＝m v 2R＝500 N ，而乘客的重力为500 N ，故火车对乘客的作用力大小F N ＝F 2＋G 2＝500 2 N ，C 正确． 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题 考点二 圆锥摆模型及其拓展分析4．两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图3所示，A 运动的半径比B 的大，则( )图3A ．A 所需的向心力比B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大C ．A 的角速度比B 的大D ．B 的角速度比A 的大 答案 A解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tan θ＝m ω2l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝g l cos θ＝gh，故两者的角速度相同，C 、D 错．5.(多选)如图4所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )图4A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用B ．摆球受重力和拉力的作用C ．摆球运动周期为2π L cos θg D ．摆球运动的转速为gLcos θsin θ答案 BC解析 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为T ，则：mg tan θ＝m4π2T 2r ，r ＝L sin θ，T ＝2πL cos θg ，转速n ＝1T ＝12πg L cos θ，B 、C 正确，A 、D 错误．【考点】圆锥摆类模型【题点】类圆锥摆的动力学问题分析6．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图5所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ，下列说法中正确的是( )图5A ．h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大B ．h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大C ．h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越大D ．h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 答案 BC解析 对摩托车受力分析如图所示．由于F N ＝mgcos θ所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力也不变，选项A错误；由F ＝mg tan θ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r 知h 变化时，向心力F 不变，但高度升高，r 变大，v ＝gr tan θ，ω＝ g tan θr，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B 、C 正确，D 错误．7.如图6所示，一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g )( )图6A ．mg 2＋(v 2R)2B ．m(v 2R)2－g 2 C ．m v 2RD ．mg 答案 A解析 对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg 、空气对老鹰的作用力F .由题意可知，力F 沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F 1＝mv 2R，F 2＝mg ，则F ＝F 22＋F 12＝(mg )2＋(m v 2R)2＝mg 2＋(v 2R)2，A 正确．【考点】向心力公式的简单应用【题点】水平面内圆周运动中的动力学问题考点三 汽车过桥问题8．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图7所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，从A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v ，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )图7A ．小汽车通过桥顶时处于失重状态B ．小汽车通过桥顶时处于超重状态C ．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为F N ＝mg －m v 12RD ．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR 答案 A【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题9.如图8所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L 1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列选项中正确的是( )图8A ．L 1＝L 2B ．L 1>L 2C ．L 1<L 2D ．前三种情况均有可能 答案 B【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题10.(多选)一个质量为m 的物体(体积可忽略)，在半径为R 的光滑半球顶点处以水平速度v 0运动，如图9所示，则下列说法正确的是( )图9A ．若v 0＝gR ，则物体对半球顶点无压力B ．若v 0＝12gR ，则物体对半球顶点的压力为12mgC ．若v 0＝0，则物体对半球顶点的压力为mgD ．若v 0＝0，则物体对半球顶点的压力为零 答案 AC解析 设物体受到的支持力为F N ，若v 0＝gR ，则mg －F N ＝m v 02R，得F N ＝0，则物体对半球顶点无压力，A 正确．若v 0＝12gR ，则mg －F N ＝m v 02R ，得F N ＝34mg ，则物体对半球顶点的压力为34mg ，B 错误．若v 0＝0，根据牛顿第二定律mg －F N ＝m v 02R ＝0，得F N ＝mg ，物体对半球顶点的压力为mg ，C 正确，D 错误． 【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题 二、非选择题11.(秋千过最低点问题)如图10所示，质量为1 kg 的小球用细绳悬挂于O 点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s ，已知球心到悬点的距离为1 m ，重力加速度g ＝10 m/s 2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．图10答案 14 N解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg 和绳的拉力F T 提供(如图所示)，即F T －mg ＝mv 2r所以F T ＝mg ＋mv 2r ＝(1×10＋1×221) N ＝14 N小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题12．(交通工具的转弯问题)如图11所示为汽车在水平路面做半径为R 的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g )图11(1)车正向左转弯还是向右转弯？ (2)车速是多少？(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 答案 (1)向右转弯 (2)gR tan θ (3)tan θ解析 (2)对灯受力分析知mg tan θ＝m v 2R得v ＝gR tan θ(3)车刚好不打滑，有μMg ＝M v 2R得μ＝tan θ.【考点】交通工具的转弯问题 【题点】水平路面内的转弯问题13．(汽车转弯与过桥问题)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(g ＝10 m/s 2) (1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m ，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？ 答案 (1)150 m (2)90 m (3)37°解析 (1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg ＝m v 2r由速度v ＝30 m/s ，解得弯道的最小半径r ＝150 m(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有mg －F N ＝m v 2R为了保证安全，车对路面的压力F N 必须大于等于零．有mg ≥m v 2R，代入数据解得R ≥90 m(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有mg tan θ＝m v 2r ′解得tan θ＝34故弯道路面的倾斜角度θ＝37°. 【考点】交通工具的转弯问题 【题点】倾斜面内的转弯问题。

第二节向心力[自主学习互动]1._________是改变物体运动状态的原因.答案：力2.匀速圆周运动是速度_________不变而_________时刻改变的变速运动.答案：大小方向3.物体做曲线运动的条件是什么？答案：物体所受合外力方向与速度方向不在同一直线上.知识链接从力和运动的关系分析提出向心力的概念，在此基础上进行研究得出向心力和向心加速度的公式.●规律总结1.对向心力的理解要注意的几个问题：(1)向心力是按力的作用效果命名的力，而不是物体受到的另外一种性质的力，它可以是重力、弹力、摩檫力等各种性质的力，也可以是它们的合力或者是某个力的分力.(2)在匀速圆周运动中，向心力是物体所受到的合外力，在变速圆周运动中，向心力的大小等于物体所受到的沿着圆周半径方向指向圆心的合外力.(3)向心力垂直于速度方向，因其方向时刻改变，故向心力不是恒力，而是变力.(4)向心力与圆周运动的因果关系：不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是物体受向心力作用，使物体不断改变速度方向而做圆周运动.2.对向心加速度的理解要注意的问题：(1)向心加速度与线速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小.(2)向心加速度的方向指向圆心，方向时刻在改变，是一个变化的加速度，所以，匀速圆周运动不是匀变速运动.(3)在圆周运动中，向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量.3.解有关向心力和向心加速度问题的一般步骤：(1)认清物体运动的基本情况，确定研究的对象；(2)对研究对象进行受力分析，认清物体做圆周运动时向心力的来源，切记一切做圆周运动的物体，其向心力都来自于物体所受到的合外力，即合外力提供向心力；(3)根据向心力或向心加速度的公式列方程；(4)代入已知条件，得出要求解的量.●合作讨论假如把地球当作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径R(R约为6400 km).地球表面有一条南北走向的高速公路.地面上有一辆汽车，其重力为G，地面对它的支持力为N.汽车沿这条高速公路行驶，不断加速.请同学们根据所学知识展开丰富的想象，把实际问题抽象为物理模型，共同讨论下述问题：(1)随着汽车速度的增大，地面对它的支持力会发生怎样的变化？(2)会不会发生这样的情况：当汽车速度达到一定程度时，地面对汽车的支持力为零，这时驾驶员与座椅之间的作用力是多少？他这时可能会有什么感觉？我的思路：(1)由于汽车在行驶时，沿地球表面做圆周运动，而做圆周运动的物体需要外力提供向心力，向心力的来源是汽车的重力G和地面对它的支持力N ，这两个力的合力提供汽车运动的向心力.根据物体做圆周运动所需向心力的公式F =m Rv 2，容易知道当汽车速度增加时，地面对它的支持力的变化情况. (2)我们要时刻牢记物体做圆周运动需要外力提供向心力，地面对汽车的支持力为0，这就意味着此时汽车所需的向心力只由汽车自身的重力来提供.根据向心力的计算公式F =m rv 2容易算出汽车的速度.同学们对结果展开讨论，看理论上计算的结果在现实条件下能否实现.对驾驶员与座椅之间的作用力和他可能有的感觉的问题，同学们可以展开丰富的想象，进行讨论.●思维过程【例1】 从公式a =Rv 2来看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；但是从公式a =ω2r 来看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？怎样理解这两个公式？思路：对这两个公式的理解，的确是初学者的一个很大的疑点，理解起来有一定的困难.其实我们可以结合初中学过的两个公式来理解，如电功率的两个表达式P =I 2R 和P =U 2/R ，在理解类似问题时我们要紧紧扣住一点，即当一个表达式有多个物理量，说某个物理量和另一个物理量的关系时，我们必须明确其他量是否被控制(即不变)，只有这样我们才能确定这两个量之间的关系.解析：为了帮助同学们更好地理解这两个公式，下面我们结合两个具体的问题来解决.(1)在y =kx 这个关系式中，我们说y 与x 成正比，前提条件是k 是一个恒量；(2)如图2－5自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不同，它们的边缘有三个点A 、B 、C ，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与圆周运动的半径成反比”？哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与圆周运动的半径成正比”？图2－5显然，A 、B 两点是同一链条传动，线速度v 相同.从公式a =Rv 2看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；B 、C 两点所在的齿轮同轴转动,角速度ω相同，故从公式a =ω2r 来看，向心加速度与半径成正比.●新题解答【例2】 地球的最北极生活着爱斯基摩人，狗是他们最好的朋友，狗拉雪橇是他们最常用的交通工具.若狗拉雪橇沿位于水平面的圆弧形轨道匀速率行驶，如图2－6为四个关于雪橇的牵引力F 和摩擦力f 的示意图(O 为圆心)，其中符合题意的是A B C D 图2－6答案：C解析：根据题目意思，狗拉雪橇在水平面内做匀速圆周运动，根据物体做匀速圆周运动的条件：物体所受一切外力的合力方向指向圆心，这个合力提供雪橇做圆周运动的向心力.由于A 图合力显然没有指向圆心，故A 不对；B 图摩擦力指向不对，而且合力也不指向圆心，故B 不对；D 图摩擦力方向有误，故D 不对；只有C 图摩擦力及合力符合圆周运动的条件.点评：本题从问题情境立意，要求学生理解物体做匀速圆周运动的条件，会对物体进行正确的受力分析，而且学会根据题目意思，从图中获取有用的信息.所以本题能启发学生理解物理规律，提高学生综合应用物理知识和数学图象灵活解决问题的能力.【例3】 计算机上常用的“3.5英寸、1.44 ＭＢ”软磁盘的磁道和扇区如图2－7所示.磁盘上共有80个磁道(即80个不同半径的同心圆)，每个磁道分成18个扇区(每扇区为181圆周)，每个扇区可记录512个字节.电动机使磁盘以300 r/min 匀速转动.磁头在读、写数据时是不动的.磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道.区道图2－7(1)一个扇区通过磁头所用的时间是多少？(2)不计磁头转移磁道的时间，计算机每秒内可从软盘上最多读取多少个字节？(3)在距离圆心3 cm 的扇区，该扇区受到的向心加速度是多大？解析：(1)因电动机使磁盘以300 r/min 匀速转动,角速度ω=300×2π/60rad/s=314 rad/s ，所以电动机转动周期T =2π/ω=0.02 s.由于每个扇区为181圆周，故一个扇区通过磁头所用的时间是：t =T ×181=1.1×10－3 s. (2)因每个扇区可记录512个字节，所以计算机每秒内可从软盘上最多读取字节数为：N =3101.1512-⨯=4.65×105(个) (3)根据向心加速度的公式： a =ω2r =3142×0.03 m/s 2=2.96×103 m/s 2.点评：该题从学生的生活情景和科技应用出发，使得学生真切地认识到生活中充满了物理知识，帮助学生进一步掌握有关圆周运动的有关概念，如线速度、角速度、周期、频率、向心力、向心加速度等物理概念，并在理解概念的基础上，应用圆周运动的规律解决实际问题.同时能激发学生学习物理的热情和获得克服困难的勇气和信心.[典型例题探究] 【例1】如图2－2－4所示压路机前后轮半径之比是1∶3，A 、B 分别是前后轮边缘上的点，C 为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则当压路机运动后三点A 、B 、C 的角速度之比为_______，向心加速度之比为_______. 解析：因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A 、B 线速度大小相等，而同一轮上的B 、C 点具有相同的角速度，即有 v A =v B ωB =ωC 根据v =ω·r 可得：ωA ∶ωB =A A r v ∶B B r v =A r 1∶B r 1=3∶1 图2－2－4 所以ωA ∶ωB ∶ωC =3∶1∶1 根据a =ω2·r 可得a A =ωA 2·r A a B =ωB 2r B a C =ωC 2r C a A ∶a B ∶a C =（3ωC ）2r A ∶（ωC 2·3ｒA ）∶（ωC 2·23r A ） =9∶3∶23=6∶2∶1. 【例2】汽车沿半径为R 的圆形跑道行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于汽车的摩擦力的最大值是车重的k 倍，要使汽车不致冲出跑道，车速最大不能超过多少? 解析:汽车做圆周运动的向心力，是由它与地面之间的静摩擦力提供的，如图2－2－5所示.汽车在做圆周运动时会产生一个沿圆弧半径方向远离圆心的运动趋势，因此会使汽车受到一个指向圆心的静摩擦力，用以提供转弯时所需的向心力，根据F 向=m rv 2可知，汽车的速度越大，转弯时所需的向心力越大，当汽车所需的向心力等于汽车和地面之间的最大静摩擦力时，汽车的速度达到最大值（如果速度超过此值，汽车就不能再做圆周运动了）.图2－2－5 规律发现压路机在地面上行驶，不打滑时，两轮边缘的线速度大小相等，这里的地面好像是连接两轮的皮带.由F =mv 2/r 可知，r 一定时，v 越大，所需的向心力就越大，即路面对汽车的静摩擦力就越大，但静摩擦力是有限度的，不可能无限增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，如果仍继续增大速度，则不可能满足圆周运动的需要，不能正常进行圆周运动.假设车速最大不能超过v m则:mv m 2/R =kmgv m =kgR 车速最大不能超过kgR .【例3】绳系着装有水的小木桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m =0.5 kg ，绳长L =40 cm.求:（1）桶在最高点而使水不流出的最小速度;（2）水在最高点速度v =3 m/s 时，水对桶底的压力.解析:在最高点，水受两个力:一是重力，二是桶底对水的压力（向下），二者均向下.所以:F 向=F +G =mv 2/Lv 变大时，F 变大当F 为最小，即F =0时v min =gL =4.010 m/s=2 m/s桶在最高点时而使水不流出的最小速率为2 m/s当v =3 m/s 时，F =mv 2/L －mg=0.5×（4.09－10）N =6.25 N 根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力为6.25 N ，方向竖直向上.虽然向心力公式是由匀速圆周运动推出来的，但它仍适用于非匀速圆周运动. 在最高点，水受桶的压力，方向竖直向下，向心力由重力和压力的合力提供.。

高中物理第二章圆周运动第2节向心力学案粤教版必修2一、学习目标1、理解向心力的概念，知道向心力是效果力，会写向心力的表达式2、理解向心加速度的概念二、学习重点难点如何确定向心力：三、课前预习（自主探究）1、向心力：（1）做匀速圆周运动的物体，会受到指向的合外力作用，这个合力叫做向心力。

（2）向心力总是指向，始终与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变。

（3）向心力是根据力的命名，可以是各种性质的力，也可以是它们的，还可以是某个力的分力。

（4）如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的；如果物体做非匀速圆周运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力。

（5）向心力的公式或。

2、向心加速度：（1）定义: 做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下必然产生一个 ,这个加速度的方向与向心力的方向相同,我们称之为向心加速度。

（2）向心加速度的大小：a = 或= 。

（3）方向：指向，匀速圆周运动是向心加速方向不断改变的。

3、（单选）关于向心力的说法中正确的是（）A、物体由于做圆周运动而产生向心力B、向心力不改变圆周运动物体的速度的大小C、做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的D、做圆周运动的物体所受到的合外力一定是向心力4、（单选）关于向心加速度的意义，下列说法正确的是( )A、它描述的是线速度大小变化的快慢B、它描述的是线速度方向变化的快慢C、它描述的是向心力变化的快慢D、它描述的是角速度变化的快慢四、课堂活动（1）小组合作交流知识点1：对向心力的理解在图2－2－1的圆周运动中，感受……(1)小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到。

(2)如果突然松手，将会发生的现象是。

(3)在小球质量m和旋转半径r不变的条件下，角速度ω越大，手的拉力； (4在小球质量m和角速度ω不变的条件下，旋转半径r 越大，手的拉力； (5)在旋转半径r和角速度ω不变的条件下，小球质量m越大，手的拉力；答案：(1)受到绳的拉力；(2)球沿切线飞出去；(3)越大；(4)越大；(5)越大。

第二节向心力感受向心力[先填空]1．定义做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力叫做向心力．2．作用不改变质点速度的大小，只改变速度的方向，使物体始终维持在圆周轨道上．3．特点方向总沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，且方向时刻改变．4．实验与探究做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F ＝mω2r ，而ω＝vr ，则F ＝m v 2r .[再判断]1．向心力可以是合力，也可以是某个力的分力．(√)2．向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向．(×) 3．角速度越大，半径越大，向心力就越大．(×) [后思考]如图2-2-1所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？图2-2-1【提示】 倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得做圆周运动所需要的向心力．[合作探讨]如图2-2-2所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：图2-2-2探讨1：它们的向心力分别是由什么力提供的？【提示】 汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供．探讨2：物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？ 【提示】 大小不变，方向时刻改变． [核心点击]1．向心力大小的计算F n ＝m v 2r ＝mrω2＝mωv ＝m 4π2T 2r ，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v 的变化而变化．2．向心力来源的分析物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力.1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )A．合力的大小不变，方向一定指向圆心B．合力的大小不变，方向也不变C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小【解析】匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对、B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．【答案】AD2．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图2-2-3所示，下列说法正确的是()图2-2-3A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mg tan θD．以上说法都正确【解析】小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mg tan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.【答案】BC3．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是()A．l、ω不变，m越大线越易被拉断B．m、ω不变，l越小线越易被拉断C ．m 、l 不变，ω越大线越易被拉断D ．m 不变，l 减半且角速度加倍时，线的拉力不变【解析】 在光滑的水平面上，细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F ＝mrω2知，在角速度ω不变时，F 与小球的质量m 、半径l 都成正比，A 正确，B 错误；在质量m 不变时，F 与l 、ω2成正比，C 正确，D 错误．【答案】 AC向心力与合外力判断方法1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．向 心 加 速 度[先填空] 1．定义做匀速圆周运动的物体，其加速度a 的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度．2．大小 a ＝ω2r ，a ＝v 2r .3．方向与向心力F的方向一致，沿半径指向圆心，与速度方向垂直，其方向时刻改变．[再判断]1．做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大．(×)2．向心加速度的方向指向圆心，与线速度垂直．(√)3．匀速圆周运动的向心加速度大小不变，方向时刻变化．(√)[后思考]图2-2-4如图2-2-4所示，地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同？(2)地球上各地的向心加速度大小是否相同？【提示】(1)地球上各地自转的周期都是24 h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v＝ωr可知各地的线速度大小不同．(2)地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据a n＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同．[合作探讨]如图2-2-5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：图2-2-5探讨1：哪两个点的向心加速度与半径成正比？ 【提示】 B 、C 两点的向心加速度与半径成正比． 探讨2：哪两个点的向心加速度与半径成反比？ 【提示】 A 、B 两点的向心加速度与半径成反比． [核心点击]1．向心加速度的物理意义向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．2．向心加速度的几种表达式3．向心加速度与半径的关系(1)若ω为常数，根据a n ＝ω2r 可知，向心加速度与r 成正比，如图2-2-6甲所示．(2)若v 为常数，根据a n ＝v 2r 可知，向心加速度与r 成反比，如图2-2-6乙所示．甲 乙图2-2-6(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r 是成正比还是成反比． 4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．4．下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化【解析】向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．【答案】 A5.如图2-2-7所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()图2-2-7A．加速度为零B．加速度恒定C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心【解析】由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．【答案】 D6．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是()【导学号：35390026】【解析】 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B 正确．【答案】 B向心加速度的特点1．向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．2．向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．生 活 中 的 向 心 力[先填空]1．汽车在水平公路上转弯车轮与路面间的静摩擦力f 提供向心力，即f ＝m v 2R . 2．汽车在外高内低的路面上转弯汽车向内侧倾斜，若汽车恰好以某一速度v 行驶时，重力mg 和地面支持力N 的合力充当向心力，即mg tan θ＝m v 2R (R 为弯道半径，θ为倾斜的角度)，则v ＝gR tan θ.[再判断]1．汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力．(√)2．汽车过拱形桥时，速度越大，在桥顶对桥面的压力就越大．(×) 3．汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力大于重力．(√) [后思考]图2-2-8如图2-2-8所示，小球绕O′在水平面内做匀速圆周运动，可以说小球受重力、绳的拉力和指向O′的向心力吗？【提示】向心力是按效果命名的力，物体实际受到的沿半径方向的合力即为向心力，不是另外受到的某一个力．[合作探讨]图2-2-9如图2-2-9所示，过山车的质量为m，轨道半径为r，过山车经过轨道最高点时的速度为v.探讨1：过山车能通过轨道最高点的临界速度是多少？【提示】临界条件为mg＝m v2r，故临界速度v＝gr.探讨2：当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时，过山车对轨道的压力怎样计算？【提示】根据F N＋mg＝m v2r，可得F N＝m v2r－mg.[核心点击]1．汽车过桥问题的分析(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图2-2-10甲所示．图2-2-10由牛顿第二定律得：G －F N ＝m v 2r ，则F N ＝G －m v 2r .汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F N ′＝F N ＝G －m v 2r ，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．①当0≤v <gr 时，0<F N ≤G .②当v ≥gr 时，F N ＝0.汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．(2)汽车过凹形桥：如图2-2-10乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则F N －G ＝m v 2r ，故F N ＝G ＋m v 2r .由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F N ′＝G ＋m v 2r ，大于汽车的重力．2．过山车问题分析：如图2-2-11所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m ，轨道半径为r ，过山车经过顶部时的速度为v ，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的。

第二节 向心力课前自主预习 1．向心力：（1）做匀速圆周运动的物体，会遇到指向 的合外力作用 ，这个协力叫做向心力。

（2）向心力老是指向 ，一直与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变 。

（3）向心力是依据力的命名，能够是各样性质的力，也能够是它们的，还可以是某个力的分力。

（4）假如物体做匀速圆周运动，向心力就是物体遇到的；假如物体做非匀速圆周运动（线速度大小时辰改变），向心力并不是是物体遇到的合外力。

（5）向心力的公式 或 。

2．向心加快度：（1）定义 : 做匀速圆周运动的物体 , 在向心力作用下必定产生一个, 这个加快度的方向与向心力的方向同样 , 我们称之为向心加快度。

（2）向心加快度的大小： a = 或 = 。

（3）方向：指向 ，匀速圆周运动是向心加快方向不停改变的 。

3．（单项选择）对于向心力的说法中正确的选项是（ ） A ．物体因为做圆周运动而产生向心力B ．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小C ．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的D ．做圆周运动的物体所遇到的合外力必定是向心力4．（单项选择）对于向心加快度的意义，以下说法正确的选项是 ( ) A ．它描绘的是线速度大小变化的快慢 B ．它描绘的是线速度方向变化的快慢 C ．它描绘的是向心力变化的快慢 D ．它描绘的是角速度变化的快慢课前自主预习答案：1. （ 1）圆心 . （ 2）圆心，大小 . （ 3）成效，协力 . （ 4）合外力 . （ 5） Fm v 2 ，2r .rF m2. （ 1）加快度 . （2）v 2，2r . （ 3）圆心，变加快曲线运动 .r3． B ．4．B 讲堂互动研究知识点 1：向心力的理解 新知研究在图 2－ 2－ 1 的圆周运动中，感觉 ,,(1) 小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到。

(2) 假如忽然放手，将会发生的现象是。

(3) 在小球质量 和旋转半径 r 不变的条件下，角速度ω 越大，手的拉力；m(4 在小球质量 m 和角速度 ω 不变的条件下，旋转半径 r 越大，手的拉力； (5) 在旋转半径 r 和角速度 ω 不变的条件下，小球质量越大，手的拉力 ；m图 2－2－1答案： (1) 遇到绳的拉力；(2) 球沿切线飞出去；(3) 越大； (4) 越大； (5) 越大。