小学数学培优之分数与百分数

百分数的意义◆表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。

◆百分数只能表示两个量之间的关系，不能表示具体的量。

◆百分数通常不写成分数形式，而是在原来分子的后面加百分号“%”，如：百分之九十90% ，百分之二十六26% ，百分之一百零八点五108.5% ……分数、小数、百分数的互相转化◆小数化成百分数：把小数点向右移2位（位数不够时用0补），同时在后面添上百分号；◆分数化成百分数：通常先把分数化成小数（如果除不尽，要么写成循环小数形式，要么默认保留三位小数），再把小数化成百分数。

百分数解决实际问题◆一般百分数问题◆百分率：如达标率、出勤率、合格率、利润率等◆折扣问题：折数= 现价÷原价◆纳税问题：总收入×税率= 应纳税额缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

◆利率问题：利息= 本金×利率×时间本金：存入银行的钱，利息：取款时银行多支付的钱，利率：利息与本金的比值。

◆浓度问题：溶液浓度= 溶质质量÷溶液质量根据题意，将下面的表格填写完整。

【分析】知识点：百分数与分数、小数的转化难度：A 出处：《从满分到培优》【解答】如下表：填空（1）)%(24)()()(625.0=÷== 。

（2）)(1)(15)%(16)(÷=== 。

（3）)()%(5415)(===÷（小数） 。

【解答】（1）)%5.62(24)15()8()5(625.0=÷== ；（2）)16(1)240(15)%25.6(16)1(÷=== ，（答案不唯一） ；（3）)8.0()%80(5415)12(===÷（小数）。

百分数填空题。

（1）春池春水满，春时春草生。

春人饮春酒，春鸟戏春风。

这首诗中“春”字占全诗总字数的_________% 。

（2）如果y x =6.0（x 不等于0），那么y 比x 少_________% 。

六年级数学培优 (16) ：百分数应用题六年级数学培优(16) ：百分数应用题6、小明把一个长方形的宽延长20%今后 ;它就变成了正方形。

已知长方形的长是7.2 厘米;原来长方形的面积是多少？12、看同样一本书 ;小东 2 小时看 100 页 ;小惠小时看 20 页。

小惠的阅读速度比小东慢百分7、一个长方形的长是 10 分米 ;把长减少 25%之几 ?今后 ;宽增加 1.5 分米 ;它就变成了正方形 ;原来长方形的面积是多少？3、长江水泥企业原计划每个月生产8000 吨、一个长方形的长是厘米把长减少水泥 ;由于技术改革 ;10 个月生产的水泥就超1540%8;出了全年计划的 5%。

这 10 个月平均每个月今后 ;宽增加 50%;它就变成了正方形 ;原来长的产量比原计划高出百分之几？方形的面积是多少平方厘米 ?4、 2009 年;“梦亦”玩具厂本质前 6 个月的、实验小学共有教职工人若是男教工产量相当于全年计划产量的70%;原计划每1329;月产量 2500 个 ;本质每个月平均产量比计划增加 12 人;女教工减少 40%;那么男女教工人超产百分之几？数相等。

实验小学原有男、女教工各多少人？5、某人年初买了一支股票;该股票当年下跌10、姐妹两人共有 155 元零花销 ;若是姐姐的了 20%;第二年应上涨多少才能保持原值？钱减少5%;妹妹的钱增加1元;那么两人的钱数相等。

姐妹俩原来各有多少元钱？棵？11、某牛奶批发部有 200 箱的“蒙牛真果粒”、在射击训练中吴刚第一次用了发子和“特仑苏” ;若是“蒙牛真果粒”减少 30%;;4016“特仑苏”增加 4 箱;这两种牛奶的箱数正好弹;命中率为 95%;第二次的命中率为96%;第相等。

“蒙牛真果粒”和“特仑苏”原来各有二次比第一次多命中了 10 发。

他第二次用了多少箱？多少发子弹？12、一个重 20 千克的大西瓜 ; 它重量的 98%是水分 ;将西瓜放在太阳下晒; 水分被蒸发后的西瓜重量的95%是水分 ;那么 ;晒后西瓜的17、在 A 医院 ;甲种药有 20 人接受试验 ;结果重量是多少千克？ 6 人有效；乙种药有 10 人接受试验 ;结果只有2 人有效。

六年级奥数培优专题第一讲百分数及其应用【复习巩固】【整理与反思】怎样求一个数比另一个数多（或少）百分之几？ 5比4多_______%你存过钱吗？什么是利息税？利息=_______×________什么是折扣和成数？原价打五折=原价×_______,原价的8成=原价×_______例1：求未知数xx－65％x＝70练习：49＋40％x＝89例2：小强的妈妈在银行存了5000元,定期两年,年利率是2.70%,到期时,她可得税前利息多少钱？练习：陈老师出版了一本《小学数学解答100问》,获得稿费5000元,按规定,超出800元的部分应缴纳14%的个人所得税。

陈老师应交税多少钱？【基础训练】一、填空：1. 30平方米比24平方米多（）% 比8千克多0.4千克是（）千克 140千克比( )千克多40% 5千克减少20％后是（）千克2. 某厂有男职工285人,女职工215人,男职工占全厂职工总人数的（）%,在一次职工技能测试中,成绩优秀的有387人,优秀率（）%。

3.王叔叔看中一套运动装,标价200元,经过还价,打八五折买到,王叔叔实际付了（）元买了这套运动装。

4.动物园里有斑马x只,猴子的数量是斑马的6倍,动物园有猴子（）只,猴子比斑马多（）只。

5．六年级(3)班某天的出勤人数50人,病假4人,事假1人,这天的出勤率是（）。

6.六年级某班男生人数占全班人数的59,那么男生占女生人数的（）%。

二、选择：1、我班有95％的同学订阅《小学生数学报》,没有的的同学占（）（1）5％（2）15％（3）50％2、横泾中心小学今年的学生数量比去年增加10％,今年的学生数量是去年的（）（1）90％（2）110％（3） 10％3、六（2）班人数的40％是女生,六（3）班人数的45％是女生,两班女生人数相等。

那么六（2）班的人数（）六（3）班人数（1）小于（2）等于（3）大于（4）都不是三、脱式计算（能简便计算的要简便计算）：80 ÷（1 －84％） 1.3×35％＋8.7×35％70＋70×25％例3：学校四月份付水费是2000元,五月份比四月份节约500元,节约了百分之几？练习：蜜蜂每秒飞行6米,蜻蜓每秒飞行9米,蜻蜓比蜜蜂的速度快百分之几？例4：小明买了一套《安徒生童话》,付了74.8元,比原价优惠了12％,这套书的原价多少元？练习：一块小麦试验田,今年比去年增产2成,增产了540千克,去年共收小麦多少千克？【能力提升】一、只列式不计算1、28只鸡：多25%列式：2、列式：二、解决实际问题1、一本故事书的原价21.5元。

分数、百分数和比应用题【知识概括】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数应用题的解题思路与前方学过的分数应用题的解题思路相同。

解答百分数应用题的重点也是找准单位“1”，成立已知数目与分率的对应关系。

例题精学例 1一本故事书共100 页，芳芳第一天看了总页数的20% ，次日看了总页数的25%，剩下的第三天看完，第三天看了多少页？【思路点拨】依据题意画线段图：100页第一天看了20%次日看了25%第三天看了？页把这本故事书的总页数看作单位“ 1”，第一天看了总页数的20% ，也就是看了100 页的 20% ，用 100 × 20%=20（页），相同次日看了100 页的 25% ，用 100 × 25%=25 （页），从 100 页里去掉两天看的页数，剩下的就是第三天看的页数。

依据“第一天看了总页数的20% ，次日看了总页数的25% ”，能够知道还剩1-20%-25%=55% 没有看，也就是第三天看了总页数的55% ，即 100 页的 55% 。

同步精练1. 王民看一本80 页的文艺书，第一天看了全书的20% ，次日看了全书的25% ，还剩多少页没有看？2.为民粮店有一桶油重200 千克，第一天售出总数的12.5% ，次日售出总数的20% ，第二天比第一天多售出多少千克油？3. 某乡要修一条长1800 米的环山川渠，第一期工程修了全长的50% ，第二期工程修了全长的 40% ，两期工程一共修了多少米？第1页共 7页例 2 一筐苹果重60 千克，第一次卖出40% ，第二次卖出的相当于第一次的80% 。

第二次卖出多少千克 ?【思路点拨】依据“第一次卖出40% ”，把苹果的总千克数看作单位“1”，也就是卖出60 千克的40%， 60×40%=24（千克 ) ；再依据“第二次卖出的相当于第一次的80% ”，把第一次卖出的千克数看作单位“1”，也就是卖出24 千克的 80% ， 24 × 80%=19.2 （千克），第二次卖出19.2千克。

学生姓名：辅导形式：小班老师：陈波学校：小六【作业检查】检查学生的家庭作业情况，找出作业的错误和了解学生上节课对知识的掌握情况。

【梳理知识】百分数应用题教学目标：1.分析题目确定单位“1”2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3. 教学重点、难点：抓住不变量，统一单位“1”。

教学过程一、知识点概述分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。

在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．（2）甲比乙多18，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191889÷=.方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1 199÷=.2.解应用题必备的公式求分率、百分率问题的公式】比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；增长数÷标准数=增长率；减少数÷标准数=减少率。

或者是：两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。

【增减分（百分）率互求公式】增长率÷（1+增长率）=减少率；减少率÷（1-减少率）=增长率。

比如，乙沙丘比甲丘面积少几分之几？”解这是根据增长率求减少率的应用题。

按公式，可解答为百分之几？”解这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为：【求比较数应用题公式】标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；标准数×增长率=增长数；标准数×减少率=减少数；标准数×（两分率之和）=两个数之和；标准数×（两分率之差）=两个数之差。

数学六年级培优题一、分数运算类。

1. 计算：(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(99×100)- 解析：- 我们可以发现每一项都可以拆分成两个分数的差，如(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。

- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(99)-(1)/(100))。

- 去括号后可以发现中间项都相互抵消，只剩下首项1和末项-(1)/(100)，结果为1-(1)/(100)=(99)/(100)。

2. 计算：(3)/(2)-(5)/(6)+(7)/(12)-(9)/(20)+(11)/(30)-(13)/(42)+(15)/(56)- 解析：- 先将各项进行拆分，(3)/(2)=1+(1)/(2)，(5)/(6)=(1)/(2)+(1)/(3)，(7)/(12)=(1)/(3)+(1)/(4)，(9)/(20)=(1)/(4)+(1)/(5)，(11)/(30)=(1)/(5)+(1)/(6)，(13)/(42)=(1)/(6)+(1)/(7)，(15)/(56)=(1)/(7)+(1)/(8)。

- 原式=(1+(1)/(2))-((1)/(2)+(1)/(3))+((1)/(3)+(1)/(4))-((1)/(4)+(1)/(5))+((1)/(5)+(1)/(6))-((1)/(6)+(1)/(7))+((1)/(7)+(1)/(8))。

- 去括号后得到1+(1)/(2)-(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)+(1)/(4)-(1)/(4)-(1)/(5)+(1)/(5)+(1)/(6)-(1)/(6)-(1)/(7)+(1)/(7)+(1)/(8)=1+(1)/(8)=(9)/(8)。

小学六年级培优 分数应用题例1、四位同学去种树，第一位同学种的树是其他同学种树总数的一半，第二位同学种的树是其他同学种树总数的31，第三位同学种的树是其他同学种树总数的41，而第四位同学刚好种了13棵。

问：四位同学共种树多少棵？例5、小明妈妈的商店里进了两批水果，都售出后得到同样多的钱。

妈妈说：第一批水果热销提价51卖出，第二批水果滞销降价51卖出，总体上是这两批水果的买卖没有赔钱。

小朋友，小明妈妈说得对吗？1.一件工程，甲独做8小时完成，乙独做10小时完成，甲、乙二人合作（）小时可完成。

8.一根绳子的长度等于这根绳子的53加上53米，这根绳子长（ ）米。

9.把5米长的钢筋，锯成一样长的小段，锯6次，每段占全长的( ),每段长（ ）米。

10.11.12.13.水结冰后体积增加101。

现有一块冰，体积是6立方米，融化成水后的体积是（ ）立方米。

20.有甲、乙两箱水果，从甲箱拿出15 放入乙箱后，两箱水果的质量相等，那么原来乙箱水果是甲箱的（ ）分之（ ）21.运送一批货物，第一次运走全部的73，第二次运走余下的85，两次共运走这批货物的（）某年五月份中，阴天比晴天少31，雨天比晴天少53，这个月（ ）天是晴天。

22.一本180页的书，小华第一天看了30页，第二天看了剩下的31，那么第三天她应从( )页看起。

甲工作10天的工作量正好与乙12天的工作量相等，那么乙的工作效率是甲的( )23.有一项工程，甲、乙两队合作4天完成，甲队独做6天完成，乙队独做完成全工程的41，需要（ ）天。

小红骑自行车从甲地去乙地，小刚步行从乙地去甲地，两人同时出发，当两人相遇时，小刚走了全程的41;当小红到达乙地时，小刚离甲地还有6千米，甲、乙两地相距（ )千米。

小松鼠采了一些蘑菇，它们的含水量为53，稍经晾晒，质量减轻了5千克，因此含水量下降到41，晾晒后的蘑菇重（ ）千克某工厂有240名工人，其中女工占85。

后来又调进若干名女工，这时女工占现有工人总数的2920。

分数百分数应用题解题方法分数应用题的根本解题思路：依照分率句写数量关系式。

说明：单位“ 1 〞分为标准量和整体量【百分数】以下五种根本种类的解题方法：一、求：一个数的百分之几是多少？方法：单位 1 ×对应分率= 比较量例题：1、 60 的 40% 是多少？2、六〔 1 〕班有 40 人，男生占全班的65 % , 男生有多少人？3、六〔 1 〕班男生有 25 人，女生是男生的80 % ，女生多少人？二、一个数的百分之几是多少，求这个数。

方法：比较量÷对应分率 = 单位 1 ；或设这个数〔单位1〕为 X,用方程解。

例题：1、〔〕的30%是30。

2、六〔 1 〕班男生有 20 人，男生是全班的40% ，全班有多少人？3、六〔 1 〕班男生有 16 人，男生是女生的80% ，女生有多少人？4、一条公路，已经修了 60% ，还剩下 20 千米，这条公路有多长？5 、五〔 1 〕班男生占全班的 60% ，男生比女生多了10 人，全班有多少人？三、条件中有“比多〔少〕百分之几〔几分之几〕〞，求：标准量〔单位 1 〕或比较量？方法 : 〔1〕单位 1 ±单位 1 × n% = 比较量（2〕单位 1×〔1±n% 〕 = 比较量（3〕比较量÷〔 1±n% 〕= 单位“ 1 〞找准单位“ 1 〞是要点。

单位一是已经条件的用方法〔1〕〔2 〕，未知的用方法〔 3〕，设标准量为X。

例题：1、五〔1〕班男生有20人，女生比男生多了10 % ，女生有多少人？2、有一列火车，原来每小时行驶80 千米，加快后，这列火车的速度比原来增加了 40% 。

现在这列火车每小时行驶多少千米？3、六〔 2 〕班男生有 20 人，女生比男生少了10 % ，女生有多少人？4、游乐场的门票原来每张30 元，“六一〞期间八折优惠，购置一张门票多少元？能比原来省多少元？四、求：“比多〔少〕百分之几〔几分之几〕〞？方法：相差数÷单位 1例题：1、男生有30人，女生有20人，男生比女生多了百分之几？女生比男生少了百分之几？2、电饭锅的原价是220 元，现价是 160 元，电饭锅的价格降低了百分之几？五、是〔占、相当于〕的百分之几〔几分之几〕〞方法：比较量÷单位 1〔提示：在出油率、萌芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1〞是总数，即整体量。

第23讲 分数百分数行程问题理解行程问题中的各种比例关系. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s st t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

考点一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题学习目标典例分析知识梳理例1、甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的56。

当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出千米，乙车才出发。

例2、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？例3、从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23。