函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数
)(x f y =，如果存在一个不为零的常数
T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式
)()(x f x f =-
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
0)()(=-+x f x f
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+
)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，
通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-
也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2
2)()(b
a x
b x a x +=
-++=
对称 （2）函数
)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
b x f x a f 2)()2(11=+-，所以
1
112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点
)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得
证。
若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c
b a + 对称
（3）函数
)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个
y
值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则
有可能会出现关于
b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x
c 它会关于y=0对称。
4、 周期性： （1）函数
)(x f y =满足如下关系系，则T
x f 2)(的周期为
A 、
)()(x f T x f -=+ B 、)
(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=
+或
C 、
)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+
或)
(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形 （2）函数
)
(x f y =满足
)
()(x a f x a f -=+且
)
()(x b f x b f -=+，则可推出
)]
(2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可
以得到
)(x f y =的周期为2(b-a)，
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足
)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是
2T ，且可以推出对称轴为
kT T
x 22
+=
)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T
）
如果偶函数满足
)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是
2T ，且可以推出对称中心为
)0,22
(
kT T
+)(z k ∈，
根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）
（4）如果奇函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周
期的周期性函数。如果偶函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)
(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理3：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），
则函数
()x f y =以()b a -4为周期.
二、 两个函数的图象对称性
1、
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、
)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、
)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
