【新】2019届高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版

6.3 基本不等式[知识梳理] 1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．[诊断自测] 1．概念思辨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(2)(必修A5P 100A 组T 2)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号． 3．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. (2)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 18解析 ∵2xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝14，∴xy ≤18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取“＝”号.∴xy 的最大值为18.题型1 利用基本不等式求最值角度1 直接应用典例 (2018·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1b (a －b )的最小值． 直接应用基本不等式．解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b (a －b )的最小值是4.角度2 变号应用典例 求f (x )＝lg x ＋1lg x的值域． 注意分类讨论．解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．当0＜x ＜1时，lg x ＜0， ∴－f (x )＝－lg x ＋1－lg x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝110时等号成立，即f (x )≤－2. 当x ＞1时，lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋1lg x≥2(当且仅当x ＝10时等号成立)． 综上f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 角度3 寻求定值应用典例 求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值． 配凑成积定的式子．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度4 常量代换法求最值(多维探究)典例 (2015·福建高考)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5注意巧用1的代换．答案 C解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.[条件探究] 将典例条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝yy －9.∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16. 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号． 又1x ＋9y＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 方法技巧利用基本不等式求最值的方法1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．冲关针对训练1．已知a ＞0＞b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为( )A.3124 B.3112 C.3＋22D.3＋222答案 D解析 a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋(b ＋1)2－2(b ＋1)＋1b ＋1＝a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1，又a ＋b ＝1，a ＞0，b ＋1＞0，所以a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1＝2a ＋1b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＋12＝32＋b ＋1a ＋a 2(b ＋1)≥32＋2b ＋1a ·a 2(b ＋1)＝3＋222，当且仅当b ＋1a ＝a2(b ＋1)，即a ＝4－22，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为3＋222，故选D.2．(2018·广西三市调研)已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值为________．答案 3＋2 2解析 ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1，又m ，n 为正实数，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m＋n )＝n m ＋2mn＋3≥2n m ·2mn＋3＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝2m n ，m ＋n ＝1，即⎩⎨⎧m ＝2－1，n ＝2－2时，取等号.题型2 基本不等式的综合应用角度1 利用基本不等式比较大小典例 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ，若0＜a ＜b ，P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝f (ab )，R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，则( ) A ．P ＜Q ＜R B ．P ＜R ＜Q C ．R ＜Q ＜PD ．R ＜P ＜Q用导数法．答案 D 解析 f ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1(x ＞－1)，由f ′(x )>0解得－1<x <0，由f ′(x )<0解得x >0，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜b 时，0＜ab ＜a ＋b2＜a 2＋b 22，∴Q ＝f (ab )＞P ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22.故选D. 角度2 利用基本不等式证明不等式典例 已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.左边因式分别使用基本不等式．证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以 1x－1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z－1＝1－z z＝x ＋y z>2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.角度3 基本不等式中的恒成立问题典例 (2018·太原模拟)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)用转化法．答案 D解析 a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.角度4 基本不等式与其他知识的综合问题典例 已知直线l ：x ＝my ＋2(m ∈R )与x 轴的交点是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 的左焦点为F 1，是否存在m 使得△ABF 1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．解 (1)易知直线l ：x ＝my ＋2与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点坐标为(2,0)，∴c ＝2，∴a 2＝c 2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)存在．将x ＝my ＋2代入x 25＋y 2＝1并整理得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0，Δ＝(4m )2－4(m 2＋5)×(－1)＝20m 2＋20>0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4mm 2＋5， y 1y 2＝－1m 2＋5，∴|AB |＝1＋m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m m 2＋52－－4m 2＋5＝1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2， ∵椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)，∴F 1到直线l 的距离d ＝|－2－2|1＋m 2＝41＋m2，∴S △ABF 1＝12·1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2·41＋m2＝45·m 2＋1(m 2＋5)2＝45·m 2＋1(m 2＋1)2＋8(m 2＋1)＋16＝45·1m 2＋1＋16m 2＋1＋8≤45·12(m 2＋1)·16m 2＋1＋8＝ 5.当且仅当m 2＋1＝16m 2＋1，即m ＝±3时，S △ABF 1取得最大值． ∴存在m ＝±3使得△ABF 1的面积最大． 方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．2．证明不等式的成立性，如角度2典例．3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例． 4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．冲关针对训练(2017·广西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.(2)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 题型3 基本不等式在实际问题中的应用典例 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元． 方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．4．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立． 冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝900x＋9x ＋10809≥2900x·9x ＋10809＝10989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90＝900x＋9x ＋9729(x ≥35)．由对勾函数的性质易知f (x )＝x ＋100x在[10，＋∞)上单调递增，故当x ＝35时，y 2取得最小值，约为10069.7，此时y 1＞y 2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．1.(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b ＞0，1b ＝1－1a＞0，∴b ＞1，a ＞1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立， ∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 2．(2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )得lg (ab )＝lg (a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.故选C.3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．4．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C. 3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z的最大值为14.故选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by>m ，对任意的正实数x ，y恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D. 8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n＝n (n ＋1)2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 9．(2018·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.10．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1， 且4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a－1，则t ≥0. 当t ＞0时，b 2a 2＋2c2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2.故选B.二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 13．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6，则4a ＋5b 的最小值是________．答案 32解析 正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6， 令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足2m ＋1n＝6，则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝16(2m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22n m ·2m n ＝32， 当且仅当2n m ＝2m n 即m ＝n ＝12时取等号，此时a ＝b ＝16，故4a ＋5b 的最小值为32.14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≥0，2x －y －2≤0，且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则4a ＋2b的最小值为________．答案 3＋2 2解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2，所以4a ＋2b ＝2(a ＋b )a＋a ＋b b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab ，即⎩⎨⎧a ＝4－22，b ＝22－2时，取等号．故4a ＋2b的最小值为3＋2 2.三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值． 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为100x米，∴y ＝56x ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2·100x－2×200＝256x ＋40000x－400(x ＞0)．(2)由(1)得y ＝256x ＋40000x－400≥2256x ·40000x－400＝6000，当且仅当256x ＝40000x时，等号成立，即当x ＝252米时，y 取得最小值6000元．16．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p1－(p ＋2)＝1，故△ABC 中，A ＋B ＝π4，所以C ＝3π4.(2)由C ＝3π4，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得42＝a 2＋b 2－2ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 整理得16＝a 2＋b 2＋2ab ，即16－2ab ＝a 2＋b 2， 又a >0，b >0，所以16－2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， 得ab ≤162＋2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4，所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。

6.4 基本不等式 考向归纳 考向1利用基本不等式求最值1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)【解析】 由题意得y ＝x ＋2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ≥2x ＋1x ＋＝2当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即(x ＋1)2＝1(x >－1)时等号成立，此时x ＝0.即函数图象的最低点的坐标为(0,2)． 【答案】 D 2．已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．【解析】x x 2＋4＝1x ＋4x ，∵x >0，∴4x >0，∴x x 2＋4＝1x ＋4x ≤12x ·4x＝14，当且仅当x ＝4x (x >0)，即x ＝2时等号成立，∴x x 2＋4的最大值为14.【答案】 143．已知正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 【解析】 由x >0，y >0，x ＋2y －xy ＝0得1y ＋2x ＝1，x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝x y ＋2＋2＋4y x ＝x y ＋4yx＋4≥24y x ·xy＋4＝8，当且仅当⎩⎨⎧1y ＋2x ＝1，x y ＝4y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧1y ＋2x ＝1，x ＝2y ，时等号成立， 此时x ＝4，y ＝2，x ＋2y ＝4＋2×2＝8. 【答案】 8利用基本不等式求最值的常用技巧1．若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．2．若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构成“1”的代换等．3．若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．考向2基本不等式的综合应用(1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】 (1)由f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，得 32x ＋2>(k ＋1)·3x ，即32x ＋23x ＝3x ＋23x >k ＋1恒成立．∵3x ＋23x ≥23x ·23x ＝22，当且仅当3x ＝23x 即3x ＝2时取等号． ∴3x ＋23x 的最小值为2 2.∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)设公比为q (q >0)，由a 7＝a 6＋2a 5得a 5q 2＝a 5q ＋2a 5， ∴q 2－q －2＝0(q >0)，∴q ＝2.由a m ·a n ＝22a 1，得a 1·2m －1·a 1·2n －1＝8a 21，∴2m＋n －2＝8，即m ＋n －2＝3.∴m ＋n ＝5.则1m ＋4n ＝15×⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋4)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝103时，等号成立．【答案】 (1)B (2)95利用基本不等式处理综合问题的类型及相应的策略1．应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．2．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．3．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[变式训练]1．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24【解析】 因为a >0，b >0，不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，所以m ≤⎣⎡⎦⎤a ＋3b ⎝⎛⎭⎫3a ＋1b min ，因为(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝6＋9b a ＋ab≥6＋29b a ·ab＝12， 当且仅当a ＝3b 时取等号，所以m 的最大值为12. 【答案】 B2．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．【解析】 因为点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m 2n ≥1＋2n 2m ·m2n＝2， 当且仅当n 2m ＝m2n ，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n 的最小值为2.【答案】 2考向3基本不等式的实际应用(1)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．(2)(2016·盐城模拟)某水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．①求出f (n )的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】 (1)设楼房设计为n 层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y 元，依题意得y ＝2 000＋[400＋＋＋＋＋…＋＋n －n＝2 000＋400n ＋40[1＋2＋3＋…＋n －n ＝2 000＋380n ＋20n 2n＝20⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋19≥20×(2×10＋19)＝780. (当且仅当n ＝10时等号成立)． 【答案】 10(2)①第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． ②由①知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100 n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．解实际应用题时要注意的三点1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练]1.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 【解】 (1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. ∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m. 易错辨析多次使用基本不等式忽视成立条件致误1.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________． [错误解法] z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＝xy ＋x y ＋y x ＋1xy ＝⎝⎛⎭⎫xy ＋1xy ＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥2xy ·1xy＋2y x ·xy＝2＋2＝4. [错解分析] 分析上述解题过程指出错误所在并分析原因． 提示：连续两次运用基本不等式．错误原因：第一个等号成立的条件是xy ＝1，第二个等号成立的条件是x ＝y ，两个等号不能同时成立．[自我纠正] z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎫y ＋1y＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy＋xy －2.令t ＝xy,0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时，f (t )＝t ＋2t 有最小值334. 所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.【答案】254。

第4节基本不等式基础巩固(时间:30分钟)1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( C )(A)最大值0 (B)最小值0(C)最大值-4 (D)最小值-4解析:因为x<0,所以f(x)=-(-x+)-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.选C.2.下列不等式一定成立的是( C )(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故选项A不正确;当2kπ-π<x<2kπ,k∈Z时,sin x<0,sin x+<0,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.故选C.3.若a,b∈R,ab≠0,且a+b=1,则下列不等式中,恒成立的是( B )(A)a2b2≤(B)a2+b2≥(C)(1+)(1+)≥9(D) +≥4解析:由a+b=1,可得a2+b2+2ab=1,因为2ab≤a2+b2,当且仅当a=b时取等号.所以2a2+2b2≥1,则a2+b2≥.当a,b异号时,不妨取a=-1,b=2,易知A,C,D都不正确.故选B.·枣庄一模)若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26解析:因为正数x,y满足+=1,则3x+4y=(3x+4y)( +)=13++≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时取等号.所以3x+4y的最小值是25.故选C.·山东平度二模)若直线2mx-ny-2=0 (m>0,n>0)过点(1,-2),则+最小值( D )(A)2 (B)6(C)12 (D)3+2解析:因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,因为+=(+)(m+n)=3++≥3+2,当且仅当=,即n=m时取等号,所以+的最小值为3+2,故选D.6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则+的最小值为( C )(A) (B)4 (C) (D)5解析:由题意可得, a·S△BCD+bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.h==2,所以a+b=2.所以+= (a+b)( +)= (5++)≥ (5+2)=,当且仅当a=2b=时取等号.故选C.7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为.解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,则有3a+2b=3,则有a+2b=1;则+=(a+2b)( +)=4+(+)≥4+2=8,当且仅当a=2b=时,等号成立.即+的最小值为8.答案:8能力提升(时间:15分钟)9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( A )(A)[,+∞) (B)(,+∞)(C)( -∞,) (D)(-∞,]解析:由x>0,=,令t=x+,则t≥2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.·揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为( B )(A)4 (B)12(C)24 (D)36解析:抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),即y+3=(x+1)(ax-a+2),所以A(-1,-3),所以m+n=,又+=+=6+3(+)≥6+6=12,当且仅当m=n时等号成立.故选B.11.(2017·山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为( C )(A)4 (B)6 (C)8 (D)9解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1.又a>0,b>0,则+=(2a+b)( +)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费为6×=(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lg x+lg y的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y=20≥2.即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=(+)·=(7++)≥(7+2)=,当且仅当=时等号成立.所以+的最小值为.14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1 296x++12 960=1 296(x+)+12 960≥1 296×2+12 960=38 880,当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知所以≤x≤16.设g(x)=x+(≤x≤16),g(x)在[,16]上是增函数,所以当x=时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值,即f(x)min=1 296× (+)+12 960=38 882.所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.。