201703鲁教版数学八年级下《第九章图形的相似》单元测试卷含答案

八年级数学下册第九章图形的相似定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（）A．2.5米B．1.6米C．1.5米D．1.2 米2、如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CFC．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC3、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（）A．1：12 B．1：9 C．1：6 D．1：34、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD⋅DE；④AF，其中正确的有（）A．①④B．②③④C．①②③D．①②③④5、在小孔成像问题中，如图（三）所示，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则物体AB的长是像CD长的（）A．2倍B．3倍C．12倍D．13倍6、如图，平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且:1:2OA AC ,若A(1，2)，则点C的坐标为（）A．(2，4) B．(3，6) C．(4，2) D．(6，3)7、如果13a ba-=，那么a ba+的值等于（）A．53B．52C．43D．28、如图，一副三角板，AD BC=，顶点A重合，将ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是 ( ).A．B．C．D．9、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（）A．BDAD＝43，AEEC＝43B．ADAB＝23，AEAC＝23C．ADAB＝23，ECAE＝23D．ABAD＝23，ECAE＝1210、若32ba=，则a ba+的值等于（）A ．12B ．52C ．53 D ．54第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为_______．2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，如果AE EC ＝34，那么AE AB ＝________________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的延长线上的一点，DE 与边BC 相交于点F ，27BE AE =，那么BF FC 的值为________________．4、若关于x 的不等式(),0ax b a b ->≠的解集为23x <-，则a b a b-+的值为______． 5、如图：△ABC 中，点D 、F 是AB 边的三等分点，点E 、G 是AC 边的三等分点，则S △ADE ：S 四边形DEFG ：S 四边形BCGF ＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，求证：2BD BA BC =⋅；（2）如图2，四边形ABCD 为平行四边形，F 在AD 边上，AB AF =，点E 在BA 延长线上，连结EF ，BF ，CF ，若EFB DFC ∠=∠，4BE =，5BF =，求AD 的长；（3）如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE DC =，BEC AEF ∠=∠，12BE =，5EF =，23CE BC =，求AF FC的值．2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高．(1)求证：△ACD ∽△CBD ；(2)若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．3、如图，在ABC 中，D 是AB 上一点（不与A ，B 两点重合），过点D 作∥DE BC ，交AC 于点E ，连接CD ，且ACD B ∠=∠．(1)求证：2CD DE BC =⋅；(2)若4DE =，5BC =，求AE AD的值． 4、在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，E ，F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A ，C 同时出发相向而行，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒，0≤t ≤5．(1)AE ＝_______，EF ＝_______；(2)若G ，H 分别是AB ，DC 中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形；(3)若G ，H 分别是沿着A →B →C ，C →D →A 运动的动点，与E ，F 相同的速度同时出发，当t 为何值时，四边形EGFH 为菱形．5、如图，在ABC 中，12AB AC ==，10BC =，点D 为AB 的中点，点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，点P 出发后，过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，连接DP ．设点P 的运动时间为()s t ．(1)用含t 的式子表示CP 的长；(2)求证：CPQ 是等腰三角形；(3)当CPQ BPD ≅△△时（点D 和点Q ，点B 和点C 是对应顶点），求t 的值；(4)连接DQ ，当ABC 的某一个顶点在DPQ 的某条边的垂直平分线上时，直接写出t 的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∵AB //CD∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△ ∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．2、C【解析】【分析】根据条件证明出ABD ACE ∽，根据性质得：AE AC AD AB =，变形即可得到．【详解】解：BEC CDB ∠=∠， AEC ADB ∴∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACE ∴△∽△，AE AC AD AB∴=， AE AB AD AC ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出ABD ACE ∽．3、A【解析】【分析】先判断出△AEF 与△DCF 是相似，利用性质可求面积比，再由△AEF 与△ADF 是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S △ADC =S △CDF +S △ADF 计算比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AE ：AB ＝1：3，∴AE ：CD ＝1：3，∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ， ∴21()9AEF CDF S AE S CD ==，13EF AE DF CD ， ∴S △CDF =9S △AEF ，S △ADF =3S △AEF ，∵S △ADC =S △CDF +S △ADF ，∴19312AEF AEF ADC AEF AEF S S S S S ==+， 故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．4、D【解析】【分析】由折叠的性质可求∠BAD =∠BAC =30°，AD =AC =3，BD =BC C =∠ADB =90°，可得∠BAE =∠EBA =30°，可证BE =AE ，故①正确，由外角的性质可得∠BED =∠ABC ，可证△BED ∽△ABC ，故②正确；由相似三角形的性质，可得BD 2=AD •DE ，故③正确；过点F 作FH ⊥AD 于H ，FG ⊥BD 于G ，由面积法求出FH ，DH 的长，由勾股定理可求AF ，故④正确，即可求解．【详解】解：∵∠ACB =90°，AC =3，∠BAC =30°，∴∠ABC=60°，BC AB =2BC∵BE ⊥BC ，∴∠EBA =30°，∵把Rt △ABC 沿AB 翻折得到Rt △ABD ，∴∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC C=∠ADB=90°，∴∠BAE=∠EBA=30°，∴BE=AE，故①正确，∵∠BED=∠ABE+∠BAE=60°，∴∠BED=∠ABC，又∵∠C=∠ADB，∴△BED∽△ABC，故②正确；∴BD DE AC BC，∵BD=BC，AD=AC，∴BD2=AD•DE，故③正确；如图，过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，∵∠DBE=90°-∠BED=30°，∠BDE=90°，∴BD BE=2DE，∴DE=1，BE=2，∵∠ADF=45°=∠BDF，FH⊥AD，FG⊥BD，∴FH=FG，∵S△BDE=12BD×DE=12×DE×HF+12×BD×GF，∴HF∵∠ADF=45°，∠DHF=90°，∴DH=HF∴AH=AD-DH∴AF，故④正确，综上，①②③④均正确，故选：D．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出AH的长是解题的关键．5、B【解析】【分析】由相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，即可解决．【详解】设点O到AB的距离为h1，点O到CD的距离为h2，则h1=18cm，h2=6cm由题意知，△OAB∽△OCD∴12183 6hABCD h===∴AB=3CD即物体AB的长是像CD长的3倍故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据题意CDO与ABO是以O点为位似中心的位似变换，据此求得位似比，进而即可求得C点的坐标【详解】解：∵:1:2OA AC=∴:1:3OA OC=A(1，2)，△ABO∽△CDO，∴(3,6)C故选B【点睛】本题考查了位似图形的性质，求得位似比，根据位似比等于相似比是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据13a ba-=可得23ba=，根据a ba+=1+ba即可得答案．【详解】∵13a ba-=，∴1-ba=13，∴23ba=，∴a ba+=1+ba=53，故选：A．【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．8、D【解析】【分析】根据一副三角板，得到△ABC中，有一个角为60°，一个角为30°；△ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；∵∠ACF=∠E，∴BC∥DE，∴∠AFC=∠D，∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；∵∠APC和∠DPE是对顶角，∴∠APC=∠DPE，∵∠C=∠E=90°，∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，∴不存在相似三角形．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当ADAB＝AEAC或ADDB＝AEEC时，DE∥BC，B选项中，ADAB＝23，AEAC＝23，∴ADAB＝AEAC，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．10、B【解析】【分析】 根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠， 则23522a b k k a k ++==， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．二、填空题1、4：9##49【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可得这两个相似三角形的周长之比，进而问题可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．故答案为4：9．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．2、4 7【解析】【分析】由DE∥AB可得DE CEAB AC=，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴~CDE CBA，∴DE CE AB AC=，又∵AEEC＝34，∴DE CEAB AC=＝47，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴AE DE CEAB AB AC==＝47，故答案为：47．本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．3、2 5【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，CD＝AB，即可证得△BEF∽△CDF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB，∴△BEF∽△CDF，∵27 BEAE=，∴25 BE BEAB CD==，∴25 BF BEFC CD==．故答案为：25．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4、1 5【解析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系为23ba=，设a=3k，b=2k(k>0)，代入求值即可．【详解】∵不等式-ax>b的解集为x<-23，∴-a＜0，∴x＜23ba-=-，∴23ba=，∴设a=3k，b=2k(k>0)，∴321325a b k ka b k k--==++，故答案为：15．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、1：3：5【解析】【分析】根据DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：∵点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，∴DE∥FG∥BC，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，设△ADE 的面积为m ， ∴21()4ADE AFG S AD S AF ==， ∴S △AFG ＝4m ，∵21()9ADE ABC S AD S AB ==， ∴S △ABC ＝9m ，∴S △ADE ＝m ，S 四边形DEFG ＝S △AFG ﹣S △ADE ＝4m ﹣m ＝3m ，S 四边形BCGF ＝S △ABC ﹣S △AFG ＝9m ﹣4m ＝5m ，∴S △ADE ：S 四边形DEFG ：S 四边形BCGF ＝1：3：5，故答案为：1：3：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题 1、（1）见解析；（2）254；（3）53； 【解析】【分析】 （1）由BD 平分ABC ∠可推出ABD CBD ∠=∠，进而可知ADB DCB △∽△，由相似三角形对应边之比相等可知2BD BA BC =⋅；（2）由平行四边形的性质可证EFB FCB △∽△，由相似三角形对应边之比相等可知2BF BE BC =⋅，进而可计算出BC 的长度；（3）过点C 作AD 的平行线交EF 延长线于点G ，通过证明对应角相等可知BCE ECG △∽△，进而可证23EG CE BE BC ==，从而可计算出8EG =，通过平行和相似三角形可知53AF EF FC FG ==． 【详解】（1）∵BD平分ABC∠，∴ABD CBD∠=∠，∵ADB DCB∠=∠，∴ADB DCB△∽△，∴AB BD BD BC=，∴2BD BA BC=⋅．（2）在ABCD中，AD BC∥，∴AFB FBC∠=∠，∵AB AF=，∴AFB ABF∠=∠，∴FBC ABF∠=∠，∵DFC FCB EFB∠=∠=∠，∴EFB FCB△∽△，∴2BF BE BC=⋅，∴254 BC AD==．（3）过点C 作AD 的平行线交EF 延长线于点G ，∴AEF CGE CEB ∠=∠=∠，DEC ECG ∠=∠，∵DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，∴ECG BCE ∠=∠，∴BCE ECG △∽△ ， ∴23EG CE BE BC ==， ∵12BE =，∴8EG =，∵AE CG ∥， ∴53AF EF FC FG ==．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，以及平行线的性质，能够在复杂的条件中找到适合的条件证明相似，是解决本题的关键．2、 (1)见解析【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质证明CD2=AD•DB，可得结论．(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴ADCD＝CDBD，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，∵CD＞0，∴CD．【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3、 (1)见解析【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出∠EDC =∠DCB ，证明△DEC ∽△CDB ，由相似三角形的性质得出DE CD CD BC=，则可得出答案；（2）由相似三角形的性质可求出DC 的长，由平行线分线段成比例定理可得出答案．(1)证明：∵DE //BC ，∴∠EDC =∠DCB ，又∵∠ACD =∠B ，∴△DEC ∽△CDB ， ∴DE CD CD BC =， ∴CD 2=DE •BC ；(2)解：∵CD 2=DE •BC ，DE =4，BC =5，∴CD 2=20，∴CD ，∵△DEC ∽△CDB ， ∴DE EC CD DB=，∴CE DB∵DE //BC ，∴AE CE AD BD == 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4、 (1)t ，5－2t(2)见解析(3)当t 为318秒时，四边形EGFH 为菱形 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求得AC ，进而根据路程等于速度乘以时间即可求得,AE EF ；（2）证明△AFG ≌△CEH ，可得GF ＝HE ，同理可得GE ＝HF ，从而可得，四边形EGFH 是平行四边形．（3）根据菱形和矩形的性质，证明△CAB ∽△CGO ，求得OG ＝2135t -，在R t △AGO 中，利用勾股定理建立方程，解方程求解即可． (1) E ，F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A ，C 同时出发相向而行，速度均为1cm/s ，矩形ABCD 中,AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，5AC ∴∴AE ＝t ，EF ＝5－2t故答案为：t ，5－2t(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴AC5，∠GAF ＝∠HCE ，∵G 、H 分别是AB 、DC 的中点，∴AG ＝BG ，CH ＝DH ，∴AG ＝CH ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，在△AFG 与△CEH 中，AG CH GAF HCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFG ≌△CEH （SAS ），∴GF ＝HE同理：GE ＝HF∴四边形EGFH 是平行四边形．(3)如下图所示，连接AG 、CH∵如果四边形EGFH 是菱形，∴EF ⊥GH ，OE ＝OF ，OG ＝OH,B COG OCG ACB ∠=∠∠=∠∴△CAB∽△CGO，∴AB ACOG CG=，∴357OG t=-，∴OG＝213 5t -又在R t△ABG中，AB＝3，BG＝t－3，∴AG2＝（t－3）2＋9，∴在R t△AGO中，（t－3）2＋9＝（52）2＋（2135t-）2，化简得：64t2－96t－589＝0解得：t1＝318或t2＝－19（舍去）即：当t为318秒时，四边形EGFH为菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，熟练运用以上知识是解题的关键．．5、 (1)102t-(2)见解析(3)52 t=(4)552或5或3【解析】【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；（3）根据全等三角形的性质可得BP CP =，列出一元一次方程解方程求解即可；（4）分四种情形，①当点C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT ⊥BC 于T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，②当点A 在DQ 的垂直平分线上时，③当点C 在PD 的垂直平分线上时，④当点B 在PD 的垂直平分线上时，分别求解即可(1)10,2BC BP t ==102PC BC BP t(2)AB AC =B C ∴∠=∠PQ AB ∥QPC B ∴∠=∠QPC C ∴∠=∠QP QC ∴=∴CPQ 是等腰三角形 (3)CPQ BPD ≅△△CP BP ∴=即2102t t =- 解得52t = (4)①当C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT BC ⊥于点T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，如图，,A AE BC B AC ⊥=BE EC ∴=Rt AEB 中，AE D 为AB 的中点，E 为BC 的中点 162DE AC ∴== 162BD AD AB ∴=== DE DB =，DT BE ⊥BT TE ∴=115242BE BC ===12DT AE ∴==152CT =CD ∴==CQ CD ∴==PQ AB ∥CP CQ CB CA∴=即10CP解得CP =1010BP CP ∴=-=5t ∴= 当点A 在DQ 的垂直平分线上时，如图，此时5BP PC ==，此时52t = ③当C 在PD 的垂直平分线上时，如图，CD CP ==10BP ∴=此时5t =④当点B 在PD 的垂直平分线上时，6BP BD ==，此时632t ==综上所述，满足条件的t 的值为5或52或5或3 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键．。

八年级数学下册第九章图形的相似章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，位似比为1：2，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ′的横坐标是（ ）．A ．21a -+B ．22a -+C ．23a -+D ．22a --2、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点1,0A ，()1,2B ，C 在''A B 上，则'C 点坐标为（ ）A ．()2,4B ．()2,2C ．()4,2D ．()4,43、如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是O ，若OA ：OE ＝1：3，且四边形ABCD 的周长为4，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．204、如图， 1B B ，是A ∠一边上的任意两点， 作BC AC ⊥于点111C B C AC ⊥，于点1C ．若34BC AC ==，， 则111B C AC 的值是 ( )A ．43B ．34C ．45D ．355、如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA则四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′的面积比为（ ）A B ．2：3 C ．2：5 D ．4：96、如图，△ABC 中，∥DE BC ，25AD AB =，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．4：257、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上43CE BE =，则△BEF 与△ADF 的周长之比为（ ）A ．1：3B ．3：7C ．4：7D ．3：48、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC 交AB 于点E ，若ABC 的重心G 在DE 上，则:AB BC 的值是（ ）A ．3:2B ．7:4C ．2:1D ．8:59、如下图，D 、E 分别是△ABC 边的AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且S △ADE ︰S △ABC ＝1︰9，那么AD ∶BD 的值为（ ）A ．1︰9B ．1︰3C ．1︰8D ．1︰210、如图，////AB CD EF ．若AC CE ＝12，BD ＝3，则DF 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若643x y z ==（x ，y ，z 均不为0），则2x y y z+=-___________． 2、如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，点D 在边AB 上，AC 2＝AD •AB ，那么CD ＝_________________．3、如图，已知AD AB ＝AE AC，若使△ABC ∽△ADE 成立_____（只添一种即可）．4、如图，某班学生兴趣小组结合课堂所学的数学知识，利用木棒估测旗杆的高度．当学生甲的眼睛在点A 处看学生乙所举的木棒DE 时，发现旗杆BC 恰好被木棒完全挡住．若DE ∥BC ，DE 长为1.2m ，测得此时点A 到木棒和旗杆的距离分别为2m 和20m ，则旗杆BC 的高度是________．5、已知线段4a =，8b =，则a ，b 的比例中项线段长等于__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，DEF 是ABC 的位似三角形（点D 、E 、F 分别对应点A 、B 、C ），原点O 为位似中心，DEF 与ABC 的位似比为k ．(1)若位似比12k=，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；(2)若位似比k n=，ABC的面积为S，则DEF的面积＝______．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，(1)求证：△ACE∽△BDC．(2)若AD=1，求DE的长．3、如图，已知矩形ABCD中，BE AC⊥于点E，BE．(1)若3AE=，求CE的长；(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．4、在△ABC 中，∠ABC ＝80°，∠BAC ＝40°，AB 的垂直平分线分别与AB ，AC 交于点E ，D 两点．(1)用圆规和直尺在图中作出AB 的垂直平分线DE ，并连接BD ；(2)找出一组相似三角形（不用说明理由）．5、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．【详解】解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，∴2（a-1）=-x+1，解得：x=-2a+3，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．2、C【解析】【分析】取AB的中点D，连接CD，由等腰直角三角形的性质及A、B的坐标，可求得点C的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点'C的坐标．【详解】取AB的中点D，连接CD，如图∵△ABC是等腰直角三角形∴CD⊥AB∵()1,0A ，()1,2B∴AB ⊥x 轴∴CD ∥x 轴∴D (1，1)∵等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1∴2,0A ，()2,4B '∴A B x ''⊥轴∵C 在''A B 上∴C (2，1)由位似比为2：1，则'C 点坐标为(4，2)故选：C【点睛】本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．3、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴AD∥EH， ∴13AD OA EH OE ==， 即四边形ABCD 与四边形EFGH 相似比为13，∵四边形ABCD 的周长是4，∴EFGH 的周长为12，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．4、B【解析】【分析】先证明1190BCA B C A ∠=∠=︒，再证明11ABCAB C ，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵BC AC ⊥，111B C AC ⊥， ∴1190BCA B C A ∠=∠=︒，∵∠A =∠A ，∴11ABC AB C ，∴111B C BC AC AC=， ∵BC =3，AC =4， ∴11134B C BC AC AC ==． 故选B ．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．5、B【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA∴::AD A D OA OA '''== ，∴四边形ABCD 和A ′B ′C ′D′的面积比为22:2:3= ．故选：B【点睛】 本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．6、D【解析】【分析】先证明,ADE ABC ∽可得2,ADE ABC S AD S AB 从而可得答案.【详解】 解： ∥DE BC ，,ADE ABC ∴∽ 而25AD AB =， 24.25ADE ABC SAD S AB 故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.7、B【解析】【分析】通过证明△BEF ∽△ADF ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵CE ：BE =4：3，∴BE ：BC =3：7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，∴BE ：AD =3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥AD，∴△BEF∽△ADF，∴△BEF与△ADF的周长之比为3：7，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．8、C【解析】【分析】连接AG，并延长AG交BC于点H，根据重心性质得AGGH＝2，由ED∥BC，得AEBE＝AGGH＝2，再证明EB＝ED，设EB＝ED＝a，则AE＝2a，根据平行线分线段成比例，求出BC＝32a，即可求解．【详解】解：连接AG，并延长AG交BC于点H，∵G是△ABC的重心，∴AH是△ABC中线，且AGGH＝2，∵ED∥BC，∴AEBE＝AGGH＝2，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，设EB＝ED＝a，则AE＝2a，∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∵EDBC＝AEAB，∴aBC＝23aa，解得：BC＝32 a，∴ABBC＝332aa＝2，故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，解决本题关键是掌握三角形重心的性质．9、D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得出答案．【详解】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2219ADE ABC S AD S AB == ∴13AD AB = ∴12AD BD = 故选：D ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 10、C【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理得到F A CE C BD D ＝，然后根据比例性质求DF 的长． 【详解】解：∵////AB CD EF ，∴FA CE C BD D ＝， ∵12AC CE ＝，BD=3，∴312DF =， ∴DF =6．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．二、填空题1、2【解析】【分析】直接利用已知假设6x a =，则4y a =，3z a =，进而代入化简得出答案．【详解】 解：643x y z ==（x ，y ，z 均不为0）， ∴设6x a =，则4y a =，3z a =，则6410222435x y a a a y z a a a++===-⨯-． 故答案为：2．【点睛】 本题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．2、103##133 【解析】【分析】根据AC 2＝AD •AB 可以得到△ACD ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可．【详解】解：∵AC2＝AD•AB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC CD AB BC=∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，∴564CD =解得：CD＝103，故答案为103．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是利用已知条件证得两个三角形相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求得结论．3、∠DAE=∠BAC（不唯一）【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”是解答本题的关键．4、12m【解析】【分析】根据题意可得ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质可得对应边的比等于相似比，进而求得BC 的长【详解】解：∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △△∽点A 到木棒和旗杆的距离分别为2m 和20m ，DE 长为1.2m220DE BC ∴= 12BC ∴=m故答案为：12m【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．5、【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：设a ，b 的比例中项为c ，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴c 2＝ab ＝4×8＝32，解得：c ＝c ＝−故答案为：【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．三、解答题1、 (1)见解析(2)2n S【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系可得()()()6,6,82,4,0A B C ---，，横纵坐标都乘以12-，得()()()3,3,4,1,2,0D E F --，顺次连接,,D E F 即可得到DEF ；（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．(1)如图所示，(2)k n =，ABC 的面积为S ，21=ABC DEF S S n ∴ 21DEF S S n ∴=△ 则DEF 的面积2n S故答案为：2n S【点睛】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键．2、 (1)见解析(2)53DE = 【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A B ∠=∠，可证明ACE BDC ∽；（2）由勾股定理求出4AB =，由相似三角形的性质得出AC AE BD BC=，可求出DE 的长，则可得出答案． (1)解：证明：90ACB ∠=︒，CA CB =，1(18090)452A B ∴∠=∠=︒-︒=︒， 又45CDB A ACD ACD ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒+∠=∠=∠+∠，ACE BDC ∴∽；(2)解：由勾股定理得4AB ，设DE 长为x ，1AD =，3BD ∴=，1AE x =+，ACE BDC ∽， ∴AC AE BD BC=，解得53x =， 即53DE =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明ACE BDC ∽．3、 (1)6CE =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得ABE BCE ∠=∠，进而可得ABE BCE △∽△，列出比例式代入数值，即可求得CE ；（2）根据题意点C 关于AD 的对称点为F ，由（1）可得2CE AE =，根据对称可得C ，D ，F 三点共线，进而根据矩形的性质可得//AB CD ，AB CD =，证明ABE CFE ∽△△，得到90CEF AEB ∠=∠=︒，即可证明180CEF BEC ∠+∠=︒，即B ，E ，F 三点共线.(1)∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒.90ABE CBE ∴∠+∠=︒BE AC ⊥，90AEB BEC ∴∠=∠=︒.90BCE CBE ∴∠+∠=︒，ABE BCE ∴∠=∠，ABE BCE ∴△∽△，AE BE BE CE∴=.3AE =，BE =，BE ∴=CE=. 6CE ∴=.(2)由（1）得AE BE BE CE=. 2BE =， 2CE =.2CE AE ∴=.∵点C 与点F 关于AD 对称，90FDA CDA ∴∠=∠=︒，CD FD =.180FDA CDA ∠+∠=︒，∴C ，D ，F 三点共线．2CF CD ∴=．∵四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AB CD =.BAE FCE ∴∠=∠，2CF AB =.BAE FCE ∠=∠，2CE CF AE AB==. ABE CFE ∴△∽△ 90CEF AEB ∴∠=∠=︒.90BEC =︒∠，∴∠+∠=︒CEF BEC180∴B，E，F三点共线.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4、 (1)见解析(2)△CBD∽△CAB【解析】【分析】（1）以大于二分之一AB的长度为半径，分别以A，B两点为圆心在线段AB的两侧画弧，分别交于一点，连接两个交点即可；（2）根据角平分线的性质求出角之间的等量关系，进而根据相似三角形的相似的条件判断即可．(1)解：如图，直线DE即为所求．(2)解：△CBD∽△CAB．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝40°∵∠A＝40°，∴∠∠CBD＝∠A＝40°，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB．【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，以及相似三角形的判定，能够熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键．5、感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP ∽△PCD ；②BC =12，点P 为BC 中点，∴BP =PC =6，·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BP PC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当PA =PD 时，△ABP ≌△PCD ，∴PC =AB =10，∴BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

第九章图形的相似单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题(每题3分,共30分)1.若=,则等于( )A. B. C. D.2.若两个相似多边形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为( )A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.4∶13.如图,在△ABC中,若DE∥BC,AD=3,BD=6,AE=2,则AC的长为( )A.4B.5C.6D.84.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形与△ABC相似的是( )5.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )A.AB2=BC·BDB.AB2=AC·BDC.AB·AD=BD·BCD.AB·AD=AD·CD6.如图,为估算某河的宽度(河两岸平行),在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D 在同一条直线上,若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m7.如图,△ABO是由△A'B'O经过位似变换得到的,若点P'(m,n)在△A'B'O上,则点P'经过位似变换后的对应点P的坐标为( )A.(2m,n)B.(m,n)C.(m,2n)D.(2m,2n)8.如图,点E为▱ABCD的边AD上一点,且AE∶DE=1∶3,点F为AB的中点,EF交AC于点G,则AG∶GC等于( )A.1∶2B.1∶5C.1∶4D.1∶39.如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC 内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( )A.1B.2C.12-6D.6-610.如图,在钝角三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC的中点D,AC的中点N,连接DN,DE,DF.下列结论:①EM=DN;②S△CND=S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(每题3分,共24分)11.假期,爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离,他在比例尺为1∶500000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为_____________.12.已知=,则的值是_____________.13.如图,已知点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC.若S1表示以BC 为边的正方形的面积,S2表示长为AD(AD=AB)、宽为AC的矩形的面积,则S1与S2的大小关系为_____________.14.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是.15.如图,已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE∶SAE∶AC=.四边形DBCE=1∶8,那么16.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB= .17.如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足是点B,若在射线BF上找一点M,使以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似,则BM的长为.18.如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1,再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2,…,以此类推,则S n= .(用含n的式子表示)三、解答题(19,21题每题8分,24题14分,其余每题12分,共66分)19.如图,多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列),∠A=∠D1=135°,∠B=∠E1=120°,∠C1=95°.(1)求∠F的度数;(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5,且CD=15 cm,求C1D1的长度.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2;(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=________.(不写解答过程,直接写出结果) 21.如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD 和CB交于点G.(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.22.如图,一条河的两岸BC与DE互相平行,两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯),每排相邻两景观灯的间隔都是10 m,在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC,看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯,河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯,求这条河的宽度.23.如图,在矩形ABCD中,已知AB=24,BC=12,点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动;点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动.如果E,F同时出发,用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间.请解答下列问题:(1)当t为何值时,△CEF是等腰直角三角形?(2)当t为何值时,以点E,C,F为顶点的三角形与△ACD相似?24.如图,E,F分别是正方形ABCD的边DC,CB上的点,且DE=CF,以AE为边作正方形AEHG,HE与BC交于点Q,连接DF.(1)求证:△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点,求证:Q为CF的中点.(3)连接AQ,设S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,在(2)的条件下,判断S1+S2=S3是否成立?并说明理由.参考答案一、1.【答案】D 2.【答案】B3.【答案】C解：因为DE∥BC,所以AE∶AC=AD∶AB=3∶9=1∶3,则AC=6.4.【答案】A5.【答案】A解：因为△ABC∽△DBA,所以==.所以AB2=BC·BD,AB·AD=AC·DB.6.【答案】B解：∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠ABC=∠DCE=90°.又∵∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE.∴=,即=.∴AB=40 m.7.【答案】D解：将△A'B'O经过位似变换得到△ABO,由题图可知,点O是位似中心,位似比为A'B'∶AB=1∶2,所以点P'(m,n)经过位似变换后的对应点P 的坐标为(2m,2n).8.【答案】B解：延长FE,CD交于点H,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,易证△AFE∽△DHE,∴=,即=,∴HD=3AF.易证△AFG∽△CHG,∴===.故选B.9.【答案】D解：如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H.∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC.又∠BAC=∠DAG,∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG=∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形,∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6.∴AM==12.∵=,即=,∴AN=6.∴MN=AM-AN=6.∴FH=MN-GF=6-6.故选D.10.【答案】D解：∵△ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,∴EM是AB边上的中线.∴EM=AB.∵点D、点N分别是BC,AC的中点,∴DN是△ABC的中位线.∴DN=AB,DN∥AB.∴EM=DN.①正确.∵DN∥AB,∴△CDN∽△CBA.∴==.∴S△CND=S四边形ABDN.②正确.如图,连接DM,FN,则DM是△ABC的中位线,∴DM=AC,DM∥AC.∴四边形AMDN是平行四边形.∴∠AMD=∠AND.易知∠ANF=90°,∠AME=90°,∴∠EMD=∠FND.∵FN是AC边上的中线,∴FN=AC.∴DM=FN.∴△DEM≌△FDN.∴DE=DF,∠FDN=∠DEM.③正确.∵∠MDN+∠AMD=180°,∴∠EDF=∠MDN-(∠EDM+∠FDN)=180°-∠AMD-(∠EDM+∠DEM)=180°-(∠AMD+∠EDM+∠DEM)=180°-(180°-∠AME)=180°-(180°-90°)=90°.∴DE⊥DF.④正确.故选D.二、11.【答案】160 km解：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km,根据题意可列比例式为=,解得x=160.12.【答案】解：∵=,∴设a=13,b=5,则==.13.【答案】S1=S2解：∵C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC,∴BC2=AC·AB,又∵S1=BC2,S2=AC·AD=AC·AB,∴S1=S2.14.【答案】(,)解：∵点A的坐标为(0,1),∴OA=1.∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,位似比为1∶,∴=.∴OD=OA=×1=.∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴点E的坐标为(,).15.【答案】1∶316.【答案】5.5 m解：由已知得△DEF∽△DCB,∴=,∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20cm=0.2 m,CD=8 m,∴=.∴CB=4 m.∴AB=4+1.5=5.5(m).17.【答案】或3解：∵∠ABC=∠FBP=90°,∴∠ABP=∠CBF.当△MBC∽△ABP时,BM∶AB=BC∶BP,得BM=4×4÷3=;当△CBM∽△ABP时,BM∶BP=CB∶AB,得BM=4×3÷4=3.18.【答案】×解：在正△ABC中,AB1⊥BC,∴BB1=BC=1.在Rt△ABB1中,AB1===,根据题意可得△AB2B1∽△AB1B,记△AB1B的面积为S,∴=.∴S1=S.同理可得S2=S1,S3=S2,S4=S3,….又∵S=×1×=,∴S1=S=×,S2=S1=×,S3=S2=×,S4=S3=×,…,S n=×.三、19.解:(1)∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似,又∠C和∠C1,∠D和∠D1,∠E和∠E1是对应角,∴∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°.由多边形内角和定理,知∠F=720°-(135°+120°+95°+135°+120°)=115°.(2)∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5,且CD=15 cm,∴C1D1=15×1.5=22.5(cm).20.分析:(1)根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置,进而得出答案;(2)将△A1B1C1三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2得出各点坐标,进而得出答案;(3)利用位似图形的性质得出位似比,进而得出答案.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.(2)如图,△A2B2C2即为所求.(3)1∶421.(1)证明:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF.又∵∠AED=∠CEF, 且DE=FE,∴△ADE≌△CFE.(2)解法一:∵AB∥FC,∴∠GBD=∠GCF,∠GDB=∠GFC.∴△GBD∽△GCF.∴=.∴=.∴CF=3.由(1)得△ADE≌△CFE.∴AD=CF=3,∴AB=AD+BD=3+1=4.解法二:如图,取BC的中点H,连接EH.∵△ADE≌△CFE,∴AE=CE.∴EH是△ABC的中位线.∴EH∥AB,且EH=AB. ∴∠GBD=∠GHE,∠GDB=∠GEH.∴△GBD∽△GHE.∴=.∴=.∴EH=2.∴AB=2EH=4.22.解:由题意可得DE∥BC,所以=.又因为∠DAE=∠BAC,所以△ADE∽△ABC.所以=,即=.因为AD=16 m,BC=50 m,DE=20 m,所以=.解得DB=24 m.答:这条河的宽度为24 m.23.解:(1)由题意可知BE=2t,CF=4t,CE=12-2t.因为△CEF是等腰直角三角形,∠ECF是直角,所以CE=CF. 所以12-2t=4t,解得t=2.所以当t=2时,△CEF是等腰直角三角形.(2)根据题意,可分为两种情况:①若△EFC∽△ACD,则=,所以=,解得t=3,即当t=3时,△EFC∽△ACD.②若△FEC∽△ACD,则=,所以=,解得t=1.2,即当t=1.2时,△FEC∽△ACD.因此,当t为3或1.2时,以点E,C,F为顶点的三角形与△ACD相似.24.(1)证明:由AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,DE=CF,得△ADE≌△DCF.(2)证明:因为四边形AEHG是正方形,所以∠AEH=90°.所以∠QEC+∠AED=90°.又因为∠AED+∠EAD=90°,所以∠EAD=∠QEC.因为∠ADE=∠C=90°,所以△ECQ∽△ADE.所以=.因为E是CD的中点,所以EC=DE=AD.所以=.因为DE=CF,所以==.即Q是CF的中点.(3)解:S1+S2=S3成立.理由:因为△ECQ∽△ADE,所以=.所以=.因为∠C=∠AEQ=90°,所以△AEQ∽△ECQ.所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.所以=,=.所以+=+=. 在Rt△AEQ中,由勾股定理,得EQ2+AE2=AQ2,所以+=1,即S1+S2=S3.。

第九章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为( ) A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝ 6D ．a ＝2，b ＝5，c ＝2 3，d ＝152．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为12；④两个相似多边形的面积比为49，则周长的比为1681.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( ) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.259．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC ＝FG ；②S △FAB ∶S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________． 12．已知a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为________．13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC ．若S 1表示以BC为边的正方形的面积，S 2表示长为AD(AD ＝AB)、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF ＝1，则BC ＝________，△ADE 与△ABC 的周长之比为________，△CFG 与△BFD 的面积之比为________． 15．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．16．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持的小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝________(用含n的式子表示，n 为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分) 19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE 的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A 开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE. 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，求线段BD 的长．答案一、1.B 2.A3．C ：因为DE∥BC，所以AE：AC＝AD：AB＝3：9＝1：3，则AC＝6. 4．A 5.B6．B ：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴ABDC＝BECE，即AB20＝2010.∴AB＝40 m.7．B8．B ：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.∴ABBE＝CFBC.由AE＝12×3＝1.5，AB＝2，易得BE＝2.5，∴22.5＝CF3.∴CF＝2.4.9．D10．D ：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF. ∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠C.∴∠DAC ＝∠AFG.在△FGA 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠DAC ，AF ＝DA ，∴△FGA ≌△ACD(AAS)．∴AC ＝FG.①正确．∵BC ＝AC ，∴FG ＝BC. ∵∠C ＝∠G ＝90°，∴FG ∥BC. ∴四边形CBFG 是矩形．∴∠CBF ＝90°，S △FAB ＝12FB·FG＝12S 四边形CBFG .②正确．∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°.③正确．易知∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ. ∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ.∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC.④正确．二、11.160 km ： 设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x×105，解得x ＝160.12．14 ： 由a 5＝b 7＝c8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k.∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k－2×7k＋8k ＝9.∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.13．S 1＝S 2 ： ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC ， ∴BC 2＝AC·AB.又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC·AD＝AC·AB，∴S 1＝S 2. 14．2；1：2；1：6 15.(3，3)16．14 ： 如图，作CH ⊥AB 于点H ，交EF 于点P ，则CH ＝DA ＝42 m ．由题意知，CP ＝45 cm ＝0.45 m ，EF ＝15 cm ＝0.15 m. ∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠CBA ，∠CFE ＝∠CAB. ∴△CEF ∽△CBA. ∴EF AB ＝CP CH ，即0.15AB ＝0.4542. ∴AB ＝14 m ，即铁塔的高度为14 m.17.163或3 ： ∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF.当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n： 在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3， 根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322.∴S 1＝34S.同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n . 三、19.解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴∠H ＝∠D ＝95°. ∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°. ∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴BC FG ＝AB EF. ∴x ∶7＝12∶6.解得x ＝14. 20．解：(1)如图．(2)S △A′B′C′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF.又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． (2)解：方法一：∵AB ∥FC ， ∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F. ∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BDCF .∴22＋4＝1CF.∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE ， ∴AD ＝CF ＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC 的中点H ，连接EH. ∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE.∴EH 是△ABC 的中位线．∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB.∴∠GBD＝∠GHE，∠GDB＝∠GEH.∴△GBD∽△GHE.∴DBEH＝GBGH.∴1EH＝22＋2.∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4. 22．解：由题意可得DE∥BC，∴ADAB＝AEAC.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋DB＝DEBC.∵AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m，∴1616＋DB＝2050.∴DB＝24 m.∴这条河的宽度为24 m.23．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，△QAP是等腰直角三角形，所以6－t＝2t，解得t＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ·CD＋12AP·BC＝(36－6t)＋6t ＝36(cm 2)．在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变． (3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△PAQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似． 24．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC.∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5.∴AE ＝CE ＝2 5.∴AE BD ＝2 54＝52. 当α＝180°时，如图①，易得AC ＝4 5，CE ＝2 5，CD ＝4， ∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB.∴CE CA ＝CDCB，∠EDC ＝∠B ＝90°. 在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴CE CA ＝CDCB 仍然成立． 又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α， ∴△ACE ∽△BCD.∴AE BD ＝ACBC .由(1)可知AC ＝4 5. ∴AC BC ＝4 58＝52.∴AE BD ＝52.∴AEBD的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 5；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝12 55.综上，BD的长为4 5或12 55.。

八年级数学下册第九章图形的相似定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（）A．一定不相似B．不一定相似C．无法判断是否相似D．一定相似2、如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若BB'＝2OB'，则A B C'''与ABC的面积之比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：93、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）4、已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，AE AH，AC交HG，EF于点M，Q，若要求APQ的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPHC．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF6、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会．．随点P的移动而变化的是( )A．①②③B．①②⑤C．①③④D．①④⑤7、如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（）A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.68、如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°9、两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（）A．16cm2B．54cm2C．32cm2D．48cm210、下列各组线段中是成比例线段的是（）A．2cm,4cm,6cm,6cm B．2cm,4cm,4cm,8cmC．4cm,8cm,12cm,16cm D．3cm,6cm,9cm,12cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且:3:4CD CE =．将CDE △绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是ABC ∠的平分线，此时线段CD 的长是_____．2、如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P 处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 _____米．3、如图，矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A ′、C ′处，如果点A ′、C ′、B 在同一条直线上，那么AC AB'的值为_____．4、如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，则△ABO 的面积与△CDO 的面积的比为_____．5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5，AB ＝D 在边AC 上，将△ABD 沿着直线BD 翻折得△EBD ，BE 交直线AC 于点F ，联结CE ，若△BCE 是等腰三角形，则AF 的长是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是边长为1的正方形网格，△A 1B 1C 1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A 2B 2C 2（△A 2B 2C 2的顶点均在格点上），使△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1；(2)说明△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1相似的依据，并直接写出∠B 2A 2C 2的度数．2、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC m AC n=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ．(1)[探究发现]：如图1，若m n=，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；(2)[数学思考]：①如图2，若点E在线段AC上，求证：DE n DF m=；②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若AC=BC=DF=CE的长．（可结合题意，另行画图）3、已知，DEF是ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，DEF与ABC的位似比为k．(1)若位似比12k=，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；(2)若位似比k n=，ABC的面积为S，则DEF的面积＝______．4、ABC为等边三角形，D是边AB上一点，点G为AB延长线上一点，连接CD，GC．(1)如图1，若2BG=，4AC=，求GC的长；(2)如图2，点E 是BC 反向延长线上一点，连接DE ，GE ，若60DCG ∠=︒，CD DE =，猜想线段EG ，CG ，DC 的数量关系，并证明；(3)如图3，点M 是AC 的中点，将ABC 沿直线DM 折叠，点A 恰好落在CG 上的点Q ，连接DC ，若4AC =，CD =CQD 的面积．5、如图，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA ⊥AB ，垂足为点A ，DP ⊥BC ，垂足为点P ，AP PD ＝BPCD．(1)求证：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12，∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2、D【分析】先根据2BB OB ''=可得13OB OB '=，再根据位似图形的性质可得A B AB ''∥，A B C ABC '''△，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：2BB OB ''=，13OB OB =∴'， A B C '''与ABC 是位似图形，A B AB ''∴，A B C ABC '''△，OA B OAB ''∴， 13OB A B AB OB ''∴='=， 则A B C '''与ABC 的面积之比为2()11:99A B AB ''==， 故选：D ．【点睛】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．3、D【解析】【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k ，位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，把B 点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B ′的坐标．解：∵以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．4、C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式对各选项进行一一判断即可．【详解】解：∵AD∥BC，∵∠BAO不一定等于∠CDO，∴△AOB与△COD不一定相似，①错误；△AOD∽△BOC，②正确；∴S△DOC：S△AOD＝CO：AO＝BC：AD，③正确；S△COD＝S△AOB，④正确，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形AEPH 的面积为：ab ，矩形HDFP 的面积为：3a b ，矩形PEBG 的面积为：3b a，以及APQ 的面积，HDFP AEPH S S -矩形矩形，进而比较可【详解】解：∵矩形ABCD 被分割成4个小矩形，设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，矩形AEPH ~矩形HDFPAE HD EP HP∴= 2AE HP a PF HD EP b⋅∴=== 222a ab AD BC EP PF b b b+∴==+=+= 矩形AEPH ~矩形PEBG ，AE EP EP EB∴= 22EP b EB AE a∴== 2b FC EB a∴== ∴矩形AEPH 的面积为：ab矩形HDFP 的面积为：3a b矩形PEBG 的面积为：3b a∴HDFP AEPH S S -=矩形矩形3a b -ab 32a ab b-= EQ BC ∥AEQ ABC ∴∽2222EQ AE a a b BC AB a b a a∴===++ 2222222222a a a b a a EQ b a b b a b b b⎛⎫+∴=⨯+=⨯= ⎪++⎝⎭ 11=22APQ AEQ AEP S S S AE EQ AE EP ∴-=⋅-⋅△△ ()1=2AE EQ EP ⋅- 22232111=222a a b a ab a b a b b b ⎛⎫--=⨯-=⨯⨯ ⎪⎝⎭ ()1=2HDFP AEPHS S -矩形矩形 故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝14×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7、C【分析】根据平行线分线段成比例可得CDDE＝FGGH，代入数值即可求得GH的值【详解】∵直线l1∥l2∥l3，∴CDDE＝FGGH，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴12＝1.2GH，∴GH＝2.4，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．8、C【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【详解】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C=80°，【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．9、C【解析】【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得18916S=，计算求解即可．【详解】解：设较大多边形的面积为S由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16∴18916 S=解得32S=故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似比的关系．10、B【解析】【分析】根据成比例线段的定义和性质，即可求解．【详解】解：A、因为2646⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；B 、因为2844⨯=⨯，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；C 、因为416812⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、因为31269⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段a b c d ,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．二、填空题1、6【解析】【分析】设3CD x =，则4,124CE x BE x ==-，先根据相似三角形的判定证出ACB DCE △△，根据相似三角形的性质可得DEC ABC ∠=∠，再根据平行线的判定与性质、角平分线的定义可得EBF BFE =∠∠，等腰三角形的判定可得124EF BE x ==-，然后根据旋转的性质可得3DF CD x ==，从而可得12DE x =-，最后在Rt DCE 中，利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．【详解】解：如图，设3CD x =，则4CE x =，124BE x =-，34CD CA CE CB ==，90DCE ACB ∠=∠=︒， ACB DCE ∴，DEC ABC ∴∠=∠，AB DE ∴，ABF BFE ∴∠=∠，又BF 平分ABC ∠，ABF EBF ∴∠=∠，EBF BFE ∴∠=∠，124EF BE x ∴==-，由旋转的性质得：3DF CD x ==，12DE EF DF x ∴=+=-，在Rt DCE 中，222CD CE DE +=，即222(3)(4)(12)x x x +=-，解得2x =或3x =-（不符题意，舍去），3326CD x ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．2、36【解析】【分析】根据题意，利用相似三角形的判定定理可得~ABP DCP ，再由其性质：相似三角形高的比等于相似比进行求解即可得．【详解】解：如图，∵北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，∴16AB m =，80DC m =，∵AB CD ∥，∴~ABP DCP ，AB PE DC PF=， ∵16AB m =，P 到AB 的距离即9PE m =， ∴169809=+EF， 解得：36=EF m ，∴河宽为36米，故答案为：36．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．3 【解析】【分析】根据题意作出图形，设CD ＝AB ＝m ，根据C D BC '∥可得D D BC A CC A '''=，代入数值求得m ，即AB 的长，证明ABC CA B ''∽，根据AC BC AB A C '='即可求解．【详解】解：如图，矩形ABCD,90AB CD A C ∴=∠=∠=︒设CD ＝AB ＝m ，根据旋转的性质可知C ′D ＝m ，A ′C ＝2+m ，∵C D BC '∥，A C D A BC '''∴∽ ∴D D BC A C C A '''=，即222m m=+，解得m ＝﹣1∴AB 长为﹣211A C A D DC B C AB BC AB ''''∴=+=+=+=+=AB A C '∥ABC CA B ''∴∠=∠90A C ∠=∠=︒ABC CA B ''∴∽∴AC BCAB A C '='==． 【点睛】 本题考查了进行的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意作出图形，找到相似三角形是解题的关键．4、1：4【解析】【分析】证明△AOB ∽△COD ，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比．【详解】解：如图，设小方格的边长为1，∵△ABE 、△DCF 分别是边长为1和2的等腰直角三角形，∴∠ABE ＝∠CDF ＝45°，AB =，CD =，∵BE //DF ，∴∠EBO ＝∠FDO ，∴∠ABO ＝∠CDO ，又∠AOB ＝∠COD ，∴△ABO ∽△CDO ，∴S △ABO ：S △CDO ＝（AB ：CD ）2，∴2:1:4ABO CDO S S ==△△，故答案为：1∶4．【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．552【解析】【分析】根据题意作图如下，过C 作BE 的垂线，交于G ，由勾股定理求得AC的性质，可得：5AB EB EC BC ====，若△BCE 是等腰三角形，则EC BC =，勾股定理求出CG BGC CGF ∽，求出52CF =，根据AF AC CF =-，即可求出． 【详解】解：D 在边AC 上，将△ABD 沿着直线BD 翻折得△EBD ，BE 交直线AC 于点F ，联结CE ，根据题意作图如下，过C 作BE 的垂线，交于G ，在Rt ABC 中，AC根据翻折的性质，可得：5AB EB EC BC ====，当点D 在边AC 之间上动时，且BE 交直线AC 于点F ，故90BCB ∠>︒，若△BCE 是等腰三角形，则EC BC =，根据等腰三角形的三线合一的性质知，点G 为BE 的中点，12BG BE ∴==CG ∴==90CGF BGC ∠=∠=︒，90GFC GCF GFC GBC ∠+∠=∠+∠=︒，GCF GBC ∴∠=∠，BGC CGF ∴∽，BG BC CG CF∴=，5CF =， 解得：52CF =， 52AF AC CF ∴=-=，52．【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．三、解答题1、 (1)见解析(2)依据见解析，135°【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(1)解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)证明：∵A 1C 1＝4，∠C 1A 1B 1＝135°，A 1B 1=A 2C 2＝2，∠C 2A 2B 2＝135°，根据勾股定理A 2B 2， ∴22112142A C A C ==，221112B B A A ==， ∴2222111112A C AB AC A B ==， ∠C 2A 2B 2=∠C 1A 1B 1＝135°， ∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．∠C 2A 2B 2＝135°，【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．2、 (1)DE ＝DF ，见解析(2)①见解析；②成立，见解析(3)【解析】【分析】（1）根据BC ,AC m m n n == 得出BC ＝AC ，根据∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，得出∠B ＝∠ACD ＝45°，CD ＝BD ，根据CD ⊥AB ，DE ⊥DF ，得出∠CDE ＝∠BDF ，再证△CDE ≌△BDF （AAS ），得出DE ＝DF 即可；（2）①根据∠A +∠ACD ＝90°∠ACD +∠BCD ＝90°，得出∠A ＝∠BCD ，可证∠ADE ＝∠CDF ，得出△ADE ∽△CDF ， 利用相似三角形性质得出DE AD DF DC =，根据∠A ＝∠BCD ，∠ACD ＝∠B ，可证 △ADC ∽△CDB ，得出AD AC DC BC=，根据AC BC n m = ， 得出DE AC DF BC n m ==； ②仍然成立，根据∠CDE +∠BDE ＝90°，∠BDF +∠BDE ＝90°，得出∠CDE ＝∠BDF ，再证△ADE∽△CDF，得出DE ADDF DC=，根据△ADC∽△CDB，得出AD ACDC BC=，根据ACBCnm=，可证DE AC DF BC n m==即可；（3）根据△ADE∽△CDF，得出DE AC1DF BC2==，可得AD AE DE1CD CF DF2===，证出CF＝2AE，根据DF＝DE＝EF，根据勾股定理EF＝E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（CE] 2＝40 ，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40，解方程即可．(1)结论为：DE＝DF证明：∵BC,ACmm nn==∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，∵CD⊥AB，DE⊥DF，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CD F=90°∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，ECD BEDC FDBCD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE＝DF，(2)①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°∴∠A＝∠BCD，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE AD DF DC=，∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，∴ △ADC∽△CDB，∴AD AC DC BC=，∵ACBCnm=，∴DE ACDF BCnm==；②仍然成立，∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠A＝∠BCD，∴△ADE∽△CDF，∴DE AD DF DC=，∵△ADC∽△CDB，∴AD AC DC BC=，∵ACBCnm=，∴DE ACDF BCnm==；(3)由（2）得△ADE∽△CDF，∴DE AC1 DF BC2==，∴AD AE DE1CD CF DF2===，∴CF＝2AE，∵DF＝∴DE＝连结EF，∵∠EDF＝90°，∴EF＝①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+ [ 2（CE] 2＝40 ，∴CE＝CE＝（舍去），∴CE＝②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，∴CE CE＝－舍去)，∴CE③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+ [ 2CE）] 2＝40，∴CE＝CE（均不满足题意），综上所述，CE ＝ 【点睛】 本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．3、 (1)见解析(2)2n S【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系可得()()()6,6,82,4,0A B C ---，，横纵坐标都乘以12-，得()()()3,3,4,1,2,0D E F --，顺次连接,,D E F 即可得到DEF ；（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．(1)如图所示，(2)k n =，ABC 的面积为S ，21=ABC DEF S S n ∴ 21DEF S S n ∴=△ 则DEF 的面积2n S故答案为：2n S【点睛】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键．4、 (1)(2)=+CG CD EG，理由见解析【解析】【分析】(1)过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，证明△ABE ∽△GBH ，得到==AE AB BE GH BG BH代入数据求出GH =1BH =，最后在Rt △CGH 中，由勾股定理CG(2)在线段CG 上取点F ，并使得CD=CF ，连接DF ，证明△EDG ≌△FDG (SAS )，得到EG =FG ，最后由CG=FG+FC=EG+DC 即可证明；(3)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，过点M 作MN ⊥AB 于N ，ME ⊥QC 于E ，连接AQ 交DM 于F 点，由折叠性质得到DM ⊥AQ ，由MC=MA=MQ 得到△AQC 为直角三角形，进而得到DM∥CG ，证明△AMF ≌△MCE (AAS )，由等面积法求出==ME AF 1==2∆∆⋅=CQD CQM S S CQ ME ． (1)解：过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，如下图所示：∵△ABC 为等边三角形，∠ACE =60°，∴12,2===CE BC AE ∵∠ABE =∠HBG =60°，∠AEB =∠H =90°，∴△ABE ∽△GBH ， ∴==AE AB BE GH BG BH，代入数据AB=AC=4，BG=2，==AE 42 2=BH∴GH=1BH=，在Rt△CGH中，由勾股定理有：CG故CG的长为(2)解：EG，CG，DC的数量关系为：=+CG CD EG，理由如下：在线段CG上取点F，并使得CD=CF，连接DF，如下图所示，∵∠DCG=60°，∴△CDF为等边三角形，∴DF=DC，∠CDF=60°，由已知：DE=DC，∴DF=DE，∴∠DEB=∠BCD∵∠DEB+∠EDG=∠DBC=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠EDG=∠ACD；又∠GDC=∠A+∠A CD=60°+∠ACD，∠GDC=∠FDC+∠GDF=60°+∠GDF，∴∠ACD=∠GDF，∴∠EDG=∠GDF，在△EDG和△FDG中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ED FDEDG FDG DG DG，∴△EDG≌△FDG(SAS)，∴EG=FG，∴CG=FG+FC=EG+DC．(3)解：过C点作CH⊥AB于H点，过点M作MN⊥AB于N，ME⊥QC于E，连接AQ交DM于F点，如下图所示：由折叠可知：DA=DQ，MA=MQ，∴DM 所在直线是线段AQ 的垂直平分线，∴DM ⊥AQ ，∠AFM =90°，又M 为AC 的中点，∴MC=MA=MQ ,∴△AQC 为直角三角形，∠AQC =90°，∴∠AFM =∠AQC =90°，∴DM∥CG ，∴∠AMF =∠MCE ，∴△AMF ≌△MCE (AAS )，∴=ME AF ，由等腰三角形的“三线合一”可知，∠HCA =30°，∠BAC =60°，1=22=AH AB ，CH ==在Rt △CDH 中，1=DH ，∴3=+=AD DH AH ，∵M 为AC 的中点，∠BAC =60°，∴122AM AC ==，112AN AM ==，=MN∴=DM在△ADM 中，由等面积法可知：1122⋅=⋅AD MN DM AF ，解得：==AF ，由折叠可知，MQ=MA=MC ，∴△MQC 为等腰三角形，且底边QC 上的高为==ME AF∴=CE∴2==CQ CE ∵DM∥CG ，∴11==22∆∆⋅==CQD CQM S S CQ ME 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、截长补短法证明线段和差问题、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．5、 (1)见解析【解析】【分析】（1）通过证明Rt △ABP ∽Rt △PCD ，可得∠B ＝∠C ，∠APB ＝∠CDP ，由外角性质可得结论；（2）通过证明△APC ∽△ADP ，可得AP BP PD CD=，即可求解． (1)（1）证明：∵PA ⊥AB ，DP ⊥BC ，∴∠BAP ＝∠DPC ＝90°， 设AP PD ＝BP CD ＝k ， ∴AP ＝k •PD ，BP ＝k •CD ，∴AB k=PC＝k∴ABPC＝k＝APPD＝BPCD，∴Rt△ABP∽Rt△PCD，∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，∵∠DPB＝∠C＋∠CDP＝∠APB＋∠APD，∴∠APD＝∠C；(2)（2）解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝6，∵CD＝4，∴AD＝2，∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴AP AD AC AP=，∴AP2＝2×6＝12，∴AP＝【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。

八年级数学下册第九章图形的相似同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能．．判定△ABC∽△BDC的是（）A．2BC AC CD=⋅B．AB BDAC BC=C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD2、如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上43CEBE=，则△BEF与△ADF的周长之比为（）A．1：3 B．3：7 C．4：7 D．3：43、若32xy=，则x yy+的值为（）A ．13 B ．23 C ．12 D ．524、点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，可推出DE ∥BC 的条件是（ ）A ．BD AD ＝43，AE EC ＝43B ．AD AB ＝23，AE AC ＝23 C ．AD AB ＝23，EC AE ＝23 D ．AB AD ＝23，EC AE ＝12 5、下列各组线段中是成比例线段的是（ ）A ．2cm,4cm,6cm,6cmB ．2cm,4cm,4cm,8cmC ．4cm,8cm,12cm,16cmD ．3cm,6cm,9cm,12cm6、如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 7、若32b a =，则a b a +的值等于（ ） A ．12 B ．52 C ．53 D ．548、如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()2,2A ，()4,2B ，()4,4C ，以原点为位似中心，在原点的异侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为1:2，则线段DF 的长度为（ ）A B ．2 C ．D ．49、如图，已知123l l l ∥∥，若1AB =，2BC =， 1.5DE =，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．310、如图，在ABC 中，DE //BC ，EF //AB ，记1ADE S S =△，2CEF S S =△，3BDEF S S =四边形，则下列关于1S ，2S ，3S 的关系式正确的是（ ）A ．312S S S =+B ．3S =C ．3S D第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为_____m．2、如图：△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝_____．3、已知，△ABC∽△A'B'C'，32ACA C=''，△ABC的面积为45，则△A'B'C'的面积等于 _____．4、两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝___．5、定义：如图1，已知锐角∠AOB内有定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N．若P是线段MN的中点时，则称直线MN是∠AOB的中点直线．如图2，射线OQ的表达式为y＝2x（x＞0），射线OQ与x轴正半轴的夹角为∠α，P（3，1），若MN为∠α的中点直线，则直线MN 的表达式为__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，DEF是ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，DEF与ABC的位似比为k．(1)若位似比12k=，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；(2)若位似比k n=，ABC的面积为S，则DEF的面积＝______．2、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．(1)以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的2倍得到△A 1B 1C 1，作出△A 1B 1C 1，写出A 1，B 1，C 1的坐标；(2)四边形AA 1B 1B 的面积为 ．3、△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示（1）以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形111A B C △，使ABC 与111A B C △的位似比为1：2，且111A B C △位于点C 的异侧；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形22A B C ；4、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．5、如图，在ABC 中，D 是AB 上一点（不与A ，B 两点重合），过点D 作∥DE BC ，交AC 于点E ，连接CD ，且ACD B ∠=∠．(1)求证：2CD DE BC =⋅；(2)若4DE =，5BC =，求AE AD的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由相似三角形的判定方法依次进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵BC2=AC•CD，∴BC CD AC BC，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．2、B【解析】【分析】通过证明△BEF∽△ADF，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵CE：BE=4：3，∴BE：BC=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴BE：AD=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥AD，∴△BEF∽△ADF，∴△BEF与△ADF的周长之比为3：7，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据等式的性质求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】解：∵32xy，∴x=32y，∴3522y y x y y y ++==，故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．4、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】 解：当AD AB ＝AE AC 或AD DB ＝AE EC时，DE ∥BC ， B 选项中，AD AB ＝23，AE AC ＝23， ∴AD AB ＝AE AC， ∴DE ∥BC ，故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据成比例线段的定义和性质，即可求解．【详解】解：A 、因为2646⨯≠⨯ ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；B 、因为2844⨯=⨯，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；C 、因为416812⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、因为31269⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段a b c d ,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．6、C【解析】【分析】利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．【详解】解：AD DE EB ==， ∴13AD AB =，12AD AE =． ////DF EG BC ，ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽．∴2()ADF ABC S AD S AB ∆∆=，2()ADF AEG S AD S AE∆∆=． 99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形解答．7、B【解析】【分析】 根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠， 则23522a b k k a k ++==， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．8、A【解析】【分析】根据勾股定理求出AC ，再根据位似变换的性质计算，得到答案．解：∵A （2，2），B （4，2），C （4，4），∴AB ＝2，BC ＝2，由勾股定理得：AC∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，相似比为1：2，∴线段DF 的长度为12AC故选：A ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．9、D【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例，可得EF BC DE AB =，代入数值进行计算即可 【详解】解：123l l l ∥∥ ∴EF BC DE AB =， 1AB =，2BC =， 1.5DE =， ∴21.51EF =， 解得：3EF =．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．10、B【解析】【分析】设AD ＝a ，BD ＝b ，DB 与EF 间的距离为h ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S 1，S 2，S 3的关系．【详解】解：设AD ＝a ，BD ＝b ，DB 与EF 间的距离为h ，∵EF ∥AB ，DF ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴BD ＝EF ＝b ，∵DF ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AFD ＝∠ACB ，∠DAF ＝∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADF FEC S S ∆∆＝12S S ＝（AD EF ）2＝22a b， ∵S 1＝12ah ，∴S 2＝22b h a， ∴S 1S 2＝224b h ， ∴bh ＝∴S 3＝故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．二、填空题1、2.3【解析】【分析】过N 点作ND PQ ⊥于点D ，根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的得到BC DN AB QD=，求出QD 的长，即可求出结果．【详解】解：如图，过N 点作ND PQ ⊥于点D ，则四边形DPMN 是矩形，DN PM ∴= 根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的， ∴BC DN AB QD=， ∵2m AB =， 1.6m BC =， 1.2m PM =，0.8m MN =， ∴ 1.5m AB DN QD BC⋅==， ∴ 1.5m 0.8m 2.3m PQ QD DP QD MN =+=+=+=．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用竿长和影长成比例列式求出结果．2、1：3：5【解析】【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：∵点D 、F 是AB 边的三等分点，点E 、G 是AC 边的三等分点，∴DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，设△ADE 的面积为m ， ∴21()4ADE AFG S AD S AF ==， ∴S △AFG ＝4m ，∵21()9ADE ABC S AD S AB ==， ∴S △ABC ＝9m ，∴S △ADE ＝m ，S 四边形DEFG ＝S △AFG ﹣S △ADE ＝4m ﹣m ＝3m ，S 四边形BCGF ＝S △ABC ﹣S △AFG ＝9m ﹣4m ＝5m ，∴S △ADE ：S 四边形DEFG ：S 四边形BCGF＝1：3：5，故答案为：1：3：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 3、20【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算．【详解】解：∵△ABC ∽△A 'B 'C '，32AC A C =''， ∴23924ABC A B C S S '''⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵△ABC 的面积为45，∴445209A B C S '''=⨯=， 故答案为：20．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．4、4【解析】【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ，进而得出答案．【详解】解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b ），∴b ＝﹣6×(﹣23)＝4， 则b ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．5、y ＝﹣12x +52【解析】【分析】作MD ⊥x 轴于D ，PE ⊥x 轴于E ，则//PE MD ，设M （m ，2m ），由题意得PE ＝m ，由P （3，1）求得m ＝1，即可求得N （5，0），然后根据待定系数法即可求得直线MN 的解析式．【详解】解：如图，作MD ⊥x 轴于D ，PE ⊥x 轴于E ，则//PE MD ，∵P 为MN 的中点，//PE MD ∴1DE MP EN PN== ∴DN=EN ，即E 为DN 中点，∴PE 是MDN △中位线∴PE＝12MD，∵M是射线OQ上的点，∴设M（m，2m），∴MD＝2m，∴PE＝12MD＝m，∵P（3，1），∴m=1,OE=3∴M（1，2）∴OD=1，则DE=OE-OD=2∴EN=DE=2∴ON=OE+EN=5∴N（5，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，把P（3，1），N（5，0）代入得31 50k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1252kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线MN的解析式为y＝﹣12x+52，故答案为：y＝﹣12x+52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，求得N 的坐标是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)2n S【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系可得()()()6,6,82,4,0A B C ---，，横纵坐标都乘以12-，得()()()3,3,4,1,2,0D E F --，顺次连接,,D E F 即可得到DEF ；（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．(1)如图所示，(2)k n =，ABC 的面积为S ，21=ABC DEFS S n ∴21DEF SS n ∴=△ 则DEF 的面积2n S故答案为：2n S【点睛】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键．2、 (1)图见解析，A 1（6，2），B 1（2，4），C 1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作．观察图形得：A 1（6，2），B 1（2，4），C 1（8，6）；(2)解：四边形AA 1B 1B 的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．3、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据位似的性质，结合正方形网格和位似比作图，即可得到答案；（2）结合正方形网格，根据勾股定理逆定理、旋转的性质，得2AC A C =、290ACA ∠=︒，再根据位似的性质作图，即可得到答案．【详解】（1）如下图：111A B C △即为所求；（2）如下图：∵边长为1的正方形网格∴2AC A C ==24AA =∴22222AA AC A C =+∴290ACA ∠=︒22A B C 即为所求．【点睛】本题考查了位似、旋转、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．4、感知：（1）AE DE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAP =∠CPD ，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、 (1)见解析【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出∠EDC =∠DCB ，证明△DEC ∽△CDB ，由相似三角形的性质得出DE CD CD BC=，则可得出答案；（2）由相似三角形的性质可求出DC 的长，由平行线分线段成比例定理可得出答案．(1)证明：∵DE //BC ，∴∠EDC =∠DCB ，又∵∠ACD =∠B ，∴△DEC ∽△CDB ， ∴DE CD CD BC=， ∴CD 2=DE •BC ；(2)解：∵CD 2=DE •BC ，DE =4，BC =5，∴CD 2=20，∴CD ，∵△DEC ∽△CDB ， ∴DE EC CD DB=，∴CE DB ∵DE //BC ，∴AE CE AD BD == 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

八年级数学下册第九章图形的相似综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若BB'＝2OB'，则A B C'''与ABC的面积之比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：92、如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知AB＝4，BC＝6，DE＝2，则EF的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．4.53、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AB ＝1：3，则S △AEF ：S △ADC ＝（ ）A ．1：12B ．1：9C ．1：6D ．1：34、如图所示，在直角坐标系中，1,0A ，()0,2B ，以A 为位似中心，把ABC 按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C ''△，则B '的坐标为（ ）．A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,4--D ．()1,4-5、在四边形ABCD 中，∠B =90°，AC =4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB =x ，AD =y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若32b a =，则a b a +的值等于（ ） A ．12 B ．52 C ．53 D ．547、如图，已知△ABC ∽△DEF ，若∠A ＝35°，∠B ＝65°，则∠F 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．80°D ．100°8、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB =2米，CD =5米，点P 到CD 的距离是4米，则P 到AB 的距离为（ ）A ．2.5米B ．1.6米C ．1.5米D ．1.2 米9、如图，在ABC 中，DE //BC ，EF //AB ，记1ADE S S =△，2CEF S S =△，3BDEF S S =四边形，则下列关于1S ，2S ，3S 的关系式正确的是（ ）A ．312S S S =+B ．3S =C ．3SD 10、如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中不会．．随点P 的移动而变化的是( )A ．①②③B ．①②⑤C ．①③④D ．①④⑤第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是43，BE 、B 1E 1分别是它们对应边上的角平分线，且BE ＝12，则B 1E 1＝_____．2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，如果AE EC ＝34，那么AE AB ＝________________．3、实数9和6的比例中项是_____．4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，垂足分别为点D ，E ，则图中与△ABC 相似的三角形个数有______个．5、若25x y =，则+-x y x y的值是_______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，AD ＝2，AC ＝3，ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．(1)求证：ADE ACB ∽；(2)求AG GF的值． 2、问题提出如图（1），ABC 和DEC 都是等腰直角三角形，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图2，当点D ，F 重合时，直接写出表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系的等式：______________________________；(2)再探究一般情形如图1，当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ）(3)问题拓展如图3，若ABC 和DEC 都是含30°的直角三角形，有90ACB DCE ∠=∠=︒，90BAC EDC ∠=∠=︒，点E 在△ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．3、如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当0α=︒时，AE BD =________；②当180α=︒时，AE BD=______． (2)拓展探究试判断：当0360α︒≤<︒时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长________．4、如图，△ACB 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°．(1)如图1，点M 、N 分别在CA 、CB 上，若CA ＝CB ＝8，D 为AB 的中点，∠MDN ＝60°，求CM +CN 的值．(2)如图2，∠ABP ＝120°，点E 、F 在AB 上，且∠ECF ＝60°，射线BP 交CE 的延长线于点P ，求证：PB +AF ＝PF ．(3)如图3，在△ACB 的异侧作△AGB ，其中AG ＝3，BG ＝6，在线段BG 上取点Q ，使BQ ＝2．当AG 绕着点G 运动时，求CQ 的最大值．5、ABC 为等边三角形，D 是边AB 上一点，点G 为AB 延长线上一点，连接CD ，GC ．(1)如图1，若2BG =，4AC =，求GC 的长；(2)如图2，点E 是BC 反向延长线上一点，连接DE ，GE ，若60DCG ∠=︒，CD DE =，猜想线段EG ，CG ，DC 的数量关系，并证明；(3)如图3，点M 是AC 的中点，将ABC 沿直线DM 折叠，点A 恰好落在CG 上的点Q ，连接DC ，若4AC =，CD =CQD 的面积．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先根据2BB OB ''=可得13OB OB '=，再根据位似图形的性质可得A B AB ''∥，A B C ABC '''△，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：2BB OB ''=，13OB OB =∴'， A B C '''与ABC 是位似图形，A B AB ''∴，A B C ABC '''△，OA B OAB ''∴， 13OB A B AB OB ''∴='=，则A B C '''与ABC 的面积之比为2()11:99A B AB ''==， 故选：D ．【点睛】 本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．2、B【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：123l l l ，AB DE BC EF∴=， 4,6,2AB BC DE ===， 426EF∴=， 解得3EF =，经检验，3EF =是所列分式方程的解，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．3、A【解析】先判断出△AEF 与△DCF 是相似，利用性质可求面积比，再由△AEF 与△ADF 是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S △ADC =S △CDF +S △ADF 计算比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AE ：AB ＝1：3，∴AE ：CD ＝1：3，∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ， ∴21()9AEF CDF SAE S CD ==，13EF AE DF CD ， ∴S △CDF =9S △AEF ，S △ADF =3S △AEF ，∵S △ADC =S △CDF +S △ADF ，∴19312AEF AEF ADC AEF AEF S S S S S ==+， 故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．4、D【解析】【分析】根据位似得到AB BB '=，过B '作B 'D ⊥y 轴于D ，则∠B 'DB =∠AOB =90°，证得△B 'BD ≌△ABO ，求出B 'D=AO =1，AD =4，得到B '的坐标．解：∵把ABC按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C''△，∴12 ABAB='，∴AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，∵∠B'BD=∠ABO，∴△B'BD≌△ABO，∴B'D=AO=1，BD=BO=2，∴AD=4，∴B'（-1,4），故答案为（-1,4）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握位似的性质及全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．5、D【解析】【分析】由△DAH∽△CAB，得AD AHAC AB=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴AD AH AC AB=，∴24yx =，∴8yx =，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．6、B【解析】【分析】根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠， 则23522a b k k a k ++==， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．7、C【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【详解】解：∵△ABC 中，∠A =35°，∠B =65°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-35°-65°=80°，又∵△ABC ∽△DEF ，∴∠F =∠C =80°，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．8、B【解析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∵AB //CD∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△ ∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．9、B【解析】【分析】设AD ＝a ，BD ＝b ，DB 与EF 间的距离为h ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S 1，S 2，S 3的关系．【详解】解：设AD ＝a ，BD ＝b ，DB 与EF 间的距离为h ，∵EF ∥AB ，DF ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴BD ＝EF ＝b ，∵DF ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AFD ＝∠ACB ，∠DAF ＝∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADF FEC S S ∆∆＝12S S ＝（AD EF ）2＝22a b， ∵S 1＝12ah ，∴S 2＝22b h a， ∴S 1S 2＝224b h ， ∴bh ＝∴S3＝故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．10、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；∴MN＝12②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，AB，MN∥AB，∴MN＝12∴△PMN∽△PAB，∴△PMN 的面积＝14×△PMN 的面积， 则△PMN 的面积不会随点P 的移动而变化；④∵MN ∥AB ，∴直线MN ，AB 之间的距离不会随点P 的移动而变化；⑤∠APB 的大小随点P 的移动而变化；故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1、9【解析】【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比计算．【详解】解：ABC ∆∽△111A B C ，ABC ∆的周长与△111A B C 的周长的比值是43， ABC ∴∆与△111A B C 的相似比为43， ∴1143BE B E =，即111243B E =， 解得，119B E =，故答案为：9．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的对应角平分线比等于相似比．2、4 7【解析】【分析】由DE∥AB可得DE CEAB AC=，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴~CDE CBA，∴DE CE AB AC=，又∵AEEC＝34，∴DE CEAB AC=＝47，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴AE DE CEAB AB AC==＝47，故答案为：47．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．3、±【解析】【分析】 根据比例中项的定义“如果作为比例内向的是两条相同的线段，即a b b c=或a b b c =∶∶，那么线段b 是a 和c 比例中项”，设实数9和6的比例中项是x ，列式9：x ＝x ：6进行解答即可得．【详解】解：设实数9和6的比例中项是x ，9：x ＝x ：6，解得x =±故答案为：±【点睛】本题考查了比例中项，解题的关键是掌握比例中项的定义．4、4【解析】【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴90ADC CDB CED DEB ACB ∠=∠=∠=∠=∠=︒90,90ACD A B A ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ACD B ∴∠=∠又ADC ACB ∠=∠ACD ABC ∴△∽△90,90B DCE B A ∠+∠=︒∠+∠=︒A DCE ∠=∠∴又,CED ACB CDB ACB ∠=∠∠=∠CDE ABC ∴∽，CBD ABC ∽△△ 90,90B EDB B A ∠+∠=︒∠+∠=︒EDB A ∴∠=∠又DEB ACB ∠=∠DBE ABC ∴∽△△∴与△ABC 相似的三角形有ACD △，CDE △，CBD ，DBE ，共计4个故答案为：4【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键．5、73##123【解析】【分析】利用设k 法进行计算即可解答．【详解】解：25x y =， ∴52x y =，∴设5x k =，2y k =， ∴5252x y k kx y k k ++=--，73k k =， 73=， 故答案为：73．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k 法进行求解．三、解答题1、 (1)见解析(2)2【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE ∽△ACB ；（2）由相似三角形的性质可得∠ADE ＝∠C ，由角平分线的性质可得∠DAG ＝∠CAF ，可证△ADG ∽△ACF ，可求解．(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ACB ；(2)解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE ＝∠C ，∵AF平分∠BAC，∴∠DAG＝∠CAF，∴△ADG∽△ACF，∴AG ADAF AC=，∵AD＝2，AC＝3，∴23 AGAF=，∴AGGF＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．2、 (1)+=AF BF，理由见解析(2)第(1)问中的结论仍然成立，理由见解析；(3)3+BF【解析】【分析】(1)证明△CBE≌△CAF(SAS)，得到BE=AF，由△CDF为等腰直角三角形得到DE，最后再由=+=BF BE DE AF即可证明；(2)过点C作CG CF⊥，交BF于点G，证明△CBE≌△CAF(SAS)，得到BE=AF，证明△CFG为等腰直角三角形得到FG=，最后再由=+=BF BG FG AF即可证明；(3)同(2)中思路，证明△ACF∽△BCG，得到=AF，证明△CFG为30°、60°、90°三角形，得到=FG，最后再由=+=BF BG GF AF即可求解．(1)解：如下图2所示，AF ，BF ，CF之间的数量关系的等式为：=AF BF ，理由如下：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠FCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠FCA ，在△ACF 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CF CE FCA ECB AC BC ， ∴△ACF ≌△BCE (SAS )，∴AF=BE ，当D 和F 重合时，由△DEC 为等腰直角三角形知，∴△CFE 为等腰直角三角形，∴DE ，∴=+=BF BE DE AF ．(2)解：第(1)问中结论仍然成立，理由如下：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，如下图1所示：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠DCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠DCA ，在△ACD 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CD CE DCA ECB AC BC ， ∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠DAC =∠EBC ，∵∠DAC +∠AFB =180°-∠FNA ，∠EBC +∠BCA =180°-∠CNB ，且∠FNA =∠CNB ，∴∠AFB =∠BCA =90°，∴∠DFE =90°∴∠DFE +∠DCE =90°+90°=180°，∴D 、C 、E 、F 四点共圆，∴∠CFE =∠CDE =45°，又∠FCG =90°，∴△FCG 为等腰直角三角形，∴FG =，CF CG =，45∠=FGC ，∴∠CGB =180°-∠FGC =135°，又∠CFA=∠CFE+∠AFB=45°+90°=135°，∴∠CGB=∠CFA，在△CGB和△CFA中：==∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CGB CFAFAC GBC CA CB，∴△CGB≌△CFA(AAS)，∴GB=AF，∴BF BG GF AF=+=+．(3)解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为：3=+BF，理由如下：过C点作CG⊥CF交BF于点G，如图3所示：由(2)可知：∠AFB=∠ACB=90°，∴∠DFE=90°，∴∠DFE+∠DCE=90°+90°=180°，∴D、C、E、F四点共圆，∴∠CFE=∠CDE=30°，∴△CFG 为30°、60°、90°三角形，三边之比为2，∴=FG 由(2)知，∠FAC =∠GBC ，且∠CFA =∠CFG +∠AFB =30°+90°=120°，∠CGB =180°-∠CGF =180°-60°=120°，∴∠CFA =∠CGB ，∴△ACF ∽△BCG ，∴==AF AC BG BC∴=AF∴=+=BF BG GF FC ，∴线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系为：3+BF ．【点睛】本题是三角形全等和相似的综合题，难度较大，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法是解决本题的关键．3、(2)当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化，证明见解析(3)BD 【解析】【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出的AE BD值是多少．②α＝180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC AE ＝BC DB ，求出AE BD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA ＝∠DCB ，再根据EC DC ＝AC BC ECA ∽△DCB ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴AC ＝∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴AE ＝12AC BD ＝12BC ＝1，∴AE BD ②如图1中，当α＝180°时，可得AB ∥DE ，∵AC AE ＝BC BD，∴AE BD ＝AC BC(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ，又∵EC DC ＝AC BC ∴△ECA ∽△DCB ，∴AE BD ＝EC DC 0°≤α＜360°时，AE BD的大小没有变化． (3)解：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt △BCE 中，CE BC ＝2，∴BE ＝1，∴AE ＝AB +BE ＝5，∵AE BD∴BD②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，BE 1，AE ＝AB -BE =4﹣1＝3，∵AE BD∴BD ，综上所述，满足条件的BD 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．4、 (1)4(2)见解析(3)2【解析】【分析】（1）连CD ，取BC 中点E ，连DE ，根据BCD ∆为30°的直角三角形，得出CDE ∆为等边三角形，证明出DCM DEN ∆∆≌，即可求解；（2）把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，由30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，得,,F B P '在同一直线上，再证明出CFP CF P '∆∆≌即可求解；（3）以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆，根据BC BK AB BG==，及CBK ABG ∠=∠，证明出CBK ∆∽ABG ∆，连结KG ，得KG =2，2CQ CK KQ ≤+=(1)解：连CD ，取BC 中点E ，连DE ，BCD ∆为30°的直角三角形，CDE ∴∆为等边三角形，60MDN CDE ∠=︒=∠，12∠∠∴=，1260CD DE MCD DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=︒=∠⎩， DCM DEN ∴∆∆≌，CM EN ∴=，4CM CN CE ∴+==，(2)解：把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，得CBF '∆，30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，,,F B P ∴'在同一直线上，1206060ACF ECB ∠+∠=︒-︒=︒，60PCF '∴∠=︒，60CF CF FCP F CP CP CP =⎧⎪∠=︒=='∠⎨⎪'⎩， CFP CF P '∴∆∆≌，PF PF BP BF BP AF ''∴==+=+，(3)解：以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆， 33BC BK AB BG==， 又CBK ABG ∠=∠，CBK ∴∆∽ABG ∆，CK AG ∴=3CK ∴= 连结KG ，易得KG =2，2CQ CK KQ ∴≤+=∴CQ 的最大值为2+【点睛】本题考查了含30的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．5、 (1)(2)=+CG CD EG ，理由见解析【解析】【分析】(1)过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，证明△ABE ∽△GBH ，得到==AE AB BE GH BG BH代入数据求出GH =1BH =，最后在Rt △CGH 中，由勾股定理CG(2)在线段CG 上取点F ，并使得CD=CF ，连接DF ，证明△EDG ≌△FDG (SAS )，得到EG =FG ，最后由CG=FG+FC=EG+DC 即可证明；(3)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，过点M 作MN ⊥AB 于N ，ME ⊥QC 于E ，连接AQ 交DM 于F 点，由折叠性质得到DM ⊥AQ ，由MC=MA=MQ 得到△AQC 为直角三角形，进而得到DM∥CG ，证明△AMF ≌△MCE (AAS )，由等面积法求出==ME AF 1==2∆∆⋅=CQD CQM S S CQ ME ． (1)解：过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，如下图所示：∵△ABC 为等边三角形，∠ACE =60°，∴12,2===CE BC AE ∵∠ABE =∠HBG =60°，∠AEB =∠H =90°，∴△ABE ∽△GBH ， ∴==AE AB BE GH BG BH，代入数据AB=AC =4，BG =2，==AE 422=BH∴GH =1BH =，在Rt△CGH中，由勾股定理有：CG故CG的长为(2)CG CD EG，理由如下：解：EG，CG，DC的数量关系为：=+在线段CG上取点F，并使得CD=CF，连接DF，如下图所示，∵∠DCG=60°，∴△CDF为等边三角形，∴DF=DC，∠CDF=60°，由已知：DE=DC，∴DF=DE，∴∠DEB=∠BCD∵∠DEB+∠EDG=∠DBC=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠EDG=∠ACD；又∠GDC=∠A+∠A CD=60°+∠ACD，∠GDC=∠FDC+∠GDF=60°+∠GDF，∴∠ACD=∠GDF，∴∠EDG=∠GDF，在△EDG和△FDG中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ED FDEDG FDG DG DG，∴△EDG≌△FDG(SAS)，∴EG=FG，∴CG=FG+FC=EG+DC．(3)解：过C点作CH⊥AB于H点，过点M作MN⊥AB于N，ME⊥QC于E，连接AQ交DM于F点，如下图所示：由折叠可知：DA=DQ，MA=MQ，∴DM所在直线是线段AQ的垂直平分线，∴DM⊥AQ，∠AFM=90°，又M为AC的中点，∴MC=MA=MQ ,∴△AQC 为直角三角形，∠AQC =90°，∴∠AFM =∠AQC =90°，∴DM∥CG ，∴∠AMF =∠MCE ，∴△AMF ≌△MCE (AAS )，∴=ME AF ，由等腰三角形的“三线合一”可知，∠HCA =30°，∠BAC =60°，1=22=AH AB ，CH ==在Rt △CDH 中，1=DH ，∴3=+=AD DH AH ，∵M 为AC 的中点，∠BAC =60°，∴122AM AC ==，112AN AM ==，=MN∴=DM在△ADM 中，由等面积法可知：1122⋅=⋅AD MN DM AF ，解得：7==AF ， 由折叠可知，MQ=MA=MC ，∴△MQC 为等腰三角形，且底边QC 上的高为==ME AF∴=CE∴2==CQ CE ∵DM∥CG ，∴11==22∆∆⋅==CQD CQM S S CQ ME 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、截长补短法证明线段和差问题、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．。

八年级数学下册第九章图形的相似专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 、CD ，相交于点H ，下列结论中正确的是（ ）A ．EG AE BG BC =B ．AE BE ED EH= C ．=EH DH EB CHD ．=AG BG FG FH 2、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（ ）A ．一定不相似B ．不一定相似C ．无法判断是否相似D ．一定相似3、如图，D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，13AD AB =，∥DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长等于（ ）A．24 B．18 C．12 D．94、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中不会．．随点P的移动而变化的是( )A．①②③B．①②⑤C．①③④D．①④⑤5、如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能．．判定△ABC∽△BDC的是（）A．2BC AC CD=⋅B．AB BDAC BC=C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD6、如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（）A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C．AD AEAB AC=D．AD DEAB BC=7、若32ba=，则a ba+的值等于（）A．12B．52C．53D．548、在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．9、已知12ab=，则a bb+的值为（）A．23B．32C．35D．110、如图．在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝2：1，DE＝4，则BC 为（）A．6 B．7 C．8 D．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF•ED的值为_____．2、如图，在正方形ABCD中，DE＝CE，AF＝3DF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G．下列结论：①△DEF∽△CBE；②∠EBG＝45°；③AD＝3AG．正确的有_____．3、如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m，n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 ___．4、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝2，BD ＝8，那么AB ＝___．5、若关于x 的不等式(),0ax b a b ->≠的解集为23x <-，则a b a b-+的值为______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点P 是对角线BD 上一点，连接AP ，AE ⊥AP ，且12AP AE =，连接BE ．(1)当DP =2时，求BE 的长．(2)四边形AEBP 可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP 的面积．(3)如图2，作AQ ⊥PE ，垂足为Q ，当点P 从点D 运动到点B 时，直接写出点Q 运动的距离．2、如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB =D 、E 为AB 上两点，且∠DCE =45°，(1)求证：△ACE∽△BDC．(2)若AD=1，求DE的长．3、如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝2，AC＝3，ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．(1)求证：ADE ACB∽；(2)求AGGF的值．4、已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：，位置关系为：．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：DE AD CF CD=．(3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE ADCF CD=成立？并证明你的结论．5、如图，在菱形ABCD中，AB＝15，过点A作AE⊥BC于点E，AE＝12，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ⊥BC，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．(1)直接写出线段PQ的长（用含t的代数式表示）；(2)当正方形PQMN与四边形AECD重合部分图形为四边形时，求t的取值范围；(3)连接AC、QN，当△QMN一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似三角形的性质和平行四边形的性质可以判断各个选项中的比值是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图可知，EG AEBG BC≠，故选项A错误；∵AB∥CD，∴△ABE∽△DHE，∴AE BEED EH⋅=，故选项B正确；∵DE∥BC，∴EH DHEB DC=，故选项C错误；∵AB∥CD，∴△ABG∽△FHG，∴AG BGFG HG=，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2、D【解析】【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12，∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得~ADE ABC，利用其性质，相似三角形的周长比等于相似比即可得出．【详解】解：∵∥DE BC，∴~ADE ABC，∵13 ADAB=，∴13ADEABCCC=，∵6ADEC=，∴18ABCC=，故选：B．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．4、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝14×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5、B【解析】【分析】由相似三角形的判定方法依次进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵BC 2=AC •CD ， ∴BC CD AC BC=， 又∵∠C =∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，故选A 不合题意，∵∠ABC =∠BDC ，∠C =∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，故选C 不合题意，∵∠A =∠CBD ，∠C =∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，故选D 不合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．6、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．【详解】解：∵∠ADE ＝∠B ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故A 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；∠AED ＝∠C ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故B 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD AEAB AC=，A A ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽故C 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD DEAB BC=，条件ADE B ∠=∠未给出，不能判定△ADE 与△ABC 相似，故D 符合题意 故选D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7、B【解析】【分析】 根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠， 则23522a b k k a k ++==， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．8、D【解析】【分析】由△DAH∽△CAB，得AD AHAC AB=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．【详解】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴AD AH AC AB=，∴24yx =，∴8yx =，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．9、B【解析】根据12a b =求得b =2a ，代入计算即可． 【详解】 解：∵12a b =， ∴b =2a ， ∴2322a b a a b a ++==， 故选：B ．【点睛】此题考查了比例的性质，代数式的化简求值，正确掌握比例的性质是解题的关键．10、A【解析】【分析】根据DE ∥BC 易证△ADE ∽△ABC ，根据对应边相似比相等即可求得BC 的值．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DE AB BC=， ∵2AD BD =， ∴23AD AB =，又DE =4， ∴423AD AB BC ==，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．二、填空题1、16【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴EF•ED=AE2，∵AE=4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．2、①②③【解析】【分析】设DF ＝x ，则AF ＝3x ，由正方形的性质得出====90A D C ABC ∠∠∠∠︒，====4AD CD BC AB x ，可得出12DF CE DE BC ==，则可得出①正确；证明HBE CBE ≌，有BC BH CE HE ==，，证明Rt ABG Rt HBG ≌，得出∠ABG ＝∠HBG ，则可得出②正确；证明Rt DEF Rt HEF ≌，有=DF FH ，证明FHG EDG ∽，由相似三角形的性质可得出③正确．【详解】解：设DF ＝x ，则AF ＝3x∵四边形ABCD 是正方形∴====90A D C ABC ∠∠∠∠︒，====4AD CD BC AB x ∴1===22DE CE CD x ∴12DF CE DE BC == ∴DEF CBE ∽故①正确；∵DEF CBE ∽ ∴12EF DE CE BE BC BC ===，FED EBC ∠=∠ ∵90CEB EBC ∠+∠=︒∴90FED CEB ∠+∠=︒∴90FEB ∠=︒∴FEB C ∠=∠∴FEB ECB ∽∴FBE EBC ∠=∠∵EG BF ⊥∴90EHB ∠=︒ 在HBE 和CBE △中EHB C HBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩HBE CBE AAS ≌（）∴BC BH CE HE ==，∴AB BH =在Rt ABG 和Rt HBG △中BG BG AB BH=⎧⎨=⎩ ∴Rt ABG Rt HBG HL ≌（）∴ABG HBG AG GH ∠=∠=， ∴11904522EBG HBG HBE ABC ∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒ 故②正确；∵DE CE EH ==∴DE EH =在Rt DEF △和Rt HEF △中EF EF DE HE=⎧⎨=⎩ ∴Rt DEF Rt HEF HL ≌（）∴DF FH =∵90FGH EGD FHG GDE ∠=∠∠=∠=︒，∴FHG EDG ∽ ∴GH FH DG DE= ∴12AG DF DG DE == ∴13AG AD = ∴3AD AG =故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于正确寻找相似三角形解决问题．3、152##7.5【解析】【分析】 由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式AC BD CE DF=，再代入求出DF ，再求出BF 即可． 【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=4.5，∵BD=3，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5.故答案为：7.5．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键．4、8【解析】【分析】根据已知条件能证明△ABC∽△CDE，则AB BCCD DE=，代入数值从而求得AB的长即可．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠A+∠ACB＝∠DCE+∠ACB，∴∠A＝∠DCE，∴△ABC∽△CDE，∴AB BC CD DE=，∵C是线段BD的中点，ED＝2，BD＝8，∴BC＝DC＝4，即4 42 AB=，解得AB＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边的比相等；也考查了线段中点定义，等角的余角相等．5、1 5【解析】【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系为23ba=，设a=3k，b=2k(k>0)，代入求值即可．【详解】∵不等式-ax>b的解集为x<-23，∴-a＜0，∴x＜23ba-=-，∴23ba=，∴设a=3k，b=2k(k>0)，∴321325a b k ka b k k--==++，故答案为：15．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题1、 (1)4；(2)可能，面积为1285；(3)8 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和等角的余角相等证得12AD APAB AE==，∠DAP＝∠BAE，根据相似三角形的判定和性质证得△ADP∽△ABE即可求解；（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的两锐角互余证得∠PBE=90°，根据矩形的判定当∠APB=90°时可得四边形AEBP为矩形；利用勾股定理求得BD，再根据三角形的面积公式求得AP，进而求得AE即可求解；（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q1Q2上运动，由（2）中结论可知四边形AQ1BQ2是矩形，根据矩形对角线相等求得Q1Q2即可．(1)解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴∠DAB＝90°，12 ADAB=，∴12AD AP AB AE==，∵AP⊥AE，∴∠PAE＝90°，∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，∴△ADP ∽△ABE ， ∴12DP AD BE AB ==， ∴24BE DP ==；(2)解：四边形AEBP 可能为矩形．如图，由（1）得△ADP ∽△ABE ，∴∠ABE ＝∠ADB ，∴∠PBE ＝∠PBA +∠ABE =∠PBA +∠ADB =90°，如图，当∠APB =90°时，∵∠APB =∠PAB =∠PBE =90°，∴四边形AEBP 为矩形，在Rt△ABD 中，AB ＝8，AD ＝4，由勾股定理得：BD =AP ==2AE AP ==， 1285AEBP S AE AP =⋅=；(3)解：由（1）中，12AD AP AB AE==，∠DAB =∠PAE =90°， ∴△ADB ∽△APE ，∴∠ADB ＝∠APE ，如图，当点P 在点D 处时，Q 在Q 1处，即AQ 1⊥BD ，作 AQ 2⊥PE ，∴∠AQ 1D =∠AQ 2P =90°，∴△ADQ 1∽△APQ 2， ∴12AQ AD AP AQ =，∠DAQ 1=∠PAQ 2， ∵∠DAP =∠DAQ 1+∠PAQ 1=∠PAQ 1+∠PAQ 2=∠Q 1AQ 2，∴△ADP ∽△AQ 1Q 2，∴∠AQ 1Q 2=∠ADP ，∴∠BQ 1Q 2=90°-∠AQ 1Q 2=90°-∠ADP=∠ABD ，因此点Q 在直线Q 1Q 2上运动，故当点P 从点D 运动到点B 时，点Q 由Q 1运动到如图2中的Q 2位置，则点Q 运动的距离为Q 1Q 2的长度．此时，∠DAP =∠DAB =∠DAQ 1+∠PAQ 1=∠PAQ 1+∠PAQ 2=∠Q 1AQ 2=90°，又∵∠AQ 1D =∠AQ 2P =90°，∴四边形AQ1BQ2是矩形，∴Q1Q2=AB=8，即点Q运动的距离为8．图2 图3【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、 (1)见解析(2)53 DE=【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A B∠=∠，可证明ACE BDC∽；（2）由勾股定理求出4AB=，由相似三角形的性质得出AC AEBD BC=，可求出DE的长，则可得出答案．(1)解：证明：90ACB ∠=︒，CA CB =，1(18090)452A B ∴∠=∠=︒-︒=︒， 又45CDB A ACD ACD ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒+∠=∠=∠+∠，ACE BDC ∴∽；(2)解：由勾股定理得4AB ，设DE 长为x ，1AD =，3BD ∴=，1AE x =+，ACE BDC ∽， ∴AC AE BD BC=，解得53x =， 即53DE =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明ACE BDC ∽．3、 (1)见解析(2)2【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ACB；（2）由相似三角形的性质可得∠ADE＝∠C，由角平分线的性质可得∠DAG＝∠CAF，可证△ADG∽△ACF，可求解．(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，∴△ADE∽△ACB；(2)解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠DAG＝∠CAF，∴△ADG∽△ACF，∴AG ADAF AC=，∵AD＝2，AC＝3，∴23 AGAF=，∴AGGF＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．4、 (1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B +∠EGC =180°时，DE AD CF CD=成立，证明见解析 【解析】【分析】 （1）先判断出AE =DF ，进而得出△ADE ≌△DCF （SAS ），即可得出结论；（2）根据矩形性质得出∠A =∠FDC =90°，求出∠CFD =∠AED ，证出△AED ∽△DFC 即可得结论；（3）当∠B +∠EGC =180°时，DE •CD =CF •AD 成立，证△DFG ∽△DEA ，得出DE DF AD DG=，证△CGD ∽△CDF ，得出DF CF DG CD =，即可得出答案． (1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠ADC =90°，AD =AB =CD ，∵点E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE =12AB ，DF =12AD ， ∴AE =DF ，在△ADE 和△DCF 中，AE DF A CDF AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴DE =CF ，∠AED =∠DFC ，∵∠AED +∠ADE =90°，∴∠ADE +∠DFC =90°，∴∠DGF =90°，∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DE AD CF CD=；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DF DE DG AD=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DF CF DG CD=，∴DE CF AD CD=，∴DE AD CF CD=，即当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．5、 (1)PQ＝4t(2)97＜t≤157(3)158或157或52【解析】【分析】（1）根据题意以及勾股定理，求得BE的长，根据PQ∥AE，可得BQP BEA∽，进而可得BQ＝5t，PQ＝4t；（2）当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，分别求得t的值，进而求得t的取值范围；（3）分三种情况讨论，即当,,QM MN QN的中点在AC上，根据相似三角形的性质与判定，列出比例式，解方程求解即可(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝15，AE＝12，∴BE9，∵PQ⊥BC，∴PQ∥AE，BQP BEA∴∽∴BQ BP PQ BA BE AE==，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动3PB t∴=∴315912 BQ t PQ==，∴BQ＝5t，PQ＝4t；(2)当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，∵四边形PQMN是正方形，∴PN＝PQ＝4t，∴3t+4t＝9，∴t＝97．当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，∵四边形ABCD是菱形，AB＝15，∴BP+PN＝BN＝BC＝15，∵四边形PQMN是正方形，∴PN＝PQ＝4t，∴3t+4t＝15，∴t＝157．∴当97＜t≤157时，重叠部分是四边形；(3)当AC经过MN的中点R时，∴RN＝12MN＝12PQ＝2t，∵PQ∥AE，MN∥PQ，∴MN∥AE，∴NC NR CE AE=，∴2 612 NC t=，∴NC＝t，∵CE＝BC﹣BE＝15﹣9＝6，∴BN+CN＝BP+PN+CN＝7t+t＝15，解得t＝158．当AC经过QM的中点W时，∵QM∥BC，AQW ABC∴∽∴AQ QWAB BC=，即21515AQ t=，∴AQ＝QW＝2t，∴AQ＝AB＝BQ＝15﹣5t＝2t，解得t＝157．当AC经过QN的中点K时，设AC交QM于H，∵QM∥BC，AQH ABC ∴∽∴AQ QH AB BC=，∴AQ＝QH，∵QM∥BC，K是QN的中点，∴KQ＝KN，∠KQH＝∠KNC，∠KHQ＝∠KCN，∴△KHQ≌△KCN（AAS），∴QH＝CN，∴AQ＝QH＝CN，∴AB﹣BQ＝BN﹣BC，即15﹣5t＝7t﹣15，解得t＝52，综上所述，满足条件的t的值为158或157或52．【点睛】本题考查了动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

…………○装…………○学校姓名：___________………装…………○…………○…………绝密★启用前鲁教版（五四制）八年级下册数学单元试卷第九章图形的相似注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．本卷25题，答卷时间100分钟，满分120分 1．（本题3分）若234==，则a等于（ ）A. 8B. 9C. 10D. 112．（本题3分）如图所示，ABC ∆中，DE ∥BC ，若12AD DB =，则下列结论中不正．．确．的是( )A.12AE EC = B. 12DE BC = C.1=3ADE ABC ∆∆的周长的周长 D. 1=9ADE ABC ∆∆的面积的面积 3．（本题3分）如图，在 ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交与点F ，则图中相似三角形共有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对 4．（本题3分）已知点M 将线段AB 黄金分割（AM ＞BM ），则下列各式中不正确的是（ ） A. AM ：BM=AB ：AB AB D. AM ≈0.618AB………○…装…………………订………………线…※※※※要※※在※※装※※※线※※内※※答※※…○………………○5．（本题3分）黄金分割比在实际生活中有广泛的应用，比如在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，它的下部为x米，则下列关于x的方程正确的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣2x﹣4=0C. x2﹣6x+4=0D. x2﹣6x﹣4=06．（本题3分）如图，利用标杆BE测量楼的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为（）A. 10.5 mB. 9.5 mC. 12 mD. 14 m7．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF AB，:2:3DE EA=，4EF=，则CD的长（）．A. 6B. 8C. 10D. 168．（本题3分）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.454D.3659．（本题3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A. 1：9 C. 2：3 D. 1：210．（本题3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）外…………○………装………○…………订…………………○……学__________姓名：_______班级：___________考号：_________○…………装……………………订…………○………线…………○……………………○………装…………○…A. （2，7）B. （3，7）C. （3，8）D. （4，8） 二、填空题（计32分）11．（本题4分）若52n n +=，则mn等于_____． 12．（本题4分）如图(8)，火焰的光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为，，则火焰的高度是_____．13．（本题4分）如图，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD ，AB=4，BC=2，则△ACD 的面积=_______.14．（本题4分）如图，AB 、CD 相交于点0，OC=2，OD=3，AC ∥BD ．EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，则AC 的长为___________15．（本题4分）如图，已知△ABC ∽△DBE ，AB ＝6，DB ＝8，则ABCDBES S ∆∆＝_________．……○……………○…………订○…………………○……※※请※在※※装※※订※※线※※内○……线……○……16．（本题4分）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是_____米（平面镜的厚度忽略不计）．17．（本题4分）在坐标系中，已知A （2，0），B （－3，－4），C （0，0），则△ABC 的面积为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 318．（本题4分）如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AF 平分BAC ∠，交DE 于点G ，交BC 于点F ，若AED B ∠=∠，且:2:1AG GF =，则:DE BC =__________．三、解答题（计58分）19．（本题8分）如图，已知DE ∥BC ， AE ＝50cm ， EC ＝30cm ， BC ＝70cm ，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝40°.求（1）∠AED 和∠ADE 的度数；（2） DE 的长．………外…………订…………○………_____考号：___________内…………○…………装…○……………………○…………内… 20．（本题8分）如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN ，景物高度AB 、 CD 为水平视线，根据物体成像原理知：AB ∥MN ，CD ⊥MN ．（1）如果像高MN 是35mm ，焦距CL 是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，拍摄点离景物的距离LD 是多少？（2）如果要完整的拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，点E 为BC 的中点，AE ⊥DE ．（1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2＝AB ·AD ；（3）若AB ＝1，CD ＝4，求线段AD ，DE 的长．○…………外…………○…………○…※※※答※※题※※ ………○………22．（本题8分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和点C ，使AB ⊥BC ，然后再选点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为D ，如图．测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？23．（本题8分）已知：Rt OAB 的直角坐标系中的位置如图所示．()3,4P 为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．……订…………○________考号：___________…○……………………○…… 24．（本题9分）（1）如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．求证2CD AD BD =⋅．（2）如图②，已知线段a 、b ，用直尺和圆规作线段c ，使得c 是a 、b 的比例中项．（保留作图的痕迹，不写作法）…○…………线……※※ ……○…25．（本题9分）如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离BC 为30m ，一天晚上，当小丽走到距路灯乙底部5m 处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部，已知小丽的身高DE 为1.5m ，求路灯甲AB 的高度．参考答案1．C【解析】试题解析：设234a b ck =＝＝， 则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 即2322334201022a b c k k k ka k k+++⨯+⨯===，故选C ．2．B【解析】解：∵DE ∥BC ，∴12AE AD EC DB ==，故A 正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴D E A D B C A B =.∵12AD DB =，∴13D E A DB C A B==，故B 不正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴周长之比=1：3，面积比=1：9．故C 、D 正确． 故选B ．点睛：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错． 3．D【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABD ∽△CDB ，△GFC ∽△GAB ，△DEF ∽△BEA ，△AED ∽△GEB ，△ADF ∽△GCF ，△ADF ∽△GBA.即图中有6对相似三角形. 故选D. 4．B【解析】∵点M 将线段AB 黄金分割(AM>BM)， ∴AM 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB:AM=AM:BM ，AB ≈0.618AB ，故选：C.5．A【解析】试题分析：设它的下部为x 米，利用雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比可得22x xx -=， 整理得x 2＋2x －4＝0．故选A ． 6．C【解析】由题意可知：BE ⊥AC 于点B ，DC ⊥AC 于点C ， ∴BE ∥CD,∴△ABE ∽△ACD ， ∴BE AB DC AC =，即1.52214CD =+，解得：CD=12. 故选C. 7．C【解析】试题解析：∵DE :EA =2:3， ∴DE :DA =2:5， 又∵EF //AB ， ∴△DEF ∽△DAB ，DE EF DA AB ∴=，即245AB=， 解得AB =10，由平行四边形的性质，得CD =AB =10. 故选C. 8．C【解析】试题解析：∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1， ∴1111AB CDA B C D =， ∵AB=12，CD=15，A 1B 1=9， ∴C 1D 1=91545124⨯=． 故选C ．9．B【解析】试题解析：∵四边形EFNM 是正方形， ∴EF=MN ，∴13EF AC =， ∴EF=13AC ，∵12CG AC =， ∴CG=12AC ，∴123132ACEF CG AC ==， 易证：△DEF ∽△HCG ， ∴S 1：S 2=4：9； 故选B ． 10．A【解析】过C 作CE ⊥y 轴于E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，∠ADC =90°， ∴∠ADO +∠CDE =∠CDE +∠DCE =90°， ∴∠DCE =∠ADO ，∴△CDE ∽△ADO ， ∴CE DE CDOD OA AD==， ∵OD =2OA =6，AD ：AB =3：1，∴OA =3，CD ：AD =13，∴CE =13OD =2，DE =13OA =1， ∴OE =7，∴C （2，7），故选A ．11．32【解析】试题分析：设n=2x ，则m=3x ，即3322m x n x ==． 12．4.5【解析】如图，连接AB 、CD ，由题意可知：AB ∥CD ，CD=1.5cm ，∴△OCD ∽△OAB ， ∴161483CD OC AB OA ===，即1.513AB =， ∴AB=4.5（cm ），即火焰的高度为4.5cm. 故答案为：4.5.13．5【解析】∵∠ABC =90°，AB=4，BC=2，∴=∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC CD AB BC=，2CD =，∴△ACD 的面积=12⨯=5.故答案为：5.14．83【解析】∵EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，∴BD=2EF=4.∵AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ， ∴23AC OC BD OD ==， ∴243AC =， ∴AC=83. 故答案为：83. 15．916 【解析】∵△ABC ∽△DBE ，AB ＝6，DB ＝8， ∴2269816ABC DBE S AB S DB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 故答案为：916. 16．8【解析】试题解析：由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB=∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴AB CD BP PD＝， ∴CD=1.2121.8⨯=8（米）． 故答案为：8．17．A【解析】由题意点B 坐标的纵坐标的绝对值即为△ABC 底边AC 的高，∴AC=|2−0|=2，∴S △ABC =12×AC ×|−4|=12×2×4=4. 故选：A.点睛：本题考查了三角形面积的计算，确定三角形ABC 的底边AC ，以及该底边上的高点B 的纵坐标即可求得.18．2:3【解析】∵AED B ∠=∠，而DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴DE AG BC AF=，∵:2:1AG GF=，∴23 DE AGBC AF==，故答案为：2:3．19．（1）∠AED=40°，∠ADE=95°（2）DE= 3508．【解析】试题分析：（1）在△ABC中，由∠ BAC＝45°，∠ ACB＝40°易得∠B=95°，结合DE∥BC可得∠AED=∠ACB=40°，∠ADE=∠B=95°；（2）由AE=50cm，EC=30cm可得AC=80cm；由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，结合BC=70cm即可由相似三角形对应边成比例即可求得DE的长.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ BAC＝45°，∠ ACB＝40°，∴∠B=180°-45°-40°=95°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=40°，∠ADE=∠B=95°；（2）∵AE=50cm，EC=30cm，∴AC=80cm.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴505808 DE AEBC AC===，又∵BC=70cm，∴DE=35017584=cm.20．（1）7（2）70【解析】试题分析：根据AB和MN平行，从而得出MN LCAB LD=，两个题目中分别将各个数字代入等式中，从而求出未知的量得出答案．试题解析：∵AB∥MN，∴△LMN∽△LBA，∴=．（1）∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，∴=，解得LD=7，∴拍摄点距离景物7米；（2）拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，∴=，解得LC=70，∴相机的焦距应调整为70 mm．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义和直角三角形的性质，求出∠BAE=∠CED，然后利用两角对应相等的两三角形相似可证；（2）根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，以及两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证明结论；（3）根据相似三角形的性质，由（2）的结论△ABE ∽△AED 得到对应边成比例，然后根据勾股定理求解.试题解析：(1)证明：∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB +∠CED =180°-90°=90°， ∵∠ABC ＝90°，∴∠BAE +∠AEB =90°，∴∠BAE =∠CED .又∵∠ABC ＝∠BCD ，∴△ABE ∽△ECD ．(2) ∵△ABE ∽△ECD ，∴AB AE EC ED=． ∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ． ∴AB BE AE ED=． 又∵∠ABC ＝∠AED ＝90°，∴△ABE ∽△AED ， ∴AB AE AE AD=，∴AE 2＝AB ·AD ． (3)∵△ABE ∽△ECD ，∴AB BE EC CD =． ∵AB ＝1，CD ＝4，BE ＝EC ，∴BE 2＝AB ·CD ＝4．由勾股定理，得AE 2＝AB 2+ BE 2=5． ∵AE 2＝AB ·AD ，∴2551AE AD AB ===．由勾股定理，得DE =22．100【解析】试题分析：由题意易证Rt △ABD ∽Rt △ECD ，结合题中的已知数据即可利用相似三角形对应边成比例解得AB 的长.试题解析：∵AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，∴∠ABD ＝∠ECD=90°，又∵∠ADB ＝∠EDC ，∴Rt △ABD ∽Rt △ECD ， ∴AB BD EC CD =，即1205060AB =， ∴AB ＝100.答：两岸之间AB 的大致距离为100米．23．见解析．【解析】试题分析：按照公共锐角进行分类,可以分为两种情况:当∠BOC 为公共锐角时,只存在∠PCO 为直角的情况;当∠B 为公共锐角时,存在∠PCB 和∠BPC 为直角两种情况.如图,()13,0C ,()26,4C ,376,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：过P 作1PC OA ⊥，垂足为1C ，则1OC P OAB ∽，点1C 的坐标为()3,0，过P 作2PC AB ⊥，垂足为2C ，则2P C B O A B ∽，点2C 的坐标为()6,4，过P 作3PC OB ⊥，垂足为P （如图），则3C PB OAB ∽，易知10OB =，5BP =，8BA =，∴3254BC =，3257844AC =-=，∴376,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 符合要求的点C 有三个，其连线段分别为1PC ，2PC ，3PC （如图）．24．见解析【解析】试题分析:(1)根据90ACB ∠=︒,CD AB ⊥可证得CDA BDC ∽,根据对应边成比例可得BD CD CD AD=即可求证2CD BD AD =⋅,(2)利用尺规,以a+b 为直径作圆,再以a 和b 的交点为圆心,c 为半径作圆弧交圆于一点,过一这点作a 的垂线即可.（1）∵90DCA BCD ∠+∠=︒,90DCA A ∠+∠=︒,∴BCD A ∠=∠,∵CDA BDC ∠=∠,∴CDA BDC ∽, 即BD CD CD AD=, 整理则有2CD BD AD =⋅.（2）法一：法二：25．9m【解析】试题分析:根据题意可得A,D,C 三点共线,先根据DE AB 可得ABC DEC ∽,根据相似三角形的性质:对应边成比例即可求解.试题解析:由题意可知30m BC =,5m EC =, 1.5m DE =,∵DE AB ,∴ABC DEC ∽,AB BC DE EC=, ∵30m BC =,5m EC =, 1.5m DE =, ∴301.55AB =, 1.5309m 5AB ⨯==． 故路灯甲的高度为9m .。

八年级数学下册第九章图形的相似专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（）A．BDAD＝43，AEEC＝43B．ADAB＝23，AEAC＝23C．ADAB＝23，ECAE＝23D．ABAD＝23，ECAE＝122、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB CD长为（）A．2 B．4 C D．3、2021年7月，占地约2917亩的独秀山公园正式对外全面开放，主办方精心筹建的游乐项目深受广大游客的青睐，其中某两个项目入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（ ）A ．一支粉笔的长度B ．一支钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度4、如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若8AC =，12CE =，6BD =，则DF 的值是（ ）A ．15B ．10C ．14D ．95、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A．4-B．4 C．4 D．4-6、如图， 1B B ，是A ∠一边上的任意两点， 作BC AC ⊥于点111C B C AC ⊥，于点1C ．若34BC AC ==，， 则111B C AC 的值是( )A．43B．34C．45D．357、如图，一副三角板，AD BC，顶点A重合，将ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是 ( ).A．B．C．D．8、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：OE＝1：3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．209、如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A ．EF •BF ＝DF •CFB ．BE •CD ＝BF •CFC ．AE •AB ＝AD •AC D ．AE •BE ＝AD •DC10、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB =2米，CD =5米，点P 到CD 的距离是4米，则P 到AB 的距离为（ ）A ．2.5米B ．1.6米C ．1.5米D ．1.2 米第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，点M 是AB 的中点，点G 是ABC 的重心，则GM 的长为______cm ．2、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 的长为___．3、如图，直角三角形ABC中，90AC=，4∠=︒，3CBC=，D为AB的中点，过点D作AB的垂线，交边BC于点E，若点F在射线ED上（不与E点重合），且由点D、B、F组成的三角形与△ABC相似，则DF的长为________．4、如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对．b=，则a，b的比例中项线段长等于__________．5、已知线段4a=，8三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD 是正方形，当E 、F 分别是AB 、AD 的中点时，则DE 与CF 的数量关系为： ，位置关系为： ．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ．求证：DE AD CF CD=． (3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD CF CD=成立？并证明你的结论． 2、如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点．(1)联结CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．求证：PC 2＝PE •PF ；(2)若AB 2＝BD •DP ，求证：∠BPC ＝90°．3、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．(1)请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；(2)请以点P为中心，相似比为2，作出△OAB的同向位似图形△O2A2B2．5、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；(2)四边形AA1B1B的面积为．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当ADAB＝AEAC或ADDB＝AEEC时，DE∥BC，B选项中，ADAB＝23，AEAC＝23，∴ADAB＝AEAC，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，根据相似比等于位似比计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，∴将△OCD放大得到△OAB，点A的坐标为（1，2）点C的坐标为（2，4），∴△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，∴12 ABCD=，∵AB=∴CD=故选：D．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k．3、A【解析】【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离．【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得它们之间的图上距离是155÷2000＝0.0775米＝7.75厘米．大约相当于一支粉笔的长度．故选：A．【点睛】首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．4、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵a b c ∥∥， ∴AC BD CE DF= ， ∵8AC =，12CE =，6BD =， ∴8612DF= ，解得：9DF = ． 故选：D【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP AB ， ∵AB 的长度为8cm ，∴AP×8=4（cm ）． 故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中ACAB ．6、B【解析】【分析】先证明1190BCA B C A ∠=∠=︒，再证明11ABCAB C ，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵BC AC ⊥，111B C AC ⊥， ∴1190BCA B C A ∠=∠=︒，∵∠A =∠A ，∴11ABC AB C ， ∴111B C BC AC AC=， ∵BC =3，AC =4， ∴11134B C BC AC AC ==． 故选B ．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．7、D【解析】【分析】根据一副三角板，得到△ABC中，有一个角为60°，一个角为30°；△ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；∵∠ACF=∠E，∴BC∥DE，∴∠AFC=∠D，∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；∵∠APC和∠DPE是对顶角，∴∠APC=∠DPE，∵∠C=∠E=90°，∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，∴不存在相似三角形．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．8、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴AD∥EH， ∴13AD OA EH OE ==， 即四边形ABCD 与四边形EFGH 相似比为13，∵四边形ABCD 的周长是4，∴EFGH 的周长为12，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．9、C【解析】【分析】根据条件证明出ABD ACE ∽，根据性质得：AE AC AD AB =，变形即可得到．解：BEC CDB ∠=∠，AEC ADB ∴∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACE ∴△∽△，AE AC AD AB∴=， AE AB AD AC ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出ABD ACE ∽．10、B【解析】【分析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△ ∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．二、填空题1、56【解析】【分析】根据勾股定理AB5=，根据点M 是AB 的中点，得出CM =1 2.52AB =，根据点G 是ABC 的重心，得出GM =1152.5336CM =⨯=即可．解：∵ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，根据勾股定理AB5=，∵点M 是AB 的中点，∴CM =1 2.52AB =， ∵点G 是ABC 的重心，∴GM =1152.5336CM =⨯=， 故答案为：56．【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质是解题关键．2、6【解析】【分析】由DE //BC 可得出∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质可得出BC DE ＝AB AD ，代入AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4即可求出BC 的长． 【详解】解答：解：∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴BC DE ＝AB AD ，即4BC ＝32，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3、1.875或103【解析】【分析】分两种情况讨论：①∠DBF =∠ABC ；②∠BFD =∠ABC ，利用三角形相似得出结果．【详解】解：DE ⊥AB ，90C ∠=︒，∴90C BDE ∠=∠=︒，∴AB5， ∵D 为AB 的中点，∴BD =1 2.52AB =， 分两种情况讨论：①如图1，若∠DBF =∠ABC ，则△ABC ∽△FBD ， ∴DF BD AC BC =即 2.534DF =， 解得：DF =1.875；②如图2，若∠BFD =∠ABC ，则△ABC ∽△BFD ， ∴DF BD CB AC =即 2.543DF =， 解得：DF =103；综上所述，DF的长为1.875或103，故答案为1.875或103．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的运用．4、6【解析】【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥DC∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．5、【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：设a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴c2＝ab＝4×8＝32，解得：c＝c＝−故答案为：【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．三、解答题1、 (1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立，证明见解析【解析】【分析】（1）先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF（SAS），即可得出结论；（2）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；（3）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出DE DFAD DG=，证△CGD ∽△CDF ，得出DF CF DG CD=，即可得出答案． (1) 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A =∠ADC =90°，AD =AB =CD ， ∵点E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE =12AB ，DF =12AD ， ∴AE =DF ，在△ADE 和△DCF 中， AE DF A CDF AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ）， ∴DE =CF ，∠AED =∠DFC ， ∵∠AED +∠ADE =90°， ∴∠ADE +∠DFC =90°， ∴∠DGF =90°，∴DE ⊥CF ，故答案为：DE =CF ，DE ⊥CF ；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A =∠FDC =90°， ∵CF ⊥DE ，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DE AD CF CD=；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DF DE DG AD=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DF CF DG CD=，∴DE CF AD CD=，∴DE AD CF CD=，即当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，则可得出结论；（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠BDC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，BC∥AD，∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，∴PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，∴，PC PE PF PC=，∴PC2＝PE•PF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠DCB＝90°，∵2·AB BD DP=∴DC2＝BD•DP，∴DC BD DP CD=，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCP＝∠BDC，∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，∴∠DPC＝90°，∴∠BPC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3、感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）△OAB 关于直线CD 对称的△O 1A 1B 1在CD 的右侧，对应点到CD 的距离相等，所此描点、连线即可得；（2）根据位似图形的性质求作即可．(1)如图所示. △O 1A 1B 1即为所求(2)如图所示，△O2A2B2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．5、 (1)图见解析，A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求作．观察图形得：A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；(2)解：四边形AA1B1B的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．。