勾股定理的应用教案 This manuscript was revised on November 28, 2020
121教学模式
科目_________________________
年级_________________________
教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
课前1分钟交通安全教育
“121”教学模式导学案（______科） 2013 年 9
数 学 八年级 潘明明 数学
检测预习交代目标检测预习：
1、一个三角形的两边长分别是1
2、15，则第三边长为＿＿时，这个三角形是直角三角形。（三角形的三边长都是正整数）
2、底边长为10cm，底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为＿＿＿＿＿。
交代目标：
1、能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单实际问题
2、将立体图形问题转化成平面图形问题
合作探究交流共享第一环节：情境引入
内容：
情景1：多媒体展示：
提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近
情景2：
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下
了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一
信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近意图：
通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．
效果：
从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
第二环节：合作探究
内容：
学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．
意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
效果：
学生汇总了四种方案：
（1） （2） （3） （4）
学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，
情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形
（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．
如图：
（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．
（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．
（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．
（4）中A →B 的路线长为：AB ．
得出结论：利用展开图中两点之
间，线段最短解决问题．在这个环节
中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体
观
察．接下来后提问：怎样计算AB
在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则
22212(33),15AB AB =+⨯∴=． 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学
A
’ A ’ A ’
生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题——分析实际问题；
2．建模——建立相应的数学模型；
3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．
合作探究交流共享第三环节：做一做
内容：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否
分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，
BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗为什么
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB边吗BC边与AB边呢
解答：（2）2222
30402500
AD AB
+=+=
∴AD和AB垂直．
意图：
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
效果：
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
第四环节：练习
内容：
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s 内从A 爬到B
解：如图，在Rt △ABC 中: 222221020AB AC BC =+=+=500． ∵500＞202 .
∴不能在20 s 内从A 爬到B . 2．在我国古代数学着作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为
AD =AB =（x +1）尺，
在直角三角形ABC 中，BC =5尺.
由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2.
即 52+ x 2=（x +1）2
.
25+x 2= x 2+2x +1.
2x =24.
∴ x =12，x +1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
意图：
第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．
效果：
学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB 位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．
学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程． B A
B
A B C
