§1.4_逐点比较法_直线插补
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逐点比较法直线插补圆弧插补实例
逐点比较法直线插补（1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为：若Fi= 0，表示加工点位于直线上；若Fi> 0，表示加工点位于直线上方；若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。
（2）偏差函数字的递推计算采用偏差函数的递推式（迭代式）：既由前一点计算后一点Fi =Yi Xe -XiYe若Fi>=0，规定向+X 方向走一步Xi+1 = Xi +1Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi –Ye若Fi<0，规定+Y 方向走一步，则有Yi+1 = Yi +1Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。
1）判断插补或进给的总步数：2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
（4）例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。
终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。
逐点比较法圆弧插补（1）偏差函数构造任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为若Fi=0，表示加工点位于圆上；若Fi>0，表示加工点位于圆外；若Fi <0，表示加工点位于圆内（2）偏差函数的递推计算1） 逆圆插补若F ≥0，规定向-X 方向走一步若Fi<0，规定向+Y 方向走一步2） 顺圆插补若Fi ≥0，规定向-Y 方向走一步若Fi<0，规定向+y 方向走一步（3）终点判别1）判断插补或进给的总步数： 2）分别判断各坐标轴的进给步数： （4）例对于第一象限圆弧AB ，起点A （4，0），终点B （0，4）⎩⎨⎧+-=-+-=-=++12)1(122211i i i i i ii X F R Y X F X X ⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211i i i i i i i Y F R Y X F Y Y ⎩⎨⎧+-=--+=-=++12)1(122211i i i i i i i Y F R Y X F Y Y ⎩⎨⎧++=-++=+=++12)1(122211i i i i i i i X F R Y X F X X ba b a Y Y X X N -+-=ba x X X N -=b a y Y Y N -=。
实验一 逐点比较法圆弧和直线插补实验
Y B(xe,ye)
M(xm,ym)
Rm R
A(x0,y0)
O 图3 圆弧插补原理图 X
圆弧插补原理参见上图，对于第一象限逆圆，设圆弧的起点为 A(x0,y0)，终点为 B(xe,ye)， 圆弧半径为 R。加工点为 M(xm,ym)，它与圆心的距离为 Rm，则
（1）偏差计算
Fm
=
Rm2
− R2
=
xm2
p102=p102-p104 p101=p101+1 x-0.1 else p102=p102+p103 p101=p101+1 y0.1
；计算新的偏差值（Fi+1=Fi－ya） ；步数计数器加一 ；X方向进分别是（-0.1 -0.5 -1.0） ；偏差判别（若P102小于0表示刀具在直线下方） ；计算新的偏差值（Fi+1=Fi＋xa） ；步数计数器加一 ；Y方向进给分别是（0.1 0.5 1.0）
endif
endwhile
close
（3）根据直线插补编成格式，编写所给圆弧插补程序。 各组的圆弧的插补任务是： u 第一组：圆弧半径 50，第二象限顺圆；
第二组：圆弧半径 50，第二象限逆圆； 第三组：圆弧半径 60，第三象限顺圆； 第四组：圆弧半径 60，第三象限逆圆； 第五组：圆弧半径 70，第四象限顺圆； 第六组：圆弧半径 70，第四象限逆圆； open prog7 clear linear inc p101=0 p102=0 p103=0 p104=50 while(p101!>100) if(p102!<0) y0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p104+1 p104=p104-1 else -x0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p103+1 p103=103-1 endif endwhile close
逐点比较法
对于位于直线上方的Pi’点，有 Fi=YiXe －XiYe＞0
对于位于直线上的Pi点，有 Fi=YiXe －XiYe=0 对于位于直线下方的Pi”点，有 Fi=YiXe －XiYe＜0 Y Pi’ A （Xe、Ye） Pi (Xi，Yi) o Pi” X
2. 进给控制 当Fi＞0时，向+X方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi＜0时，向+Y方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi=0时，向任意方向进给一步，但通常归于Fi＞0 处理；
逐点比较法第一象限的顺圆弧插补算法
当动点Pi（Xi，Yi）位于圆弧上时有 Xi2＋Yi2－R2=0
Y B
当Pi点在圆弧外侧时，则OPi大于圆弧半径R，即(Xb,Yb) F<0 Ri 2 2 2 Xi ＋Yi －R >0 当Pi点在圆弧内侧时，则OPi小于圆弧半径R，即 Xi2＋Yi2－R2<0
1 2 3 4 5 6 7 8
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-Y +X +X +X -Y +X -Y -Y
F1 F0 2Y0 1 7
F2 F1 2 X 1 1 6
F3 F2 2 X 2 1 3
F4 F3 2 X 3 1 2
表3-2 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
F0 0
X0=0,Y 0=4 X1=0,Y 1=3 X2=1,Y 2=3 X3=2,Y 3=3 X4=3,Y 4=3 X5=3,Y 5=2 X6=4,Y 6=2 X7=4,Y 7=1 X8=4,Y 8=0
直线逐点比较插补原理的实现
逐点比较插补原理的实现1 数字程序控制基础数字程序控制，就是计算机根据输入的指令和信息，控制生产机械按规定的工作程序、运动轨迹、运动距离和运动速度等规律自动地完成工作的自动控制。
世界上第一台数控机床是1992年由MIT伺服机构实验室开发出来的，主要的目的是为了满足高精度和高效率加工复杂零件的需要一般来说，三维轮廓零件，即使二维轮廓零件的的加工也是很困难的，而数控机床则很容易实现早期的数控(NC)以数字电路技术为基础，现在的数控(CNC)以计算机技术为基础。
数控系统由输入装置、输出装置、控制器、插补器等四部分组成。
随着计算机技术的发展，开环数字程序控制得到了广泛的应用，如各类数控机床、线切割机低速小型数字绘图仪等，它们都是利用开环数字程序控制原理实现控制的设备。
开环数字程序控制的结构如图1.1所示。
图1.1 开环数字程序控制的结构图这种结构没有反馈检测元件，工作台由步进电机驱动。
步进电机接收驱动电路发来的指令作相应的运动，把刀具移动到与指令脉冲相当的位置，至于刀具是否到达了指令脉冲规定的位置，它不作任何检查，因此这种控制的可靠性和精度基本上由步进电机和传动装置来决定。
开环控制结构简单、可靠性高、成本低、易于调整和维护等，应用最为广泛。
2 步进电机控制技术步进电机又叫脉冲电机，它是一种将电脉冲信号转换为角位移的机电式数模转换器。
在开环数字程序控制系统中，输出部分常采用它作为驱动元件。
步进电机接收计算机发来的指令脉冲，控制步进电机作相应的转动，步进电机驱动数控系统的工作台或刀具。
显然，指令脉冲的总数就决定了数控系统的工作台或刀具的总移动量，指令脉冲的频率就决定了移动的速度。
因此，指令脉冲能否被可靠地执行，基本上取决于步进电机的性能。
2.1 步进电机的工作原理步进电机的工作就是步进转动。
在一般的步进电机工作中，电源都是采用单极性的直流电源。
要使步进电机转动，就必须对步进电机定子的各相绕组以适当的时序进行通电。
逐点比较法
即
Fi1 Fi X e
6
在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。常用终点判 别方法是：
设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿
X 轴应走的步数为X e，沿Y 轴走的步数为Ye，计数器中存入 X和Y两坐标进给步数总和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X 或Y
坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即∑＝ 0时，停止插补，到达终点。
终点判别：判断是否到达终点，若到 达x ，结束插补；否则，继续以上四个
步骤（如图3-3所示）。
图3-3 逐点比较法工作循环图
3
2. 直线插补
图3-4所示第一象限直线OE为给定轨迹，其方程为
XeY－XYe＝0
(3-1)
P（X，Y）为动点坐标，与直线的关系有三种情况：
（1）若P1点在直线上方，则有XeY－XYe>0 E （2） 若P点在直线上，则有 XeY－XYe＝0
２．由偏差方程确定加工动点引起的偏 差符号（若要计算偏差量，则偏差方程系数不能简 化）。
３．下一步插补方向确定原则：向使加 工偏差减小、并趋向轨迹终点的方向插补
．（将偏差等于零的情况并入偏差大于零的情况）。
４．关于插补量：每次插补一个脉冲当 量的位移
12
3. 圆弧插补
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与 被加工圆弧之间关系。
b) 逆圆弧
图3-9 第一象限顺、逆圆弧
14
偏差递推简化：对第一象限顺圆，Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应 向－Y向进给，新的动点坐标为(Xi＋1,Yi＋1)，且Xi＋1＝Xi，Yi ＋1＝Yi－1，则新点的偏差值为：
15
若Fi<0时，沿＋X向前进一步，到达（Xi＋1，Yi）点，新点
逐点比较法直线插补
3.2.1 逐点比较法直线插补
• 逐点比较法插补: 每走一步都要和给定轨迹上 的坐标值进行比较，看这点在给定轨迹的上方 或下方，或是给定轨迹的里面或外面，从而决 定下一步的进给方向。比较一次，决定下一步 走向，以便逼近给定轨迹，即形成逐点比较插 补。 • 加工精度: 逐点比较法规定的加工直线或圆弧 之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把 脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够 小，就可达到加工精度的要求。
3.2 插补原理
•在CNC数控机床上，各种曲线轮廓加工都是通过插补计算实现的， 插补计算的任务就是对轮廓线的起点到终点之间再密集的计算出有 限个坐标点，刀具沿着这些坐标点移动，用折线逼近所要加工的曲 线。 •插补方法可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。 •脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法，每输出一个脉 冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离就是脉冲当量， 因此，脉冲增量插补也叫做行程标量插补。如逐点比较法、数字积 分法。该插补方法通常用于步进电机控制系统。 •数据采样插补，也称为数字增量插补，是在规定的时间内，计算出 个坐标方向的增量值、刀具所在的坐标位置及其他一些需要的值。 这些数据严格的限制在一个插补时间内计算完毕，送给伺服系统， 再由伺服系统控制移动部件运动，移动部件也必须在下一个插补时 间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称作时间标量 插补。数据采样插补采用数值量控制机床运动，机床各坐标方向的 运动速度与插补运算给出的数值量和插补时间有关。该插补方法是 用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。 •数控系统中完成插补工作的部分装置称为插补器。
Fm<0 x
注意：起点偏差F0=0
偏差公式简化
x y xy y Fm ye y ( x 1 ) y Fm 0 Fm 1 x e m me e e m m e
§1.4--逐点比较法——直线插补
电子教案教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法导入新课讲授探究总结在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。
其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
§1.4 逐点比较法——直线插补一、概述初称区域判别法，又称代数运算法或醉步式近似法。
这种方法应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
每进给一步需要四个节拍：（1）偏差判别：判别加工点对规定图形的偏离位置，决定拖板进给的走向。
（2）坐标进给：控制某个坐标工作台进给一步，向规定的图形靠拢，缩小偏差。
（3）偏差计算：计算新的加工点对规定图形的偏差，作为下一步判别的依据。
（4）终点判断：判断是否到达终点。
若到达则停止插补，若没，再回到第一节拍。
介绍讲授图示分析讲授法理解记忆教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法新课讲授探究总结二、直线插补1．偏差计算公式如图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，编程时，给出直线的终点坐标A ，直线方程为：●偏差判别：（1）动点m在直线上：（2）动点m在直线上方：（3）动点m在直线下方：偏差判别函数●坐标进给（1）动点m在直线上：，可沿+⊿x轴方向，也可沿+⊿y方向；（2）动点m在直线上方：，沿+⊿x方向；（3）动点m在直线下方：，沿+⊿y方向。
举例板图分析总结e e(,)x ym e m ey x x y-=m e m ey x x y-=m e m ey x x y->m e m ey x x y-<m m e m eF y x x y=-mF<mF≥mF=教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法探究总结例题讲授●新偏差计算+⊿x轴方向进给+⊿y轴方向进给●终点比较用Xe +Ye 作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算，直到计数器为零为止。
2．终点判别法分别计数法双向计数法单向计数法3．插补运算过程插补计算时，每走一步，都要进行以下4个步骤（又称4个节拍）的算术运算或逻辑判断：方向判定：根据偏差值判定进给方向。
数控技术 第三章 插补
3.逐点比较法圆弧插补 3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数 任意加工点P ），偏差函数 偏差函数F 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
Fi = X i2 + Yi 2 − R 2
=0，表示加工点位于圆上； 若Fi=0，表示加工点位于圆上； Y >0，表示加工点位于圆外； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； <0， 若Fi<0，表示加工点位于圆内
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X
为便于计算机计算) （2）偏差函数字的递推计算 (为便于计算机计算 为便于计算机计算 >=0，规定向+ 方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示） 若Fi>=0，规定向+X方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示）
Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi −Ye (Xi +1) = Fi −Ye
2.逐点比较法直线插补 2.逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点( OA上任一点 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y) YX e − XYe = 0 若刀具加工点为Pi（ ），则该点的偏差 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差 Pi 函数F 函数Fi可表示为 Fi = Yi X e − X i Ye 若Fi=0，表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上方； 若Fi>0，表示加工点位于直线上方； 表示加工点位于直线下方。 若Fi<0，表示加工点位于直线下方。
F=0 F<0 F>0 F<0 F>0 F=0 F<0 F>0 F<0 F>0
逐点比较法直线插补程序
逐点比较法直线插补程序
一、实验目的
1、进一步理解逐点比较法直线插补的原理
2、掌握在计算机环境中完成直线逐点比较法插补的软件实现方法。
二、实验设备
1、计算机及其操作系统
2、VB 6.0软件
三、实验原理
机床数控系统依据一定方法确定刀具运动轨迹，进而产生基本廓形曲线，如直线、圆弧等。
其它需要加工的复杂曲线由基本廓形逼近，这种拟合方式称为“插补”（Interpolation）。
“插补”实质是数控系统根据零件轮廓线型的有限信息（如直线的起点、终点，圆弧的起点、终点和圆心等），在轮廓的已知点之间确定一些中间点，完成所谓的“数据密化”工作。
四、实验方法
本次实验是在VB6.0环境下完成了直线逐点比较法插补的软件实现。
软件中实现，主要分为两部分，一是人际交互，用户采集数据和演示其插补过程；二是插补的计算过程，此为这次实验的核心。
逐点比较法的插补有四个工作节拍：偏差判别、进给、偏差计算和终点判别，第一象限直线插补的偏差判别公式如下：
Fi = Xe Yi －Y e Xi
Fi≥0时，偏差判别公式为Fi+1= Fi－Y e，向X正方向进给
Fi< 0时，偏差判别公式为Fi+1= Fi＋Xe，向Y正方向进给
其工作流程图如下所示：
根据流程编写合理的界面和控制主程序代码。
逐点比较法第一象限直线圆弧插补
逐点比较法第一象限直线，圆弧插补编程逐点比较法是以折线来逼近给定的轨迹，就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。
逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，其最大的偏差不超过一个最小设定单位。
只要将脉冲当量取得足够小，就可以达到精度要求。
逐点比较插补法在脉冲当量为0.01mm，系统进给速度小于3000mm/min时，能很好的满足要求。
一、逐点比较法直线插补如下图所示设直线 oA 为第一象限的直线，起点为坐标原点o (0 ， 0) ，终点坐标为， A( ) ， P() 为加工点。
若 P 点正好处在直线 oA 上，由相似三角形关系则有即点在直线 oA 上方 ( 严格为直线 oA 与 y 轴正向所包围的区域 ) ，则有即若 P 点在直线 oA 下方 ( 严格为直线 oA 与 x 轴正向所包围的区域 ) ，则有图 3 — 1 逐点比较法第一象限直线插补即令则有：①如，则点 P 在直线 oA 上，既可向 +x 方向进给一步，也可向 +y 方向进给一步；②如，则点 P 在直线 oA 上方，应向 +x 方向进给一步，以逼近oA 直线；③如，则点 P 在直线 oA 下方，应向 +y 方向进给一步，以逼近 oA 直线一般将及视为一类情况，即时，都向 +x 方向进给一步。
当两方向所走的步数与终点坐标相等时，停止插补。
这即逐点比较法直线插补的原理。
对第一象限直线 oA 从起点 ( 即坐标原点 ) 出发，当 F 时， +x 向走一步；当 F<0 时，y 向走一步。
特点：每一步都需计算偏差，这样的计算比较麻烦。
递推的方法计算偏差：每走一步后新的加工点的偏差用前一点的加工偏差递推出来。
采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而开始加工点正是直线的起点，故。
下面推导其递推公式。
设在加工点 P( ) 处，，则应沿 +x 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为新加工点的偏差为即若在加工点 P( ) 处，，则应沿 +y 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为，新加工点的偏差为即综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤 ( 节拍 ) ，即：(1) 位置判别根据偏差值大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。
逐点比较法直线插补原理
偏差计算 F0,0=0 F1,0= F0,0-Ye =-2 F1,1= F1,0+X e =1 F2,1= F1,1-Ye =-1 F2,2= F2,1+X e =2 F3,2= F2,2-Ye =0
X
终点判别 n=5 n=5-1=4 n=4-1=3 n=3-1=2 n=2-1=1 n=1-1=0
例4-2 加工第一象限直线OE，如图3-5所示，起点为 坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法 对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。
2. 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。
3. 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步 判别依据。
4. 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则， 继续以上四个步骤。
插补开始
偏差判别 坐标进给
偏差计算
终点判别
N
Y
插补结束
Y
例4-1：加工第一象限直线OA
第一象限判别方式进行判别。
这样，靠近Y轴区域偏差大于零，靠近X轴区域偏差小于零。
F≥0时，进给都是沿X轴，
y
不管是＋X向还是－X向，
X的绝对值增大；
L2
L1
F0 F0
F<0时，进给都是沿Y轴，
F<0
F<0
不论＋Y向还是－Y向，
Y的绝对值增大。
F<0
x F<0
四个象限直线的偏差符号
F0 F0
和插补进给方向如图所示。
L3
L4
四
开始
象
限
初始化|Xe|，|Ye| ∑＝|Xe|＋|Ye|
直
Y
N
线
F≥0
轮廓插补原理——逐点比较法
第二节 逐点比较法逐点比较法的基本原理是，在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具沿着坐标轴向减小偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。
也就是说，逐点比较法每一步均要比较加工点瞬时坐标与规定零件轮廓之间的距离，依此决定下一步的走向，如果加工点走到轮廓外面去了，则下一步要朝着轮廓内部走；如果加工点处在轮廓的内部, 则下一步要向轮廓外面走，以缩小偏差，周而复始，直至全部结束，从而获得一个非常接近于数控加工程序规定轮廓的刀具中心轨迹。
逐点比较法既可实现直线插补，也可实现圆弧插补。
其特点是运算简单直观，插补过程的最大误差不超过一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲速度变化小，调节方便，但不易实现两坐标以上的联动插补。
因此，在两坐标数控机床中应用较为普遍。
一般来讲，逐点比较法插补过程每一步都要经过如图3-1所示的四个工作节拍：（1）偏差判别 判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差情况，即通过偏差值符号确定加工点处在理想轮廓的哪一侧，并以此决定刀具进给方向。
（2）坐标进给 根据偏差判别结果，控制相应坐标轴进给一步，使加工点向理想轮廓靠拢，从而减小其间的偏差。
（3）偏差计算 刀具进给一步后，针对新的加工点计算出能反映其偏离理想轮廓的新偏差，为下一步偏差判别提供依据。
（4）终点判别 每进给一步后都要判别刀具是否达到被加工零件轮廓的终点，若到达了则结束插补，否则继续重复上述四个节拍的工作，直至终点为止。
一、逐点比较法I 象限直线插补（一）基本原理设第一象限直线OE ，起点为坐标原点O(0,0)，终点为E （X e ，Y e ），另有一个动点为N （X i ，Y i ），如图3-2所示。
其中，各个坐标值均是以脉冲当量为单位的整数，以便于后面的推导与讲解，并且在脉冲增量式插补算法中都是这样约定的。
ee i i X Y X Y = （3-1a ） 即 X e Y i —X i Y e =0 （3-1b ） 当动点N 处于直线OE 的下方N ′处时，直线N O '的斜率小于直线OE 的斜率，从而有ii X Y ＜e e X Y （3-2a ）即 X e Y i —X i Y e ＜0 （3-2b ） 当动点N 处于直线OE 的上方N ″处时，直线N O ''的斜率大于直线OE 的斜率，从而有ee i i X Y X Y ＞ （3-3a ） 即 X e Y i —X i Y e ＞０ （3-3b ） 由上述关系可以看出，表达式（X e Y i —X i Y e ）的符号就能反映出动点N 相对直线OE 的偏离情况，为此取偏差函数F 为F =X e Y i —X i Y e （3-4）根据上述过程可以概括出如下关系：当F =0时，动点N （X i ，Y i ）正好处在直线OE 上；当F ＞0时，动点N （X i ，Y i ）落在直线OE 上方区域；当F ＜0时，动点N （X i ，Y i ）落在直线OE 下方区域。
逐点比较法直线插补原理的实现
武汉理工大学华夏学院课程设计报告书题目：系名：专业班级：姓名：学号：指导教师：2011 年 6 月 14 日摘要本文主要讨论利用逐点比较法实现第一象限的直线插补。
所谓逐点比较插补，就是刀具或绘图笔每走一步都要和给点轨迹上的坐标值进行比较，看这点在给点轨迹的上方还是下方，从而决定下一步的进给方向。
对于本设计所要求的直线轨迹，如果该点在直线的上方，则控制步进电机向+X方向进给一步，如果该点在直线的下方，那么控制步进电机向+Y 轴方向进给一步。
如此，走一步、看一看，比较一次，决定下一步的走向，以便逼近给定轨迹，即形成逐点比较插补。
插补计算时，每走一步，都要进行以下四个步骤的计算过程，即偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判断。
设计具体算法时，首先根据直线轨迹参数，计算出偏差计算公式及递推公式。
由程序判断出偏差的正负号，从而决定坐标的进给方向，再根据递推公式计算出坐标进给后的偏差，若未到达终点，则返回偏差判别，如此循环。
可以根据起点和终点的坐标位置，计算出总的进给步数Nxy，X或Y的坐标每进给一步，这个值就减一，若Nxy=0，就到达了终点，这就是终点判别的方法。
设计任务及要求设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出各种曲线。
1）设计硬件系统，画出电路原理框图； 2）定义步进电机转动的控制字；3）推导出用逐点比较法插补绘制出下面曲线的算法； 4）编写算法控制程序线； 5）撰写设计说明书。
每人选一个曲线，曲线均为第一象限，屏幕左下角为坐标原点，箭头表示曲线绘制的方向，直线参数为：起点、终点坐标。
圆弧参数为：起点、终点坐标和半径。
直线一： 直线二：直线三 直线四圆弧一 圆弧二X YOXY O X Y OXYOX Y OXY O目录1 设计任务和要求 (1)2 设计步骤 (1)2.1 硬件设计 (1)2.1.1 接口示意图 (1)2.1.2 方案论证 (2)2.1.3 单片机与8255的接口 (3)2.1.4 硬件接线原理图 (3)2.1.5 元件清单 (4)2.2 软件设计 (5)2.2.1 软件设计原理 (5)2.2.2 8255的初始化编程 (6)2.2.3 步进电机走步控制程序 (7)2.2.4 主程序 (8)2.3 运行调试 (9)2.3.1 系统安装调试 (9)2.3.2 结果验证 (9)3 课程设计体会 (10)参考文献 (10)附录一芯片资料 (11)附录二源程序 (12)逐点比较插补原理的实现1 设计任务和要求设计一个微型计算机控制步进电机系统，该系统利用微型机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补原理绘制出如下图所示的目标曲线。
轮廓插补原理——逐点比较法
由式（3-4）可以看出，在计算F时，总是要作乘法和减法运算。在用硬件或汇编语言软件实现时不太方便，还会增加运算时间。因此，为了简化运算，通常采用递推算式来求取F值，即每进给一步后，新加工点的偏差值总是通过前一点的偏差值递推算出来的。
现假设第i次插补后，动点坐标为N（Xi，Yi），偏差函数为
Fi=XeYi—XiYe
Fi＋1=XeYi＋1—Xi＋1Ye＝XeYi—XiYe＋Xe
∴Fi＋1＝Fi＋Xe（3-6）
由式（3-5）和式（3-6）可以看出，采用递推公式计算偏差函数F，将不涉及动点坐标与乘法运算，仅与直线的终点坐标以及前一点的偏差函数值有关，并且算法简单，易于实现。
要说明的是，通过坐标平移的方式可以使每个直线轮廓段的起点总处在坐标系的原点上。另外，在开始加工之前，应通过人工方式将刀具移至加工起点，这一过程称为“对刀”。由于刀具就在直线上，因此，偏差函数的初始值为F0＝0。
当F＜0时，Y1输出0，Y2输出1，向＋Y进给一步，并使J－1→J。
第三个时序脉冲t3：完成偏差函数的计算。t3为移位脉冲序列，其数量等于参与运算的寄存器位数。至于当前的移位脉冲t3送往哪个寄存器，却由偏差符号触发器TF的状态决定。凡是允许移位的坐标寄存器，在t3每发送来一个移位脉冲时，将和偏差函数寄存器JF一道移出一位内容，进入全加器Σ进行加法运算，随后将运算结果回送至JF保存待用，直至t3发送完本次插补计算的所有脉冲。另外，坐标寄存器存放的是终点坐标值，每一次插补运算其值都不变，因此，坐标寄存器为循环移位寄存器。全加器Σ只能作加法运算，至于减法可通过补码转化为加法。偏差计算的逻辑关系如表3-2所示。
逐点比较法既可实现直线插补，也可实现圆弧插补。其特点是运算简单直观，插补过程的最大误差不超过一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲速度变化小，调节方便，但不易实现两坐标以上的联动插补。因此，在两坐标数控机床中应用较为普遍。
现假设第i次插补后，动点坐标为N（Xi，Yi），偏差函数为
Fi=XeYi—XiYe
Fi＋1=XeYi＋1—Xi＋1Ye＝XeYi—XiYe＋Xe
∴Fi＋1＝Fi＋Xe（3-6）
由式（3-5）和式（3-6）可以看出，采用递推公式计算偏差函数F，将不涉及动点坐标与乘法运算，仅与直线的终点坐标以及前一点的偏差函数值有关，并且算法简单，易于实现。
要说明的是，通过坐标平移的方式可以使每个直线轮廓段的起点总处在坐标系的原点上。另外，在开始加工之前，应通过人工方式将刀具移至加工起点，这一过程称为“对刀”。由于刀具就在直线上，因此，偏差函数的初始值为F0＝0。
当F＜0时，Y1输出0，Y2输出1，向＋Y进给一步，并使J－1→J。
第三个时序脉冲t3：完成偏差函数的计算。t3为移位脉冲序列，其数量等于参与运算的寄存器位数。至于当前的移位脉冲t3送往哪个寄存器，却由偏差符号触发器TF的状态决定。凡是允许移位的坐标寄存器，在t3每发送来一个移位脉冲时，将和偏差函数寄存器JF一道移出一位内容，进入全加器Σ进行加法运算，随后将运算结果回送至JF保存待用，直至t3发送完本次插补计算的所有脉冲。另外，坐标寄存器存放的是终点坐标值，每一次插补运算其值都不变，因此，坐标寄存器为循环移位寄存器。全加器Σ只能作加法运算，至于减法可通过补码转化为加法。偏差计算的逻辑关系如表3-2所示。
逐点比较法既可实现直线插补，也可实现圆弧插补。其特点是运算简单直观，插补过程的最大误差不超过一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲速度变化小，调节方便，但不易实现两坐标以上的联动插补。因此，在两坐标数控机床中应用较为普遍。
逐点比较法直线插补算法总结
F−1`,1 = F−1, 0 + xe = 3 − 4 = −1
F− 2`,1 = F−1,1 + ye = −1 + 3 = 2 F− 2`, 2 = F− 2,1 + xe = 2 − 4 = −2 F−3`, 2 = F− 2, 2 + ye = −2 + 3 = 1 F−3`,3 = F−3, 2 + xe = 1 − 4 = −3 F− 4,3 = F−3,3 + ye = −3 + 3 = 0
E−1,0 = 7 − 1 = 6 E−1,1 = 6 − 1 = 5 E−2,1 = 5 − 1 = 4 E− 2, 2 = 4 − 1 = 3 E − 3, 2 = 3 − 1 = 2 E − 3, 3 = 2 − 1 = 1 E− 4,3 = 1 − 1 = 0
3
2
1
-4
-3
-2
-1
象限第一拍判别第二拍进给第三拍运算第四拍比较试用逐点比较法写出起点为原点终点坐标为43的插补过程并画出插补轨迹序号第一拍第二拍进给第三拍运算第四拍比较4321
逐点比较法直线插补算法总结
偏差判别函数： 偏差判别函数： Fij = xe y j − xi ye
象限 第一拍 判别 第二拍进给 第三拍 运算 第四拍比较
序号 第一拍 判 别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍比较
1 2 3 4 5 6 7
F0, 0 = 0
F−1`,0 > 0
F−1`,1 < 0 F− 2`,1 > 0 F− 2`, 2 < 0 F−3`, 2 > 0 F−3`,3 < 0
-X +Y 0 + ye = 3
F− 2`,1 = F−1,1 + ye = −1 + 3 = 2 F− 2`, 2 = F− 2,1 + xe = 2 − 4 = −2 F−3`, 2 = F− 2, 2 + ye = −2 + 3 = 1 F−3`,3 = F−3, 2 + xe = 1 − 4 = −3 F− 4,3 = F−3,3 + ye = −3 + 3 = 0
E−1,0 = 7 − 1 = 6 E−1,1 = 6 − 1 = 5 E−2,1 = 5 − 1 = 4 E− 2, 2 = 4 − 1 = 3 E − 3, 2 = 3 − 1 = 2 E − 3, 3 = 2 − 1 = 1 E− 4,3 = 1 − 1 = 0
3
2
1
-4
-3
-2
-1
象限第一拍判别第二拍进给第三拍运算第四拍比较试用逐点比较法写出起点为原点终点坐标为43的插补过程并画出插补轨迹序号第一拍第二拍进给第三拍运算第四拍比较4321
逐点比较法直线插补算法总结
偏差判别函数： 偏差判别函数： Fij = xe y j − xi ye
象限 第一拍 判别 第二拍进给 第三拍 运算 第四拍比较
序号 第一拍 判 别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍比较
1 2 3 4 5 6 7
F0, 0 = 0
F−1`,0 > 0
F−1`,1 < 0 F− 2`,1 > 0 F− 2`, 2 < 0 F−3`, 2 > 0 F−3`,3 < 0
-X +Y 0 + ye = 3
2.逐点比较法直线插补
偏差计算
F0，0=0 F1，0=F0，0－ye=0－4=－4 F1，1= F1，0＋xe=－4＋6=2 F2，1= F1，1－ye=2－4=－2 F2，2= F2，1＋xe=－2＋6=4 F3，2= F2，2－ye=4－4=0 F4，2= F3，2－ye=0－4=－4 F4，3= F4，2＋xe=－4＋6=2 F5，3= F4，3－ye=2－4=－2 F5，4= F5，3＋xe=－2＋6=4 F6，4= F5，4－ye=4－4=0
＋1＝Yi，则新点的偏差值为：
Fi +1 X i +12 + Yi +12 R 2
＝
X
2+
i
(Yi+1)2
R
2
经整理得偏差计算递推公式：
Y
4 A(0,4) 3
2
1
B(4,0)
O 1 2 34
X
图5-12 圆弧插补实例
机电工程学院
步数 起点
1 2 3 4 5 6 7 8
偏差判别
F 0=0 F 1<0 F 2<0 F 3<0 F 4>0 F 5<0 F 6>0 F 7>0
坐标进给
-Y +X +X +X -Y +X -Y -Y
偏差计算 F0 0
2.逐点比较法
逐点比较法又称代数运算法或醉步法，其基本原理是：数控装 置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轮 廓的误差，由此误差决定下一步刀具的移动方向，使刀具向减少 误差的方向移动。
逐点比较法进行插补每一步都要经 过四个工作节拍：
第一节拍：偏差判别 第二节拍：进给 第三节拍：偏差计算 第四节拍：终点判别
§1.4 逐点比较法——直线插补
电子教案教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法导入新课讲授探究总结在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。
其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
§1.4 逐点比较法——直线插补一、概述初称区域判别法，又称代数运算法或醉步式近似法。
这种方法应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
每进给一步需要四个节拍：（1）偏差判别：判别加工点对规定图形的偏离位置，决定拖板进给的走向。
（2）坐标进给：控制某个坐标工作台进给一步，向规定的图形靠拢，缩小偏差。
（3）偏差计算：计算新的加工点对规定图形的偏差，作为下一步判别的依据。
（4）终点判断：判断是否到达终点。
若到达则停止插补，若没，再回到第一节拍。
介绍讲授图示分析讲授法理解记忆教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法新课讲授探究总结二、直线插补1．偏差计算公式如图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，编程时，给出直线的终点坐标A ，直线方程为：●偏差判别：（1）动点m在直线上：（2）动点m在直线上方：（3）动点m在直线下方：偏差判别函数●坐标进给（1）动点m在直线上：，可沿+⊿x轴方向，也可沿+⊿y方向；（2）动点m在直线上方：，沿+⊿x方向；（3）动点m在直线下方：，沿+⊿y方向。
举例板图分析总结e e(,)x ym e m ey x x y-=m e m ey x x y-=m e m ey x x y->m e m ey x x y-<m m e m eF y x x y=-mF<mF≥mF=教学程序教学内容及教学双边活动与教学方法探究总结例题讲授●新偏差计算+⊿x轴方向进给+⊿y轴方向进给●终点比较用Xe +Ye 作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算，直到计数器为零为止。
2．终点判别法分别计数法双向计数法单向计数法3．插补运算过程插补计算时，每走一步，都要进行以下4个步骤（又称4个节拍）的算术运算或逻辑判断：方向判定：根据偏差值判定进给方向。
逐点比较法——直线插补
+X
Fm+1=Fm-ye
L2、L3
-X
Fm＜0
直线线型
进给方向偏差计算L1、 Nhomakorabea2+Y
Fm+1=Fm+xe
L3、L4
-Y
课堂总结
1、逐点比较法的优点、概念和工作节拍；
2、逐点比较法直线插补计算与推导。
布置作业和辅导答疑
1、逐点比较法的概念和工作节拍分别是什么？
2、设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标分别为（5，4）、（5，5）、（4，5），试进行插补计算并画出走步轨迹图。
学生通过思考和训练，提高对插补计算的熟练程度
5分
15分
10分
5分
5分
3分
通过用提问的方式检测学生掌握情况，调动学生积极性，使其引导到课堂上来
要求学生认真作好记录
采用图解法，通过分析图解使学生明确插补计算过程
采用图解法，讨论公式推导，增强记忆
4分
4分
8分
14分
15
教与学互动设计
教师活动内容
学生活动内容
时间
2、逐点比较法直线插补流程图
3、例题
设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标xe=6，ye=4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
学生活动内容
时间
导入新课
下面我们来复习以下上节课所学的内容：
1、脉冲当量的概念是什么？计算脉冲当量的公式是什么？
2、插补的概念是什么？它有哪些插补方法？
讲授新课
一、逐点比较法的优点
主要采用讲解法和讨论法，让学生积极参与讨论。首先让学生回想利用单放机播放磁带听歌的例子，然后说明它与磁栅的原理是相似的进行教与学的活动。
Fm+1=Fm-ye
L2、L3
-X
Fm＜0
直线线型
进给方向偏差计算L1、 Nhomakorabea2+Y
Fm+1=Fm+xe
L3、L4
-Y
课堂总结
1、逐点比较法的优点、概念和工作节拍；
2、逐点比较法直线插补计算与推导。
布置作业和辅导答疑
1、逐点比较法的概念和工作节拍分别是什么？
2、设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标分别为（5，4）、（5，5）、（4，5），试进行插补计算并画出走步轨迹图。
学生通过思考和训练，提高对插补计算的熟练程度
5分
15分
10分
5分
5分
3分
通过用提问的方式检测学生掌握情况，调动学生积极性，使其引导到课堂上来
要求学生认真作好记录
采用图解法，通过分析图解使学生明确插补计算过程
采用图解法，讨论公式推导，增强记忆
4分
4分
8分
14分
15
教与学互动设计
教师活动内容
学生活动内容
时间
2、逐点比较法直线插补流程图
3、例题
设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标xe=6，ye=4，试进行插补计算并画出走步轨迹图。
学生活动内容
时间
导入新课
下面我们来复习以下上节课所学的内容：
1、脉冲当量的概念是什么？计算脉冲当量的公式是什么？
2、插补的概念是什么？它有哪些插补方法？
讲授新课
一、逐点比较法的优点
主要采用讲解法和讨论法，让学生积极参与讨论。首先让学生回想利用单放机播放磁带听歌的例子，然后说明它与磁栅的原理是相似的进行教与学的活动。
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电子教案
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
导入
新课讲授
探究总结
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具
与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的
进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。
其算法最大偏差不会超
过一个脉冲当量δ。
§1.4 逐点比较法——直线插补
一、概述
初称区域判别法，又称代数运算法或醉步式近似法。
这种方法
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。
每进给一步需要四个节拍：
（1）偏差判别：判别加工点对规定图形的偏离位置，决定拖
板进给的走向。
（2）坐标进给：控制某个坐标工作台进给一步，向规定的图
形靠拢，缩小偏差。
（3）偏差计算：计算新的加工点对规定图形的偏差，作为下
一步判别的依据。
（4）终点判断：判断是否到达终点。
若到达则停止插补，若
没，再回到第一节拍。
介绍
讲授
图示
分析
讲授法
理解
记忆
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
新课讲授
探究总结二、直线插补
1．偏差计算公式
如图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，编程时，给出
直线的终点坐标A ，直线方程为：
●偏差判别：
（1）动点m在直线上：
（2）动点m在直线上方：
（3）动点m在直线下方：
偏差判别函数
●坐标进给
（1）动点m在直线上：，可沿+⊿x轴方向，也可沿+
⊿y方向；
（2）动点m在直线上方：，沿+⊿x方向；
（3）动点m在直线下方：，沿+⊿y方向。
举例
板图
分析
总结
e e
(,)
x y
m
F<
m
F≥
m
F=
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
探究总结
例题讲授
例题讲授●新偏差计算
+⊿x轴方向进给
+⊿y轴方向进给
●终点比较
用Xe +Ye 作为计数器，每走一步对计数器进行减 1计算，直
到计数器为零为止。
2．终点判别法
分别计数法
双向计数法
单向计数法
3．插补运算过程
插补计算时，每走一步，都要进行以下4个步骤（又称4个节
拍）的算术运算或逻辑判断：
方向判定：根据偏差值判定进给方向。
坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向发一进给脉冲。
偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏差公式计算新的偏差。
终点判别：判别是否到达终点，若到达终点就结束该插补运算；
如未到达再重复上述的循环步骤。
例1：插补如图所示的直线，脉冲当量为1，采用双向计数方
法。
解：，定计数长度∑=16，
，插补从原点开始，插补过程如表1
所示。
分析
总结
师生互动
m1m1e m1e m e
F y x x y F y
+++
=-=-
m1m e
F F x
+
=+
e e
10616
X Y
∑=+=+=
m m e m e
F Y X X Y
=-=
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
思考交流
表1 第一象限直线插补过程
4．不同象限的直线插补计算
假设有第三象限直线OE′（图2-4），起点坐标在原点O，终点
坐标为E′（-Xe，-Ye），在第一象限有一条和它对称于原点的直线，
其终点坐标为E（Xe，Ye），按第一象限直线进行插补时，从O点开
始把沿X轴正向进给改为X轴负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向
进给，这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公式与第
一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给方向不同，输出驱动，
应使X和Y轴电机反向旋转。
思考交流
师生互动
思考交流
Y
X
E(X e,Y e)
)
O
E′(-X e,-Y e)
教学程序教学容及教学双边活动与
教学方法
课堂
练习
表2 四象限直线插补进给方向判定和偏差计算公式
例2：试用逐点比较法插补第二象限直线OA，如图2-5所示，
起点O在坐标原点，终点坐标(-3,5)，写出插补运算过程，并画出插补轨迹。
解：定计数长度∑=8刀具在起点O，F0=0，x e=-3，运算时按绝对值计算。
第二象限直线插补运算过程如表3所示。
练习讲解
教学后记。