高2020届优化方案高考总复习数学理选修4

1．(2020年温州市十校联考)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2，当x ＜0时f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时f ′(x )＜0，当x ＞2时f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间是(0,2)．2．y ＝x －ln x 的单调递增区间为( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)和(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选C.y ′＝1－1x ，令y ′>0，得x －1x>0，∴x >1或x <0，又x >0，∴x >1. 3．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1解析：选A.y ′＝a (3x 2－1)，当a ＞0时，y ′＜0的解集为(－33，33)，故选A. 4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )<0得－1<x <11，∴函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为(－1，11)．答案：(－1,11)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2.2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A.在(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．故选A.3．若y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调递增函数，则b 的取值范围是( ) A ．b <－1，或b >2 B ．b ≤－1，或b ≥2C ．－1<b <2D ．－1≤b ≤2解析：选D.y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2，令y ′≥0，即x 2＋2bx ＋b ＋2≥0，即4b 2－4(b ＋2)≤0，解得－1≤b ≤2.当b ＝－1时，y ′＝x 2－2x ＋1，显然符合题意；当b ＝2时，y ′＝x 2＋4x＋4，显然符合题意．故－1≤b ≤2.4．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )解析：选A.依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图像上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A 满足，故选A.5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)为增函数，则( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＜0解析：选D.∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)为增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＞0恒成立．∵a ＞0，∴Δ＝4b 2－4·3ac ＜0，即b 2－3ac ＜0.6．(2020年高考辽宁卷)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B.设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．二、填空题7．设f (x )在(a ，b )内存在导数，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )内单调递减的________条件．解析：对于导数存在的函数f (x )，若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内单调递减．反过来，函数f (x )在(a ，b )内单调递减，不一定恒有f ′(x )<0，如f (x )＝－x 3在R 上是单调递减的，但f ′(0)＝0.答案：充分不必要8．设命题p ：f (x )＝ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q ：m ≥－5，则p是q 的________条件．解析：f (x )＝ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)上是增加的，可知在(0，＋∞)上f ′(x )＝1x ＋4x ＋m ≥0成立，而当x ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x min ＝4，故只需要4＋m ≥0，即m ≥－4即可．故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．若函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[1,2]上是减少的，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ∈[1,2]时，令f ′(x )≤0，即3x 2＋a ≤0，即a ≤－3x 2，又x ∈[1,2]，故a ≤－12.当a ＝－12时，显然符合题意．所以实数a 的取值范围是a ≤－12.答案：a ≤－12三、解答题10．设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈R .试讨论函数F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 11－x －kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x 2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1. 对于F (x )＝11－x －kx (x ＜1)， 当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数； 当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k，1)上是增函数． 对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1,1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数． 11．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a·b 在(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f ′(x )＞0.∵f ′(x )的图像是开口向下的抛物线，∴当且仅当f ′(1)＝t －1≥0，且f ′(－1)＝t －5≥0时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5.12．(2020年高考辽宁卷)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. 当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a. 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．。

1．已知函数y＝ f ( x) ，x∈ R，则f ′(x0) 表示 ( )A．自变量x＝ x0时对应的函数值B．函数值y 在 x＝ x0时的刹时变化率C．函数值y 在 x＝ x0时的均匀变化率D．无心义分析：选 B. 由导数的观点可知选 B.2．某企业的盈余y(元)和时间 x(天)的函数关系是 y＝ f ( x)，假定 f ( x)>0恒建立，且f ′(10)＝10， f ′(20) ＝ 1，则这些数听说明第20 天与第 10 天比较 ()A．企业已经损失B．企业的盈余在增添，增添的幅度变大C．企业在损失且损失幅度变小D．企业的盈余在增添，但增添的幅度变小分析：选 D. 导数为正说明盈余是增添的，导数变小说明增添的幅度变小了，但仍是增加的．3．某人拉动一个物体行进，他所做的功W是时间t的函数W＝W( t ) ，则W′(t0) 表示 ( ) A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C．t＝t0时的位移 D ．t＝t0时的功率分析：选 D. W′(t ) 表示t时辰的功率．t 秒后的位移为 s＝3t 2＋t ，则速度4．一质点沿直线运动，假如由始点起经过v＝10 时的时辰 t ＝________.3分析： s′＝6t ＋1，则 v( t )＝6t ＋1，令6t ＋1＝10，则 t ＝2.3答案：2一、选择题1．某旅行者登山的高度h(单位：m)是时间 t (单位：h)的函数，关系式是h＝－100t 2 ＋800t，则他在 2 h 这一时辰的高度变化的速度是 ( )A． 500 m/h B． 1000 m/hC． 400 m/h D． 1200 m/h分析：选 C. ∵ ′＝－ 200 ＋ 800，h t∴当 t ＝2 h时， h′(2) ＝－ 200×2＋ 800＝400(m/h) ．2．圆的面积S 是半径r 的函数，＝πr 2，那么在r ＝3 这一时辰面积的变化率是 ()SA． 6 B． 9C．9πD．6π分析：选 D. S′＝ 2πr，∴S′(3) ＝6π.2＋ 3t表示，3．从时间t＝ 0 开始的t s 内，经过某导体的电量( 单位： C)可由公式q＝ 2t则第 5 s 时的电流强度为 ( )A． 27 C/s B． 20 C/sC． 25 C/s D． 23 C/s分析：选 D. 某种导体的电量q 在5 s时的刹时变化率就是第 5 s 时的电流强度．∵ q′＝4t ＋3，∴当 t ＝5时，电流强度为4×5＋ 3＝ 23(C/s)4．某汽车的紧迫刹车装置在碰到特别状况时需在 2 s 内达成刹车，其位移( 单位： m)对于时间 ( 单位： s) 的函数为 s ( t ) ＝－ 31t 3－ 4t 2＋ 20t ＋ 15，则 s ′(1) 的实质意义为 ()A ．汽车刹车后 1 s 内的位移B ．汽车刹车后 1 s 内的均匀速度C ．汽车刹车后 1 s 时的刹时速度D ．汽车刹车后 1 s时的位移分析：选 C. 由导数的实质意义知，位移对于时间的刹时变化率为该时辰的刹时速度．1 25．自由落体的运动公式是s ＝ 2gt ( g 为重力加快度 ) ，则物体在着落 3 s 到 4 s 之间的均匀变化率是 ( 取 g ＝ 10 m/s 2)()A ． 30B ． 32C ． 35D ． 401 212s g ×4－ g ×37分析：选 C. v ＝2 2＝4－ 3＝ g ＝ 35.t26．某物体的运动规律是 s ＝ s ( t ) ，则该物体在 t 到 t ＋ t 这段时间内的均匀速度是 ()s s t ＋ t－st A. v ＝＝tts t B. v ＝ts tC. v ＝ts t ＋ t－ stD. v ＝t分析：选 A. 由均匀速度的定义可知，物体在t 到 t ＋ t 这段时间内的均匀速度是其位 移改变量与时间改变量的比．因此 v ＝s s t ＋ t －s t .t ＝t二、填空题7．若某段导体经过的电量Q ( 单位： C)与时间 t ( 单位： s) 的函数关系为 Q ＝ f ( t ) ＝ 201t 2＋t － 80， t ∈ [0,30] ，则 f ′(15) ＝ ________，它的实质意义是 ____________________ ．1 5 分析： Q ′＝ f ′(t ) ＝ 10t ＋ 1，令 t ＝15，则 f ′(15) ＝2 (C/s) ，这表示 t ＝ 15 s 时的电流强度，即单位时间内经过的电量．5 5答案： 2 C/st ＝ 15 s 时的电流强度为 2 C/st8．某商品价钱 P ( 单位：元 ) 与时间 t ( 单位：年 ) 有函数关系式，那么P ( t ) ＝(1 ＋ 10%) 在第 8 个年头此商品价钱的变化速度是 ________．t ln1.1 ，分析：∵ P ′(t ) ＝ 1.1∴ P ′(8) ＝ 1.1 8ln1.1( 元/年)． 答案： 1.1 8ln1.1 元/ 年9．酒杯的形状为倒立的圆锥 ( 如图 ) ，杯深 8 cm ，上口宽 6 cm ，水以 20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为 4 cm 时，水高升的刹时变化率为________．分析：设水深为 h 时，水面半径为 r ，h r 3则 8＝3，∴ r ＝8h ，经过 t s 后，水的体积为 20t ，则 201 32·，即 ( ) ＝320×64，t＝ π()3π t3 8hh h t∴ ′()＝ 1 3 20×64 2 ＝4 时，33 3π t － . 又 h r ＝ ， ＝3π，h t 32 V3π 3 80 .∴ t ＝ ， h ′( π) ＝20 20 9π80答案： 9π cm/s三、解答题10．将 1 kg 铁从 0 ℃加热到t ℃需要的热量 ( 单位：J) ： ( ) ＝ 0.000297 t 2＋ 0.4409 t .Q Q t (1) 当 t 从 10 变到 20 时函数值 Q 对于 t 的均匀变化率是多少？它的实质意义是什么？(2) 求 Q ′(100) ，并解说它的实质意义．解： (1) 当 t 从 10 变到Q 20－Q 10 20 时，函数值 Q 对于 t 的均匀变化率为 ＝20－ 100.4498 ，它表示在铁块的温度从 10 ℃增添到 20 ℃的过程中，均匀每增添 1 ℃，需要汲取热量 0.4498 J.(2) Q ′(t ) ＝ 0.000594 t ＋0.4409 ，则 Q ′(100) ＝ 0.5003 ，它表示在铁块的温度为 100 ℃这一时辰每增添 1 ℃，需要汲取热量 0.5003 J.11．动点沿 Ox 轴的运动规律由 x ( t ) ＝ 10t ＋ 5t 2 给出，式中 t 表示时间 ( 单位： s) ，x 表 示距离 ( 单位： m)，(1) 求在 20≤ t ≤20＋ t 时间段内动点的均匀速度，此中①Δ t ＝1 s ；②Δ t ＝ 0.1 s ； ③Δ t ＝ 0.01 s .(2) 当 t ＝ 20 s 时，运动的刹时速度等于多少？解： (1)2x ′(t ) ＝ (10 t ＋ 5t ) ′＝ 10＋10t . 动点在 20≤ t ≤20＋ t 时间段内的均匀速度为v ＝ x ′ 20 ＋x ′ 20＋ t2＝ 10＋10×20＋ 10＋10×20＋ t2 ＝ 210＋5 t .①当 t ＝ 1 s 时， v ＝ 210＋5×1＝ 215(m/s) ； ②当t ＝ 0.1 s 时， v ＝ 210＋5×0.1 ＝ 210.5(m/s) ； ③当t ＝ 0.01 s 时， v ＝ 210＋5×0.01 ＝ 210.05(m/s) ．(2) 当 t ＝ 20 s 时，刹时速度为 x ′(20) ＝ 10＋10×20＝ 210(m/s) ．12012．蜥蜴的体温与阳光的照耀相关， 其关系式为 T ( t ) ＝t ＋ 5＋ 15，此中 T ( t ) 为体温 ( 单位：℃ ) ， t 为太阳落山后的时间 ( 单位： min) ．(1) 从 t ＝ 0 min 到 t ＝ 10 min ，蜥蜴的体温降落了多少？(2) 从 t ＝ 0 min 到 t ＝10 min ，蜥蜴的体温降落的均匀变化率是多少？它代表什么实质意义？(3) 求 T ′(5) ，并解说它的实质意义．解： (1) ∵ T (10) － T (0) ＝ 120 ＋15－(120＋ 15) ＝－ 16( ℃) ，∴从 t ＝ 0 min 到 t ＝ 10 10＋ 5 5min ，蜥蜴的体温降落了 16 ℃.(2) 从 t ＝ 0 min 到 t ＝ 10 min ，蜥蜴体温降落的均匀变化率是：T10－T 0 ＝ － 16＝－ 1.6( ℃/min) ， 10 10它表示从 t ＝ 0 min 到 t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温均匀每分钟降落1.6 ℃.120 －120 (3) ∵ T ′(t ) ＝ ( t ＋5＋15) ′＝ t ＋ 5 2，120∴ T ′(5) ＝－ 102 ＝－ 1.2( ℃/min) ，它表示 t ＝ 5 min 时，蜥蜴体温的降落速度为1.2 ℃/min.。

第二节　参数方程[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2.(1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程Error!中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．M 0M →( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原π3点，则直线OM 的斜率为.( )3[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)曲线Error!(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上B [由Error!得Error!所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3　[将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)　[由Error!(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3　[直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为＋＝1，∴椭圆C 的右顶x 29y 24点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化1．将下列参数方程化为普通方程．(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!(θ为参数)．[解]　(1)∵＋＝1，∴x 2＋y 2＝1.(1t ) 2 (1tt 2－1)2∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝，∴x ≠0.1t当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中Error!或Error!(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解]　圆的半径为，12记圆心为C ，(12，0)连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝＋cos 2θ＝cos 2θ，1212y P ＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．12所以圆的参数方程为Error!(θ为参数)．[规律方法]　消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1.参数方程的应用【例1】　(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝.π6(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解]　(1)由Error!消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝，π6所以l 的参数方程为Error!即Error!(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程Error!代入x 2＋y 2＝16，得2＋2＝16，t 2＋(＋2)t －11＝0，(1＋32t)(2＋12t )3所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 与曲线C ：Error!(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝，求线段AB 的中点的直角坐标；π3(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值．[解]　(1)由曲线C ：Error!(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝时，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，π3代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝＝3，t 1＋t 22故线段AB 的中点的直角坐标为.(92，332)(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|8cos2α－sin2α|＝，|8(1＋tan2α)1－tan2α|由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝.403极坐标、参数方程的综合应用【例2】　在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝，求l 的斜10率．[解]　(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程Error!(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝10|－6k |1＋k 225－(102)236k 21＋k 2904，整理得k 2＝，解得k ＝±，即l 的斜率为±.53153153法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝.144cos2α－44由|AB |＝得cos 2α＝，tan α＝±.1038153所以l 的斜率为或－.153153[规律方法]　处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 2的参数方程为Error!(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，2M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解]　(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝(x ＋2)．1k 设P (x ，y )，由题设得Error!消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立Error!得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos 2θ＝，sin 2θ＝.13910110代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为.51．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．[解]　(1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.x 24y 216当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos2α－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交2于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解]　(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.l 与⊙O 交于两点当且仅当＜π22|21＋k 2|1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈或α∈.(π4，π2)(π2，3π4)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!(t 为参数，＜α＜)．π43π4设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1tA ＋tB 22＝0.于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!.(α为参数，π4＜α＜3π4)。

第1讲绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．导师提醒1．会用两个等价关系(1)|x|<a⇔－a<x<a(a>0)．(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．2．掌握一组主要关系|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( )A ．|a ＋b |>|a －b |B ．|a ＋b |<|a －b |C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B.因为ab <0，所以|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. 不等式3≤|5－2x |<9的解集为( )A ．[－2，1)∪[4，7)B ．(－2，1]∪(4，7]C ．(－2，－1]∪[4，7)D ．(－2，1]∪[4，7)解析：选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－（x －1）－（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－（x －1）＋（x ＋2）<5 或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋x ＋2<5，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x >－3或⎩⎨⎧－2≤x ≤1，3<5或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2， 亦即－3<x <－2或－2≤x ≤1或1<x <2. 所以原不等式的解集为(－3，－2)∪[－2，1]∪(1，2)＝(－3，2)． 答案：{x |－3<x <2}不等式|2x －a |<b 的解集为{x |－1<x <4}，则a ＋b 的值为________．解析：因为|2x －a |<b 的解集为{x |－1<x <4}， 所以b >0， 由|2x －a |<b ，得－b <2x －a <b ，即a －b 2<x <a ＋b 2.所以a ＋b2＝4，所以a ＋b ＝8. 答案：8函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________． 解析：因为|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8， 所以所求函数的最小值为8. 答案：8含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧x ≥a 4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意， 当a <0时，不等式的解集为{x |x ≤a4}．由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |<c (c >0)或|x －a |－|x －b |>c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． [提醒] 用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．1．解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：(1)当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，所以x <－3.(2)当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25.(3)当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，所以x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为{x |x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5}．绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32，又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．1．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)|≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.2．(2019·银川模拟)设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5， 即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0， 解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <－4或x >5或1－412<x <1＋412. (2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， 即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2019·惠州第一次调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )>9；(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1<x <12，－3x ，x ≤－1.f (x )>9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x >9或⎩⎨⎧－1<x <12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x >9.综上，原不等式的解集为{x |x >3或x <－3}． (2)因为|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |. 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32，所以2|a |≤32，即|a |≤34，所以－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．2．(2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，所以f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立⇔a ＋1>f (x )min ， 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52， 所以a ＋1>52，所以a >32，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. [基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当(x ＋a )(x －2)≤0时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)． (2)因为∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎨⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[综合题组练]1．设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3. 解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，可得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，可得1<2.所以2≤x ≤3. ③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，可得x <72.所以3<x <72.由①②③可知，不等式的解集为{x |32<x <72}．(2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立．2．已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎨⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)因为0<a <5，所以5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋2）x ＋6，x <12，（2－a ）x ＋4，12≤x ≤5a ，（a ＋2）x －6，x >5a.注意到当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a 时，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值在⎣⎡⎦⎤12，5a 上取得，因为在⎣⎡⎦⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫5a ＝4.解得a ＝2.3．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4. 当x >2时，原不等式可化为2x <5， 所以2<x <52；当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，所以－32<x <－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4， 所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时， 因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，所以k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ，所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3. 4．(2019·山西太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝|x －a |＋12a ，所以f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a，所以f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |，所以|m |≤1，即－1≤m ≤1，所以实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0，所以－12≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.。

第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.导师提醒熟记几种简单曲线的极坐标方程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.故选A.在极坐标系中，已知点P⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cosπ6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2在极坐标系中A⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)．所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.答案：6平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．2．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．3．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by得⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y2b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．解：设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．2．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．极坐标方程的应用(师生共研)(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，π3.把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3.所以A ⎝⎛⎭⎪⎫4＋33，π6.把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫3＋43，π3.所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6 ＝12＋2534.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．1．(2019·长春质量检测)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；(2)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π2)都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)由题意可得，曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由点A ，B 在曲线C 1上，得ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2（θ0＋π2），则1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04，因此1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值．解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8≥281＋sin 2α×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.[基础题组练]1．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4. 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α，所以|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4，因为0<α<π2，所以1<1＋sin 2α<2，所以6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， 所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.2．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2.(1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，因为O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ），ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ.用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |，所以S 四边形ABCD ＝12（28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝249－sin 22θ，因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32ty ＝3＋12t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)．(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝23，得sin θ＝32， 因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立，得⎩⎨⎧θ＝2π3（ρ≥0）ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3. 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，2π3，所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1ρ2＝cos 2θ3＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M .(1)求点M 的极坐标；(2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB ||AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得x －y ＝1，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x 2＋y 2＝1（y ≥0），可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)．(2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos α3sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝－23sin 2α＋cos 2α， 所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝23sin 2α＋cos 2α，|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin 2α＋cos 2α ＝231＋sin 2α3sin 2α＋cos 2α.所以|MA |·|MB ||AB |＝331＋sin 2α.因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1.所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为66.。

第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t①，y ＝1tt 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1， 再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．【解】 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t 2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，即a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 所以由|P A |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意，当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a＝94.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4(t为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85. 2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.[基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|P A |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|P A |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x－23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t－16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2，0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝⎛⎭⎫－2＋22t 1，22t 1，N (－2＋22t 2，22t 2)，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ，因为|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，所以|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，所以(22a )2－4×8a ＝8a ，所以a ＝5.3．(综合型)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2.1所以△P AB面积的最小值是S＝2×22×22＝4.。