诱导公式第二课时

化简变形，到达角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少
π
(2)对于π±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必
2
须变名.

4
15
”，“第三象限”改为“第二象限”，
本例条件中“cos α＝－5”改为“α 的终边与单位圆交于点 Pm，
4


π
sinα－2
－cos α
因为α为第三象限角，
sin α
＝tan α·sin α＝cos α·sin α
9
3
2
所以 sin α＝－ 1－cos α＝－5.
9
sin2α 32 5
9




＝cos α＝ －5 × －4 ＝－20.




用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式
sin(

cos(
2

2
) cos
) sin
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin(

cos(
2

2
) cos
) sin
口诀的意义：
k

（k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；

sin 2 cos cos cos

2

2
.
9

cos sin 3 sin sin

2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的 关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[典例 1] (1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin32π－A的值为
1 A.3
B．－13
23 C. 3
2．诱导公式五、六的作用： 利用诱导公式五或六，可以实现 正弦函数 与 余弦函数 的相互转化． [微思考] 在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C， ∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
第二课时 诱导公式五、六
明确目标
发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法． 1.借助诱导公式求值，培养数学
2.能够准确记忆公式五和公式六．
运算素养．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式 2.通过诱导公式进行化简和证明，
的化简、求值和证明.
提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六：
③f(cos x)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x
－sin kx，k＝4n，n∈Z，
＝sink2π－kx＝csions
kx，k＝4n＋1，n∈Z， kx，k＝4n＋2，n∈Z，
－cos kx，k＝4n＋3，n∈Z.
故 f(cos x)＝cos kx 成立的条件是 k＝4n＋1，n∈Z .
＝－ssininαα－＋c2ossinα
α＝sin
sin α α－cos

α＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，

因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
立德树人 和谐发展
计算或化简：
（1）cos
65π 6
y 的终边
2
P2 y, x
提示: 横、纵坐标互换 公式五
α的终边
O
P1(x，y)
sin(
)
cos
x
2
y=x
cos( ) sin
2
诱导公式五
探究(二 )
诱导公式六
公式六
sin(
立德树人 和谐发展
) cos
思考4： 与 有什么内在联系？
2
2
2
提示: ( )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
cos( ) sin
sin( ) cos cos 2sin sin cos
sin sin cos
tan tan 1
2
立德树人 和谐发展
必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 答：
角 α 0° 30° 45° 60°
角α的 0
弧度数
π 6
π 4
π 3
90°
π 2
(
3 2
)
cos
cos(32 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
例2已知：tan(3 ) 2 ，求值；
立德树人 和谐发展
sin( 3 ) cos( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) sin( ) cos( )

《5.3 诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α．例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫⎝⎛-α2π＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α．例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。

＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.

《5.3.2诱导公式》（第二课时）一、学习目标1在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．二、预习案知识点一 公式五【思考1】 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2，点P 2的坐标是什么？ 1．角π2－α与角α的终边关于直线_____对称，如图所示．2．公式：sin(π2−α)＝___ __，cos (π2−α)＝___ _ . 知识点二 公式六思考 .能否利用已有公式得出π2+a 的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系? 1．公式：sin (π2+α)＝___ __，cos (π2+α)＝___ __. 2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－(π2−α). 母题1：sin 135°等于变式1 已知sin α=13,则cos (π2-α)的值为( ) A.2√23B.-2√23 C.13D.-13变式2 s in (α+π2)·cos (α-3π2)·tan (π2-α)的结果是( )A.1B.sin 2αC.-cos 2αD.-1母题2：已知f (α)=sin(π-α)cos(-α)sin(π2+α)cos(π+α)sin(-α).(1)化简f (α);(2)若角A 是△ABC 的内角,且f (A )=35,求tan A -sin A 的值.变式1 已知sin(3π+α)=2sin (3π2+α)，则sin(π-α)-4sin(π2+α)5sin(2π+α)+2cos(2π-α)=1. 已知sin(3π+α)=2sin (3π2+α)，则sin(π-α)-4sin(π2+α)5sin(2π+α)+2cos(2π-α)= . 2.若sin (π2+θ)<0，且cos (π2-θ)>0，则角θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三角限角D.第四象限角3.已知cos(75°+α)=13，且-180°<α<-90°，则cos(15°-α)= . 4.已知sin φ=611,求cos (11π2+φ)+sin(3π-φ)的值.5.已知sin (π4-α)=a ，0<α<π2，求sin (5π4+α)的值.6.已知sin (π6+α)=√33,求cos (π3-α)的值.。

2．求值：ctaons2α7＋0°1＋80α°＋＋csions9900°°－＋αα＋－stiann237600°°－＋αα. 解：原式＝ctaons[α1＋80c°o＋s α9＋0°s＋in[α18]－0°s＋in9α0－°－tanαα]
＝－tacnosα＋90c°o＋s αα－－ssinin9α0－°－taαnα
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升 类型一：利用诱导公式化简与求值
典例示范
【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值．
(2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值．
解：(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又 α 为第一象限角， ∴cos 2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α＝－
2．诱导公式五、六的整合与记忆 π2－α，π2＋α 的三角函数值，等于 α 的_异__名__三角函数值，前面加 上一个把 α 看成_锐__角__时__原__函__数__值__的__符__号__，记忆口诀为 “_函__数__名__改__变__，__符__号__看__象__限__”．
3．六组诱导公式的整合与记忆 (1)六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式． (2)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 其中“奇、偶”是指 k·π2±α(k∈Z)中 k 的奇偶性，当 k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变．“符号” 看的是诱导公式中把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数 值的符号．
预习验收 衔接课堂
1．已知 cosπ2＋φ＝ 23，且|φ|<π2，则 tan φ＝( C )

提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？

即 =

2

2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角

2

（2）诱导公式五

sin（ ） cos
2

cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )


P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π

1


cos2＋α＝3，所以－sin


2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.

6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan

终边过点
12
5

P13，13.


(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，

2

2

＋

13
13




12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，

2

2

＋

13


2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：

∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题

11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2

已知( − )
3

(1)( + )

.
2

2

9

cos ( ) sin ( 3 ) sin ( ) sin

2



( sin )( cos )( sin ) cos 5
2


原式
=
解：



( cos ) sin ( ) sin ( ) sin 4
简记：
函数名不变
符号看象限.
2k (k z)、 、
的三角函数值，等于α的
同名三角函数值前面加
上把α看作锐角时原函数
值的符号。
求任意角的三角函数值的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
2

cos（ ） sin
2
“函数名改变,符号看象限.”
作用是实现正弦函数与余弦函数的互相转化.

2



3

2
y
2
0



x
3

2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐
角时原三角函数值的)符号；
2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐
(37 ) 90 (53 )
sin(37 ) sin[90 (53 )] cos(53 )
270 90
90 270, 从而143 53 323,

2
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
函数名改变，符号看象限
作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2 诱导公式(二)
思考：诱导公式可统一为 k (k Z) 的三角函数与α的
2
三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限
3 典型例题
例.证明： (1)
c
α
b

（ − ） =
2
2 诱导公式(二)
思考：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α
的终边有什么关系？
y

2
的终边
α的终边
思考：点P1（x，y）关于
直线 y=x 对称的
点P2的坐标是什么？
O
yx
x
2 诱导公式(二)
思考：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），
思考：你能用简洁的语言概括一下公式五、六吗？
它们的作用是什么？
sin(
诱导公式五
诱导公式六


cos(
2

2
) cos
) sin
sin(
2

) cos
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：

的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）
2
sinα
7π
(3)cos( ＋α)＝________；
2
tanα
(4)tan(α－11π)＝________.
练一练
3π
3
2.已知 cos(
＋α)＝－ ，且α是第四象限角，

3求值
1 2 sin 100 cos100
0
0
cos350 1 cos 170
4 求 sin
0
2
1 sin 2
2 0
2
0
0
sin 88 sin 89 的值
2
0
2
0
巩固练习
课本P193
1.用诱导公式求下列三角函数值
（1）cos
65

6
（4）sin67039

2
+ = −sin

y

2
O
y=x
的终边
2
P5(y1,x1)
P6
1
1
公式六

sin(
2
2
的终边

P1(x1,y1)
x
概念生成
公式五

sin(
2
− ) = cos

cos( − ) = sin
2

与的终边关于直线y x对称
2
问题1 公式五和公式六的作用是什么？

此时判断 · ± 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号是
2
正还是负.
4.这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立.

例1.化简：
11
sin(2−)cos(+)cos 2 + cos 2 −
9
cos(−)sin(3−)sin(−−)sin 2 +
公式三
sin − = −sin
cos − = cos
tan − = −tan
公式四
sin − = sin

2
tan(
22
) tan
1
公式三
“函数名不 变，
公式四
sin s符in号看象限”
sin sin
cos cos
cos cos
tan tan
tan tan
新知探究
1.公式二、三、四之间的关系
sin sin π
sin sin
？ sin π
sin
在 sin 和π π 中，哪一个
与πsi+n 在π 结构上更接近？
cos( ) sin
2
公 sin( ) cos 2
式 六
cos (
)
sin
2
你有奇什变么偶办不法变记，住符这号些看公象式限？.
2
y
2
把α看成锐角
0
x
口诀：奇变偶不变，符号看象限
3
2
3
2
意义：k
π±α（k 2
Z）的三角函数值
1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上
3
sin cos(90 )
cos sin(90 )
3.公式五、六探究
问题1：如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与
单位圆交于点P1，作P1关于直线的对称点P5，以OP5为终边 的角β与角α有什么关系? 角β，α的三角函数值之间有什么关
系?
终边以相O同P的5为角终，边即的角β2都k是 (与 角2)(k Z).
2 因此，只要探究角 与α的三角函
2 数值之间的关系即可．
y
P5 ( y, x)
P1(x, y)
x
O
A(1,0)
公式 五
sin( ) cos
2
cos( ) sin