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量子力学习题课

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量子力学习题课

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1 2 eU a = mvm = hν − W 2
h −W ν Ua = =1.35 = 1.35V e
1 2 mv m = hν − A 2
⒉玻尔假设 定态假设：处在不连续的状态E ①定态假设：处在不连续的状态E1，E2¨上， 是稳定的，不辐射。 是稳定的，不辐射。 频率假设：从一个定态跃迁到另一个定态 ②频率假设：从一个定态跃迁到另一个定态 时才吸收或辐射一个光子， 时才吸收或辐射一个光子，频率为 Ek − En ν= h ③轨道角动量量子化假设 h L = mv r = n = nh (n = 1,2,3L) 2π 四、粒子的波动性 ε h h 德布罗意波： ν= ⒈德布罗意波： λ = =
A ②存在红限频率，ν 0 = h 存在红限频率，
具有瞬时性。 ③具有瞬时性。 ⒉光电效应方程
2h 2 ϕ sin ⒊康普顿效应公式 ∆λ = λ − λ0 = m0 c 2 hc h ⒋光的波粒二象性 ε = hν = p= λ λ 三、氢原子光谱及玻尔理论
⒈实验规律
~ = 1 = R 1 − 1 ( k , n均为正整数且 n > k ) ν 2 2 λ n k R为里德伯常数 为里德伯常数
2π rn 2π mr 2 ( n 2 r1 ) 2 T= = = 2π m ∝ n3 vn rn mv n nh
T3 : T2 = 3 : 2 = 27 : 8
3 3
例 波长为 λ = 589.3nm 的光照射到钾金属表面产 生光电效应， 生光电效应，今测得遏止电势差为 U a = 0.36V 。 求（1）计算逸出光电子的最大初动能、逸出功和 ）计算逸出光电子的最大初动能、 λ 红限频率；（ ；（2） 红限频率；（ ）若改用波长= 400nm 的单色光 照射， 遏止电势差是多少？ 照射，其遏止电势差是多少？ 解：（1）最大初动能 ）

量子力学习题 钱伯初 课后详细答案

量子力学习题 钱伯初 课后详细答案

w.
∫
∞
ψ ( x) dx = 1
2
kh
由归一化条件
da
nπ x a
w. c
om
⎧ h2 ψ ′′ = Eψ ⎪− 或： ⎨ 2m ⎪ψ = 0 ⎩
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
⎧ ⎪ψ ( x) = A cos kx + B sin kx ⎨ ⎪ψ = 0 x ≤ 0, x ≥ a ⎩
由边界条件得：
ψ ( x) = ⎨
− βx ⎧ ⎪ βe
x > 0, x<0
2
βx ⎪ ⎩ βe
β=
mγ h2
、 （10）式，对一维，有 由书上 p38 第（9）
∞ d h 2 ∞ dψ h2 0 d βx = + β β e − βx dx] [ T = dx e dx ∫ ∫ ∫ 0 − ∞ − ∞ 2m 2m dx dx dx
对力心的角动量守恒, L=mr ω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件 pdq = nh ,得
∫ pdq = ∫ Ldθ = L ∫ dθ = mr ω 2π =
2
mkr 3 2π =nh
解得:
n 2h 2 1/ 3 r = rn = ( ) mk 3 3 n 2h 2 1/ 3 3 n 2h 2 k 2 1/ 3 krn = k ( ) = ( ) 2 2 mk 2 m n = 1,2,3...
0< x<a
k=
2mE h
ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩

量子力学习题及答案

量子力学习题及答案
?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x

量子力学教程课后习题答案.pptx

量子力学教程课后习题答案.pptx

hc 1.24106 eVm
e
c 2
0.51
10 eV 6
最后，对
hc 2ec 2E
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这 个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世 界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二 象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是 E 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德
3.7 10
eV
9
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度 为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波 长就为
hc hc 2c 2 E 2kc2T
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波 动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性 就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须 用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平 方的乘积，即 0.51106 eV ，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式， 这样，便有
h
p
2
在这里，利用了 以及
h
2eE
hc
2ec2 E
1.24 10 6 m 2 0.51106 3
0.7110 9 m 0.71nm
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

量子力学习题课

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习 题 课例：求下列各粒子相关的de Broglie 波的波长： （1） 能量为100ev 的自由电子； （2） 能量为0.1ev 的自由中子； （3） 能量为0.1ev,m=1g 的质点；（4） T =1K 时，具有动能E=KT3/2(K Bolzman 常数)的氮原子。

解：在V «C 的情况下，mE h p h mE P 2//,2===λ (1) E=100ev=1.6×10-10erg,因为m=9×10-28g h=6.6×10-27erg.s 所以 2.1102.1106.11092106.68102827=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ（2） E=0.1ev = 1.6×10-13erg, m=1.675×10-24g9.0109.0106.11068.12106.68132427=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ(3) E=0.1ev = 1.610-13erg, m=1g121327107.1106.12106.6---⨯=⨯⨯⨯=λ Å（4） E =1.5×1.38×10-16erg, m=4×1.67×10-24=6.68×10-24g6.121038.15.11068.62106.6162427=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---λ Å星体光谱的成分与绝对黑体光谱十分相近。

估计黑体表面温度的方法之一，在于确定黑体光谱中辐射强度λU 的最大值所对应的波长。

太阳的这2个波长等于0.5μm,北极星的波长等于0.35μm,天狼星的等于0.29μm 。

试计算这些星体的温度。

解：根据黑体辐射的Plank 公式，物体在温度为T 的热平衡态下，辐射的能谱密度λU 与热辐射频率ν之间的关系为)1(1)/exp(833-=kT h C h U ννπλ将（1）式中的辐射频率ν换成辐射波长λ表示，)2(1)/exp(181,52-=-==kT hc hCU d Cd Cλλπλλνλνλ）改写成将（由d λU /d λ=0,可得λU （max ）所应的波长λ：)3(]1)/[exp()/exp(50)1)/exp(18(5-==-=kT hc kT kT hc hc kT hc hc d d d dU λλλλλπλλλ得若令x=hc/λkT, 则（3）改写成 15-=x xe xeXe x =5e x -5, e -x +(x/5)-1=0, e -x =1-(x/5) (4) (4)式是一个超越方程，做图法求解，⎪⎩⎪⎨⎧=-=)6()5(51xe y x y 曲线（5）和（6）的交点的横坐标便是所求的解，如图： 求得 x=4.97, (7) 既hc/kT (8) 或T λmax=hc/4.97k=b (9)次式为Wien 位移公式（wien formula ），其b=hc/4.97k=2.9×10-3m.℃ 由（9）式可估计星体表面温度如下： （a ） 太 阳：λmax=0.55μm=0.55×10-6m, T max =b/λmax=5.27×103℃（b ） 北极星：λmax=0.35μm=0.35×10-6m, T max =b/λmax=8.27×103℃ （c ） 天狼星：λmax =0.29μm=0.29×10-6m, T max =b/λmax=10×103℃例：如果我们观测一个大小为2.5Å的物体，可用的光子的最小能量是多少？若把光子改成电子呢？解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同数量级或更小。

第一章 量子力学基础习题1

第一章 量子力学基础习题1

sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为

量子力学习题课教材

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理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
（1） 定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。电子只 能在一定轨道上作圆周运动，且不辐射 能量。 （2） 角动量量子化假设：电子绕核作圆周运动的轨道只 能取决于
PL n
n 1,2,3
（3）跃迁假设：原子从一稳定态过度到另一稳定态吸收 或发出单色电磁辐射。即由光子假说和 能量守恒定律有 En Em h
2 *
量 子 力 学 小 结
波函数应满足单值、有限、连续的标准条件
波函数归一化条件 薛定谔方程：

2
dV 1
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
一维无限深方势阱
薛定谔方程的应用：
氢原子四个量子数的物理意义
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 填空题：
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
1 用单色光照射某一金属，如果入射光的波长从 λ1=400nm减到λ2=360nm，遏制电压改变多少？数值加 大还是减小？ 2 已知X射线光子的能量是0.6Mev，若在康普顿散射中 散射光子的波长为入射光子的1.2倍，试求反冲电子的 动能。 3 已知电子在垂直于均匀磁场的平面内运动，设电子运 动满足玻尔量子化条件。求电子轨道的半径rn。 4 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子 物质波长的整数倍。试从此点出发解出玻尔的动量矩 量子化条件。 5 已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿 第n玻尔轨道运动时其相应的德布罗意 波长是多少？
2 2 2 5
l /3
l /3
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 光的量子性解题
量子物理学基础

量子力学习题课

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数 (x) 4 sin xcos2 x 描写，求粒子能量的可能值和相应
aa
a
的几率。
8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如 果粒子的状态由波函数 (x) Ax(a x) 描写，A为归一
化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
9.荷电q的谐振子，受到外电场 的作用，V (x) 1 m 2 x2 q x
量子力学习题课（1）
，x 0
1.一粒子在一维势场 U (x) 0， 0 x a 中运动，求粒子的 能级和对应的波函数。 ，x a
2.证明（2.6-14）式中的归一化常数是
A 1 a
3.求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
4.设
(x)

1 2x2
Ae 2
2
求能量本征值和本征函数。
10.设粒子（能量 E 0 ）从左入射，碰到下列势阱 0 （图），求阱壁处的反射系数。
-U
(为常数 )
，求A
=
？
5.试证明 (x)

1 2x2
e2
(2
3x
3

3
x)是线性谐振子的波函数，并
3
求此波函数对应的能量。
6.一维运动的粒子处在
Axe x ,
(x)
0,
其中 0 ，
求：粒子动量的几率分布函数。
当x 0 当x 0
的状态，
7.设粒子在一维无限深阱中运动，如果粒子的状态由波函

第一章 量子力学基础习题课

第一章 量子力学基础习题课

0.867 10 10 m 0.0867nm
3、e 和 cos m 是否为算符 i 的本征函数？若是，求出 d 其本征值。
im
d
解：
d im i e i( imeim ) meim d
ห้องสมุดไป่ตู้
该函数是算符的本征函数，其本征值为－m
d i cos m i( m sin m ) mi sin m d
12、在量子力学中，计算力学量的主要途径是求这力学量的平均值， 当体系处于它的本证态时这个平均值就是 值。 13、电子在一维势阱中运动n=3，节点数为 。 14、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值： 。 15、一个在一维势箱中运动的粒子，其能量随着量子数n的增 大： ；其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大： 。（填增 大或减小） 12h 2 16、立方势箱中的粒子，具有E= 2 的状态的量子数。 nx ny nz 8ma 是 ；
第一章 量子力学基础
主要概念 一、微观粒子的特性 1、波粒二象性 2、几率波 二、量子力学基本假定 1、态函数 2、力学量与算符 3、薛定谔方程 4、态叠加原理 三、一维无限深势阱 1、能量量子化 2、零点能 3、态函数存在节点且正交归一
主要公式
一（1）
E h
P=h/
2
一（2） dW
解：
(1)、
2 1 1 2 0.51l x 1 2 0.51l (2)、 P1 [ x sin x ]0.49 l [ sin x ]0.49 l 2 l 4 l l 2 l 2 2 2 0.51l 2 ( sin x ) dx ( sin x ) dx 0.49 l 0.49 l l l l l 1 0.02 [sin1.02 sin 0.98 ] 0.0399 2

量子力学第一、二章习题课

量子力学第一、二章习题课
前两章的综合与复习
第一部分 状态与波函数
1、量子力学中用波函数描写微观体系的状态 、 2、 态叠加原理：设 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,⋯ψ n ⋯是体系的可能状态，那么， 、 态叠加原理： 是体系的可能状态，那么， 这些态的线性叠加 状态。 状态。
ψ = ∑ cnψ n
n
也是体系的一个可能
3、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： 、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
j= iℏ (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ) 2µ
ρ = ψ ∗ψ 与几率密度
∂ρ +∇⋅ j = 0 满足连续性方程 ∂t
第二部分 一维运动
1、一维无限深势阱 、 本征值 本征函数
0 V ( x) = ∞ 0<x<a x ≤ 0或者x ≥ a
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 2 µa
dm p = dp mc 2
dm p υg = c = =υ dp m
2
的物体， 三、如果我们需要观测一个大小为 2.5 Α 的物体，可用的光子的 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（ ？（要 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（要） 解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同 为了发生散射， 数量级或者更小。 数量级或者更小。故在本问题中能够采用的光的最大波长 ，这样相应的光子的最小能量为： 这样相应的光子的最小能量为：
ℏ2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + V (r , t )Ψ ∂t 2µ
当势场
V (r ) 不显含时间
t
时，其解是定态解
Ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / ℏ
ψ (r ) 满足定态薛定谔方程

第一章 量子力学基础课后习题

第一章 量子力学基础课后习题

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter3

苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter3
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ, B ˆ ⎤ = 0 。对于有三个分量 x，y，z 的算符，在证明中往往只证明 ˆ 对易，就是说， ⎡ A 和B
⎣ ⎦
其中的任一个分量，其余分量类推。 证：
( p × l + l × p ) x = p y l z − pz l y + l y pz − lz p y
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , p z ⎤ ⎦
所以有
(3.1)
ˆ 2α ˆ ˆ ˆ 2 −β ˆ = 2β αβ
（2）如果
(3.2)
ˆ n −1α ˆ n−2 ˆ ˆ n −1 − β ˆ = nβ αβ
成立，利用数学归纳法可以证明第三式，实际上
(3.3)
ˆ n −1 α ˆ n−2 )β ˆ =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(β ˆ ˆ ˆ n = αβ ˆ ˆ n −1 β ˆ + (n − 1) β αβ ˆ n −1 (αβ ˆ n −1 ˆ ˆ ) +(n − 1) β =β ˆ n −1 ( βα ˆ n −1 ˆ ˆ + 1) +(n − 1) β =β ˆ =β
∫
∞
−∞
ˆ ( x)ψ ( x)dx 来算 ψ *n ( x ) F n
ˆ 写成 p ˆ 的对易形式 ˆx 和 H 其平均值，并巧妙的使用薛定谔方程而证得。而方法二是把 F 1 ˆ ⎤ ，进而证得命题。 ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆx, H ˆ x , V ( x) ] = ⎡ p F ⎦ i= i= ⎣ dx
1 ˆ⎤ ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆ x , V ( x)] = ⎡ p ˆx, H F ⎦ i= i= ⎣ dx ˆ 的期望值为 于是在体系束缚定态ψ n ( x) 中，此力 F F= 1 1 ∞ ˆ ⎤ψ ( x)dx ˆ x , V ( x ) ] = ∫ ψ n* ( x ) ⎡ p ˆx, H [p ⎣ ⎦ n −∞ i= i= 1 ∞ * * ˆ ψ ( x)dx − ∞ ( H ˆxH ˆ xψ n ( x)dx = ψ n ( x) p n ∫−∞ ˆψ n ( x)) p ∫ i= −∞ =0

第64讲：习题课10——量子力学习题课与结束语

第64讲：习题课10——量子力学习题课与结束语

第64讲：习题课10——量子力学习题课与结束语内容：习题课（50分钟）总结和启示（50分钟）要求：掌握量子力学的基本原理重点与难点：波尔理论不确定关系薛定额方程因此，不能盲目地相信物理定律或理论的普遍适用性、要从理论和实验结果的差异当中去探索新的天地。

(3)目前的实验技术水平：单个微观粒子的最大能量转移 约1TeV最高的能量分辨率ΔE ／E 约10-16能直接测量的最短时间 约10-16s最小的空间分辨 约3.9×10-17cm很多物理规律、结论就是在这种实验技术水平下(或者比这差得多的水平下)得到的。

例如，认为电子无内部结构，可以看成是点粒子，实际上只是在 3.9×10-17cm 的空间分辨能力下，没有发现电子具有内部结构。

空间分辨能力进一步提高后，很可能会发现电子有结构。

因此，必须重视物理规律的近似性，注意它的适用范围。

不能把现在得到的物理定律、结论看成是永恒不变、绝对正确的。

要注意存在的矛盾，敢于突破，进行创新。

4．继承和创新：有继承才有创新，有创新才有发展。

(1)继承重大理论的创立，都是在继承和总结前人成果的基础上，加以发展才完成的，没有继承就不会有发展和创新。

以下列举几个典型事例。

1)牛顿完成了经典力学体系的建立，他继承了很多前人的工作，例如： 惯性原理(地球水平面)一→牛顿推广总结出第一定律对自由落体规律的研究 加速度的概念笛卡儿、惠更斯关于碰撞问题的研究 笛卡儿关于动量守恒的思想第谷的天文观测一→开普勒的行星运动三定律一→胡克、惠更斯、雷恩、哈雷关于重力、引力的研究一→牛顿提出万有引力定律2）麦克斯韦完成了电磁理论的创立 库仑定律一→高斯定律 奥斯特发现电流的磁效应 一→安培提出环路定理 法拉第提出电磁感应、力线的概念、场的概念 3)爱因斯坦创立了狭义相对论 伽利略的相对性原理 迈克尔逊—莫雷实验 一→洛伦兹提出尺度收缩假说 彭加勒提出以太可能不存在，绝对运动在原则上观察不到正如牛顿所说：“如果说我比笛卡儿看得更远，那是因为我是站在巨人们的肩膀上”。

第一章 量子力学基础课后习题

第一章 量子力学基础课后习题

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

量子力学 第5章 习题课

量子力学 第5章 习题课

0 − e − k1a − 0 − e − k1a =
− k 2 sin k 2 a k 1e − k1a − cos k 2 a cos k 2 a
k 2 cos k 2 a − k 2 sin k 2 a k 1e − k1a = e − k1a [− k 1 k 2 e − k1a cos 2 k 2 a + k 2 e − k1a sin k 2 a cos k 2 a + 2 + k 1k 2 e
2 2 2 1 0 1 1
Ⅱ：
h2 d 2 − ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x) 2 2µ dx
−a≤ x≤a
②
Ⅲ：
h2 d2 − ψ 3 ( x ) + U 0ψ 3 ( x ) = Eψ 3 ( x ) 2 2µ dx
a<x<∞③
整理后，得
2µ (U 0 − E ) ψ ψ1 = 0 Ⅰ： 1′′ − 2 h 2µ E Ⅱ： ψ 2′′ + h 2 ψ 2 = 0 2µ (U 0 − E ) ψ Ⅲ： 3′′ − h 2 ψ 3 = 0
2 k2 k2 k2 2 sin k 2 a cos k 2 a + sin k 2 a − cos 2 k 2 a − sin k 2 a cos k 2 a = 0 k1 k1 k 12 2 k2 2k 2 ( −1 + 2 ) sin 2k 2 a − cos 2k 2 a = 0 k1 k1 2 ( k 2 − k 12 ) sin 2k 2 a − 2k 1 k 2 cos 2k 2 a = 0
(k − k ) sin 2k 2 a − 2k1 k 2 cos 2k 2 a = 0
2 2 2 1

量子力学基础知识习题解答可修改全文

量子力学基础知识习题解答可修改全文

01.量子力学基础知识本章主要知识点一、微观粒子的运动特征 1. 波粒二象性：,hE h p νλ==2. 测不准原理：,,,x y z x p h y p h z p h t E h ∆∆≥∆∆≥∆∆≥∆∆≥3. 能量量子化； 二、量子力学基本假设1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数(,,,)x y z t ψ来描述，它包括体系的全部信息。

这一函数称为波函数或态函数，简称态。

不含时间的波函数(,,)x y z ψ称为定态波函数。

在本课程中主要讨论定态波函数。

由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*ψψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。

在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将*ψψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*d ψψτ为空间某点附近体积元d τ中电子出现的几率。

对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born ）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。

波函数ψ可以是复函数，ψψψ⋅=*2合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。

2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。

算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。

线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算符。

11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 自厄算符：满足**2121ˆˆ()d ()d A A ψψτψψτ=∫∫的算符。

自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。

3. 假设3：若某一物理量A 的算符ˆA作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a 乘以ψ，即：ˆAa ψψ=，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A 具有确定的数字a 。

量子力学基础习题课send

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（3） ( x y )( 1 2 ) x( 1 2 )+y ( 1 2 )
x 1 x 2 y 1 y 2 ( x y ) 1 ( x y ) 2
* * * ( x y ) d ( x y ) d [( x y ) ] 2 2 1 d 1 2 * 1 为实数 坐标算符
2 n x n ( x) sin( ), a a
对比可知
n2 h2 En 8ma 2
n 1, 2, 3,
( x) 2 1 ( x) 3 2 ( x)
根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。 要弄清楚能量是否有确定值，就是要求解函数 ( x) 是否 为哈密顿算符的本征函数，即
dx ==== 0
为奇函数
被积函数
因此
x p
x x
2
1 4
2
p
2
p


满足不确定度关系
1 xp 4

2
判断下列算符是否是线性厄米算符：
d (1) dx
(2)
2
(3) x y
(4)e
x2
解： 线性厄米算符要满足如下两个表达式：
线性算符 厄米算符
ˆ ) A ˆ A ˆ A( 1 2 1 2
结构化学习题课
量子力学基础
2015. 4. 16
REVIEW
------- 能量量子化 ------- 光电效应 “紫外灾难” ------- 波粒二象性 ------- 不确定度关系 量子力学基本假设 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理 箱中粒子的Schrö dinger方程
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1.已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
( x) 2 / a sin(x / a)
求发现粒子的概率为最大的位置．
(0 ≤x ≤a)
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第一章 波粒二象性 发现粒子的概率
量子物理学基础
( x) 2 / a sin 2 (x / a )
概率最大的位置对应
d d 2 ( x) (2 / a sin 2 (x / a)) 0 dx dx
m=1，赖曼系
m=2，巴耳末系（可见光）
m=3，帕邢系 （1）定态假设 玻尔理论
En Em （2）跃迁假设： h
（3）角动量量子化假设
L n
n 1,2,3
理论计算
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4 o n 2 2 2 10 rn n r ( n 1 , 2 , 3 , ) r 0 . 529 10 m 1 1 2 me
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
20.设康普顿效应中入射X射线(伦琴射线)的波长 =0.700 Å，散射的X射线与入射的X射线垂直，求： (1) 反冲电子的动能EK． (2) 反冲电子运动的动量及动量方向与入射的X射线之间的 夹角．
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量子物理学基础 第一章 波粒二象性 解：令、p 和 p 、 分别为入射与散射光子的动量
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
（1） 定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。电子只 能在一定轨道上作圆周运动，且不辐射 能量。 （2） 角动量量子化假设：电子绕核作圆周运动的轨道只 能取决于
PL n
n 1,2,3
（3）跃迁假设：原子从一稳定态过度到另一稳定态吸收 或发出单色电磁辐射。即由光子假说和 能量守恒定律有 En Em h
第一章 波粒二象性

量子物理学基础
1 用单色光照射某一金属，如果入射光的波长从 λ1=400nm减到λ2=360nm，遏制电压改变多少？数值加 大还是减小？ 2 已知X射线光子的能量是0.6Mev，若在康普顿散射中 散射光子的波长为入射光子的1.2倍，试求反冲电子的 动能。 3 已知电子在垂直于均匀磁场的平面内运动，设电子运 动满足玻尔量子化条件。求电子轨道的半径rn。 4 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子 物质波长的整数倍。试从此点出发解出玻尔的动量矩 量子化条件。 5 已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿 第n玻尔轨道运动时其相应的德布罗意 波长是多少？

M
e
s






B
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
2
解：(1) 由
代入：
eBv mv / R
和
v ( ReB) / m
1 2 h mv A 2
hc
R e B 2m hc
2 2 2
1 m R2 e 2 B 2 可得 A 2 m2
0
( 1 1 u2 / c 2 1)m 0 c
0.043A
2h 2 由 ： 0 sin m0c 2
得 sin2 0.2683
62.4 0
其中： 0.030A u c 60% h 6.63 1034 J s 0
m 0 9.11 10 31 Kg
h mv m
量子物理学基础
粒子的波粒二象性小结
m0 v2 1 2 c
德布罗意波
粒 子 的 波 粒 二 象 性
粒子的波粒二象性
h p
E h
E mc 2 h 2meU
实验证明： 戴维孙-革末实验

微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出
现的几率遵从一定的统计规律（几率波）
1 e2 13.6eV En 2 ( ) ( n 1,2,3, ) 2 n 8 o r1 n
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
量子力学小结
是一个复指数函数，本身无物理意义 波函数模的平方 | | 代表时刻t 在 r 波函数 处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在空 间（x,y,z）点的单位体积内的几率
l
量子物理学基础

0
l
2
dx 1
即 c 2 x 2 (l x) 2 d x 1 ，
由此解得 c 2 30 / l 5 ， c 30 / l / l 2 设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则
0
17 P d x 30x [(l x) / l ] d x 81 0 0
量子物理学基础

2
dV 1
2 2 i 0 一维自由运动粒子的薛定谔方程 2 2m x t
2 2 V i 2 2 m x t
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势场中一维运动粒子的薛 定谔方程
第一章 波粒二象性 定态薛定谔方程 7.氢原子光谱
，0。2.2110-32
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
3、 在X射线散射实验中，散射角为1 = 45°和 2=60°的散射光波长改变量之比1：2 =_________________．
4、 分别以频率为ν1和ν2的单色光照射某一光管．若ν1 > ν2(均大于红限频率ν0)，则当两种频率的入射光的光 强相同时，所产生的光电子的最大初动能E1____E2； 所产生的饱和光电流Is1____ Is2． (用＞或=或＜） 0.568.
，散射光子
因光子与电子碰撞时能量守恒，所以电子获 得的动能为 E
K 0
而由相对论： E K mc2 m 0 c 2
0 (
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hc
0

hc

)
m0 c 2 1 u2 / c 2
m0 c 2
第一章 波粒二象性
1
量子物理学基础
0
h
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第一章 波粒二象性 轨道半径
rn 4 o n 2 2 Zme
2
量子物理学基础
n 2 r1
n 1,2,3,
氢原子的能级公式： E n 13.6 eV 2
n
n 1,2,3,
基态能量： E 1 13.6eV
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第一章 波粒二象性 确定氢原子的状态的四个量子数 主量子数
不确定关系
x p x h y p y h z p z h
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第一章 波粒二象性
~ 1
量子物理学基础
氢原子的玻尔理论小结

R( 1 1 ) m 1,2,3,n m 1, m 2 2 2 m n
氢 原 子 的 玻 尔 理 论
实验规律
1 1 1 ~ R( 2 2 ) m n
2
量子物理学基础
2m (r ) 2 ( E V ) (r ) 0
m 1,2,3,
对于确定的 m, n m 1, m 2, 组成一个线系。 对于不同的m，则构成不同的线系。 8.玻尔理论的基本假设
(2)
1 e U a mv 2 2
mv 2 R 2 eB 2 Ua 2e 2m
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
19.在康普顿散射中，入射光的波长为0.030Å， 反冲电子速度为c×60%. 求：散射光子的波长及散射角。 解：由已知，入射光的能量 的能量 hc /
0 hc / 0
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第一章 波粒二象性 1. 0.345V，数值加大
量子物理学基础
2. Ek=0.10Mev
3. 4.
h rn ( ) 2eB
1 2
n
5. 2 na
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第一章 波粒二象性 确定氢原子的状态的四个量子数 主量子数
量子物理学基础
决定电子的能量。
角量子数
决定电子轨道角动量
磁量子数 的空间取向，
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>,<
第一章 波粒二象性 练习题
量子物理学基础
1、在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热阴 极K发射出的电子束经U = 500 V的电势差加速后投射 到晶体上． 这电子束的德布罗意波长l =__________________nm (电子质量me= 9.11×10-31 kg，基本电荷 e =1.60×10-19 C，普朗克常量h =6.63×10-34 J· s) 2、考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波 长的表达式，设EK为粒子的动能，m0为粒子的静止质 量．
2015/12/1
E h
p
h

第一章 波粒二象性 4. 海森堡不确定关系
量子物理学基础
x Px h
t E h
5.波函数
| |
2
*
代表时刻t 在 r 处粒子出现的几率 密度。即：t 时刻出现在空（x,y,z） 点的单位体积内的几率。
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第一章 波粒二象性 波函数的标准化条件 波函数归一化条件 6.薛定谔方程
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第一章 波粒二象性 1、0.0549 2、解：
E K mc 2 m0 c 2
量子物理学基础
(m 0 c 2 / 1 ( v / c ) 2 ) m 0 c 2
m ( EK m0 c ) / c
2
2
2 v c EK 2 E K m 0 c 2 /(E K m 0 c 2 )
2