北京上学期初中八年级期中考试数学试卷(附答案解析)

7.点 在 的平分线上（不与点 重合）， 于点 ， 是 边上任意一点，连接 ．若 ，则下列关于线段 的说法一定正确的是（）
A. B.
C.存在无数个点 使得 D.
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到 的距离为2，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点P在 的平分线上， ， ，
∴点P到 边的距离等于2，
∴点P到 的距离为2，
∵点D是 边上的任意一点，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
8.剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
【详解】解：A、等腰三角形底边上 高线、中线和顶角的角平分线互相重合，故A选项是假命题，符合题意；
B、全等三角形对应边相等，是真命题，不符合题意；
C、三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了判定命题真假，熟知三线合一定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定条件，角平分线的性质是解题的关键．
22.数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．

2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx1. 在下列实数中，无理数是( )A. 13B. √2C. 0D. 92. 36的平方根是( )A. 6B. −6C. 4或9D. ±63. 二次根式√a −1中，字母a 的取值范围是( )A. a <1B. a ≤1C. a ≥1D. a >14. 下列分式中，是最简分式的是( )A. x 2xB. 2x4x−2yC.x 2−y 2x+yD. 2x−35. 下列各式从左到右的变形正确的是( )A. b a=bc ac B. b a=b+ca+cC. ba=b 2a 2D. b a =aba 26. 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为( )A. x =0B. x =1C. x =2D. x =37. 如果把分式2x3x−2y 中的x ，y 都扩大3倍，则分式值( )A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 扩大2倍8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x +1x(x >0)的最小值是2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2(x +1x )；当矩形成为正方形时，就有x =1x (x >0)，解得x =1，这时矩形的周长2(x +1x )=4最小，因此x +1x(x >0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2+4x(x >0)的最小值是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 若分式x−2x的值是0，则x 的值为 ． 10. 比较大小：32______23．11.12a 2b 与23ab 3c的最简公分母是______． 12. 在实数范围内分解因式：x 3−5x =______．13. 若√x 2x=1，请写出一个符合条件的x 的值______．14. 已知1x −1y =3，则分式2x+3xy−2yx−2xy−y 的值为______．15. 若√14的小数部分为a ，整数部分为b ，则a ⋅(√14+b)的值为 ． 16. 对于正数x ，规定f(x)=xx+1.f(1)=11+1=12，f(2)=22+1=23，f(12)=1212+1=13，则： (1)f(x)+f(1x)=______；(2)f(2020)+f(2019)+⋯+f(2)+f(1)+f(12)+⋯+f(12019)+f(12020)=______． 17. 计算：(b2a )2÷(−a3b )×4a b3．18. 计算：a+2b a−b −2a a−b +bb−a． 19. 计算：√b a ×√a 3b ÷√ab ．20. 化简：(x+1x 2−x −x x 2−2x+1)÷1x． 21. 计算：√13+√(−3)2−√27+√−83．22. 解方程：2xx+3+1=72x+6．23. 先化简分式(a 2+2a+1a 2−1−11−a)÷a 2+2aa−1，再从−2，−1，1，√2这4个数中选择一个合适的数作为a 的值代入求值． 24. 列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？ 25. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由(√2+1)(√2−1)=1，可得√2+1与√2−1互为倒数，即√2+1=√2−1或√2−1=√2+1，类似地，(√3+√2)(√3−√2)=1，可得√3+√2=√3−√2或√3−√2=√3+√2．根据小明发现的规律，解决下列问题：√7+√6=______，√n+1+√n=______(n为正整数)；(2)若2√3+a=2√3−a，则a=______；(3)求√2+1√3+√2√4+√3⋯√100+√99的值．26.现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+1x =2+12的解为x1=2，x2=12；x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；(1)猜想关于x的方程x+1x =5+15的解是______；(2)猜想关于x的方程x+1x =a+1a的解是______；(3)用上述方法求关于x的方程x2+x+1x+1=a+1a+1的解．27.小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：√1−12=√2−12=√12，特例2：√2−25=√2×5−25=√2×(5−1)5=2√25，特例3：√3−310=√3×10−310=√3×(10−1)10=3√310，特例4：√4−417=4√417，特例5：√5−526=______(填写运算结果)；(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______；(3)证明你的猜想．(4)应用运算规律：①化简：√9−982×√1643=______；②若√a−a65=8√8b(a,b均为正整数)，则a−b的值为______．28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；①x +33②x −5x ③x −1x +2④x +1x2 (2)请将“和谐分式”x 2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；(3)应用：先化简(x −x x+1)÷x 2−3x x 2−9⋅x+1x 2+6x，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、13是分数，所以是有理数，故本选项错误；B、√2是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；C、0是整数，是有理数，故本选项错误；D、9是整数，是有理数，故本选项错误．故选B．根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】D【解析】解：36的平方根是±6．故选：D．根据平方根的定义进行解答即可．此题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键，注意一个正数有两个平方根．3.【答案】C【解析】解：根据题意得：a−1≥0，解得a≥1．故选C．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4.【答案】D【解析】解：A、x 2x=x，不是最简分式，不符合题意；B、2x4x−2y =x2x−y，不是最简分式，不符合题意；C、x 2−y2x+y=x−y，不是最简分式，不符合题意；D、2x−3，是最简分式，符合题意；故选：D．直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义(分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式)是解题关键．5.【答案】D【解析】解：A、当c≠0时，ba =bcac才成立，所以选项A不正确；B、当a≠b且c≠0时，ba ≠b+ca+c，所以选项B不正确；C、当a=b时，ba =b2a2才成立，所以选项C不正确；D、∵a是分母，∴a≠0，∴ba =aba2，所以选项D正确；故选D．根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．6.【答案】D【解析】解：∵最简二次根式√x+3与最简二次根式√2x是同类二次根式，∴x+3=2x，解得：x=3，故选：D．根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3=2x是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查分式的基本性质，属于基础题．依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得2(3x)3(3x)−2(3y)=6x9x−6y=3(2x)3(3x−2y)=2x3x−2y，可见新分式与原分式相等．故选：B．8.【答案】B【解析】解：x 2+4x(x>0)=x+4x，在面积是，4的长方形中设长方形的一边长为x，则另一边长为4x，长方形的周长是2(x+4x)，∵在面积一定的长方形中，正方形的周长最短，∴当长方形成为正方形时，就有x=4x(x>0)，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，这时长方形的周长2(x+4x)=8最小，因此x+4x(x>0)的最小值是4．∴式子x2+4x(x>0)的最小值是4．故选：B．仿照题干中的方法解答即可．本题考查了分式方程的应用，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．9.【答案】2【解析】解：因为分式x−2的值是0，x所以x−2=0且x≠0，所以x=2．故答案为：2．根据分式的值为零的条件得到x−2=0且x≠0，易得x=2．本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10.【答案】>【解析】解：∵32=9，23=8，∴9>8，即32>23．故答案为：>．分别计算32和23，再比较大小即可．本题考查了有理数的乘方以及有理数的大小比较，是基础知识要熟练掌握．11.【答案】6a2b3c【解析】解：根据最简公分母的定义，这两个分式的的最简公分母为6a2b3c.故答案为：6a2b3c.根据最简公分母的定义解决此题．本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．12.【答案】x(x+√5)(x−√5)【解析】解：原式=x(x2−5)=x(x+√5)(x−√5).故答案为x(x+√5)(x−√5).首先提取公因式，再进一步运用平方差公式．此题考查了实数范围内的因式分解．注意：5=(√5)2．13.【答案】1【解析】解：√x 2x=1，√x 2=x∴|x|=x ，且x ≠0 ∴x 为大于0的一切自然数． 故答案为：1(答案不唯一)．先根据二次根式化简，再结合分母不为0即可得出答案．本题考查了二次根式和分式的定义，熟练掌握二次根式和分式的定义是解决此题的关键．14.【答案】35【解析】解：∵1x −1y =3， ∴x ≠0，y ≠0， ∴xy ≠0． ∴2x+3xy−2y x−2xy−y=2x+3xy−2yxy x−2xy−yxy=2y −2x +31y −1x−2=−2(1x −1y )+3−(1x −1y )−2=−3×2+3−3−2=35． 故答案为：35．由已知条件可知xy ≠0，根据分式的基本性质，先将分式2x+3xy−2yx−2xy−y 的分子、分母同时除以xy ，再把1x −1y =3代入即可．本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把1x −1y =3作为一个整体代入，可使运算简便．15.【答案】5【解析】解：∵3<√14<4，又∵a 是√14的小数部分，b 是它的整数部分， ∴a =√14−3，b =3，∴a ⋅(√14+b)=(√14−3)(√14+3)=14−9=5， 故答案为5．先确定a 、b 的值，代入计算即可．本题考查实数的运算，无理数的估算，得出√14的整数部分和小数部分，即a 、b 的值，是正确计算的前提．16.【答案】1 2020【解析】解：(1)f(x)+f(1x) =xx+1+1x 1x +1 =xx+1+1x+1 =1； 故答案为：1；(2)原式=f(2020)+f(12020)+f(2019)+f(12019)+...+f(2)+f(12)+f(1) =1+1+1+...+1+1 =2020． 故答案为：2020．(1)利用题目给出的已知条件可知，f(x)+f(1x )=x x+1+1x1x+1=x x+1+1x+1=1；(2)利用(1)得到的规律可化简计算出结果．本题考查了分式的加减，有理数的加减，代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练的掌握分式的加减运算．17.【答案】解：原式=−b 24a 2⋅3b a ⋅4ab 3=−3a 2． 【解析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案． 本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．18.【答案】解：a+2b a−b −2a a−b +bb−a=a+2b−2a a−b −ba−b =2b−a−ba−b=b−aa−b=−1．【解析】先把分母化成同分母，再根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．19.【答案】解：原式=√ba ×a3b×1ab=√ab=√abb．【解析】根据二次根式的乘法、除法法则运算，注意结果是最简二次根式．本题主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．20.【答案】解：原式=x+1x(x−1)×x−x(x−1)2×x=x+1x−1−x2(x−1)2=−1(x−1)2【解析】根据分式的运算即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21.【答案】解：√13+√(−3)2−√27+√−83=√33+3−3√3+(−2)=√33+3−3√3−2=−83√3+1．【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．22.【答案】解：去分母得：4x+2x+6=7，移项合并得：6x=1，解得：x=16，经检验，x=16是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23.【答案】解：原式=[(a+1)2(a+1)(a−1)+1a−1]×a−1a2+2a=(a+1a−1+1a−1)×a−1a(a+2)=a+2a−1×a−1 a(a+2)=1a，根据分式有意义的条件，a≠−2且a≠−1且a≠1，且a≠0，所以当a=√2时，原式=√2=√22．【解析】先根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后在−2、−1、1、√2这4个数中选取使原分式有意义的值代入计算即可．本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值以及最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练运用分式的运算法则．24.【答案】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装(x+3)台．由题意得：48x+3=30x，解得：x=5．经检验：x=25是原方程的根，则x+3=8．答：甲队每天安装能够进行双师教学的电脑8台，乙队每天安装能够进行双师教学的电脑5台．【解析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装(x+3)台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，即所用的时间相等，即可列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．25.【答案】√7−√6√n+1−√n±√11【解析】解：√7+√6=√7−√6(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6，√n+1+√n =√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n+1−√n，故答案为：√7−√6，√n+1−√n；(2)∵2√3+a=2√3−a，∴(2√3+a)(2√3−a)=1，∴12−a2=1，∴a=±√11，经检验，a=±√11都满足题意，故答案为：±√11；(3)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+......+√100−√99=√100−1=10−1=9．(1)仿照阅读材料分母有理化即可；(2)解关于m的方程并检验，可得答案；(3)先分母有理化，再相加即可．本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能把二次根式分母有理化．26.【答案】x1=5，x2=15x1=a，x2=1a【解析】解：(1)关于x的方程x+1x =5+15的解为x1=5，x2=15，故答案为：x1=5，x2=15；(2)关于x的方程x+1x =a+1a的解是x1=a，x2=1a，故答案为：x1=a，x2=1a；(3)关于x的方程x2+x+1x+1=a+1a+1化为x+1+1x+1=a+1+1a+1，∴x+1=a+1或x+1=1a+1，∴x1=a，x2=−aa+1．(1)通过给定的例题即可确定；(2)通过给定的例题即可确定；(3)先将原方程变形，通过前面的方法可得x+1=a+1或x+1=1a+1，进一步求解即可．本题考查了解分式方程，看懂给定的例题中方程的解是解题的关键．27.【答案】5√526√n−nn2+1=n√nn2+19√6−57【解析】解：(1)根据规律可得，√5−526=5√526．故答案为：5√526；(2)运算规律为：√n−nn2+1=n√nn2+1．故答案为：√n−nn2+1=n√nn2+1．(3)√n−nn2+1=n√nn2+1，证明如下：∵左边=√n−nn2+1=√n(n2+1)−nn2+1=√n3n2+1=n√nn2+1=右边，∴√n−nn2+1=n√nn2+1；(4)①√9−982×√1643=9√982×√1643=9√982×1643=9√3×2=9√6．故答案为：9√6；②∵√a−a65=8√8b，∴a =8，b =65，∴a −b =8−65=−57．故答案为：−57．(1)根据规律可以直接写结果；(2)根据规律，归纳可得其运算规律；(3)证明等式的左边等于右边即可；(4)①根据运算规律，可以直接写出√9−982的值，再进行计算； ②根据运算规律，求出a 、b 的值，再进行计算即可得其值．本题考查了数的变化规律，通过观察、归纳、得出猜想、证明结论、运用规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．28.【答案】②③【解析】解：(1)①x+33=x 3+33=1+x 3； ②x−5x =x x −5x =1−5x ； ③x−1x+2=x+2−3x+2=x+2x+2−3x+2=1−3x+2； ④x+1x 2=x x 2+1x 2=1x +1x 2；∴上列分式中，属于“和谐分式”的是②③，故答案为：②③；(2)x 2+6x+3x+3=x 2+6x+9−6x+3 =(x+3)2−6x+3 =(x+3)2x+3−6x+3=x +3−6x+3；(3)(x −x x+1)÷x 2−3x x 2−9⋅x+1x 2+6x=x 2+x−x x+1⋅(x+3)(x−3)x(x−3)⋅x+1x(x+6)=x2x+1⋅(x+3)(x−3)x(x−3)⋅x+1x(x+6)=x+3x+6=x+6−3x+6=x+6x+6−3x+6=1−3x+6，当x+6=±1或x+6=±3时，该式的值为整数，此时x=−5，−7，−3或−9，∵分式有意义时，x≠±3，x≠−6，x≠−1，x≠0，∴x=−5，−7或−9时，该式的值为整数．(1)根据和谐分式的定义，进行计算即可解答；(2)利用完全平方公式，进行计算即可解答；(3)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，分式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．。

2020-2021学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.若分式x−3的值为0，则x的值为()x+3A. 3B. −3C. 3或−3D. 03.若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 12D. 8或104.下列计算正确的是()A. (a2b)2=a2b2B. a6÷a2=a3C. (3xy2)2=6x2y4D. (−m)7÷(−m)2=−m55.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为()A. 6B. 7C. 8D. 96.已知x2−mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为()A. 3B. ±3C. 6D. ±67.如图，∠ACD=120°，AB=BC=CD，则∠A等于()A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°8.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9.如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE=BC，D在AC延长线上，PG//AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC：S△PAB=PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF.其中正确的有()A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P是边AC上一定点，此时分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时AP的值为()PCA. 1B. 2C. 3D. 3211.点A(3,−2)关于x轴对称的点的坐标是______．12.因式分解a3b−ab=______．13.若代数式4x−3的值为整数，则整数x的值为______．x−114.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E，若AD=3，BC=5，则△BEC的周长为______．15.如图，∠BAC=90°，AB=AC，l是∠BAC内过顶点A的一条射线，作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D，E，将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，已知MN=10，DE=4，则BM的长度是______．16.如图，在等边△ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为______．17.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)，B(0,4)，在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点P共有______个．18.请你运用所学知识找到破译的“密钥”.目前已破译出“达才”的对应口令是“成德”.根据你发现的“密钥”，破译出“求实”的对应口令是______ ．)−1．19.计算：(3−√3)0+|1−√3|+(−1320. 解方程：x x−2−1=1x+2．21. 已知5x 2−x −1=0，求代数式(3x +2)(3x −2)+x(x −2)的值．22. 先化简，再求值：(2−x−1x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，其中x =2．23. 当m 为何值时，关于x 的方程x+1x−2−x x+3=x+m (x−2)(x+3)的解为负数？24.如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE.求证：△ACD≌△CBE．25.尺规作图：如图，在△ABC中，(1)作△ABC的角平分线AM；(2)作AC边的中线BN．26.若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”.因为5=22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y 是整数)，所以M也是“完美数“．(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；(2)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，井说明理由．(3)如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．27.已知∠AOB=30°，P为射线OB上一点，M为射线OA上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，将线段PM绕点P顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)在射线MA上取点D，点M关于点D的对称点为E，连接EP，当∠PDO=______°时，使得对于任意的点M，总有ON=EP，并证明．28.在平面直角坐标系中，对任意的点P(x,y)，定义P的绝对坐标|P|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此时|A|2+|B|2≤|A′|2+|B′|2成立，则称点A，B相关．(1)分别判断下面各组中两点是相关点的是______；①A(−2,1)，B(3,2)；②C(4,−3)，D(2,4)．(2)(ⅰ)对于点P(x,y)，其中−6≤x≤6，−6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有______个；(ⅰ)求所有满足(ⅰ)条件的所有点中与点E(3,3)相关的点的个数；(ⅰ)对于满足(ⅰ)条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解即可得到答案．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选A．2.【答案】A的值为0，【解析】解：∵分式x−3x+3∴x−3=0，解得：x=3，故选：A．直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．3.【答案】B【解析】解：当腰为4时，周长=4+4+2=10；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为4，这个三角形的周长是10．故选：B．题目给出等腰三角形有两条边长为4和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．【解答】解：A、(a2b)2=a4b2，故A错误；B、a6÷a2=a4，故B错误；C、(3xy2)2=9x2y4，故C错误；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用，首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°(n−2)，即可得方程180(n−2)=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得，180(n−2)=1080，解得，n=8．故选：C．6.【答案】D【解析】解：∵x2−mx+9=x2−mx+32是某个整式的平方的展开式，∴−m=±6，解得：m=±6．故选：D．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵AB=BC，∴∠A=∠ACB，∵∠DBC=∠A+∠ACB，∴∠DBC=2∠A，∵BC=CD，∴∠D=∠DBC=2∠A，∵∠ACD=120°，∴∠A+∠D=∠A+2∠A=180°−120°=60°，∴∠A=20°，故选：C．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：如图：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∠2+∠3=180°−∠C=90°，∠2=∠1，∠3=∠4，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°．故选B．9.【答案】B【解析】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=(12AC⋅PN)：(12AB⋅PM)=AC：AB；故②不正确；∵BE=BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE(三线合一)，故③正确；∵PG//AD，∴∠FPC=∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．10.【答案】B【解析】解：作P点关于AB的对称点E，关于BC的对称点F，连接EF，交AB于M，交BC于N，此时△PMN周长最小，最小值为EF，∵△PMN为等腰三角形，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∵PM=EM，PN=FN，∴EN=FM，在△PEN与△PFM中，{PN=PM∠PNE=∠PMF EN=FM，∴△PEN≌△PFM(SAS)，∴PE=PF，∴PH=PC，∵∠A=30°，∴PH=12AP，∴PC=12AP，∴APPC=2，故选：B．作P点关于AB的对称点E，关于BC的对称点F，连接EF，交AB于M，交BC于N，此时△PMN周长最小，最小值为EF，通过证明△PEN≌△PFM，得出PE=PF，即可得到PH=PC，根据30°角的直角三角形的性质即可证得APPC=2．本题考查了轴对称−最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证得PE=PF是解题的关键．11.【答案】(3,2)【解析】解：点A(3,−2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2)．故答案为：(3,2)．根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12.【答案】ab(a+1)(a−1)【解析】解：a3b−ab=ab(a2−1)=ab(a+1)(a−1)．故答案是：ab(a+1)(a−1)．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13.【答案】2或0【解析】解：∵4x−3x−1=4+1x−1，代数式4x−3x−1的值为整数，∴1x−1为整数，∴x−1=1或x−1=−1，∴x=2或0．故答案是：2或0．将代数式4x−3x−1变形为4+1x−1，从而求出满足条件的整数x 的值．本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答． 14.【答案】11【解析】解：∵AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE =BE ，∵AD =3，∴AB =2AD =6，∴AE +EC =AC =AB =6，∵BC =5，∴△EBC 的周长=BC +BE +CE =BC +AE +CE =BC +AC =6+5=11； 故答案为：11．由AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，易得△EBC 的周长=AC +BC ． 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15.【答案】7【解析】解：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BDA =90°，∠CEA =90°，∵将△ADB 和△AEC 分别沿直线AB ，AC 翻折得到△AMB 和△ANC ，∴△AMB≌△ADB ，△ANC≌△AEC ，∴AM =AD ，BM =BD ，AN =AE ，∠BDA =∠BMA =90°，∠AEC =∠ANC =90°， ∵MN =AM +AN =AM +AD +DE ，∴2AM =MN −DE =10−4=6，∴AM =3，∴AN =MN −AM =10−3=7，∵∠BAC =90°，∴∠BAM +∠CAN =90°，∵∠AMB =90°，∴∠BAM +∠ABM =90°，∴∠ABM =∠CAN ，在△AMB 和△CNA 中，{∠ABM =∠CAN ∠AMB =∠CNA AB =CA，∴△AMB≌△CNA(AAS)，∴BM =AN =7．故答案为：7．由折叠的性质得出AM =AD ，BM =BD ，AN =AE ，∠BDA =∠BMA =90°，∠AEC =∠ANC =90°，求出AM =3，证明△AMB≌△CNA(AAS)，由全等三角形的性质得出BM =AN =7．本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．16.【答案】54【解析】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠C =60°，AB =AC =BC =2，∵DF ⊥AC ，FE ⊥BC ，∴∠AFD =∠CEF =90°，∴∠ADF =∠CFE =30°，∴AF =12AD ，CE =12CF ， ∵点D 是AB 的中点，∴AD =1，∴AF =12，CF =32，CE =34， ∴BE =BC −CE =2−34=54， 故答案为：54．根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF ，CF ，CE ，即可得出BE 的长．本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．17.【答案】5【解析】解：如图所示，共5个点，故答案为：5．以B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴有两个交点．此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．18.【答案】“勤奋”【解析】解：由“达才”的对应口令是“成德”发现，第一个字向下平移一个单位，再向右平移一个单位得到对应的字，第二个字向下平移一个单位，再向左平移一个单位得到对应的字，∴“求实”后的对应口令是“勤奋”，故答案为：“勤奋”．根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题．本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是发现对应字之间的规律．19.【答案】解：原式=1+√3−1−3=√3−3．【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：去分母得：x2+2x−x2+4=x−2，解得：x=−6，经检验x=−6是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.【答案】解：(3x +2)(3x −2)+x(x −2)=9x 2−4+x 2−2x=10x 2−2x −4，∵5x 2−x −1=0，∴5x 2−x =1，∴原式=2(5x 2−x)−4=−2．【解析】【试题解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简进而把已知代入得出答案． 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.【答案】解：(2−x−1x+1)÷x 2+6x+9x 2−1 =2(x +1)−(x −1)x +1⋅(x +1)(x −1)(x +3)2 =2x +2−x +1x +1⋅(x +1)(x −1)(x +3)2 =x +3x +1⋅(x +1)(x −1)(x +3)2=x−1x+3， 当x =2时，原式=2−12+3=15．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．23.【答案】解：解x+1x−2−x x+3=x+m (x−2)(x+3)得x =m−35 由方程的解为负数，得m−35<0，并且m−35≠2，m−35≠−3． 解得m <3且m ≠−12．当m <3且m ≠−12时，关于x 的方程x+1x−2−x x+3=x+m(x−2)(x+3)的解为负数．【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．24.【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠CAB =∠ACB =60°，∴∠DAC =∠BCE =120°，∵AD =CE ，∴△ACD≌△CBE(SAS)．【解析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25.【答案】解：(1)如图，AM 为所作；(2)如图，BN 为所作．【解析】(1)利用基本作图(作已知角的平分线)作∠BAC 的平分线；(2)先作AC 的垂直平分线得到BC 的中点N ，则BN 为△ABC 的中线．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、高．26.【答案】解：(1)∵8=22+22∴8是完美数∵29=52+22∴29是完美数(2)∵S=x2+4y2+4x−12y+k=(x+2)2+(2y−3)2+k−13∴k=13时，S是完美数(3)设m=a2+b2，n=c2+d2∴mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd−2abcd∴mn=(ac+bd)2+(ad−bc)2∴mn是完美数【解析】(1)利用“完美数”的定义可得；(2)利用配方法，将S配成完美数，可求k的值(3)根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”；本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．27.【答案】45【解析】(1)解：图形如图所示：(2)证明：∵∠MPN=150°，∴∠OPM+∠OPN=150°，∵∠MOP+∠OPM+∠OMP=180°，∠POM=30°，∴∠OPM+∠OMP=150°，∴∠OMP=∠OPN．(3)解：当∠PDO=45°时，总有ON=EP．理由：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PH⊥OA于点H，如图2，∵PH⊥DH，∠PDH=45°，∴PH=DH，∵∠AOB=30°，∴OP=2PH，∵∠OMP=∠OPN，∴180°−∠OMP=180°−∠OPN，即∠PMH=∠NPC，在△PHM与△NCP中，{∠PMH=∠NPC ∠PHM=∠NCP PM=CP，∴△PHM≌△NCP(AAS)，∴PH=NC，HM=CP，设PH=DH=x，MH=PC=y，则OP=2x，∴OC=OP+PC=2x+y，∵点M关于点D的对称点为E，∴HE=2MD−HM=2(x+y)−y=2x+y，∴OC=HE，在△OCN与△EHP中，{NC=PH∠NCO=∠PHE=90°OC=HE，∴△OCN≌△EHP(SAS)，∴ON=EP．(1)根据要求画出图形即可．(2)根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．(3)结论：当∠PDO=45°时，总有ON=EP.过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PH⊥OA 于点H，即可构造出△PHM≌△NCP，进而得PH=NC，HM=CP，设PH=DH=x，MH=PC=y，则OP=2x，OC=OP+PC=2x+y，由于点M关于点D的对称点为E，即点D为ME中点，故ME=2MD，EH=ME−MH=2x+y，所以OC=EH，通过证明△OCN≌△EHP证得ON=EP．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】②169【解析】解：(1)①∵A(−2,1)，B(3,2)，∴A′(−2,2)，B′(3,1)，(2+1)2+(3+2)2=34，(2+2)2+(3+1)2=32，34>32，所以此项不符合题意；②∵C(4,−3)，D(2,4)，∴C′(4,4)，D′(4,−3)，(4+3)2+(2+4)2=85，(4+4)2+(2+3)2=89，85<89，所以此项符合题意，故答案为：②；(2)(i)因为−6≤x≤6且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以满足条件的P点有13×13=169个，故答案为：169；(ii)要满足A、B相关，则有(|x1|+|x2|)2+(|y1|+|y2|)2≤(|x1|+|y2|)2+(|x2|+|y1|)2，整理可得：|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，把E(3,3)代入得9+|x2y2|≤3(|x2|+|y2|)，带有绝对值，所以四个象限是对称的，首先考虑第一象限以及x、y轴正向，符合条件的有(0,3)，(0,4)，(0,5)，(0,6)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)共16个，x2、y2也是对称的，所以第一象限以及x、y轴正向有16×2−1=31个点满足条件，所以满足条件的点有4×4+(12×2−1)×4=108(个)；(iii)对(ii)中|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|稍作变换，|x1y1|−|x1y2|≤|x2y1|−|x2y2|，|x1||y1−y2|≤|x2||y1−y2|，因为x1，x2任取，所以|x1|≥|x2|，即|x1|=|x2|，故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等，所以n的最大值为13×2=26．(1)根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件|A|2+|B|2≤|A′|2+ |B′|2，即可得出结论；(2)(i)因为−6≤x≤6且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以满足条件的P点有169个，(ii)根据点A、B相关的定义得到|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，把E(3,3)代入，讨论象限以及坐标轴上的点与E点的相关点的个数，(iii)由(ii)中的|x1y1|+|x2y2|≤|x1y2|+|x2y1|，变换得|x1||y1−y2|≤|x2|+|y1−y2|，从而得知点A、B相关时的条件，从而求得n的最大值．本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用．。

北京上学期初中八年级期中考试数学试卷（考试时间：100分钟 满分：100分）一、选择题：本大题共10小题，每题2分，共20分。

1. 下列平面图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 下列运算正确的是（ ） A. 235a b ab += B .(ab)2=a 2b 2C. 236a a a ⋅=D. 235()a a =3. 如果等腰三角形的一个内角等于110°，则它的底角是（ ） A. 35° B. 55° C. 70° D. 35°或70°4. 已知：21m =，23n =，则2m n +=（ ） A. 2B. 3C. 4D. 65. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确．．．的是（ ）A. ∠B =∠CB. AD ⊥BCC. AD 平分∠BACD. AB =2BD6. 如图，△ACB ≌△DCE ，且∠BCE =60°则∠ACD 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7. 如图，在∠ACB 的两边上分别取点A 、B 使得CA =CB ，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A 、B 处，一条直角边分别落在∠ACB 的两边上，另一条直角边交于点P ，连接CP ，则判定△ACP ≌△BCP 的依据是（ ）A. AASB. ASAC. SSSD. HL8. 点P （2，3）关于x 轴的对称点是（ ） A. （2，-3）B. （-2，3）C. （-2，-3）D. （-3，-2）9. 如图，△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，D 为BC 上的一点，BF =CD ，CE =BD ，则∠EDF 等于（ ）A. 90° -∠AB. 90° -21∠A C. 180° -∠A D. 45° -21∠A 10. 如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM 。