[精华版]北京市 八年级上期末数学试题(有答案)

北京市上学期初中八年级期末考试数学试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 2017年6月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )．2．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22米．将0.000 000 000 22用科学记数法表示为( )．A. 0.22×10-9B. 2.2×10-10C. 22×10-11D. 0.22×10-83．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )． A.x 2-2x-2 B.x 2+1 C.x 2-4x+4 D.x 2+4x+1 4．化简分式277()a ba b ++的结果是( )． A.7a b + B. 7a b + C. 7a b - D. 7a b- 5．在平面直角坐标系xOy 中，点M ，N ，P ，Q 的位置如图所示．若直线y=kx 经过第一、三象限，则直线y=kx-2可能经过的点是( )．A．点M B．点N C．点P D．点Q6．已知12xy=，则3x yy+的值为( )．A．7 B. 17C.52D.257．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为( )．A．14 B．18C．20 D．268．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是( )．A．点A B．点BC．点C D．点D9．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是( )．A ．1200012000100 1.2x x =+ B ．12000120001001.2x x =+ C ．1200012000100 1.2x x =- D ．12000120001001.2x x=- 10.如图，已知正比例函数y 1=ax 与一次函数212y x b =+的图象交于点P ．下面有四个结论：①a<0；②b<0；③当x>0时，y 1>0；④当x<-2时，y 1>y 2．其中正确的是( )．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题（本题共25分，第13题4分，其余每小题3分） 11．要使分式21x -有意义，则x 的取值范围是_________________. 12.点P(3，4)关于y 轴的对称点P'的坐标是______________.13.计算：(1) 223b a ⎛⎫⎪⎝⎭=_________________.(2)21054ab ac c÷=___________________. 14.如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，∠B=∠DEF.要使△ABC ≌△DEF ，则需要再添加的一个条件是________________．（写出一个即可）15.如图，△ABC是等边三角形，AB =6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA=30°，则直线ED与AB的位置关系是_________________，ED的长为_______________.16.写出一个一次函数，使得它同时满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②图象经过点（1，-4）．答：____________________．17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°.(1)作出∠BAC的平分线AM;（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)若∠BAC的平分线AM与BC交于点D，且BD=3，AC=10，则△DAC的面积为_____________________．18.小芸家与学校之间是一条笔直的公路，小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅读分享要用的U盘，便停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上U盘马上赶往学校，同时小芸沿原路返回，两人相遇后，小芸立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小芸到达学校比妈妈到家多用了5分钟.若小芸步行的速度始终是每分钟100米，小芸和妈妈之间的距离y与小芸打完．．后．步行．．电话的时间x之间的函数关系如图所示，则妈妈从家出发__________分钟后与小芸相遇，相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟________________米，小芸家离学校的距离为_________________米．三、解答题（本题共27分，第19、23题每小题6分，其余每小题5分） 19.分解因式：(1) 5a 2+10ab; (2)mx 2－12mx+36m. 解： 解：20.老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：22511x x x +++-，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：老师发现这两位同学的解答都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________________ _________________________________________________________________________； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程．22511x x x +++- 解：21.如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，AE ∥BC ，连接ED 并延长交BC 于点F ．若AD=CD ，求证：ED=FD.证明： 22.解分式方程：2521393x x x +=+--. 解：23.已知一次函数y=kx+b ，当x=2时y 的值为1，当x=-1时y 的值为-5． (1)在所给坐标系中画出一次函数y=kx+b 的图象； (2)求k ，b 的值；(3)将一次函数y=kx+b 的图象向上平移4个单位长度，求所得到新的函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标．解：(2)(3)四、解答题（本题共18分，第24题5分，第25题6分，第26题7分）24.阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4 4的正方形网格沿着网格线划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示.小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：(1)图4的划分方法是否正确？答：____________________________.(2)判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；答：____________________________________________________________________.(3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=3x+l与y轴交于点A．直线l2：y=kx+b 与直线y=-x平行，且与直线l1交于点B(1，m)，与y轴交于点C．(1)求m的值，以及直线l2的表达式；(2)点P在直线l2：y=kx+b上，且PA=PC，求点P的坐标；(3)点D在直线l1上，且点D的横坐标为a，点E在直线l2上，且DE∥y轴．若DE =6，求a的值．解：(1)(2)(3)26.在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．(1)如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC.他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：i)在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与_________________全等，判定它们全等的依据是______________；ii)由∠A= 60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=__________°；……②请直接利用．．．．i），ii）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．证明：(2)如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA.证明：附加题试卷满分：20分一、解答题（本题共12分，每小题6分）1．基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消耗，在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢估算公式，根据体重x（单位：kg）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗y（单位：Kcal），且y是x的函数．已知六名身高约为170cm的15岁男同学的体重，以及计算得到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如下表所示：学生编号 A B C D E F体重x（kg）54 56 60 63 67 70每日所需基础代谢的能量消耗y( Kcal) 1596 1631 1701 1753.5 1823.5 1876请根据上表中的数据回答下列问题：(1)随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗______________；（填“增大”、“减小”或“不变”）(2)若一个身高约为170cm 的15岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量消耗为1792Kcal ，则估计他的体重最接近于( )；A. 59kgB.62kgC.65kgD.68kg(3)当54≤x ≤70时，下列四个y 与x 的函数中，符合表中数据的函数是( )． A.y=x 2B.y=-10.5x+1071C.y=10x+1101D.y=17.5x+6512．我们把正n 边形(n ≥3)的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n ．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a 3=12.图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．(1)如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；(2)已知a 3=12，a 4=20，a 5=30，则图4中a 6=_______________，根据以上规律，正n 边形的“扩展图形”中a n =___________________；（用含n 的式子表示）(3)已知345111111111,,,344556a a a =-=-=-……且345111197300n a a a a ++++=，则n=___________.二、解答题（本题8分）3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：12y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且点C 的坐标为（4，-4）．(1)点A 的坐标为___________，点B 的坐标为______________；（用含b 的式子表示） (2)当b=4时，如图1所示，连接AC ，BC ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (3)过点C 作平行于y 轴的直线l 2，点P 在直线l 2上，当-5<b<4时，在直线l 1平移的过程中，若存在点P 使得△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．解：(2)△ABC的形状是____________________.证明：(3)点P的纵坐标为：__________________.参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A C A D B D二、填空题（本题共25分，第13题4分，其余每小题3分）11. x≠1 12. ( - 3,4) 13. (1)429ba；(2)8bc（各2分）14．答案不唯一．如：∠A=∠D. 15.平行，3．（第一个空1分，第二个空2分）16.答案不唯一．如：y=-4x.17．(1)如图所示；（2分）(2)15（1分）18. 8，60，2100（各1分）三、解答题（本题共27分，第19、23题每小题6分，其余每小题5分）19.解：(1) 5a2+ 10ab= 5a（a+2b）；……………3分(2)mx2－12mx+36m= m(x2－12x+36) …………………………………………4分=m(x－6)2………………………………………………6分20．解：(1)选甲：一，理由合理即可，如：第—个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘x-1；………………………………………2分选乙：二，理由合理即可，如：与等式性质混淆，丢掉了分母；………………………………………2分 （2）22511x x x +++- 2(1)5(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+=++-+-……………………3分225(1)(1)x x x x -++=+-33(1)(1)x x x +=+-……………………………………4分31x -………………………………5分 21．证明：如图， ∵AE ∥BC ， ∴∠1=∠C ，∠E=∠2．…………………………………………2分在△AED 和△CFD 中， ∠1 =∠C, ∠E =∠2, AD=CD,∴△AED ≌△CFD.………………………………………………4分 ∴ED=FD.………………………………5分22.解：方程两边同乘（x+3）（x-3），得5（x-3）+2=x+3．…………………………2分 整理，得5x-15+2=x+3．……………………………………………3分 解得x=4．……………………………………………………4分经检验x=4是原分式方程的解．……………………………………………………5分 所以，原分式方程的解为x=4．23.解：(1)图象如图所示；……………………………………1分(2)∵当x=2时y的值为1，当x=-1时y的值为-5，∴ 2k +b=1，．…………………………3分解得k=2，……………………4分b=-3．(3)∵一次函数y=2x-3的图象向上平移4个单位长度后得到的新函数为y=2x+1，∴令y=0，12x=-；令x=0，y=1．∴新函数的图象与x轴，y轴的交点坐标分别为1(,0),(0,1)2-.……………………………6分四、解答题（本题共18分，第24题5分，第25题6分，第26题7分）24．解：(1)不正确；…………………………………………1分(2)相同，……………………………………………………2分理由合理即可，如：因为将图5沿直线翻折后得到的划分方法与图2的划分方法相同；……………………………………………………………………3分(3)答案不唯一，如：…………………………………………………………………………5分25.解：(1)∵点B(1，m,)在直线l1上，∴m=3×1+1=4.………………………………………………………………1分∵直线l2:y=kx+b与直线y=-x平行，∴k=-1．∵点B(1，4)在直线l2上，∴-1+b=4，解得b=5．∴直线l2的表达式为y=－x+5．………………………………2分(2)∵直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，1).∵直线l2与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5).∵PA=PC．∴点P在线段AC的垂直平分线上，∴点P的纵坐标为1+512=3．……………………………3分∵点P在直线l2上，∴-x+5=3，解得x=2．∴点P的坐标为(2，3)．…………………………4分(3)∵点D在直线l1：y=3x+1上，且点D的横坐标为a，∴点D的坐标为（a，3a+1）．∵点E在直线l2:y=kx+b上，且DE∥y轴，∴点E的坐标为（a，-a+5）．∵DE=6．∴|3a+1-（-a+5）|=6．∴52a=或12-.………6分26.解：(1)①△BMF，边角边，60；……………………………………3分②证明：如图1．∵由i）知△BEF≌△BMF,∴∠2=∠1．∵由ii）知∠1=60°,︒=∠=∠︒=∠∴6013,602∴∠4=180°- ∠1 -∠2=60°.∴∠3=∠4．……………………4分∵CE是△ABC的角平分线，∴∠5=∠6．在△CDF和△CMF中，∠3 =∠4CF=CF,∠5=∠6.∴△CDF≌△CMF.∴CD=CM.∴BE+CD=BM+CM=BC.……………………5分(2)证明：作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，如图2．∵∠A=60°,∠ABC=40°,∴∠ACB=180°-∠A -∠ABC=80°. ∵BD,CE分别是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2=12∠ABC=20°,∠3 =∠ACE =12∠ACB = 40°.∵CN平分∠ACE,∴∠4=12∠ACE=20°.∴∠1=∠4.∵∠5 =∠2 +∠3 = 60°,∴∠5=∠A.∵∠6 = ∠1 +∠5,∠7 = ∠4 +∠A, ∴∠6=∠7.∴CE=CN.∵∠EBC=∠3 =40°,∴BE=CE.∴BE=CN.在△BEF和△CNA中 ,∠5=∠A∠1=∠4,BE=CN,∴△BEF≌△CNA.∴BF=CA.………………………………7分附加题一、解答题（本题共12分，每小题6分）1．解：(1)增大；……………………………………2分(2)C;……………………………………4分(3)D．…………………………6分2．解：(1)如图所示；……………………………………2分(2)42，n(n+1)；…………………………………………4分(3)99．………………………………………………6分二、解答题（本题8分）3．解：(1)（-2b，0），(0，b)；………………………………………………2分(2)等腰直角三角形；……………………………………………………3分证明：过点C作CD⊥y轴于点D，如图，则∠BDC=∠AOB=90°.∵点C的坐标为（4，-4），∴点D的坐标为（0，-4），CD=4．∵当b=4时，点A，B的坐标分别为（-8，0），(0，4)，∴AO=8，BO=4，BD=8．∴AO=BD．BO=CD.在△AOB和△BDC中，AO=BD,∠AOB=∠BDC,BO=CD,∴△AOB≌△BDC. …………………………………4分∴∠1=∠2，AB=BC.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,即∠ABC=90°.∴△ABC是等腰直角三角形．…………………………5分(3) -12，83，8………………………………8分。

北京师大附中上学期初中八年级期末考试数学试卷试卷说明：本试卷满分100分，考试时间为120分钟.一、选择题：（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）2. 2017年12月某种流感病毒肆虐，该种病毒的直径在0. 00000012米左右，该数用科学记数法表示应为（）A. 0.12×10-6B. 12×10-8C. 1.2×10-6D. 1.2×10-73. 下列式子为最简二次根式的是（）A. 3B. 4C. 8D. 1 24. 如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 分式11x--可变形为（）A.11x+B.11x-+C.11x-D.11x--6. 已知一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则该函数的图象一定经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、二、四象限7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是（）A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 以上均不正确8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二. 填空题（本题共16分，每小题2分）9. 2x+在实数范围内有意义，那么x的取值范围是________.10. 计算：26x x xzy y÷=________.11. 如图，BC=EF，∠1=∠F. 请你添加一个适当的条件________，使得△ABC≌△DEF（只需填一个答案即可）.12. 若函数的图象经过点A(1,2)，点B(2,1)，写出一个符合条件的函数表达式________.13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD. 若AD=14，则BC的长为________.14. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=________度.15. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+b交于点P(3,5)，则关于x的不等式kx+6>x+b的解集是________.16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数. “燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少. 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.根据图中提供的信息，下列说法：①以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多②以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少③以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，乙车比丙车省油④以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升正确的是________（填写正确结论的序号）.三、解答题：（本题共68分，第17题4分，第18——23题5分，第24、25题6分，第26题7分，第27题8分，第28题7分） 17. 分解因式：（1）5x 2+10xy+5y 2 （2）9a 2(x-y)+4b 2(y-x) 18. 计算：1276863+⨯- 19. 先化简，再求值：2282242x x x x x x +⎛⎫÷-+ ⎪--⎝⎭，其中21x =-.20. 解方程：3221x x x +=- 21. 已知：如图，点D 在△ABC 的BC 边上，AC ∥BE ，BC=BE ，∠ABC=∠E ，求证：AB=DE.22. 某地区要在区域．．S ．内．（即∠COD 内部．．）建一个超市M ，如图，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A 、B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）23. 2017年5月，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国北京成功召开. 会议期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加30车次. 经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，高峰论坛期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问高峰论坛期间这路公交车每天运行多少车次？24. 画出函数1y x =-的图象.（1）函数1y x =-的自变量x 的取值范围是________； （2）列表（把表格补充完整）x ……-2 -1 0 1 2 3 4 ……y（3）描点、连线（4）结合图象，写出函数的一条性质________________________________________.25. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，AD=CE，求∠BPD的度数.26. 已知一次函数y=-x+4的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P在直线y=2x上.（1）若点P是一次函数y=-x+4的图象与直线y=2x的交点，求△OBP的面积；（2）若点P的坐标为(3,6)，求△ABP的面积；（3）若△ABP的面积为12时，求点P的坐标.27. 已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON于点B，PC⊥ON于C.（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.28. 已知A(2,0)，B(2,4)，定义：若平面内点P关于直线AB的对称点Q在图形M内或图形的边界上，则称点P是图形M关于直线AB的“反称点”.（1）已知C(5,0)，D(5,3)①点M1(0,3)，M2(-0. 5,2)，M3(-2,1)，则是△ACD关于直线AB的“反称点”的是________：②若直线y=2x+m上存在△ACD关于直线AB的“反称点”，求m的取值范围；（2）已知点E(1,0)，F(5,0)，()G，点P(x，y)在直线y=x+1上，且点P是△EFG3,23的反称点，求点P横坐标的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x≥-2 10. 6x 11. AC=DF（或∠A=∠D或∠B=∠DEF）12. y=-x+3 13. 7 14. 15 15. x<3 16. ③④三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18——23题5分，第24、25题6分，第26题7分，第27题8分，第28题7分）17. （1）5(x+y)2（2）(x-y)(3a+2b)(3a-2b)18. 19.12(2)x x+，1220. 经检验，x=3是原分式方程的解.21. △ABC≌△DEB（ASA）22. 点M为线段AB的垂直平分线与∠COD的角平分线交点23. 5600800030x x=-，x=10024. （1）任意实数；（2）见下表；（3）略（4）①函数的最小值为0（或当x=1时，函数取得最小值，且最小值为0）②当x<l时，y随x的增大而减小或当x>l时，y随x的增大而增大.③函数图象关于直线x=l对称25. △ADC≌△BEC，∠BPD=60°26. （1）依题意，得A(4,0)，B(0,4).由42y xy x=-+⎧⎨=⎩，解得：43x=，83y=，∴48,33P⎛⎫⎪⎝⎭，∴114842233 OBP pS OB x=⨯⨯=⨯⨯=（2）∵S △OAB+S△ABP=S△OAP+S△OBP∴111222ABP p p OA OB S OA y OB x⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，∵P(3,6)，∴S△ABP=10 （3）设P(x,2x)，若点P在第一象限时，由（2）可知，103x=，∴1020,33P⎛⎫⎪⎝⎭；右点P在第三象限时，∵S△ABP=S△OAP+S△OBP+S△OAB，∴24,33P⎛⎫--⎪⎝⎭.∴P点坐标为：1020,33⎛⎫⎪⎝⎭或24,33⎛⎫--⎪⎝⎭.27. （1）作PD⊥OM于点D，∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C，∴PC=PD，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD=∠BPC，又∠PDA=∠PCB=90°∴△APD≌△BPC（ASA），∴AP=BP.（2）结论：OA=OB+2BC，理由如下：作PD⊥OM于点D，同（1），可证△APD≌△BPC，∴AD=BC，由△OPD≌△OPC，得OC=OD，∴OA-AD=OB+BC，得OA=OB+2BC.（3）不成立，OA=2BC-OB.28. （1）①M 2；②-4≤m ≤5（2）1523x --≤≤。

八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5=3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．4x2+4x=4x（x+1）D．6x7=3x2•2x56．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48°B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6 B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则x的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则xy= ．14．（3分）x2+kx+9是完全平方式，则k= ．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．[]21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长= ．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA= ．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；[]B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、x2•x3=x5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5=3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．4x2+4x=4x（x+1）D．6x7=3x2•2x5【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、4x2+4x=4x（x+1），是因式分解，故本选项正确；D、6x7=3x2•2x5，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：x2+2x+6x﹣12=x2﹣4，移项合并得：8x=8，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48°B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6 B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则x的值等于 2 ．【解答】解：根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时2x+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为 4 ．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则xy= 6 ．【解答】解：由题意得，x﹣2=0，3﹣y=0，解得x=2，y=3，所以，xy=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）x2+kx+9是完全平方式，则k= ±6 ．【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10 cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：[] 已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥A B．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（x+3）（x﹣3），得x+3（x﹣3）=x+3，解得x=4，经检验：x=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当x=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x 千米/时．根据题意得：﹣=，解得：x=180，经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10 ．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长= 15cm ．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA= 3：1 ．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD： AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。

北京市八年级上册期末数学试卷（3）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）计算2﹣2的结果是（）A．B．﹣C．4 D．﹣42．（3分）下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（）A．﹣xz+yz＝﹣z（x+y）B．3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b）C．6xy2﹣8y3＝2y2（3x﹣4y）D．x2+3x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+3x4．（3分）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．（3分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞26．（3分）分式可变形为（）A．B．C．D．7．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或128．（3分）如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC＝105°，则∠DAE的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．65°9．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（）A．B．1 C．2 D．510．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与直线y＝nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的整数解为（）A．﹣5，﹣4，﹣3 B．﹣4，﹣3 C．﹣4，﹣3，﹣2 D．﹣3，﹣2二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题3分）11．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：x2﹣4y2＝．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标．14．（3分）如图，点B在线段AD上，∠ABC＝∠D，AB＝ED．要使△ABC≌△EDB，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．15．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N．连接MB，若AB＝8，△MBC的周长是14，则BC的长为．16．（2分）对于一次函数y＝﹣2x+1，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是．17．（2分）如图，要测量一条小河的宽度AB的长，可以在小河的岸边作AB的垂线MN，然后在MN上取两点C，D，使BC＝CD，再画出MN的垂线DE，并使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，其中用到的数学原理是：．18．（2分）甲、乙两人都从光明学校出发，去距离光明学校1500m远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚出发4min．设甲行走的时间为t（单位：min），甲、乙两人相距y（单位：m），表示y与t的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法：①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是（填写正确结论的序号）．三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题6分；第26题6分，第27题7分）19．（6分）分解因式：（1）（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）2ax2﹣12ax+18a．20．（6分）计算：（1）（2）．21．（5分）已知a﹣b＝2，求的值．22．（5分）解方程：+1＝23．（5分）已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A＝∠C，∠1＝∠2，OD＝OB．求证：AD＝CB．24．（5分）列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济发展受到了制约，自从“高铁网络”在全国陆续延伸以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅游，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时间少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将正比例函数y＝﹣2x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）画正比例函数y＝﹣2x的图象，并直接写出直线BC的解析式；（2）如果一条直线经过点C且与正比例函数y＝﹣2x的图象交于点P（m，2），求m的值及直线CP的解析式．26．（6分）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+11x+24＝+24＝＝＝（x+8）（x+3）根据以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．27．（7分）已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判断BF 与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．一、附加题：填空题（本题6分）28．（6分）（1）已知，则＝；（2）已知，则＝．二、解答题（本题共14分，每小题7分）29．（7分）观察下列各等式：（﹣8.1）﹣（﹣9）＝（﹣8.1）÷（﹣9），，4﹣2＝4÷2，，……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）填空：﹣4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣＝÷；（4）如果用x表示等式左边第一个实数，用y表示等式左边第二个实数（x≠0且x≠1），①x与y之间的关系可以表示为：（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x时，y有最值（填“大”或“小”），这个最值为．30．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；②连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．北京市八年级上册期末数学试卷答案（3）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）计算2﹣2的结果是（）A．B．﹣C．4 D．﹣4【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：2﹣2＝＝．故选：A．【点评】本题考查了负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握其运算法则是解题关键．2．（3分）下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．（3分）在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（）A．﹣xz+yz＝﹣z（x+y）B．3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b）C．6xy2﹣8y3＝2y2（3x﹣4y）D．x2+3x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+3x【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、﹣xz+yz＝﹣z（x﹣y），故A错误；B、3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b+1），故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式．4．（3分）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、是最简分式，正确．故选：D．【点评】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．5．（3分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2【分析】根据次函数y＝（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得：m＜2．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．6．（3分）分式可变形为（）A．B．C．D．【分析】根据分式的分子、分母、分式改变其中任何两项的符号，分式的值不变，可得答案．【解答】解：﹣＝．故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子、分母、分式改变其中任何两项的符号，分式的值不变．7．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或12【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2＝4，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有10．故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．8．（3分）如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC＝105°，则∠DAE的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．65°【分析】根据全等三角形的性质求出∠ADB的度数，根据邻补角的性质求出∠ADE和∠AED 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝105°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（）A．B．1 C．2 D．5【分析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据三角形的面积公式求出DF的长，根据角平分线的性质定理求出DE的长．【解答】解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BC＝5，△BCD的面积为5，∴DF＝2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝2，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与直线y＝nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的整数解为（）A．﹣5，﹣4，﹣3 B．﹣4，﹣3 C．﹣4，﹣3，﹣2 D．﹣3，﹣2【分析】满足不等式﹣x+m＞nx+5n＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝nx+5n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+5n的解集为x＜﹣2，∵y＝nx+5n＝0时，x＝﹣5，∴nx+5n＞0的解集是x＞﹣5，∴﹣x+m＞nx+5n＞0的解集是﹣5＜x＜﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的整数解为﹣3，﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题3分）11．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1 ．【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题主要考查的是分式的有意义的条件，掌握分式的有意义的条件是解题的关键．12．（3分）分解因式：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标（2，3）．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．（3分）如图，点B在线段AD上，∠ABC＝∠D，AB＝ED．要使△ABC≌△EDB，则需要再添加的一个条件是BC＝DB（只需填一个条件即可）．【分析】由全等三角形的判定方法SAS得出△ABC≌△EDB即可．【解答】解：添加条件为：BC＝DB；理由如下：在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS）；故答案为：BC＝DB（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N．连接MB，若AB＝8，△MBC的周长是14，则BC的长为 6 ．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．（2分）对于一次函数y＝﹣2x+1，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤5 ．【分析】根据一次函数的性质进行计算可以求得y的取值范围．【解答】解：把x＝﹣2代入一次函数y＝﹣2x+1＝5，把x＝3时代入一次函数y＝﹣2x+1＝﹣5，所以函数值y的取值范围是﹣5≤y≤5，故答案为：﹣5≤y≤5．【点评】本题考查了一次函数问题．解题时将x的值代入解答即可．17．（2分）如图，要测量一条小河的宽度AB的长，可以在小河的岸边作AB的垂线MN，然后在MN上取两点C，D，使BC＝CD，再画出MN的垂线DE，并使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，其中用到的数学原理是：ASA，全等三角形对应边相等．【分析】根据题意可得∠ABC＝∠EDC＝90°，再加上条件BC＝CD，对顶角∠ACB＝∠DCE，可利用ASA定理判定△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等可得DE＝AB．【解答】解：∵AB⊥MN，DE⊥MN，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB．故答案为：ASA，全等三角形对应边相等．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质定理．18．（2分）甲、乙两人都从光明学校出发，去距离光明学校1500m远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚出发4min．设甲行走的时间为t（单位：min），甲、乙两人相距y（单位：m），表示y与t的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法：①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是①③（填写正确结论的序号）．【分析】结合函数图象，根据t＝4时y＝120可求甲的速度；t＝10时y＝0，乙追上甲可知此时甲、乙离学校的距离；t＝a时乙达到篮球馆，甲、乙间距离最大；根据：总路程÷甲的速度＝甲所用时间，可得甲的时间．【解答】解：由题意可知乙比甲晚出发4min，当0≤t≤4时甲在行走而乙不动，结合函数图象t＝4时y＝120，故甲行走的速度为30m/min，故①正确；当4＜t≤10时，甲仍然向篮球馆行走，乙在后面追赶甲，当t＝10时，y＝0表示乙追上甲，此时甲、乙距离光明学校10×30＝300（m），故②错误；由②知乙的速度为300÷（10﹣4）＝50m/min，当10＜t≤a时，乙超过甲，甲乙间距离逐渐增大，当乙到达篮球馆时y最大，此时a＝，当t＝34时，甲的路程为34×30＝1020，乙的路程为1500，y＝1500﹣1020＝480，故③正确；甲从光明学校到篮球馆所用时间为1500÷30＝50（min），故④错误．故答案为：①③．【点评】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，此类题是近年中考中的热点问题．三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题6分；第26题6分，第27题7分）19．（6分）分解因式：（1）（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）2ax2﹣12ax+18a．【分析】（1）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可；（2）首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2+3（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+3）；（2）2ax2﹣12ax+18a＝2a（x2﹣6x+9）＝2a（x﹣3）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．20．（6分）计算：（1）（2）．【分析】（1）将分式的除法转化为乘法，然后化简即可；（2）先选括号里面的再根据分式的乘法进行化简即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（5分）已知a﹣b＝2，求的值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a﹣b＝2代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a﹣b＝2时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（5分）解方程：+1＝【分析】本题考查解分式方程的能力，因为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可得最简公分母为（x+1）（x﹣1）．去分母后解整式方程即可，注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x2﹣1），得x2﹣4x+x2﹣1＝2x（x﹣1），2x2﹣4x﹣1＝2x2﹣2x，﹣2x＝1，∴x＝﹣．经检验：x＝﹣是原方程的解，∴原方程的解为x＝﹣．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．23．（5分）已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A＝∠C，∠1＝∠2，OD＝OB．求证：AD＝CB．【分析】证出∠AOD＝∠COB，由AAS证明△AOD≌△COB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD，即∠AOD＝∠COB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等式的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．24．（5分）列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济发展受到了制约，自从“高铁网络”在全国陆续延伸以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅游，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时间少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．【分析】设普快列车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h．然后根据高铁列车比普快列车行驶的时间少8h列方程求解即可．【解答】解：设普快列车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h．根据题意得；＝8．解得；x＝104．经检验x＝104是原分式方程的解．则2.5x＝260．答：高铁列车的平均时速为260km/h．【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据高铁列车比普快列车行驶的时间少8h 列出方程是解题的关键．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将正比例函数y＝﹣2x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）画正比例函数y＝﹣2x的图象，并直接写出直线BC的解析式；（2）如果一条直线经过点C且与正比例函数y＝﹣2x的图象交于点P（m，2），求m的值及直线CP的解析式．【分析】（1）列表后画出函数的图象即可；根据“上加下减”的原则写出直线BC的解析式；（2）代入正比例函数解析式求得P的坐标，然后根据直线BC的解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）列表：作出函数的图象如图：直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；（2）如图，∵直线与正比例函数y＝﹣2x的图象交于点P（m，2），∴2＝﹣2m，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，2），∵直线BC与x交于C，∴C（2，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线CP的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．26．（6分）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+11x+24＝+24＝＝＝（x+8）（x+3）根据以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：（1）x2+8x﹣1＝x2+8x+42﹣42﹣1＝（x+4）2﹣17；（2）如图所示：正确的解答过程：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40＝（x﹣）2﹣＝（x﹣+）（x﹣﹣）＝（x+5）（x﹣8）；（3）证明：x2+y2﹣2x﹣4y+16＝（x2﹣2x+1）+（y2﹣4y+4）+11＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+11≥11，故x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．【点评】本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2配方是解题关键．27．（7分）已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判断BF 与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD＝∠CBE，由等角对等边即可得出BF＝CF．（2）设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠DBF＝60°﹣x，分三种情况：①若FD＝FB，则∠FBD＝∠FDB＞∠A，证出∠FBD＜60°，得出FD＝FB的情况不存在；②若DB＝DF，则∠FBD＝∠BFD＝2x，得出方程60°﹣x＝2x，解方程即可得出结果；③若BD＝BF，则∠BDF＝∠BFD＝2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴BF＝CF．（2）由（1）得：∠BCD＝∠CBE，∠ACB＝60°，设∠BCD＝∠CBE＝x，∴∠DBF＝60°﹣x，若△BFD是等腰三角形，分三种情况：①若FD＝FB，则∠FBD＝∠FDB＞∠A，∴∠FBD＝∠FDB＞60°，但∠FBDxy∠ABC，∴∠FBD＜60°，∴FD＝FB的情况不存在；②若DB＝DF，则∠FBD＝∠BFD＝2x，∴60°﹣x＝2x，解得：x＝20°，∴∠FBD＝40°；③若BD＝BF，如图所示：则∠BDF＝∠BFD＝2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD＝180°，∴60°﹣x+2x+2x＝180°，解得：x＝40°，∴∠FBD＝20°；综上所述：∠FBD的度数是40°或20°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；本题（2）有一定难度，需要通过进行分类讨论才能得出结果．一、附加题：填空题（本题6分）28．（6分）（1）已知，则＝；（2）已知，则＝．【分析】（1）已知等式逆用同分母分式的加法法则变形，即可求出所求式子的值；（2）已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a﹣b＝﹣5ab，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）由＝2，得到1+3•＝2，则＝；（2）由﹣＝5，得到＝5，即a﹣b＝﹣5ab，则原式＝＝＝，故答案为：（1）；（2）．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、解答题（本题共14分，每小题7分）29．（7分）观察下列各等式：（﹣8.1）﹣（﹣9）＝（﹣8.1）÷（﹣9），，4﹣2＝4÷2，，……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的商；（2）填空：﹣4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣ 3 ＝÷ 3 ；（4）如果用x表示等式左边第一个实数，用y表示等式左边第二个实数（x≠0且x≠1），①x与y之间的关系可以表示为：x﹣y＝x÷y（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x＝4 时，y有最小值（填“大”或“小”），这个最值为 2 ．【分析】（1）根据已知运算法则填空即可；（2）设出数为x，利用方程的思想解除这个数即可；（3）答案不唯一，只要写的符合题意即可；（4）根据定义写出x与y之间的关系式，根据x的取值范围，写出y的最值即可．【解答】解：（1）根据运算法则，存在两个数相减等于它们相除，故答案为：差、商．（2）设要填的数为x，∴x﹣4＝，解得：，故答案为：，．（3）﹣3＝÷3．（4）①根据（1）中规律，存在两个数相减等于它们相除，x﹣y＝x÷y，故答案为：x﹣y＝x÷y．②由①得：x﹣y＝x÷y，∴y2﹣xy+x＝0，由判别式可知x（x﹣4）≥0，解得x≤0（舍去）或x≥4再由求根公式得y＝；由于x≥4，故y有最小值，即y min＝＝2故答案为：＝4，小，2．【点评】题目考查了数字的变换，通过数字的变换，考察学生观察、总结问题的能力，题目整体较难，适合学生拓展训练．30．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；②连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）①过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，根据矩形的想知道的BE＝AO，∠ABE＝90°，等量代换得到AB＝BE推出△ABC≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AC＝DE，等量代换即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到BC＝BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠BHC＝90°推出A，C，H，B四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1所示，（2）①OA+AC＝OD，过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，∴BE＝AO，∠ABE＝90°，∵AB＝AO，∴AB＝BE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△BDE，∴AC＝DE，∵OE＝AB＝OA，∴AO+AC＝OD；②如图2由（1）知：△ABC≌△BDE，∴BC＝BD，∵BD⊥BC，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BCD＝45°，∵BH平分∠CBD，∴∠BHC＝90°，∵∠BAO＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，∴四边形ANMH是矩形，∴∠NHM＝90°，∴∠NHC＝∠MHB，∴△CNH≌△BHM，∴HN＝HM，∴AH平分∠CAB，∴∠BAH＝45°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．。

北京市八年级上册期末数学试卷（11）一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．9的算术平方根是﹣3C．8的立方根是±2 D．﹣1的立方根是﹣12．（3分）计算2﹣3的结果是（）A．﹣6 B．﹣8 C．D．3．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）下列变形正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）若函数y＝kx+b（k≠0）的图象如右图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL7．（3分）若将直线y＝kx（k≠0）的图象向上平移3个单位长度后经过点（2，7），则平移后直线的解析式为（）A．y＝2x+3 B．y＝5x+3 C．y＝5x﹣3 D．y＝2x﹣38．（3分）如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE 的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．129．（3分）已知一次函数y＝kx+b，其中kb＞0．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限10．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC ＝3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）11．（2分）函数y＝的自变量x的取值范围是．12．（2分）在，π，，，这五个实数中，无理数是．13．（2分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝．14．（2分）若直线y＝kx（k≠0）经过点（1，3），则该直线关于x轴对称的直线的解析式为．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，P为AC边上一点，PC＝2，∠PBC ＝30°．（1）若PD⊥AB于D，在图中画出线段PD；（2）点P到斜边AB的距离等于．16．（2分）下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中★的个数为．（n为正整数）17．（2分）如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF＝．18．（2分）对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为．三、计算题（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）19．（5分）因式分解：（1）（a+b）2﹣14（a+b）+49；（2）（p﹣4）（p+1）+3p．20．（3分）计算：．21．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．22．（4分）解分式方程：．四、解答题（本题共6小题，共计35分）23．（6分）已知：如图，D为△ABC内一点，AC＝BC，CD平分∠ACB．求证：∠ABD＝∠BAD．24．（5分）已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一动点P（x，y）从点M（1，0）出发，在由A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）四点组成的正方形边线上（如图1所示），按一定方向匀速运动．图2是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）图②中，s与t之间的函数关系式是（t≥0）；（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路程是→→→；（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”、或“N”）（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．26．（6分）某中学初一年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x 名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？27．（6分）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．28．（6分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．北京市八年级上册期末数学试卷答案（11）一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．9的算术平方根是﹣3C．8的立方根是±2 D．﹣1的立方根是﹣1【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别进行判断即可得到正确答案．【解答】解：A、4的平方根为±2，所以A选项错误；B、9的算术平方根为3，所以B选项错误；C、8的立方根为2，所以C选项错误；D、﹣1的立方根为﹣1，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作；也考查了平方根和算术平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）；其中正的平方根叫a的算术平方根．2．（3分）计算2﹣3的结果是（）A．﹣6 B．﹣8 C．D．【分析】根据负整数指数幂的定义解答即可．【解答】解：2﹣3＝＝，故选D．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；解题时牢记定义是关键．3．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据轴对称图形的概念直接求解．【解答】解：根据轴对称图形的概念，第一个和第三个图形是轴对称图形，第二个和第四个图形找不到对称轴，不是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．4．（3分）下列变形正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的性质，进行变形，再判断对错即可．【解答】解：A、＝，此选项错误；B、＝﹣，此选项正确；C、＝，此选项错误；D、＝1，此选项错误．故选：B．【点评】本题考查了分式的性质．解题的关键是灵活利用分式的性质．5．（3分）若函数y＝kx+b（k≠0）的图象如右图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】看x轴及x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：由图象可知x轴及x轴下方的函数图象所对应的自变量对应为2或2的左边．故选：B．【点评】考查一次函数与一元一次不等式的相关知识；掌握函数≤0的解集为x轴及x 轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．6．（3分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】结合题意，根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△POM≌△PON．【解答】解：∵OM＝ON，OP＝OP，∠OMP＝∠ONP＝90°∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选：D．【点评】本题考查了判定直角三角形全等的HL定理，是一道操作题，要会转化为数学问题来解决．7．（3分）若将直线y＝kx（k≠0）的图象向上平移3个单位长度后经过点（2，7），则平移后直线的解析式为（）A．y＝2x+3 B．y＝5x+3 C．y＝5x﹣3 D．y＝2x﹣3【分析】向上平移3个单位长度后直线的解析式为：y＝kx+3，又该直线经过点（2，7），将点代入直线即可求出答案．【解答】解：直线y＝kx（k≠0）的图象向上平移3个单位长度后的解析式为：y＝kx+3，将点（2，7）代入y＝kx+3，得7＝2k+3，解得：k＝2，即平移后直线的解析式为：y＝2x+3．故选：A．【点评】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，能用待定系数法正确求函数的解析式是解此题的关键．8．（3分）如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE 的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．12【分析】根据等边三角形的三个角都是60°，以及角平分线的定义以及三线合一的性质求出∠ACE＝∠CAD＝30°，再根据等角对等边的性质可以求出AE＝CE，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CE＝2DE，再根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边长度的比，△ACE的面积＝2△CDE的面积，△ABC的面积＝2△ACD 的面积，进行计算即可．【解答】解：在等边△ABC中，∠ACB＝∠BAC＝60°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，BD＝CD，∵BE平分∠ABC交AD于E，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACB＝30°，∴∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE，∵∠DCE＝30°，AD⊥BC，∴CE＝2DE（30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴S△ACE＝2S△CDE＝2×1＝2，S△ACD＝S△ACE+S△CDE＝2+1＝3，∵BD＝CD，∴S△ABC＝2S△ACD＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了等边三角形的每一个角都是60°的性质，三线合一的性质，以及等高不等底的三角形的面积等于底边的比的性质的利用，难度不大，只要仔细分析细心运算即可．9．（3分）已知一次函数y＝kx+b，其中kb＞0．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【分析】根据题意，kb＞0，则k、b同号，分k＞0与k＜0情况讨论，分别判断其图象所过的象限，综合可得答案．【解答】解：根据题意，kb＞0，则k、b同号，当k＞0时，b＞0，此时函数图象过一二三象限，当k＜0时，b＜0，此时函数图象过二三四象限，综合可得，所有符合条件的一次函数的图象一定通过第二、三象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象，注意分类讨论思想的运用．10．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，∴BE＝2，∴BD＝1．故选：A．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．二、填空题（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）11．（2分）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥2 ．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．12．（2分）在，π，，，这五个实数中，无理数是π，．【分析】根据无理数的定义判断即可．【解答】解：无理数有：π，．故答案为：π，．【点评】本题主要考查对无理数的定义的理解和掌握，能判断一个数是否是无理数是解此题的关键．13．（2分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝20°．【分析】根据等腰三角形性质和三角形的外角性质可求∠BDC的度数；运用三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AD＝BD，∠A＝40°，∴∠A＝∠ABD＝40°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝80°．∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝80°．∴∠CBD＝180°﹣80°﹣80°＝20°．故答案为 20°．【点评】此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，属基础题．14．（2分）若直线y＝kx（k≠0）经过点（1，3），则该直线关于x轴对称的直线的解析式为y＝﹣3x．【分析】先求出原直线的解析式，寻找原直线解析式上的关于相应的坐标轴对称的点，然后运用待定系数法求解．【解答】解：∵直线y＝kx（k≠0）经过点（1，3），∴该直线为：y＝3x，从直线y＝3x上找两点：（0，0）、（1，3），这两个点关于x轴的对称点是（0，0）（1，﹣3），那么这两个点在直线y＝3x关于x轴对称的解析式y＝kx+b上，则b＝0，k+b＝﹣3，解得：k＝﹣3．∴解析式为：y＝﹣3x．故答案为：y＝﹣3x．【点评】本题考查了待定系数法的运用，解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，P为AC边上一点，PC＝2，∠PBC ＝30°．（1）若PD⊥AB于D，在图中画出线段PD；（2）点P到斜边AB的距离等于 2 ．【分析】（1）分别以点B为圆心、BP为半径，以点A为圆心、AP为半径在AB的另一侧画弧交于一点M，连接PM交AB于D，则PD⊥AB；（2）由已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，所以得∠ABC＝60°，又由∠PBC＝30°得∠PBD＝30°，所以推出△PBC≌△PBD，得点P到斜边AB的距离PD＝PC＝2．【解答】解：（1）分别以点B为圆心、BP为半径，以点A为圆心、AP为半径在AB的另一侧画弧交于一点M，连接PM交AB于D，则PD⊥AB；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又，∠PBC＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，由已知和作图得：∠C＝PDB＝90°，BP＝BP，∴△PBC≌△PBD，∴PD＝PC＝2，即点P到斜边AB的距离等于 2．故答案为：2．【点评】此题考查的知识点是含30°的直角三角形，关键是正确作图通过证明△PBC≌△PBD求点P到斜边AB的距离．16．（2分）下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中★的个数为3n．（n为正整数）【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有1×3＝3个★，第二个图形中有2×3＝6个★，第三个图形中有3×3＝9个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．【解答】解：∵第一个图形有1×3＝3个，第二个图形有2×3＝6个，第三个图形有3×3＝9个，第四个图形有4×3＝12个，…，∴第n个图形共有：n×3＝3n．故答案为：3n．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n个图形有3n 个★．17．（2分）如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF＝40°．【分析】由折叠可得DF＝DA，那么∠DAF＝∠AFD，易得∠FAD的度数，利用三角形的内角和定理可得∠ADF的度数．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠FAD＝70°，由折叠可得DF＝DC，∵D为AC边的中点，∴AD＝DC，∴DF＝DA，∴∠DAF＝∠AFD＝70°，∴∠ADF＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为40°．【点评】考查折叠问题；得到所求角所在的三角形的形状是解决本题的突破点．18．（2分）对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为 1 ．【分析】根据已知min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，利用已知图象利用自变量取值范围得出函数值得大小关系，进而求出函数值，进而比较得出答案．【解答】解：当x＞2时，2x﹣1＞x+1＞2﹣x，∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜0，当1＜x＜2时，2x﹣1＞x+1＞2﹣x，∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜1，当1＝x时，2x﹣1＝2﹣x＜x+1，∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，当1＞x时，2﹣x＞x+1＞2x﹣1，∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0，综上所述：当1＝x时，min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，最大为1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了一次函数的比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，由已知得出函数值，进而比较是解决问题的关键．三、计算题（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）19．（5分）因式分解：（1）（a+b）2﹣14（a+b）+49；（2）（p﹣4）（p+1）+3p．【分析】（1）将（a+b）看作一个整体，运用完全平方公式分解即可；（2）利用了多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，运用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）（a+b）2﹣14（a+b）+49＝（a+b﹣7）2；（2）（p﹣4）（p+1）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．【点评】本题考查了多项式的乘法，公式法分解因式，熟练掌握运算法则和公式的结构特点是解题的关键．20．（3分）计算：．【分析】根据绝对值的性质先求出|4﹣2|的绝对值，再把相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【解答】解：|4﹣2|+3﹣＝4﹣2+3﹣3＝7﹣5．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解题时牢记法则是关键，此题难度不大，易于掌握．21．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x＝3代入求出即可．【解答】解：原式＝[﹣]÷，＝×，＝×，＝，当x＝3时，原式＝＝1．【点评】本题综合考查了分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点的应用，关键是考查学生的运算能力，培养学生的解决问题的能力，题目比较典型，是一道很好的题目．22．（4分）解分式方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：去分母，得 10﹣x＝x+3+5．解得，2x＝2．即x＝1．经检验，x＝1是原方程的解．所以，原方程的解为x＝1．【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．四、解答题（本题共6小题，共计35分）23．（6分）已知：如图，D为△ABC内一点，AC＝BC，CD平分∠ACB．求证：∠ABD＝∠BAD．【分析】证△ACD≌△BCD，推出AD＝BD，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】证明：如图．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2．在△ACD与△BCD中，AC＝BC，∠1＝∠2，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD．【点评】本题主要考查对等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．24．（5分）已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．【分析】（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；（2）关键轴对称性质求出即可．【解答】解：（1）如图所示．画法：①作点M关于射线OP的对称点M'，②连接M'N交OP于点A．③作点N关于射线OQ的对称点N'，④连接N'M交OQ于点B．（2）答：AM+AN与BM+BN的大小关系是：AM+AN＝BM+BN．【点评】本题主要考查对轴对称﹣最短问题的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一动点P（x，y）从点M（1，0）出发，在由A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）四点组成的正方形边线上（如图1所示），按一定方向匀速运动．图2是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）图②中，s与t之间的函数关系式是S＝t（t≥0）；（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路程是M→D→A→N；（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”、或“N”）（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．【分析】（1）根据图②P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象可直接求得s与t之间的函数关系式是：S＝t（t≥0）；（2）直接根据图③P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分可得：P 点的运动路径是，M→D→A→N，把s＝5代入S＝t（t≥0）可得t＝10；（3）结合图①分析点p的坐标即可．当3≤s＜5，即P从A到B时，y＝4﹣s；当5≤s＜7，即P从B到C时，y＝﹣1；当7≤s≤8，即P从C到M时，y＝s﹣8．【解答】解：（1）S＝t（t≥0）；（2）M→D→A→N；（3）当4≤s＜5，即P从A到B时，y＝4﹣s；当5≤s＜7，即P从B到C时，y＝﹣1；当7≤s≤8，即P从C到M时，y＝s﹣8．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．26．（6分）某中学初一年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x 名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？【分析】（1）若x名同学购买书包，那么就有（300﹣x）名同学购买文具盒，现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．全年级共购买了y件学习用品，可列出函数式．（2）设有x名学生购买书包，根据学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，这两个不等量关系可列出不等式组求解．【解答】解：（1）若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1分）（2）设有x名学生购买书包，由题意得（3分）解得（5分）又∵x为6的倍数，∴x＝168，174，180．（7分）∵随x的增大而减小，∴当x＝168，即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多：（9分）【点评】本题考查理解题意能力，根据学生数和如何买文具可列出函数式，再根据学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，可列不等式组求解．27．（6分）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．【分析】（1）直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作MN⊥y轴于点N证得△AOP≌△PNM，得到OP＝NM，OA＝NP．根据PB＝m，用m表示出NM和ON＝OP+NP，根据点M在第四象限，表示出点M的坐标即可．（3）设直线MB的解析式为y＝nx﹣4，根据点M（m+4，﹣m﹣8）．然后求得直线MB的解析式为，从而得到无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．则解∴直线AB的解析式为y＝x﹣4．（2）作MN⊥y轴于点N．∵△APM为等腰直角三角形，PM＝PA，∴∠APM＝90°．∴∠OPA+∠NPM＝90°．∵∠NMP+∠NPM＝90°，∴∠OPA＝∠NMP．又∵∠AOP＝∠PNM＝90°，∴△AOP≌△PNM．（AAS）∴OP＝NM，OA＝NP．∵PB＝m（m＞0），∴NM＝m+4，ON＝OP+NP＝m+8．∵点M在第四象限，∴点M的坐标为（m+4，﹣m﹣8）．（3）答：点Q的坐标不变．设直线MB的解析式为y＝nx﹣4（n≠0）．∵点M（m+4，﹣m﹣8）．在直线MB上，∴﹣m﹣8＝n（m+4）﹣4．整理，得（m+4）n＝﹣m﹣4．∵m＞0，∴m+4≠0．解得n＝﹣1．∴直线MB的解析式为y＝﹣x﹣4．∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．【点评】本题考查了一次函数的综合知识，本题的综合性强，难度较大．28．（6分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．【分析】（1）首先证明△ACD≌△ABE，得出∠1＝∠3，再由∠BAC＝90°，可得∠3+∠2＝90°，结合FG⊥CD可得出∠3＝∠CMF，∠GEM＝∠GME，继而可得出结论．（2）先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．【解答】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，又∵AD＝AE，∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠1＝∠3，∵∠BAC＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠4+∠3＝90°∵FG⊥CD，∴∠CMF+∠4＝90°，∴∠3＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，△EGM为等腰三角形．（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG＝AF+FG．证明：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N．（见右图）∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠FBN＝45°＝∠FBA．∵FG⊥CD，∴∠BFN＝∠CFM＝90°﹣∠DCB，∵AF⊥BE，∴∠BFA＝90°﹣∠EBC，∠5+∠2＝90°，由（1）可得∠DCB＝∠EBC，∴∠BFN＝∠BFA，又∵BF＝BF，∴△BFN≌△BFA（ASA），∴NF＝AF，∠N＝∠5，又∵∠GBN+∠2＝90°，∴∠GBN＝∠5＝∠N，∴BG＝NG，又∵NG＝NF+FG，∴BG＝AF+FG．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第二问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行，第二问另外还可以有如下解法，①设CD、BE的交点为N，连接AN（见下图）．先证AF＝BN，再证FG＝NG，②过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见下图）．先证AH＝BE，再证FM＝FH，同学们可以自己试一下．。

2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列运算式中，正确的是( )A. B. C. D.3. 已知下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是( )A. SASB. SSSC. AASD. ASA4. 计算，结果正确的是( )A. B. C. D.5. 六边形的外角和为( )A. B. C. D.6. 长方形的面积是若一边长是3a，则另一边长是( )A. B. C. D.7. 如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰设，分别为和的好落在边AB的中点处．面积，则和的数量关系是( )A. B. C. D.8. 若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是( )A. 4米，4米B. 4米，10米C. 7米，7米D. 7米，7米，或4米，10米10. 在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，若点A在第一象限，则点C的坐标是( )A. B.C. ，或D. ，或11. 若分式的值等于零，则x的值是__________.12. 分解因式：__________.13. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，添加一个条件，使得≌不增加任何新的字母或线，这个条件可以是__________.14. 如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E为AB的中点，连接则的度数是__________.15.如图，在中，，CD是的平分线，于点E，则的面积为__________.16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，，连接在线段AB上作点M，使得最小，并求点M的坐标．在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：方法①方法②方法③过点P作于点M，则点M为所求.作点P关于直线AB的对称点，连接交AB于点M，则点M为所求.过点P作于点C，过点Q作于点D，取CD中点M ，则点M 为所求.其中正确的方法是__________填写序号，点M的坐标是__________.17. 计算：18. 化简：；19. 如图，已知，，求证：20. 在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式……①……②……③……④……⑤甲同学从第______步开始出错填序号；请你写出正确的解法．21. 先化简，再求值：，其中x从，2，3三个数中任取一个合适的值．22. 如图，在中，，求证：；分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点点D在AC的左侧，连接CD，AD，求的面积．23. 解分式方程：24. 课堂上，老师提出问题：如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在的平分线上．步骤2 作图：如图2，作的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．步骤3 证明：如图2，连接PA，PB，过点P作于点F，于点，，且______填写条件，______填写理由点P在线段AB的垂直平分线DE上，______填写理由点P为所求作的点．25. 在中，，点M在BC的延长线上，的平分线交AC于点的平分线与射线BD交于点依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；求的度数．26. 列分式方程解应用题．当矩形即长方形的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于边衬的宽度应设置为多少厘米？注：27.已知：在中，点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点当时，如图用等式表示，AD与AE的数量关系是：______，BE与AE的数量关系是：______；当是锐角时，如图2；当是钝角时，如图在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y 轴的对称点到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，当时，①点C的坐标是______；②在，，三个点中，______是正方形OABC的“3倍距离点”；当时，点其中是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；点，当时，线段MN上存在正方形OABC的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：A选项，原式，故A错误，C选项，原式，故C错误，D选项，原式，故D错误，故选B根据整式的运算法则即可判断．本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．3.【答案】B【解析】解：由作图得，，在和中，，≌，故选：作图过程可得，，利用SSS判定≌，可得本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．4.【答案】A【解析】解：故选：利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：因为多边形的外角和等于，所以六边形的外角和等于故选：根据多边形的外角和是求解．本题主要考查了多边形的外角和．解题的关键是需要熟记多边形的外角和是6.【答案】B【解析】解：长方形的面积是，一边长是3a，它的另一边长是：故选：直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7.【答案】B【解析】解：由题意得：≌，点为AB的中点，等底同高的两个三角形的面积相等，，，故选：利用折叠的性质得出：≌，则，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，解得，这个多边形是12边形．故选：n边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为是解题关键．9.【答案】C【解析】解：当4米为腰时，另两边为4米，10米．，不合题意舍去，当4米为底边时，另两边为：7米，7米，故选：分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，点C在第三象限．长方形ABCD的邻边长分别为4，6，点C的坐标为或，故选：由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11.【答案】【解析】解：由题意得，且，故答案为：分式的值为0的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12.【答案】【解析】解：故答案为：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13.【答案】答案不唯一【解析】解；添加；，，即，，在和中，，≌故答案为：答案不唯一要使得≌由条件可得到，，再加条件，可以用SAS证明其全等．此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14.【答案】【解析】【分析】考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角及三线合一的性质，难度不大．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求得，然后利用角平分线的定义求得的度数，再利用三角形的内角和求得的度数，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．【解答】解：，，平分，，，为AB的中点，平分，，，故答案为：15.【答案】【解析】解：作于是的平分线，，，，，的面积故答案为：作于F，运用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作于F，应用角平分线的性质．16.【答案】②【解析】解：作点P关于直线AB的对称点，连接交AB于点M，点M即为所求．观察图形可知，方法②正确．故答案为：②，本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】解：【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．18.【答案】解：原式原式【解析】根据积的乘方运算、分式的除法运算即可求出答案．根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．本题考查分式的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、分式的除法运算、平方差公式以及完全平方公式．19.【答案】证明：，，即，在和中，，≌，【解析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．20.【答案】②；原式【解析】根据分式的加减计算得出结论即可；根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．21.【答案】解：，，，，，当时，原式【解析】先利用同分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22.【答案】证明：，，，解：过点D作，交BA的延长线于点E，由题意得：，是等边三角形，，，，的面积，的面积为【解析】利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；过点D作，交BA的延长线于点E，根据题意可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23.【答案】解：去分母得：，解得：，检验：把代入，得，是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，正确记忆解分式方程过程是解题关键.24.【答案】点P在的平分线上;角的平分线上的点到角的两边的距离相等;垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等【解析】利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点P为所求作的点．本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．25.【答案】解：如图，CE即为所求．，，是的平分线，，CE是的平分线，，【解析】根据尺规作图法即可作的平分线；根据角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26.【答案】解：设边衬的宽度设置为x厘米，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【解析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于列出方程，解方程得到答案．本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是关键点，要学会分析题意，提高理解能力．27.【答案】，；①如图：②如图2，在BE上截取，连接CG，由对称性可知，，，，，，，，如图3，在BA的延长线上截取，连接CH，，，，，，，【解析】解：由对称性可知，，，在中，，，，在中，，，故答案为：，；见答案。

北京市朝阳区2022～2023学年度第一学期期末检测八年级数学试卷（选用） 2022.12一、 选择题（共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（A ）3，4，5 （B ）2，5，8 （C ）5，5，10 （D ）1，6，72．利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为 0.000 004 6m ，将0.000 004 6用科学记数法表示应为（A ）71046-⨯ （B ）7106.4-⨯ （C ）61046.0-⨯ （D ）6106.4-⨯ 3．下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是等腰三角形 等边三角形 长方形 正五边形 （A ） （B ） （C ） （D ） 4．下列计算正确的是（A ）322a a a =⋅ （B ）632)(a a = （C ）22)(ab ab = （D ）428a a a =÷ 5．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若AD=3，6=∆ABC S ， 则BE 的长为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）46．正六边形的每个内角的度数为（A ）60º （B ）108º （C ）120º （D ）150º 7．如图，AB=AC ，下列条件 ①∠B=∠C ；②∠AEB=∠ADC ；③AE=AD ；④BE=CD 中，若只添加一个条件就可以证明△ABE ≌△ACD ，则所有正确条件的序号是 （A ）①②（B ）①③（C ）①②③（D ）②③④8．如图， O 是射线CB 上一点，∠AOB ＝60°，OC ＝6cm ，动点P 从点C 出发沿以射线CB 以2cm/s 的速度运动，动点Q 从点O 出发沿射线OA 以1cm/s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，设运动时间为t （s ），当△POQ 是等腰三角形时，t 的值为 （A ） 2 （B ） 2或6 （C ） 4或6 （D ） 2或4或6二、填空题（共24分，每小题3分） 9．若分式31-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧5103.1⨯t 煤所产生的能量，北京陆地面积约是4106.1⨯km 2，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 t 煤所产生的能量.11．计算：12-ab b a ⋅= ．12． 如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °．（第12题） （第14题） 13．分解因式：2282y x -= ．14．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AB =BD =CD ，则∠C= °． 15．图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式: ．（第15题） （第16题）16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，D ，E 为AB 边上的两个动点，且AD =BE ，连接CD ，CE ，若AC =2，则CD +CE 的最小值为______．三、解答题（共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算： 2)()4(y x y x x --+．18． 如图，AB=CD ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，AF=CE ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）求证：AB ∥CD ．19．先化简，再求值： 21412222--a a a a ÷++，其中31=a ．20．解方程431244+=--x x x ．21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC ，△EFD 的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系xOy ，使△ABC 与△EFD 关于y 轴对称，点B 的坐标 为（―4，2）．（1）在图中画出平面直角坐标系xOy ；（2）①写出点B 关于x 轴的对称点B 1的坐标；②画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1，其中 点A 的对称点是A 1，点C 的对称点是C 1．22． 阅读下面材料：直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一.下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法.完成下面问题：（1）请证明方法一中的OC 是∠AOB 的平分线；（2）直接写出方法二中OC 是∠AOB 的平分线的依据．方法一 利用直尺和圆规作角的平分线.已知：∠AOB . 求作：∠AOB 的平分线. 作法：如图①，（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N .（2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C .（3）画射线OC . 射线OC 即为所求.图①方法二 利用三角板画角的平分线. 画已知∠AOB 的平分线. 画法：（1） 将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在∠AOB 的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M ，N ；较长的两条直角边在∠AOB 的内部相交于点C ，且CM=CN .（2）画射线OC . 射线OC 即为所求.图②23. 列分式方程解应用题磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A ,B 两站之间的距离为30km ，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少107小时.求该磁悬浮列车的平均速度.24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．（1）图∠是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z ”字型框架任意框住月历中的5个数（如图∠中的阴影部分），将位置B ，D 上的数相乘，位置A ，E 上的数相乘，再相减，例如：5×19－4×20＝_______，2×16－1×17＝_______，不难发现，结果都 等于______.（请完成填空）“Z ”字型框架 图① 图②（2）设“Z ”字型框架中位置C 上的数为x ，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明.（3）如图∠，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数a ＝_____.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，2），过点（-1，0）作x 轴的垂线l ，点A 关于直线l 对称点为B . （1）点B 的坐标为_______； （2）已知点C （-3，-2），点D （1，-2），在图中描出点B ，C ，D ，顺次连接点A ，B ，C ，D .①在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△且PAB PCD S S =△△，则此时点P 的 坐标为_______，=∆PAB S _______；②在四边形ABCD 外部是否存在点Q ，满足QAD QBC S S =△△且QAB QCD S S =△△，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在△ABC 中， AC =BC ，0°＜∠ACB ＜120°，CD 是AB 边的中线，E 是BC 边上一点，BCD EAB ∠=∠21，AE 交CD 于点F .（1）如图①，判断△CFE 的形状并证明；（2）如图②，∠ACB =90°，①补全图形；②用等式表示CA ，CD ，CF 之间的数量关系并证明.图① 图②北京市朝阳区2022～2023学年度第一学期期末检测八年级数学试卷参考答案及评分标准2022.12一、选择题（共24分，每小题3分）二、填空题（共24分，每小题3分）9. 3≠x 10.91008.2⨯ 11. 3a 12. 360 13. )2(22y x y x -+）（14. 36 15. 答案不唯一，例如：（a +b ）(p +q ) =ap + bp + aq + bq 16. 4 三、解答题（共52分，第17题-25题，每小题5分，第26题7分）17．解：2)()4(y x y x x --+)2(4222y xy x xy x +--+= ……………………………………………………………..3分 .62y xy -= ………………………………………………………………………………..5分18．证明：（1）∵AF=CE ，∴AF -EF= CE - EF ． 即AE=CF ． ∵AB=CD ，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ． …………………………………………..……………..3分 （2）∵△ABE ≌△CDF ，∴∠A=∠C ． ……………………………………………………..……………..4分 ∴AB ∥CD ．……………………………..………………………………………..5分19．解：21412222--a a a a ÷++）（2)2)(2(1)2(2-⋅-+++=a a a a a …………………………………………………3分)2(2++=a a a.1a =………………………………………………………………………………4分当31=a 时， 原式 = 3． …………………………………………………………………………………………5分20．解：431244+=--x x x.方程两边乘)1(4-x ，得）（138-+=x x ………………………………………………………………..2分解得 .25-=x …………………………………………………………………..3分 检验：当25-=x 时，0)1(4≠-x………………………………………………………..4分所以，原分式方程的解为.25-=x…………………………………………………………..5分21. 解：（1）如图. ………………………………………………………………………………..2分（2）①（-4，-2）. ……………………………………………………………………..3分② 如图. …………………………………………………………………………..5分22. （1）证明：∵OM =ON ，CM =CN ，OC =OC ．∴△OCM ≌△OCN ． ∴∠MOC ＝∠NOC ．∴OC 是∠AOB 的平分线. ……………………………………………………3分（2）答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ……..5分23. 解：设地铁的平均速度为x km/h ，则该磁悬浮列车的平均速度为6.25x km/h. ……………1分 由题意知，1072563030=-x .x . ………………………………………………………….3分 解得 x =36. …………………………………………………………………………4分 经检验，x =36是原方程的解，且符合题意．所以6.25x =225．答：该磁悬浮列车的平均速度为225km/h. …………………………………………5分24. 解：（1）15，15，15. ………………………………………………………………………..1分（2）证明：因为位置C 上的数为x ，所以位置B ，D ，A ，E 上的数依次表示为x -7，x +7，x -8，x +8， 则由题意，得)8)(8()7)(7(+--+-x x x x)64()49(22---=x x.15=…………………………………………………………………………………..4分（3）11． ……………………………………………………………………………………..5分25. 解：（1）（-2，2）． ……………………………………………………………………………… 1分（2）①）-，-（321． ……………………………………………………………………… 3分.38…………………………………………………………………………………4分 ②Q （-1，-6）． ………………………………………………………………………5分26. （1）等腰三角形. ……………………………………………………………………………..1分证明：∠AC =BC ，CD 是AB 边的中线，∠CD ∠AB .∠∠ADC =∠CDB =90°.∠∠CFE =∠AFD =90°-∠EAB .∵BCD EAB ∠=∠21， ∠∠B =90°-∠BCD =90°-2∠EAB ， ∠∠CEF =∠B+∠EAB =90°-∠EAB . ∠∠CEF =∠CFE .∠CE =CF . ……………………………………………………………………………..3分 ∠△CEF 是等腰三角形.（2）①补全图形. …………………………………………………………………………..4分②CA ，CD ，CF 之间的数量关系是2CD = CA+CF . ……………………………..5分证明：过点E 作EH ∠AB 于点H .∠AC =BC ，CD 是AB 边的中线，∠ACB =90°， ∠∠CAB =∠B =45°，∠ACD =∠BCD=45°. ∠CD =AD=BD . ∠BCD EAB ∠=∠21， ∠CAB EAB ∠=∠21.∠∠CAE ∠∠HAE . ∠CA =HA ，CE=HE .在Rt∠EHB 中，∠B =45°，∠HE= HB .∠AB=HA+ HB= CA+ CE. ∠AB=2CD ，CE= CF ，∴ 2CD = CA+ CF . ……………………………………………………………..7分。

北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测八年级数学试卷（选用）2024.1（考试时间90分钟 满分100分）学校______班级______姓名______考号______考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题.2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列图形中，不是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.下列计算正确的是（A ）（B ）（C ）（D ）3.2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔，昆、亏.容表示的数值为，柔表示的数值为，昆表示的数值为，亏表示的数值为.一个电子的质量约为克，可以表示为（A ）91柔克（B ）0.91柔克（C ）91亏克（D ）0.091亏克4.在多项式，，，中，完全平方式有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5.右图中的两个三角形全等，则等于（A ）58°（B ）72°（C ）40°（D ）50°2861x x x ÷=33a a a ⋅=()326abab =221a a-+=27102710-30103010-289.110-⨯244a a -+214a +2441b b +-22a ab b ++1∠6.如图，点P 在的内部，点C ，D 分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（A ）（B ）平分（C ）平分（D ）7.在平面直角坐标系中，点经过某些运动得到点，对于点A 的运动描述正确的是（A ）向下平移7个单位长度（B ）向右平移5个单位长度（C ）先向上平移7个单位长度，再关于x 轴作轴对称（D ）先关于x 轴作轴对称，再向下平移5个单位长度8.已知的三边长分别为a ，b ，c ，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（A ），，（B ），，（C ），，（D），，二、填空题（共24分，每题3分）9.分解因式：_______.10.当_______时，分式的值为0.11.图中x 的值为_______.12.如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x 轴上，，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为_______.14.若分式的值为整数，则x 的整数值为_______.15.在一张凸n 边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为720°的凸多边形纸片，则n 的值为_______.AOB ∠OA OB OC OD =OPC △OPD △PC PD =OP AOB ∠PO CPD∠90OCP ODP ∠=∠=︒xOy ()5,6A --()5,1A '--ABC △a b c <<1a +1b +1c +2a 2b 2c2a 2b 2c1a b -+1b c -+1c a -+3ab ab -=x =11x x +-ABCD 90B ∠=︒4AD BC ==6AB =AC BAD ∠ABCD xOy Rt OAB △OB 30ABO ∠=︒421x +16.在中，，D ，E 是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线.上述推断中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）17.计算：.18.计算：.19.解分式方程：.20.化简：，并选择一个适当的t 的值代入求值.21.已知：如图，是等边三角形，D 是上一点，，.求证：是等边三角形.22.如图，在锐角三角形中，D 为边上一点，，在上求作一点P ，使得.（1）通过尺规作图确定点P 的位置（保留作图痕迹）；（2）证明满足此作图的点P 即为所求.23.某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词.24.下面是一些方程和它们的解.的解为，；ABC △AB AC <BC BD BE <AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △AD ABC △AE ABC △()32347a a aa ⋅+-÷()()()22222x y x y x y y -----221111x x x x --=--2222421112t t t t t t t++-÷+--+ABC △AC ABD ACE ∠=∠AE BC ∥ADE △ABC BC B BAD CAD ∠=∠=∠AD APC ADB ∠=∠1122x x +=+12x =212x =的解为，；的解为，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：（1）的解为_______；（2）关于x 的方程的解为_______；（3）关于x 的方程的解为_______.25.如图，在中，D 是上一点（不与点B ，C 重合），将沿直线翻折得到，将平移得到（点B 与点E 为对应点），连接.（1）求证：；（2）连接，若在点D 的运动过程中，始终有，写出需要满足的条件，并证明.26.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量.某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗.称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的.在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水.数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较.方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；1133x x +=+13x =213x =1144x x +=+14x =214x =1155x x +=+11x n x n+=+21111x x a x a -+=+--ABC △BC DA BC DE BD EF DF ADB DEF ≌△△CF AD CF =ABC △111方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同.每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______.实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）.推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水.现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x 斤），证明上面实验中得到的结论.()0a a >()0m m >北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测八年级数学试卷参考答案及评分标准2024.1一、选择题（共24分，每题3分）题号12345678答案DABADCCC二、填空题（共24分，每题3分）题号9101112答案6020题号13141516答案0或5或6或7①②③三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）17.解：18.解：.19.解：去分母，得.解得.经检验，是原分式方程的解.所以原分式方程的解是20.解：()()11ab b b +-1-()4,01-()32347a a aa ⋅+-÷()5127a a a =+-÷55a a =-0=()()()22222x y x y x y y -----()2222244322x xy y x xy y y =-+--+-2222244322x xy y x xy y y =-+-+--xy =-()()21211x x x x +--=-2x =2x =2x =2222421112t t t t t t t ++-÷+--+()()()()222121112t t tt t t t +-=-⋅++-+.答案不唯一.如：当时，原式=2.21.证明：是等边三角形，，.，..，..是等边三角形.22.法一：（1）如图所示.（2）证明：由作图可知..，.，，.点P 即为所求.法二：（1）如图所示.（2）证明：由作图可知.()21211t t t t -=-++21t =+0t = ABC △∴AB AC =60BAC ACB ∠=∠=︒ AE BC ∥∴60CAE ACB ∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠ ABD ACE ∠=∠∴ABD ACE ≌△△∴AD AE =∴ADE △AP CP =∴PAC PCA ∠=∠ B BAD CAD ∠=∠=∠∴B BAD CAD PCA ∠=∠=∠=∠ 180APC CAD PCA ∠+∠+∠=︒180ADB B BAD ∠+∠+∠=︒∴APC ADB ∠=∠∴CP CD =.，，.点P 即为所求.23.解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x 个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词.由题意，得.解得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意.所以.答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词.24.解：（1），；（2），；（3），.25.（1）证明：将沿直线翻折得到，，.将平移得到（点B 与点E 为对应点），，....（2）需要满足的条件为.证明：此时图形如图所示.由（1）可知，.，，.∴CPD CDP ∠=∠ 180APC CPD ∠+∠=︒180ADB CDP ∠+∠=︒∴APC ADB ∠=∠∴3x 3003002.53x x-=80x =80x =3240x =15x =215x =1x n =21x n =1x a =21a x a =- DA BC DE ∴AD ED =ADB EDB ∠=∠ BD EF ∴BD EF =BD EF ∥∴E EDB ∠=∠∴ADB E ∠=∠∴ADB DEF ≌△△ABC △AB AC =ADB DEF≌△△∴AB DF =B DFE ∠=∠ AB AC =∴AC DF =B ACB ∠=∠，....26.数据计算：；；.实验结论：三.推广证明：依题意可得，选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为；选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小.因为，且，，所以.所以.所以.即方案二比方案一的漂洗效果好.因为，且，所以.所以.BD EF ∥∴DFE FDC ∠=∠∴ACB FDC ∠=∠∴ACD FDC ≌△△∴AD CF =12111171121a a m +22a a am+()a a a x a m x ⋅++-222a a am mx x ++-222a m a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2224a ma am ++()()2222a am mx x a am mx x x m x ++--+=-=-m x >0x >()0x m x ->222a am mx x a am ++->+222a a a m a am mx x >+++-()2222222442m m m a am a am mx x mx x x ⎛⎫++-++-=-+=- ⎪⎝⎭2m x ≠202m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭22224m a am a am mx x ++>++-所以.即方案三比方案二的漂洗效果好.综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好.2222224a a m a am mx xa am >++-++。

北京市八年级上册期末数学试卷（13）一、选择题1．（3分）观察下列图形，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算中错误的是（）A．2m（﹣3m2）＝﹣6m3B．（x3）2＝x6C．3a+2b＝5ab D．4a3b÷（﹣2ab）＝﹣2a23．（3分）如图的折线图描述了某化肥厂几年来生产产量变化的情况，其中生产产量增长速度最快的是（）A．从2001年到第2002年B．从2002年到第2003年C．从2003年到第2004年D．从2004年到第2005年4．（3分）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．5．（3分）下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有（）个①有两个内角为60°的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是60°的三角形．A．4 B．3 C．2 D．16．（3分）若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．±16 B．±12 C．12 D．﹣127．（3分）下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DC．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）A．BD+ED＝BCB．DA平分∠EDCC．A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上D．DE平分∠ADB9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝4kx﹣4k与函数y＝kx（k≠0）的图象可以是（）A．B．C．D．10．（3分）若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（﹣3，2a）与点（a，），则这个函数的解析式为（）A．B．y＝x或y＝﹣xC．D．二、填空题11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．12．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是．13．（3分）如图，AB＝AC，若利用“边角边”来判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是．14．（3分）李老师对初二年级同学课余时间喜爱阅读的图书种类进行了调查，如图是李老师通过收集数据后绘制的扇形统计图，在这个统计图中，表示“喜爱文艺类图书”的扇形所对圆心角的度数是度．15．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+1，当m时，y随x增大而减小．16．（3分）已知ab＝1，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为．17．（3分）已知直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到，那么直线y＝kx+b与x轴交点坐标为．18．（3分）如图，在△ABE中，AD⊥BE于D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为22cm，在DE的长为cm．19．（3分）在长方形ABCD中，∠BDC＝32°，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在E 处，则∠CDE＝．20．（3分）观察下列算式：4×1×2+1＝324×2×3+l＝524×3×4+l＝724×4×5+1＝92用代数式表示上述的规律是．三、解答题21．计算：①（m+2）（m﹣2）+（m﹣1）（m+5）②[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x．22．因式分解：①4ax2﹣16ay2②（a+b）2﹣4b（a+b）+4b2．23．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠ABC＝∠DEF．24．为了参加学校年级之间的广播体操比赛，初二年级准备从80名同学中挑出身高相差不多的45名同学参加比赛，为此体育老师收集了80名同学身高的数据，将数据整理后，分成8组，用横轴表示身高，用纵轴表示频数，绘制了不完整的频数分布直方图（如图），已知身高x（cm）在155≤x＜158这一范围的频率为0.175，请你根据图中提供的有关信息，回答以下问题：（1）组距是多少？（2）身高x在155≤x＜158的范围的学生有多少人？（3）补全频数分布直方图；（4）选择身高在哪个范围的学生参加比赛呢？25．作图题：某地区要在S区域内修建一个超市M，如图，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A、B的距离相等，到两条公路OC和OD的距离也相等，这个超市应建于何处（在图上标出它的位置）？要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．26．某公司在推销一种新产品时，在规定时期内为推销员提供了两种获取推销费的方法：方式A：每推销1千克新产品，可获20元推销费；方式B：公司付给推销员300元的基本工资，并且每推销1千克新产品，还可获10元推销费．设推销产品数量为x（千克），推销员按方式A获取的推销费为y A（元），推销员按方式B 获取的推销费为y B（元）．（1）分别写出y A（元）、y B（元）与x（千克）的函数关系式；（2）在所给坐标系中，分别画出它们的函数图象，并根据图象回答：推销员应如何选择获取推销费的方式能更合算？27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE⊥AB于E，交AD于F，AF＝2CD 求：∠ACE的度数．四、填空28．（3分）一种细菌的半径是0.000039m，用科学记数法表示这个数是m．29．（3分）①当x＝时，分式的值为0；②当x＝时，分式有意义．五、解答题30．分式的计算：①②③a﹣2b2（a2b﹣2）﹣3④⑤⑥．31．计算：，并求出a＝﹣1时的值．32．已知：如图，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，E是AD上一点，∠ABE＝15°，点A、点C关于BE对称，且AB＝p，AE＝m，ED＝n，（p、m、n为正整数），求四边形ABCD的面积（用p、m、n、表示）．33．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．34．已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC平分∠BAD，在DA的延长线上任取一点E，连接EC，作∠ECF＝∠BCD，使CF与AB的延长线交于F、连接EF，请画出完整图形，探究：线段BF、EF、ED之间具有怎样的数量关系，并说明理由．北京市八年级上册期末数学试卷答案（13）一、选择题1．（3分）观察下列图形，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，结合选项进行判断即可．【解答】解：只有B选项的图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．故选：B．【点评】此题考查了轴对称图形的特点，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2．（3分）下列计算中错误的是（）A．2m（﹣3m2）＝﹣6m3B．（x3）2＝x6C．3a+2b＝5ab D．4a3b÷（﹣2ab）＝﹣2a2【分析】由单项式乘以单项式、幂的乘方、合并同类项以及整式的除法的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、2m（﹣3m2）＝﹣6m3，故本选项正确；B、（x3）2＝x6，故本选项正确；C、3a+2b不能合并，故本选项错误；D、4a3b÷（﹣2ab）＝﹣2a2，故本选项正确．故选：C．【点评】此题考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、合并同类项以及整式的除法的运算法则．此题难度不大，注意掌握符号与指数的变化是解此题的关键．3．（3分）如图的折线图描述了某化肥厂几年来生产产量变化的情况，其中生产产量增长速度最快的是（）A．从2001年到第2002年B．从2002年到第2003年C．从2003年到第2004年D．从2004年到第2005年【分析】折线统计图中折线越陡的表示增长的速度越快，则从图中可以看出2002年到2003年的折线最陡，即可得到答案．【解答】解：根据折线图得出：2002年到2003年的折线最陡，故选：B．【点评】此题主要考查了折线图，读懂折线统计图，从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．4．（3分）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：A、对x的每一个值，y都有唯一、确定的值与其对应，故是函数关系；B、对x的每一个值，y都有唯一、确定的值与其对应，故是函数关系；C、对x的每一个值，y都有唯一、确定的值与其对应，故是函数关系；D、对x的每一个值，y的值不唯一，故不是函数关系．故选：D．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．5．（3分）下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有（）个①有两个内角为60°的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是60°的三角形．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①一个三角形有两个角为60°，利用内角和定理得到第三个也为60°，可得出此三角形三内角相等，利用等角对等边得到三条边相等，故此三角形为等边三角形；②外角都相等，利用外角与相邻的内角互补，得到三内角相等，进而确定出三角形为等边三角形；③等腰三角形底边上的高为这边的中线，但不一定为等边三角形；④有一个角为60°的三角形不一定为等边三角形，比如Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°．【解答】解：①有两个内角为60°的三角形，由三角形的内角和定理得到第三个角为60°，可得此三角形三内角相等，即三角形为等边三角形，本选项符合题意；②若一个三角形三外角都相等，可得出三内角相等，故此三角形为等边三角形，本选项符合题意；③一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形，不一定为等边三角形，本选项不合题意；④有一个角是60°的三角形不一定为等边三角形，例如：Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则是等边三角形的个数有2个．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的判定，其中等边三角形的判定方法有：三边相等的三角形为等边三角形；三内角相等的三角形为等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．6．（3分）若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．±16 B．±12 C．12 D．﹣12【分析】这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3积的2倍．【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴4x2+mx+9＝（2x±3）2＝4x2±12x+9，∴m＝±12，m＝±12．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．7．（3分）下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DC．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF【分析】从各选项提供的已知条件思考，根据三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中D选项符合AAS，能判断△ABC≌△DEF，其他选项不能判定三角形全等．．【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E，SSA不能确定全等；B、∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D，AB＝EF不是对应边，不能确定全等；C、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AAA不能确定全等；D、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）A．BD+ED＝BCB．DA平分∠EDCC．A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上D．DE平分∠ADB【分析】分别利用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的性质进行判断即可得到正确的答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴∠ADE＝∠ADC∴B正确；∴DE＝DC，∴BD+ED＝BD+DC＝BC∴A正确；∵AD＝AD∴Rt△ADE≌Rt△ADC∴AE＝AC∴点A在EC的平分线上，∵DE＝DC，∴点D在EC的垂直平分线上，∴A、D两点在线段EC的垂直平分线上．故C正确，故选：D．【点评】本题考查了分别利用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的性质，正确的利用这些性质是解题的关键．9．（3分）在同一坐标系中，函数y＝4kx﹣4k与函数y＝kx（k≠0）的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】此题k的取值要分两种情况分别进行分析，①k＞0，②k＜0，根据一次函数和正比例函数的性质确定每一个函数所在象限，进而选出答案．【解答】解：当k＞0时，y＝4kx﹣4k的图象经过第一、三、四象限，y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，当k＜0时，y＝4kx﹣4k的图象经过第一、二、四象限，y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，只有A选项符合，故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象，一次函数y＝kx+b的图象经过的象限由k、b的值共同决定，分如下六种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限；⑤当k＞0，b＝0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三象限；⑥当k＜0，b＝0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限．10．（3分）若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（﹣3，2a）与点（a，），则这个函数的解析式为（）A．B．y＝x或y＝﹣xC．D．【分析】根据一次函数的图象过原点得出一次函数式正比例函数，设一次函数的解析式是y＝kx，把点（﹣3，2a）与点（a，）代入得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵一个函数的图象是经过原点的直线，∴设一次函数的解析式是y＝kx，把点（﹣3，2a）与点（a，）代入得：，由①得：a＝﹣k③，把③代入②得：＝﹣×（﹣k）k，k2＝，k＝±，∴y＝x或y＝﹣x，故选：D．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，主要考查学生运用性质进行计算的能力．二、填空题11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≠3 ．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．13．（3分）如图，AB＝AC，若利用“边角边”来判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是AE＝AD．【分析】需要添加的条件为AE＝AD，由已知AB＝AC，且∠A为公共角，利用SAS即可得出△ABE≌△ACD．【解答】解：需要添加的一个直接条件是AE＝AD，理由为：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：SAS；ASA；AAS；SSS；以及HL（直角三角形判定全等的方法）．14．（3分）李老师对初二年级同学课余时间喜爱阅读的图书种类进行了调查，如图是李老师通过收集数据后绘制的扇形统计图，在这个统计图中，表示“喜爱文艺类图书”的扇形所对圆心角的度数是162 度．【分析】根据45%×360°就是所占的圆心角度数从而求出即可．【解答】解：在扇形统计图中，“喜爱文艺类图书”部分所对应的圆心角的度数是：45%×360°＝162°，故答案为：162．【点评】本题考查了扇形统计图，关键是从图中获得信息，扇形统计图告诉所占总体的比例．15．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+1，当m＜时，y随x增大而减小．【分析】由一次函数y＝（2m﹣1）x+1的函数值y随x的增大而减小，由一次函数的增减性可得出2m﹣1＜0．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+1的函数值y随x的增大而减小，∴x的系数2m﹣1＜0解得：m＜．故答案为：＜．【点评】主要考查了函数的增减性．一次函数中当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小．16．（3分）已知ab＝1，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 4 ．【分析】先根据完全平方公式展开，再合并，最后把ab的值代入计算即可．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，当ab＝1时，原式＝4×1＝4．故答案是4．【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是注意掌握完全平方公式，以及整体代入．17．（3分）已知直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到，那么直线y＝kx+b与x轴交点坐标为（﹣4，0）．【分析】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令y＝0求解即可得解．【解答】解：∵直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到，∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣0.5x﹣2，令y＝0，则y＝﹣0.5x﹣2，解得x＝﹣4，所以与x轴的交点坐标为（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．18．（3分）如图，在△ABE中，AD⊥BE于D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为22cm，在DE的长为11 cm．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AC＝AB＝CE，根据三角形的周长得出AC+DC＝11，求出CD+CE即可．【解答】解：∵BD＝DC，AD⊥BE，∴AB＝AC，∵C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∵△ABC的周长是22cm，∴AC+AB+BD+CD＝22cm，∴AC+CD＝11cm，∴DE＝CD+CE＝CD+AC＝11cm，故答案为：11．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，关键是得出DE＝CD+CE＝AC+CD和求出AC+CD 的值．19．（3分）在长方形ABCD中，∠BDC＝32°，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在E 处，则∠CDE＝26°．【分析】首先计算出∠ADB的度数，再根据折叠方法可得：∠ADB＝∠BDE，再用∠BDE﹣【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝32°，∴∠ADB＝90°﹣32°＝58°，由折叠的方法可得：∠ADB＝∠BDE＝58°，则：∠CDE＝58°﹣32°＝26°，故答案为：26°．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，弄清楚图形折叠后∠ADB＝∠BDE，求出∠ADB 的度数是解决问题的关键．20．（3分）观察下列算式：4×1×2+1＝324×2×3+l＝524×3×4+l＝724×4×5+1＝92用代数式表示上述的规律是4a（a+1）+1＝（2a+1）2．【分析】等式的左边是两个连续自然数的积的4倍与1的和，等式的右边进一步利用完全平方公式即可找出答案．【解答】解：∵4×1×2+1＝（2×1+1）＝32，4×2×3+l＝（2×2+1）＝52，4×3×4+l＝（2×3+1）＝72，4×4×5+1＝（2×4+1）＝92，∴规律是：4a（a+1）+1＝（2a+1）2．故答案为：4a（a+1）+1＝（2a+1）2．【点评】本题考查了规律型：数字的变化，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．三、解答题21．计算：①（m+2）（m﹣2）+（m﹣1）（m+5）②[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x．【分析】①原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，②原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后再利用多项式除以单项式的法则计算，即可得到结果．【解答】解：①原式＝m2﹣4+m2+5m﹣m﹣5＝2m2+4m﹣9；②原式＝[x2+2xy+y2﹣（2xy+y2）﹣8x]÷2x＝（x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8x）÷2x＝（x2﹣8x）÷2x＝x﹣4．【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则，以及去括号、合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．22．因式分解：①4ax2﹣16ay2②（a+b）2﹣4b（a+b）+4b2．【分析】（1）首先提取公因式4a，然后利用平方差公式分解；（2）首先利用完全平方差公式分解，然后进行化简即可求解．【解答】解：（1）原式＝4a（x2﹣4y2）＝4a（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式＝（a+b﹣2b）2＝（a﹣b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠ABC＝∠DEF．【分析】根据等式的性质求出BC＝EF，根据全等三角形的判定定理SSS证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∵，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．24．为了参加学校年级之间的广播体操比赛，初二年级准备从80名同学中挑出身高相差不多的45名同学参加比赛，为此体育老师收集了80名同学身高的数据，将数据整理后，分成8组，用横轴表示身高，用纵轴表示频数，绘制了不完整的频数分布直方图（如图），已知身高x（cm）在155≤x＜158这一范围的频率为0.175，请你根据图中提供的有关信息，回答以下问题：（1）组距是多少？（2）身高x在155≤x＜158的范围的学生有多少人？（3）补全频数分布直方图；（4）选择身高在哪个范围的学生参加比赛呢？【分析】（1）每组两个数据之差即为组距得出答案即可；（2）根据频率乘以样本容量即可得出答案；（3）根据（2）中所求数据，进而求出身高x在161≤x＜164的范围的学生人数，进而画出图象即可；（4）根据频数表，分析出在155≤x＜164范围内有48名同学，得出答案．【解答】解：（1）组距为152﹣149＝3（cm）；（2）∵体育老师收集了80名同学身高的数据，身高x（cm）在155≤x＜158这一范围的频率为0.175，∴身高x在155≤x＜158的范围的学生有：80×0.175＝14（人），（3）∵身高x在155≤x＜158的范围的学生有14人，∴身高x在161≤x＜164的范围的学生有：80﹣14﹣4﹣8﹣22﹣10﹣6﹣4＝12（人），如图所示：；（4）应选身高在155≤x＜164范围内的学生参加比赛．因为这个范围内有48名同学，并且身高比较接近，从中选出的40名同学参加比赛，队伍比较整齐．【点评】本题主要考查了利用频率求频数，以及频数分布直方图的画法，培养学生利用所学统计知识分析数据、解决实际问题的能力．25．作图题：某地区要在S区域内修建一个超市M，如图，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A、B的距离相等，到两条公路OC和OD的距离也相等，这个超市应建于何处（在图上标出它的位置）？要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．【分析】首先利用做已知角平分线的方法作∠COD的平分线OP，再做AB的垂直平分线EF，两线的交点处就是M所在位置．【解答】解：如图所示：点M即为所求．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．26．某公司在推销一种新产品时，在规定时期内为推销员提供了两种获取推销费的方法：方式A：每推销1千克新产品，可获20元推销费；方式B：公司付给推销员300元的基本工资，并且每推销1千克新产品，还可获10元推销费．设推销产品数量为x（千克），推销员按方式A获取的推销费为y A（元），推销员按方式B 获取的推销费为y B（元）．（1）分别写出y A（元）、y B（元）与x（千克）的函数关系式；（2）在所给坐标系中，分别画出它们的函数图象，并根据图象回答：推销员应如何选择获取推销费的方式能更合算？【分析】（1）根据：每推销1千克新产品，可获20元推销费，得出y A＝20x，再利用公司付给推销员300元的基本工资，并且每推销1千克新产品，还可获10元推销费，y B＝300+10x即可得出函数关系式；（2）先根据y A、y B与x之间的函数关系式分别取两个点，连接即可；根据两个图象的交点坐标，即可判断哪种推销方式较为合算．【解答】解：（1）由题意得出：y A＝20x，y B＝300+10x；（2）由y A＝20x，当x＝0，则y＝0，当x＝10，则y＝200，画出图象即可，由y B＝300+10x，当x＝0，则y＝300，当x＝10，则y＝400，在图象内描出各点，画出图象即可．当20x＝300+10x，解得：x＝30，故当推销30千克时，两种方式推销费相同，当超过30千克时，方式A合算，当低于30千克时，方式B合算．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数关系式，解题过程中应注意数形结合，使求解过程变得简单．27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE⊥AB于E，交AD于F，AF＝2CD 求：∠ACE的度数．【分析】根据等腰三角形性质得出BD＝DC，AD⊥BC，推出BC＝2CD，得出AF＝BC，求出∠AEF＝∠BEC和∠EAF＝∠FCD，根据AAS证△AEF≌△CEB，推出AE＝CE，即可求出∠ACE ＝∠EAC＝45°．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC，AD⊥BC，即BC＝2CD，∵AF＝2CD，∴AF＝BC，∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠DFC，∠AEF+∠AFE+∠EAF＝180°，∠DFC+∠FDC+∠FCD＝180°，∴∠EAF＝∠FCD，在△AEF和△CEB中∵，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AE＝CE，∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识点，关键是求出AE＝CE，题目比较典型，是一道比较好的题目．四、填空28．（3分）一种细菌的半径是0.000039m，用科学记数法表示这个数是 3.9×10﹣5m．【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 039m＝3.9×10﹣5m．答：一种细菌的半径是0.000039m，用科学记数法表示这个数是3.9×10﹣5m．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．29．（3分）①当x＝ 3 时，分式的值为0；②当x＝±2 时，分式有意义．【分析】①当分子x2﹣9＝0且x+3≠0时，分式的值为零；②当分母x2﹣4≠0时，分式有意义．【解答】解：①根据题意，得x2﹣9＝0且x+3≠0，解得，x＝3；故答案是：3；②根据题意，得x2﹣4≠0，解得，x≠±2；故答案是：±2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．五、解答题30．分式的计算：①②③a﹣2b2（a2b﹣2）﹣3④⑤⑥．【分析】①首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解；②首先通分，化成同分母的分式的加减，然后进行分式的减法运算即可求解；③首先计算乘方，然后进行乘法运算即可求解；④首先把括号内的分式通分相加，然后把除法转化成乘法，然后进行乘法即可求解；⑤首先通分，化成同分母的分式的加减，然后进行分式的减法运算即可求解；⑥首先计算乘方，然后进行乘法运算即可求解．【解答】解：①原式＝﹣＝＝；②原式＝++＝＝；③原式＝a﹣2b2•a﹣6b6＝a﹣8b8；④原式＝÷[﹣]＝÷＝÷＝•＝﹣；⑤原式＝﹣＝＝；⑥原式＝4a﹣2b2•a﹣2b2＝2a﹣4b4＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．31．计算：，并求出a＝﹣1时的值．【分析】先算括号里面的减法（通分后相减），同时把除法变成乘法，再进行乘法计算（约分），最后代入求出即可．【解答】解：＝[﹣]•＝•＝﹣当a＝﹣1时，原式＝﹣＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是检查学生能否正确进行化简，题目比较典型，是一道比较好的题目．32．已知：如图，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，E是AD上一点，∠ABE＝15°，点A、点C关于BE对称，且AB＝p，AE＝m，ED＝n，（p、m、n为正整数），求四边形ABCD的面积（用p、m、n、表示）．【分析】利用对称的性质得出对应线段以及对应角相等以及NC＝m，再利用四边形ABCD 的面积＝S△CDE+S△ABE+S△EBC求出即可．【解答】解：连接AC，EC，延长BCAD交于点F，作CN⊥DF于点N，∵点A、点C关于BE对称，∠ABE＝15°，∠DAB＝90°，∴∠ECB＝90°，∠ABE＝∠EBC＝15°，AE＝EC，∴∠ABC＝30°，∴∠F＝60°，∴∠NEC＝30°，∴NC＝EC＝AE＝m，∴四边形ABCD的面积＝S△CDE+S△ABE+S△EBC＝×NC×DE+2××AB×AE＝×m×n+2×p×m＝mn+pm．。

北京市八年级上册期末数学试卷一、填空题（本题共20分，每小题2分）1．（2分）观察图中的图形，其中是轴对称图形的有个．2．（2分）如图，小区在边长为y米的正方形内，修宽为2米的通道，其余部分种草，通道所占的面积可表示成米2．3．（2分）已知直线y＝x+1，当x时，y＜0．4．（2分）如果x﹣y＝2，那么2x2﹣4xy+2y2的值为．5．（2分）如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是．6．（2分）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是吨．7．（2分）用乘法公式计算：＝．8．（2分）如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠A＝30°，若将BC边向BA方向折过去，使点C落在BA边上的Cˊ点，折痕为BE，则∠AECˊ的度数为．9．（2分）已知：如图，Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D点，若AD ＝3，则AB＝．10．（2分）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1，52﹣32＝16＝8×272﹣52＝24＝8×3 92﹣72＝32＝8×4…观察上面算式，那么第n个算式可表示为．二、选择题（每小题3分，共30分）11．（3分）下列各式中运算不正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．2ab﹣3ab＝﹣abC．2ab•3ab＝6ab D．2ab÷3ab＝12．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，它的周长为24，又AD垂直BC，垂足为D，△ABD的周长为20，则AD的长（）A．6B．8C．10D．1213．（3分）下列各式①（﹣a3）2•（﹣b2）3＝a6b6②[（﹣a3）2•（﹣b2）3]3＝﹣a18b18③（﹣a3b）2•（﹣ab2）3＝﹣a9b8④（﹣a2b）3•（﹣ab2）3＝﹣a9b9其中计算正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个14．（3分）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（）A．0.25B．0.30C．0.15D．0.2015．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．2x﹣6y＝2（x﹣3y）C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+y2＝（x+y）216．（3分）下列说法中，正确的是（）A．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等D．两锐角对应相等的两个直角三角形全等17．（3分）如图，已知OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对18．（3分）无论m取任何实数，直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．（3分）一次函数y＝（m+2）x+（1﹣m），若y随x的增大而减小，且该函数的图象与x轴交点在原点右侧，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＜1C．﹣2＜m＜1D．m＜﹣2 20．（3分）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个三、解答题（本题有9个小题，共50分）21．（6分）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC＝AE，AD、BE交于点F．请你判断∠DAC和∠ABE的大小关系，并证明你的结论．22．（6分）某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行了社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：（1）学生会共抽取了份调查报告；（2）若等第A为优秀，则优秀率为；（3）学生会共收到调查报告1000份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E？23．（6分）因式分解：（1）9x2y﹣6xy2+y3（2）（a﹣b）（x+y）﹣（b﹣a）（x﹣y）24．（9分）（1）计算：（4xy﹣x2﹣y2）﹣（x2﹣y2+6xy）（2）计算：x（x﹣1）+（2x+5）（2x﹣5）（3）已知2x＝y+15，求[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷2y的值．25．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝A．求证：AC⊥BD．26．（3分）已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使得它到∠AOB两边的距离相等，且到M、N两点的距离也相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）27．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足等式：a2﹣c2+2ab﹣2bc＝0，试说明△ABC是等腰三角形．28．（5分）在直角坐标系中，有两个点A（﹣6，3），B（﹣2，5）．（1）在y轴上找一个点C，在x轴上找一点D，画出四边形ABCD，使其周长最短（保留作图痕迹，不要求证明）；（2）在（1）的情况下，求出C、D两点的坐标．29．（5分）操作：在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．探究：（1）三角板绕P点旋转时，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系表示为并以图②为例，加以证明；（2）三角板绕P点旋转时△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．四、附加题30．已知：如图，P是与∠BAC相邻的外角平分线上异于A的任意一点，若PB＝m，PC＝n，AC＝b，AB＝c，试比较m+n与b+c的大小，并说明理由．31．如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y＝x+t的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）．（1）当t何值时，S＝3；（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图象．北京市八年级上册期末数学试卷答案一、填空题（本题共20分，每小题2分）1．（2分）观察图中的图形，其中是轴对称图形的有3个．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：第一个、第二个和第四个图形是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．故其中是轴对称图形的有3个．故答案为：3．【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）如图，小区在边长为y米的正方形内，修宽为2米的通道，其余部分种草，通道所占的面积可表示成4y﹣4米2．【分析】本题利用平移，可知通道的面积等于正方形的面积减去草坪的面积，进而可求出答案．【解答】答：利用平移如右图所示，则所求面积为：y2﹣（y﹣2）2＝（4y﹣4）米2．故答案为：4y﹣4．【点评】本题考查平移的性质，难度适中，注意本题不是求阴影部分面积．3．（2分）已知直线y＝x+1，当x＜﹣1时，y＜0．【分析】将直线y＝x+1画出，求得使y＝0的点的坐标，再观察图形即可【解答】解：当x＝0时，y＝1；当y＝0是，x＝﹣1；∴直线y＝x+1经过点（0，1）、（﹣1，0），∴该直线在直角坐标系中的位置如图所示：根据图示知，当x＜﹣1时，y＜0．故答案是：＜﹣1【点评】本题考查了一次函数的性质．解答该题时，采用了“数形结合”是数学思想，使问题变得直观化．4．（2分）如果x﹣y＝2，那么2x2﹣4xy+2y2的值为8．【分析】先把2x2﹣4xy+2y2因式分解，再把x﹣y＝2代入进行计算即可求解．【解答】解：∵x﹣y＝2，∴2x2﹣4xy+2y2＝2（x2﹣2xy+y2）＝2（x﹣y）2＝2×22＝8；故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，把2x2﹣4xy+2y2因式分解是解题的关键，难度不大．5．（2分）如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC，∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．6．（2分）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是32吨．【分析】由折线统计图可以看出：1月份的用水量为30t，2月份的用水量为34t，3元月份的用水量为32t，4月份的用水量为37t，5月份的用水量为28t，6月份的用水量为31t，进而即可求出这6天的平均用水量．【解答】解：这6天的平均用水量是＝32t．故答案为32．【点评】本题考查的是折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；折线统计图表示的是事物的变化情况．7．（2分）用乘法公式计算：＝1．【分析】根据平方差公式把1999×2001分解为（2001﹣1）×（2001+1），再进行计算即可．【解答】解：＝；故答案为：1．【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．8．（2分）如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠A＝30°，若将BC边向BA方向折过去，使点C落在BA边上的Cˊ点，折痕为BE，则∠AECˊ的度数为30°．【分析】由题意可知△CBE≌△C'BE，那么∠C＝∠BC'E＝60°，则根据∠BC'E＝∠A+∠AEC'，可得所求角的度数．∠AEC'＝30°【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠C＝60°，由折叠可得△CBE≌△C'BE，∴∠C＝∠BC′E＝60°∵∠A＝30°∴∠AEC'＝∠BC′E﹣∠A＝30°．故答案为30°．【点评】考查翻折问题；用到的知识点为：翻折前后的三角形全等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．9．（2分）已知：如图，Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D点，若AD ＝3，则AB＝12．【分析】根据同角的余角相等可得出∠ACD＝∠B，可得到AC长，在直角三角形BCA 中，可得出AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠B＝30°，∴∠ACD＝30°，∵AD＝3，∴AC＝6，∴AB＝12故答案为12．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握．10．（2分）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1，52﹣32＝16＝8×272﹣52＝24＝8×3 92﹣72＝32＝8×4…观察上面算式，那么第n个算式可表示为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．【分析】左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可．【解答】解：左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，∴用数学式子表示为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．【点评】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键．二、选择题（每小题3分，共30分）11．（3分）下列各式中运算不正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．2ab﹣3ab＝﹣abC．2ab•3ab＝6ab D．2ab÷3ab＝【分析】根据合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则解答．【解答】解：A、2ab+3ab＝（2+3）ab＝5ab，正确；B、2ab﹣3ab＝（2﹣3）ab＝﹣ab，正确；C、应为2ab•3ab＝6a2b2，故本选项错误；D、2ab÷3ab＝，正确．故选：C．【点评】本题比较简单，考查的是合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则等知识，需同学们熟练掌握．合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．12．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，它的周长为24，又AD垂直BC，垂足为D，△ABD的周长为20，则AD的长（）A．6B．8C．10D．12【分析】由△ABC的周长为24得到AB，BC的关系，由△ABD的周长为20得到AB，BD，AD的关系，再由等腰三角形的性质知，BC为BD的2倍，故可解出AD的值．【解答】解：∵△ABC的周长为24，AB＝AC，∴2AB+BC＝24，∵AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴2AB+2BD＝24，AB+BD＝12，∵△ABD的周长为20，∴AB+BD+AD＝20，∴AD＝8．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；由两个三角形的周长得到两个边之间的式子，通过整体代入求得AD的值是解答本题的关键．13．（3分）下列各式①（﹣a3）2•（﹣b2）3＝a6b6②[（﹣a3）2•（﹣b2）3]3＝﹣a18b18③（﹣a3b）2•（﹣ab2）3＝﹣a9b8④（﹣a2b）3•（﹣ab2）3＝﹣a9b9其中计算正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可，注意运算顺序．【解答】解：（﹣a3）2•（﹣b2）3＝a6（﹣b6）＝﹣a6b6，∴①错误；②[（﹣a3）2•（﹣b2）3]3＝[a6（﹣b6）]3＝﹣a18b18∴②正确；③（﹣a3b）2•（﹣ab2）3＝a6b2•（﹣a3b6）＝﹣a9b8，∴③正确；④（﹣a2b）3•（﹣ab2）3＝﹣a6b3•（﹣a3b6）＝a9b9，∴④错误．故选：C．【点评】本题主要考查对幂的乘方与积的乘方，同底数的幂的乘法等知识点的理解和掌握，能正确的运用性质进行计算是解此题的关键．14．（3分）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（）A．0.25B．0.30C．0.15D．0.20【分析】有40个数据，第5组的频率为0.10；故可以求得第5组的频数，根据各组的频数的和是40，即可求得第6组的频数，利用频数除以频率即可求解．【解答】解：∵第5组的频率为0.10，∴第5组的频数为40×0.1＝4，∴第6组的频数为40﹣（10+5+7+6+4）＝8，故第6组的频率为＝0.2．故选：D．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系频率＝．15．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．2x﹣6y＝2（x﹣3y）C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+y2＝（x+y）2【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；B、2x﹣6y＝2（x﹣3y）是因式分解，故本选项正确；C、x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1结果不是整式的积的形式，因而不是因式分解，故本选项错误；D、x2+y2＝（x+y）2结果错误，因而不是因式分解，故选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了因式分解的意义，正确理解定义是关键．把一个多项式分解为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做因式分解．16．（3分）下列说法中，正确的是（）A．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等D．两锐角对应相等的两个直角三角形全等【分析】A、利用举反例的方法，画出符合条件的两个三角形，但是不全等，即可得到此说法错误；B、举反例的方法，画出符合条件的两个三角形，但是不全等，此说法错误；C、两个三角形的条件满足公理ASA，此说法正确；D、根据全等三角形的判别方法可知：两三角形要全等，至少有一边对应相等，即可得到此说法错误．【解答】解：A、根据条件AC＝AD，AB＝AB，∠B＝∠B画出如下图形：．从图中看出△ABC与△ABD显然不全等，此说法错误；B、根据条件画出图形，满足AB＝DE，AC＝DF，．从图中看出两三角形一个锐角三角形，一个为钝角三角形，显然不全等，此说法错误；C、根据全等三角形的判别公理：ASA，得出两三角形一定全等，此说法正确；D、根据条件画出图形，要求DE∥BC，所以∠A＝∠A，∠AED＝∠C，．显然△ADE与△ABC不全等，此说法错误．故选：C．【点评】此题考查了全等三角形的判定，关键是牢记SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形HL全等方法，此外要说明一个命题为假命题只需举一个反例即可，要说明一个命题为真命题，需要经过严格的证明（公理不需证明）．17．（3分）如图，已知OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【分析】首先根据OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，证明△AOD≌△BOC，然后依次证明△AEC≌△BED、△OCE≌△ODE、△OEB≌△OEA．【解答】解：∵OA＝OB，OC＝OD，又∠AOB＝∠BOA，∴△AOD≌△BOC，∠A＝∠B，又AC+OC＝BD+OD，∴AC＝BD，∴△AEC≌△BED，进一步可得△OCE≌△ODE、△OEB≌△OEA，共4对．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时，从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻，要不重不漏．18．（3分）无论m取任何实数，直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】判断出完整的直线可能经过的象限，即可求得它们的交点不可能在的象限．【解答】解：因为y＝﹣x+4的图象经过一、二、四，所以直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在第三象限，故选：C．【点评】考查两条直线的相交问题；判断出完整的直线经过的象限即可得到交点不在的象限．19．（3分）一次函数y＝（m+2）x+（1﹣m），若y随x的增大而减小，且该函数的图象与x轴交点在原点右侧，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＜1C．﹣2＜m＜1D．m＜﹣2【分析】一次函数中，y随x增大而减小，说明自变量系数小于0，即m+2＜0，图象过二、四象限；又该函数的图象与x轴交点在原点右侧，所以图象过一、二、四象限，直线与y轴交点在正半轴，故1﹣m＞0．综合求解．【解答】解：∵y随x的增大而减小，∴m+2＜0，解得m＜﹣2；又该函数的图象与x轴交点在原点右侧，所以图象过一、二、四象限，直线与y轴交点在正半轴，故1﹣m＞0．解得m＜1．∴m的取值范围是m＜﹣2．【点评】根据一次函数的增减性和与坐标轴交点的位置画出草图分析，来确定待定系数的取值范围，综合求解．20．（3分）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】当∠BP A＝90°时，即点P的位置有2个；当∠ABP＝90°时，点P的位置有1个；当∠BAP＝90°时，在y轴上共有1个交点．【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P的要求；②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选：B．【点评】主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．三、解答题（本题有9个小题，共50分）21．（6分）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC＝AE，AD、BE交于点F．请你判断∠DAC和∠ABE的大小关系，并证明你的结论．【分析】首先根据已知条件寻找证明△ABE≌△CAD的条件，再根据全等三角形对应角相等可得到答案．【解答】解：DAC＝∠ABE．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠A＝∠C，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠DAC＝∠ABE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，同学们要熟记判定三角形全等的方法，全等是证明角相等，线段相等的一种重要的方法．22．（6分）某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行了社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：（1）学生会共抽取了50份调查报告；（2）若等第A为优秀，则优秀率为16%；（3）学生会共收到调查报告1000份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E？【分析】（1）各个频数的和即为总数；（2）频数除以总数即可求得优秀率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：[答案]（1）50…（2分）（2）16%…（4分）（3）1000×＝40份…（6分）[考点]利用条形图进行解答统计问题[解析]观察统计图，可知，（1）调查报告的分数＝8+20+15+5+2＝50（份）（2）优秀率＝（3）调查报告的等级为E的份数＝1000×＝40份[拓展]用统计知识解决实际问题，注意与统计相关的知识点的运用【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．23．（6分）因式分解：（1）9x2y﹣6xy2+y3（2）（a﹣b）（x+y）﹣（b﹣a）（x﹣y）【分析】（1）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．（2）直接提取公因式（a﹣b），再进行整理即可．【解答】解：（1）9x2y﹣6xy2+y3＝y（9x2﹣6xy+y2）＝y（3x﹣y）2；（2）（a﹣b）（x+y）﹣（b﹣a）（x﹣y）＝（a﹣b）[（x+y）+（x﹣y）]＝2x（a﹣b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．24．（9分）（1）计算：（4xy﹣x2﹣y2）﹣（x2﹣y2+6xy）（2）计算：x（x﹣1）+（2x+5）（2x﹣5）（3）已知2x＝y+15，求[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷2y的值．【分析】（1）先去括号，再合并同类项；（2）由于原式中含有括号，则先去括号，然后进行加减运算合并同类项；（3）把[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷2y化简为﹣y+2x，再整体代入即可求值．【解答】解：（1）（4xy﹣x2﹣y2）﹣（x2﹣y2+6xy）＝4xy﹣x2﹣y2﹣x2+y2﹣6xy＝（﹣1﹣1）x2+（﹣1+1）y2+（4﹣6）xy＝﹣2x2﹣2xy；（2）x（x﹣1）+（2x+5）（2x﹣5）＝x2﹣x+4x2﹣25＝5x2﹣x﹣25；（3）[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷2y＝[x2+y2﹣（x2﹣2xy+y2）+2xy﹣2y2]÷2y＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷2y＝（﹣2y2+4xy）÷2y＝﹣y+2x…（2分）由于2x＝y+15，则﹣y+2x＝15，代入原式＝15．【点评】（1）题解题要注意正确合并同类项；整式的加减中去括号时要看括号外的因数是正数还是负数（正数时，去括号后原括号内各项的符合与原来的符合相同；负数时，去括号后原括号内各项的符合与原来的符合相反）．（2）题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，应先去括号，然后再合并同类项．（3）题首先利用公式化简，然后利用整体代入的思想即可求出结果．25．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝A．求证：AC⊥BD．【分析】首先过点A作AE⊥BC交BC于E，交BD于F，由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得∠CAE＝∠BAC，又由，∠DBC＝A．在△ADF与△BEF中，易证得∠ADF＝∠BEF，即可得AC⊥BD．【解答】证明：过点A作AE⊥BC交BC于E，交BD于F…（1分）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC．∵∠DBC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠DBC…（3分）∵∠1＝∠2，∴∠ADF＝180°﹣∠2﹣∠CAE∠BEF＝180°﹣∠1﹣∠DBC．∴∠ADF＝∠BEF＝90°…（5分）∴BD⊥AC．…（6分）【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意本题欲证垂直，即证对应角为直角是本题转换思维的关键，注意辅助线的作法．26．（3分）已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使得它到∠AOB两边的距离相等，且到M、N两点的距离也相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】点P到∠AOB两边的距离相等，即在∠AOB的平分线上，点P到M、N两点的距离也相等，即在MN的垂直平分线上，所以作出∠AOB的平分线和MN的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及满足两个条件的作图题的方法．27．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足等式：a2﹣c2+2ab﹣2bc＝0，试说明△ABC是等腰三角形．【分析】首先进行合理分组，然后运用平方差公式和提公因式法进行因式分解，从而找到边之间的关系，判定三角形的形状．【解答】解：∵a2﹣c2+2ab﹣2bc＝0，∴（a+c）（a﹣c）+2b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a+c+2b）＝0，（2分）∵a，b，c是△ABC三边，∴a+c+2b＞0，（3分）∴a﹣c＝0，有a＝c．所以，△ABC是等腰三角形．（4分）【点评】此题考查了因式分解的应用，利用因式分解，找出边的关系是本题的关键．28．（5分）在直角坐标系中，有两个点A（﹣6，3），B（﹣2，5）．（1）在y轴上找一个点C，在x轴上找一点D，画出四边形ABCD，使其周长最短（保留作图痕迹，不要求证明）；（2）在（1）的情况下，求出C、D两点的坐标．【分析】（1）作出A关于X轴的对称点，作出B关于Y轴的对称点，连接于X、Y轴的交点就是C、D点；（2）用待定系数法求出直线CD，求出于X轴、Y轴的交点即可．【解答】解：（1）①作A关于X轴的对称点Aˊ（﹣6，﹣3），②作B关于Y轴的对称点Bˊ（2，5），③连接A'B'交X轴于D，交Y轴于C，连接BC、AD，得到四边形ABCD．（2）设CD所在直线的表达式为y＝kx+b．由于Aˊ、Bˊ在直线CD上，有，解得，∴CD所在直线表达式为y＝x+3，它与x轴交于D（﹣3，0）与y轴交于C（0，3）．答：C、D两点的坐标分别是（﹣3，0），（0，3）．【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短问题，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能正确画图和计算是解此题的关键．29．（5分）操作：在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．探究：（1）三角板绕P点旋转时，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系表示为PD＝PE并以图②为例，加以证明；（2）三角板绕P点旋转时△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．【分析】（1）先根据图形可猜测PD＝PE，从而连接CP，通过证明△PCD≌△PEB，可得出结论．（2）题目只要求是等腰三角形，所以需要分三种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．【解答】解：（1）相等关系，PD＝PE．证明如下，AC＝BC，∠C＝90°，P为AB中点，连接CP，∴CP平分∠C，CP⊥AB，∵∠PCB＝∠B＝45°，∴CP＝PB，∵∠DPC+∠CPE＝∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠DPC＝∠EPB，在△PDC和△PEB中，，∴△PCD≌△PEB（ASA），∴PD＝PE．（2）△PEB能成为等腰三角形，有以下三种情况：①当CE＝0，此时E和C重合，有PE＝PB，△PBE为等腰直角三角形．②当CE＝2时，此时E是BC中点，有PE＝EB，△PBE为等腰直角三角形，③当CE＝8时，此时E在CB的延长线上，有BE＝BP＝4，△PBE顶角为135°的等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，利用辅助线，分情况讨论解本题是关键，解答本题（1）利用全等证明边相等，（2）讨论三种情况注意不要丢解．四、附加题30．已知：如图，P是与∠BAC相邻的外角平分线上异于A的任意一点，若PB＝m，PC＝n，AC＝b，AB＝c，试比较m+n与b+c的大小，并说明理由．【分析】在AM上截取一点E，使AE＝AC，证△APC≌△APE，推出PC＝PE根据三角形的三边关系定理求出即可．【解答】解：在AM上截取一点E，使AE＝AC连接PE，P是∠BAC外角平分线上一点．在△APC和△APE中，，∴△APC≌△APE（SAS），∴PC＝PE∴m+n＝PB+PC＝PB+PE＞BE＝AB+AE＝AB+AC＝c+b即m+n＞c+b．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，将比较m+n与b+c的大小转化为三角形三边关系的问题是本题的关键．31．如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y＝x+t的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）．（1）当t何值时，S＝3；（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图象．【分析】（1）先证Rt△DMN是等腰三角形，再求得当△DMN的面积是1时，MD的值，最后得出s＝3时，t的取值；（2）分两种情况讨论s的解析式，有解析式可画出函数图象．【解答】解：如图．（1）设l与正方形的边AD、CD相交于M、N，易证Rt△DMN是等腰三角形，只有当MD＝时，△DMN的面积是1，求得t＝4﹣．容易验证，此时的S＝3．∴当t＝4﹣时，S＝3；（2）当0≤t＜2时，S＝t2当2≤t＜4时，S＝﹣（4﹣t）2+4当t＞4时，S＝4．根据以上解析式，作图如图．。

北京市八年级上册期末数学试卷（6）一、选择题（请将答案写在下列表格中，本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在下列实数中，无理数是（）A．2 B．0 C．D．2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≤6 B．x≥6 C．x≤﹣6 D．x≥﹣63．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）化简的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．95．（3分）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．26．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定7．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75°B．60°C．65°D．55°8．（3分）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和59．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C．D．10．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（﹣，0）D．（3，0）11．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，点P是边BC上的动点（不与B、C重合），则AP的长不可能是（）A．5 B．7 C．9 D．11二、填空题（请将答案写在横线上，本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标是．14．（3分）4是的算术平方根．15．（3分）计算：×﹣＝．16．（3分）已知关于x的方程x2﹣4x﹣p2+2p+2＝0的一个根为p，则p＝．17．（3分）如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是．19．（3分）若|a﹣2|++（c﹣4）2＝0，则a﹣b+c＝．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC＝BD，则∠ACD+∠BCE＝．三、解答题（本大题共7小题，共40分）21．（8分）计算：（1）（2）（）．22．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）（2）x2+3x+1＝0．23．（4分）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC＝DC．求证：AB ＝ED．24．（5分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD ＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③：①③⇒②；②③⇒①（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．25．（5分）2009年海州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2011年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来海州市出口贸易的高速增长．（1）求这两年海州市出口贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测2012年海州市的出口贸易总值．（温馨提示：2252＝4×563，5067＝9×563）26．（4分）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．27．（6分）已知：如图，在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB ＝∠EBC＝∠A．求证：BD＝CE．北京市八年级上册期末数学试卷答案（6）一、选择题（请将答案写在下列表格中，本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在下列实数中，无理数是（）A．2 B．0 C．D．【分析】根据无理数的定义进行解答即可．【解答】解：∵无理数是无限不循环小数，∴是无理数，2，0，是有理数．故选：C．【点评】本题考查的是无理数的定义，即初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≤6 B．x≥6 C．x≤﹣6 D．x≥﹣6【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．【解答】解：根据题意得：6﹣x≥0，解得x≤6．故选：A．【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，∴（﹣2，3）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．4．（3分）化简的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【分析】本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．【解答】解：＝＝3．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（﹣3）2的算术平方根，结果为非负数．5．（3分）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．2【分析】根据等边三角形三线合一的性质，即可得D为BC的中点，即可求BD的值，已知AB、BD根据勾股定理即可求AD的值．【解答】解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，∴BD＝BC＝2，在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，则AD＝＝＝＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键，难度适中．6．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；【解答】解：∵当腰长为3时，3+3＝6，显然不成立；∴腰长为6，∴周长为6+6+3＝15．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．7．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75°B．60°C．65°D．55°【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝45°，∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故选：A．【点评】本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．8．（3分）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．【解答】解：∵16＜19＜25，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴3＜a＜4，∴a在两个相邻整数3和4之间；故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．9．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C．D．【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【解答】解：由勾股定理可知，∵OB＝＝，∴这个点表示的实数是．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．10．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（﹣，0）D．（3，0）【分析】先根据勾股定理求出OA的长，再根据①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分别算出P点坐标即可．【解答】解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理可得：OA＝2，①若AP＝PO，可得：P（2，0），②若AO＝AP可得：P（4，0），③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），∴P（2，0），（4，0），（﹣2，0），故点P的坐标不可能是：（3，0）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．11．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，∴点P在∠A的角平分线上；又∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：B．【点评】本题考查了角平分线及线段垂直平分线的判定定理．到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，点P是边BC上的动点（不与B、C重合），则AP的长不可能是（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于AC；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝12，可知AP最大不能大于12．此题可解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，∴AC＝AB，AB2＝AC2+BC2，∴AC＝6，AB＝12，∵点P是边BC上的动点（不与B、C重合），∴AC＜AP＜AB，即6＜AP＜12．故选：A．【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝12．二、填空题（请将答案写在横线上，本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，2）．【分析】本题可以根据假设法，设出题中所有点的坐标，然后根据掌握的平面直角坐标系的基本性质，点对称的特点即可求解．【解答】解：∵点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），∴点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2）．【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，属于对基本内容的考查，学生需认真掌握有关内容．14．（3分）4是16 的算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．15．（3分）计算：×﹣＝2．【分析】先做乘法，再化简，最后合并．【解答】解：原式＝﹣＝3﹣＝2．故答案为：2．【点评】二次根式的混合运算，仿照实数的运算顺序进行，先乘除，再加减．16．（3分）已知关于x的方程x2﹣4x﹣p2+2p+2＝0的一个根为p，则p＝ 1 ．【分析】由题意知关于x的方程x2﹣4x﹣p2+2p+2＝0的一个根为p，把p代入方程x2﹣4x﹣p2+2p+2＝0即可求解．【解答】解：把p代入方程x2﹣4x﹣p2+2p+2＝0，得p2﹣4p﹣p2+2p+2＝0整理得p＝1．【点评】本题考查一元二次方程的定义，把一元二次方程的根代入方程来求解，比较简单．17．（3分）如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠C＝∠E（答案不惟一，也可以是AB＝FD或AD ＝FB）．【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC＝FE，BC＝DE，具备了两组边对应相等，故添加∠C＝∠E，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．【解答】解：增加一个条件：∠C＝∠E，显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等．（答案不唯一）．故填：∠C＝∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是a≤1 ．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解之得a≤1．故答案为a≤1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（3分）若|a﹣2|++（c﹣4）2＝0，则a﹣b+c＝ 3 ．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|++（c﹣4）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4．∴a﹣b+c＝2﹣3+4＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识点是：某个数的绝对值与一个数的算术平方根以及另一数的平方的和等于0，那么绝对值里面的代数式的值为0．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC＝BD，则∠ACD+∠BCE＝45°．【分析】根据等边对等角可得：∠AEC＝∠1+∠3，∠BDC＝∠2+∠3，将两式相加，又由三角形的内角和等于180°，可求得∠3＝45°，即可得到∠ACD+∠BCE的度数．【解答】解：如图解法一：设∠ACD＝∠1，∠BCE＝∠2，∠DCE＝∠3．∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠1+∠3．∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠2+∠3．两式相加得∠AEC+∠BDC＝（∠1+∠2+∠3）+∠3＝90°+∠3．又在△DCE中∠DEC+∠EDC+∠3＝180°．∴90°+2∠3＝180°，∴∠3＝45°，∴∠1+∠2＝45°．解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴∠ACE＝∠1+∠3＝90°﹣，同理：∠2+∠3＝90°﹣，∵∠1+∠2+∠3＝90°，∴90°+∠3＝180°﹣（∠A+∠B），∴∠3＝90°﹣（∠A+∠B）＝45°，∴∠1+∠2＝45°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题难度中等，解题时要注意方程思想的应用．三、解答题（本大题共7小题，共40分）21．（8分）计算：（1）（2）（）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式＝﹣2+2，然后合并同类二次根式；（2）先把括号内的二次根式化为最简二次根式得到原式＝（5﹣2）÷，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算．【解答】（1）解：原式＝﹣2+2＝3﹣2；（2）解：原式＝（5﹣2）÷＝3÷＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．22．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）（2）x2+3x+1＝0．【分析】（1）先移项，再把方程两边加上4，配方得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；（2）先计算出△＝32﹣4×1×1＝5，然后代入一元二次方程的求根公式中即可．【解答】（1）解：移项得x2﹣4x＝﹣1，配方得x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，由此可得x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴△＝32﹣4×1×1＝5，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的求根公式为x＝（b2﹣4ac≥0）．也考查了配方法解一元二次方程．23．（4分）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC＝DC．求证：AB ＝ED．【分析】首先根据垂直可得∠ABC＝∠D＝90°，再有条件∠ACB＝∠DCE，CB＝CD，可以用ASA证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等得到结论AB＝DE．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠D＝90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）∴AB＝DE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是找出能使△ABC≌△EDC的条件．24．（5分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD ＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③：①③⇒②；②③⇒①（1）以上三个命题是真命题的为①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论，（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．【解答】解：（1）①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，（2）选择①③⇒②，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．25．（5分）2009年海州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2011年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来海州市出口贸易的高速增长．（1）求这两年海州市出口贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测2012年海州市的出口贸易总值．（温馨提示：2252＝4×563，5067＝9×563）【分析】（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；2011年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）＝22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；（2）2012年出口贸易总值＝50.67（1+x）．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，依题意得22.52 （1+x）2＝50.67，1+x＝±1.5，∴x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%；（2）50.67×（1+50%）＝76.005（亿美元）．答：预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿美元．【点评】此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．26．（4分）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．【分析】（1）由于k的值不能确定，故应分k+1＝0和k+1≠0两种情况进行分类讨论；（2）先根据求根公式用k表示出x的值，再根据方程有两个整数根，求出正整数k的值即可．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，方程﹣4x﹣4＝0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当k≠﹣1时，方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0是一元二次方程，△＝（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）＝（k﹣3）2．∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴k为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论k取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0中a＝k+1，b＝3k﹣1，c＝2k﹣2，∴x＝，∴x1＝﹣1，x2＝﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，∴当k＝1时，方程的两根为﹣1，0；当k＝3时，方程的两根为﹣1，﹣1．∴k＝1，3．【点评】本题考查的是根的判别式，在解答（1）时要注意分类讨论，不要漏解．27．（6分）已知：如图，在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB ＝∠EBC＝∠A．求证：BD＝CE．【分析】首先证明△BCF≌△CBG，再得出∠BDF＝∠BEC进而得出△BDF≌△CEG问题得证．【解答】证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∵CG⊥BE，BF⊥CD，∴∠F＝∠CGB＝90°，在△BCF和△CBG中，，∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC＝∠ABE+∠A，∴∠BDF＝∠BEC，∵在△BDF和△CEG中，，∴△BDF≌△CEG（AAS），∴BD＝CE．证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．∵在△BDC和△CFB中，∴△BDC≌△CFB（SAS），∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC＝∠A+∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握证明三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．。

北京市八年级上册期末数学试卷（5）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）下列各式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（3分）如图所示的汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2＝5a（2a2+a）B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）4．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm6．（3分）某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如果，那么的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为．10．（3分）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．11．（3分）下列运算中，正确的是．（填写所有正确式子的序号）①a2•a6＝a12；②（x3）2＝x9；③（2a）3＝8a3；④（5a﹣b2）2＝25a2﹣b4﹣5ab2．12．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为．13．（3分）化简：＝．14．（3分）计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）＝．15．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．16．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．三、解答题（本题共35分，第17、19题各10分，其余每题5分）17．（10分）（1）先化简，再求当a＝2，b＝1时，代数式（a+3b）（a﹣b）+a（a﹣2b）的值．（2）计算：．18．（5分）已知：如图，AB＝AC，∠DAC＝∠EAB，∠B＝∠C．求证：BD＝CE．19．（10分）（1）因式分解：3m2﹣24m+48．（2）计算：．20．（5分）解分式方程：．21．（5分）尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的高AD＝h．（保留作图痕迹并写出相应的作法．）作法：四、解答题（本题6分）22．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠＝∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠＝∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠＝∠＝∠．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分）23．（5分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．（1）求点C的坐标及∠COA的度数；（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，直接写出S△POM+S△BOM的值．24．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作图：（保留作图痕迹）①延长BC到点D，使CD＝BC；②延长CA到点E，使AE＝2CA；③连接AD，BE并猜想线段AD与BE的大小关系；（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．六、阅读与思考（本题6分）【附加题】25．我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]＝3，，在此规定下解决下列问题：（1）填空：＝；（2）求的值．二、操作与探究（本题6分））【附加题】26．取一张正方形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开，记折痕MN，PQ的交点为O；再次对折纸片使AB与PQ重合，展开后得到折痕EF，如图1；第二步：折叠纸片使点N落在线段EF上，同时使折痕GH经过点O，记点N在EF上的对应点为N′，如图2．解决问题：（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD及相应MN，PQ的对应位置；（2）利用所画出的图形探究∠POG的度数并证明你的结论．三、解答题（本题8分））【附加题】27．已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB＝AC．（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD 于点G，求证：∠EBF＝∠CAG；（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想∠EBF 与∠CAG的数量关系并证明你的结论．北京市八年级上册期末数学试卷答案（5）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）下列各式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义解答．【解答】解：A、＝＝，故不是最简二次根式，此选项错误；B、＝2，故不是最简二次根式，此选项错误；C、＝|x|，故不是最简二次根式，此选项错误；D、二次根式中被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．2．（3分）如图所示的汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义，结合选项图形进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、轴对称图形，不合题意，故本选项错误；D、轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2＝5a（2a2+a）B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）【分析】分别根据提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：A、10a3+5a2＝5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式，正确记忆公式是解题关键．4．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：A分母中的a没除以b，故A错误；B异分母分式不能直接相加，故B错误；C分式的分子分母没同乘或除以同一个不为零整式，故C错误；D分式的分子分母都乘以（a﹣2），故D正确；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，注意不能一部分乘或除．5．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝BD，进而利用AD+CD＝BC得出即可．【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，∴AD＝BD，∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出AD＝BD是解题关键．6．（3分）某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】设原计划平均每天植树棵x棵，根据“现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同”这一等量关系列出分式方程求解即可．【解答】解：设原计划平均每天植树棵x棵，现在每天植树（x+50）棵，依题意得，＝．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的应用，关键在寻找相等关系，列出方程，在解方程时要注意检验．7．（3分）如果，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质得出x＝2y，再代入约分即可．【解答】解：∵＝，∴3x＝2x+2y，∴x＝2y，∴＝；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，正确理解等式的性质是解题的关键，是一道基础题．8．（3分）如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是（）A．B．C．D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．【解答】解：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选：D．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为 3 ．【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．【解答】解：x﹣3＝0，且x+2≠0，x＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了分式值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0是解题关键．10．（3分）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣1≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，解得：x≥，故答案为：x．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．11．（3分）下列运算中，正确的是③．（填写所有正确式子的序号）①a2•a6＝a12；②（x3）2＝x9；③（2a）3＝8a3；④（5a﹣b2）2＝25a2﹣b4﹣5ab2．【分析】先根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方根公式分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：∵a2•a6＝a8，∴①错误；∵（x3）2＝x6，∴②错误；∵（2a）3＝8a3，∴③正确；∵（5a﹣b2）2＝25a2+b4﹣10ab2，∴④错误；故答案为：③．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式的应用，考查学生的计算能力．12．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为70°．【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1＝∠2＝70°．【解答】解：根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，因为两个全等三角形，所以∠1＝∠2＝70°，故答案为：70°．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．13．（3分）化简：＝．【分析】首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案．注意运算结果需化为最简．【解答】解：＝﹣＝＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了分式的加减运算法则．此题比较简单，注意通分，注意运算结果需化为最简．14．（3分）计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）＝﹣3x2+4x．【分析】根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案．【解答】解；原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2）＝﹣3x2+4x，故答案为：﹣3x2+4x．【点评】本题考查了整式的除法，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加是解题关键．15．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．16．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为（5，0）．【分析】（1）根据反射角与入射角的定义作出图形；（2）由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6＝335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为（5，0）．故答案为（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．三、解答题（本题共35分，第17、19题各10分，其余每题5分）17．（10分）（1）先化简，再求当a＝2，b＝1时，代数式（a+3b）（a﹣b）+a（a﹣2b）的值．（2）计算：．【分析】（1）首先利用多项式的乘法法则以及单项式的乘法法则计算乘法，然后去括号、合并同类项即可化简，最后代入数值计算即可；（2）首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：（1）原式＝a2+2ab﹣3b2+（a2﹣2ab）＝a2+2ab﹣3b2+a2﹣2ab＝2a2﹣3b2，当a＝2，b＝1时，原式＝2×22﹣3＝5；（2）原式＝+﹣＝4+．【点评】本题考查的是整式的混合运算，主要考查了单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．18．（5分）已知：如图，AB＝AC，∠DAC＝∠EAB，∠B＝∠C．求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE，可利用判定两个三角形全等的方法“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证△DAB≌△EAC，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：∵∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠BAC＝∠EAB+∠BAC．∴∠EAC＝∠DAB．在△EAC和△DAB中，，∴△DAB≌△EAC（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“角边边”判定方法．由∠EAB＝∠DAC得∠EAC＝∠DAB是解决本题的关键．19．（10分）（1）因式分解：3m2﹣24m+48．（2）计算：．【分析】（1）先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（2）把分式的分子分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后根据分式的乘法运算进行计算即可得解．【解答】解：（1）3m2﹣24m+48，＝3（m2﹣8m+16），＝3（m﹣4）2；（2），＝••，＝．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．（5分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+2（x﹣1）＝3，去括号得：2x+2x﹣2＝3，移项合并得：4x＝5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（5分）尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的高AD＝h．（保留作图痕迹并写出相应的作法．）作法：【分析】作出线段BC＝a，再做出BC的垂直平分线，垂足为D，再在垂直平分线上截取DA＝h，并画出△ABC即可．【解答】解：如图所示：（1）作线段BC＝a，（2）作线段BC的垂直平分线MN，与线段BC交于点D；（3）在MN上截取DA＝h，（4）连接AB，AC，则△ABC是所求的等腰三角形．【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法．四、解答题（本题6分）22．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BP、BQ．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．【分析】（1）根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；（3）根据阅读材料进行判断并作出图形．【解答】解：（1）∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；（2）∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；（3）在（1）的条件下探究：∠ABS＝∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV＝∠ABC如图．【点评】本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分）23．（5分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．（1）求点C的坐标及∠COA的度数；（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，直接写出S△POM+S△BOM的值．【分析】（1）作CD⊥x轴于点D，根据条件证明△AOB≌△CDA就可以得出AO＝CD，连接OC根据OD＝OC就可以求出∠COD＝45°，从而得出结论；（2）根据等底等高的两三角形的面积相等就可以得出S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．而得出结论．【解答】解：（1）作CD⊥x轴于点D，∴∠CDA＝90°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠CDA．∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵AC⊥AB，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD．在△AOB和△CDA中，∴△AOB≌△CDA（AAS），∴AO＝CD，OB＝DA．∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴CD＝2，DA＝4，∴OD＝2，∴OD＝CD．∵点C在第四象限，∴C（2，﹣2）．∵∠CDO＝90°，∴∠COD＝45°．∴∠COA＝180°﹣45°＝135°．（2）∵PC∥x轴，∴点P到x轴的距离相等，∴S△POM＝S△COM．∴S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．∴S△POM+S△BOM＝S△BOC＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．24．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作图：（保留作图痕迹）①延长BC到点D，使CD＝BC；②延长CA到点E，使AE＝2CA；③连接AD，BE并猜想线段AD与BE的大小关系；（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD＝FB，进而得出AE＝AF，就可以得出BE＝BF，从而结论AD＝BE．【解答】解：（1）由题意，得作图如下：（2）延长AC到点F，使CF＝AF，连接BF，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS）∴AD＝FB．∵CF＝AC，∴AF＝2AC．∵AE＝2CA，∴AF＝AE，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥EF，∴AB是EF的垂直平分线，∴BE＝BF，∴AD＝BE．【点评】本题考查了基本作图的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中垂线的判定及性质的运用，解答时正确作出图形是关键，证明三角形全等是难点．六、阅读与思考（本题6分）【附加题】25．我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]＝3，，在此规定下解决下列问题：（1）填空：＝9 ；（2）求的值．【分析】根据[x]表示实数x的整数部分，判断求出[]的整数部分，再相加计算即可．【解答】解：（1）∵＝1；；∴当[]≤[]＜[]时，[]＝1；当[]≤[＜[]时，[]＝2 ∴＝1+1+1+2+2+2＝9．（2）＝1+1+1+2+2+2+2+ (7)＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7＝210．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．二、操作与探究（本题6分））【附加题】26．取一张正方形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开，记折痕MN，PQ的交点为O；再次对折纸片使AB与PQ重合，展开后得到折痕EF，如图1；第二步：折叠纸片使点N落在线段EF上，同时使折痕GH经过点O，记点N在EF上的对应点为N′，如图2．解决问题：（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD及相应MN，PQ的对应位置；（2）利用所画出的图形探究∠POG的度数并证明你的结论．【分析】（1）利用翻折变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）设N对应点为N'，过N'作N'R⊥PQ于R，则N'R＝，进而得出，∠N'OP＝30°，再求出∠N'OG＝∠NOG，即可得出答案．【解答】解：（1）如图2所示：（2）如图2所示：设边长为a，可得到OM＝ON＝OP＝OQ＝，设N对应点为N'，过N'作N'R⊥PQ于R，则N'R＝，所以N'R＝ON'，∠N'OP＝30°；则∠N'OM＝60°，∠NON'＝120°，又由于∠N'OG＝∠NOG，所以∠N'OG＝60°，于是可得∠POG＝30°．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，得出∠N'OP的度数是解题关键．三、解答题（本题8分））【附加题】27．已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB＝AC．（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD 于点G，求证：∠EBF＝∠CAG；（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想∠EBF 与∠CAG的数量关系并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF＝CF．就有∠FEC＝∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF＝∠ACF，由∠FEC+∠FEA＝180°就可以得出∠ABF+∠AEF＝180°，得出A、B、F、E四点共圆，近而得出∠EBF＝∠CAG；（2）如图2，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF＝CF．就有∠FEC＝∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF＝∠ACF，就有∠AEF＝∠ABF，近而得出A、B、F、E四点共圆，就有∠EBF＝∠FAC；从而得出∠EBF+∠CAG＝180°．【解答】解：（1）如图1，连接EF、CF，∵EC的垂直平分线交直线AD，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE．∵AD平分∠MAN，∴∠BAF＝∠CAF．在△AFB和△AFC中∴△AFB≌△AFC（SAS），∴∠ABF＝∠ACF，∴∠ABF＝∠FCE．∵∠FEC+∠FEA＝180°，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠EBF＝∠CAG；（2）∠EBF+∠CAG＝180°理由：如图2，连接EF、CF，∵EC的垂直平分线交直线AD，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE．∵AD平分∠MAN，∴∠BAF＝∠CAF．在△AFB和△AFC中∴△AFB≌△AFC（SAS），∴∠ABF＝∠ACF，∴∠ABF＝∠FCE．∴A、B、F、E四点共圆，∴∠EBF＝∠FAC．∵∠FAC+∠CAG＝180°，∴∠EBF+∠CAG＝180°．【点评】本题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四点共圆的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。