北师大九年级下《第一章直角三角形的边角关系》检测卷含答案

第一章检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．(2021·玉林)计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )A.12B ．1 C.14D.322．把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A 的正弦值( A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos B 的值等于( C ) A.12B.22C.23D ．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC的长为( B )A ．10tan50°B ．10sin40°C ．10sin50° D.10cos50°5．已知α为锐角，且sin (α－10°)＝22，则α等于( B )A ．45°B ．55°C ．60°D ．65°6．已知锐角α满足等式3cos 2α－8cos α＋4＝0，则cos α的值为( A ) A.23B ．2 C ．2或23D ．以上都不对7．(2021·淄博)若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是( B )A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( C ) A.14B.13C.12D ．2错误!错误!,第9题图)错误!,第10题图)9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为(C)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB ＝6，则AC的长度是(D)A．3 B．33C．5 D．3 6二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝__0__．12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70),第13题图),第14题图),第15题图),第16题图) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sinα＝__32__．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”) 16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±3 3__．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°；(2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.解：(1)2－3(2)220．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝5321．(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2－2sin α·x ＋3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．解：由题意得b 2－4ac ＝(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，即4sin 2α－43sin α＋3＝0，解得sin α＝32.∵α为锐角，∴α＝60°22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CDtan60°＝363＝123≈20.76.在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)(2)5.20×16000＝83200(元)24．(11分)(2021·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)解：如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt△BFH中，BF＝FHsin60°≈420.87≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQtan60°.在Rt△ADQ中，AQ＝DQtan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝DQsin80°≈56.9990.98≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2 cm，90.3 cm25．(12分)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD (2)设AP ＝x ，∴由折叠知BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ 得AM BP ＝AP BQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD 得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)，∴AB ＝2x ＝6。

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B )A．22B．2C．24D．222．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为(C )A．45B．34C．35D．433．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值(C )A．扩大2倍B．缩小12C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是(B )A．7×sin 28＝B．7÷sin 28＝C．7×tan28＝D．7÷tan28＝第4题图第6题图第7题图5．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为(A )A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距(B )A．x sin α米B．x cos α米C．x ·sin α米D．x ·cos α米7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为(B )A．12B．22C．32D．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了(C )A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米第8题图第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A )A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时10．如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CEAD的值为(D )A．32B．3C．152D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝__33__，∠B ＝__60°__．13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30m，用高1m(AC ＝1m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DCAC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt△APC中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt△DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝26(2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B ，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt△BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米(2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt△EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM－CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝AFAD，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝AFAE，∴AE＝AFcos∠EAF＝88cos13°≈880.97≈91(cm)(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DGA＝DFFG，∴FG＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm。

第一章直角三角形的边角关系一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB 上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．12．已知α是锐角，且tanα＝1，则sinα+cosα＝．13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是．15．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形有条对角线；用科学计算器计算：135×sin13°≈．（精确到0.1）16．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．三．解答题（共6小题）17．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M 与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．18．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°＝cos ，sin ＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝；（4）；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝．19．计算：sin45°+sin2α+cos2α+20．计算：2cos230°+﹣sin60°．21．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．22．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．【分析】如图，因为BC≥AC，只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．只要证明∠DAC＝30°即可解决问题；【解答】解：如图，∵BC≥AC，∴只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．则AD＝2a，CD＝a，AD＝2CD，∵∠C＝90°，∴∠DAC＝30°，∴AC＝a，∴tan B＝＝．故选：B．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④【分析】当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；一个角的正切值等于它的余角的余切值．【解答】解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；②∵tan78°＝cot12°，∴tan12°•tan78°＝1．正确；③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；④如tan60°＝＞1．错误．故选：A．3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin A＝，tan B＝1，进而得出∠A＝30°，∠B＝45°，即可得出答案．【解答】解：∵|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，∴|sin A﹣|＝0，（1﹣tan B）2＝0，∴sin A＝，tan B＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：C．5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT【分析】本题要求熟练应用计算器．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB 上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．【分析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用正弦定义求∠C的正弦值即可得到sin∠DMN．【解答】解：连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，故选：C．8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．【分析】延长DE交BC于H．解直角三角形求出BC＝AC＝30，再证明BH＝CH＝DH＝30，EH＝10，即可解决问题；【解答】解：延长DE交BC于H．由题意BH：EH＝3：1，在Rt△ABC中，AB＝60，∠BAC＝45°，∵BC＝AC＝60，∵AD＝DB，DH∥AC，∴BH＝CH＝30，∴DH＝AC＝30，∴EH＝10，DE＝30﹣10＝20，故选：A．9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°，∴PC＝2×20×＝40（海里），故选：D．二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．【分析】由tan∠D＝＝可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，∴设AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴＝＝，故答案为：．12．已知α是锐角，且tanα＝1，则sinα+cosα＝．【分析】根据α是锐角，且tanα＝1，推出α＝45°即可解决问题．【解答】解：∵α是锐角，且tanα＝1，∴α＝45°，∴sinα+cosα＝+＝故答案为：13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，即＝，设CB＝2x，则AB＝3x，根据勾股定理可得：AC＝x．∴sin B＝＝＝．故答案为：．14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A，∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状．【解答】解：∵，∴tan B﹣＝0，2sin A﹣＝0．∴tan B＝，∠B＝60°；sin A＝，∠A＝60°．∴∠C＝60°∴△ABC的形状是等边三角形．15．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形有35 条对角线；用科学计算器计算：135×sin13°≈83503.8 ．（精确到0.1）【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形，∴这个正多边形有＝35条对角线，135×sin13°≈83503.8，故答案为：35，83503.8．16．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°＞cos50°．【分析】先由互余两角的三角函数的关系得出cos50°＝sin40°，再根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出sin50°＞sin40°，从而得出结果．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．三．解答题（共6小题）17．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M 与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM＝m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC＝MD，OC＝OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM＝∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．【解答】解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC＝MD，OC＝OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM＝∠DOM，又∵OC＝OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM＝∠DOM，∴∠COM＝，在Rt△COM中，CM＝OC•tan∠COM＝m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．18．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°＝cos 60゜，sin 30゜＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝ 1 ；（4）30°；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据同角三角函数的关系解答；（3）根据同角三角函数的关系解答；（4）45°角的正弦和余弦相等．【解答】解：填表如下：（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°＝cos 60゜，sin 30゜＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝1；（4） 30°；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．19．计算：sin45°+sin2α+cos2α+【分析】利用平方关系得到sin2α+cos2α＝1，再将特殊角的三角函数值代入，即可求出式子的值．【解答】解：原式＝×+1+﹣，＝1+1+1﹣1，＝2．20．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×（）2+﹣，＝+﹣，＝3﹣．21．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．22．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、，再在△ABD 中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．。

第一章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分) 1．sin30°的值为（ ） A.12 B.32 C.22 D.332．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，则tan A 的值为（ ） A.817 B.1517 C.815 D.158第2题图第3题图3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 4．在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 5．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是A （ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，AC ＝10，则S △ABC 等于（ ） A ．3 B ．300 C.503D ．1507．如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，使A ，C ，E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是（ ）A ．500sin55°米B ．500cos35°米C ．500cos55°米D ．500tan55°米第7题图第8题图第9题图8．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是α，且OP ＝5，cos α＝35，则点P 的坐标是（ ）A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(－4，3)D ．(－3，5)9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为（ ） A ．43米 B ．65米 C ．125米 D ．24米10．如图，直线y ＝34x ＋3与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ）A.45B.35C.43D.54第10题图第11题图11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠B ＝3，则BD 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．3 2 D ．2 3 12．若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是（ ） A ．30°＜α＜45° B ．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D ．30°＜α＜60° 13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm第13题图14．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB .已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB ＝45°，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．(2＋83)mB ．(8＋83)mC.⎝⎛⎭⎫82＋833mD.⎝⎛⎭⎫8＋833m第14题图第15题图15．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N 处，观测到灯塔P 在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)（ ）A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里 二、填空题(每小题5分，共25分) 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°.若AB ＝2，则cos B ＝ ，BC ＝ . 17．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝ .第17题图第18题图18．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为 m(结果保留根号)．19．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1m ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 m(不考虑其他因素，参考数据：sin8°≈750，tan8°≈17，sin10°≈950，tan 10°≈528)．第19题图第20题图20．如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan ∠EBC ＝.三、解答题(共80分)21．(8分)计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°；(2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.22．(8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin B 和tan B 的值．23．(10分)如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB 的高度，在操场的平地上选择一点C ，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D 处(C ，D ，B 三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A 的仰角为45°，请计算旗杆AB 的高度(结果保留根号)．24．(12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝ba ，则称它为锐角A 的余切，根据这个定义解答下列问题：(1)cot30°＝ ；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，求cot A 的值．25．(12分)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A ，B 两个凉亭之间的距离．如图，现测得∠ABC ＝30°，∠BAC ＝15°，AC ＝200米，请计算A ，B 两个凉亭之间的距离(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．26．(14分)如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．27．(16分)南海是我国的南大门，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，如图所示，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)?下册第一章检测卷1．A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.D7.C8.B9．B10.A11.A12.B13.A14.D15．B解析：如图，过点P作P A⊥MN于点A.由题意，得MN＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP ＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°，∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°，∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝22°，∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°，∴P A＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.16.323 17.1218.(103＋1) 19.1.420.13 解析：过点E 作EF ⊥BC 于点F .设DE ＝CE ＝a .∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ＝2CE ＝2a ，∠DCE ＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ＝2a ，∠BCD ＝90°，∴∠ECF ＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF ＝EF ＝22CE ＝22a .∴BF ＝BC ＋CF ＝2a ＋22a ＝322a .在Rt △BEF 中，tan ∠EBF ＝EF BF ＝13，即tan ∠EBC ＝13.21．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12；(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 22．解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12.(4分)∴sin B ＝AC AB ＝1213，(6分)tan B＝AC BC ＝125.(8分) 23．解：由题意可得CD ＝16米．∵AB ＝CB ·tan30°，AB ＝BD ·tan45°，∴CB ·tan30°＝BD ·tan45°，(4分)∴(CD ＋DB )×33＝BD ×1，∴BD ＝(83＋8)米．(7分)∴AB ＝BD ·tan45°＝(83＋8)米．(9分) 答：旗杆AB 的高度是(83＋8)米．(10分) 24．解：(1)3(4分)(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，(8分)∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(12分)25．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 延长线于点D .(2分)∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAC ＝15°，∴∠CAD ＝45°.(5分)在Rt △ACD 中，∵AC ＝200米，∴AD ＝AC ·cos ∠CAD ＝200×22＝1002(米)，(8分)∴AB ＝AD sin B ＝100212＝2002≈283(米)．(11分) 答：A ，B 两个凉亭之间的距离约为283米．(12分)26．解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°.(2分)在Rt △ACE 中，∵CE ＝AC ·cos C ＝2×22＝1，∴AE ＝CE ＝1.(4分)在Rt △ABE 中，∵tan B ＝13，∴AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC ＝BE ＋CE ＝4；(7分)(2)由(1)可知BC ＝4，CE ＝1.∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1.(9分)∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ＝1，∴∠ADC ＝45°，(12分)∴sin ∠ADC ＝22.(14分) 27．解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D .由题意得∠BAC ＝75°－30°＝45°，AB ＝20海里．(3分)在Rt △ABD 中，∵∠BAD ＝∠ABD ＝45°，∴BD ＝AD ＝22AB ＝22×20＝102(海里)．(7分)在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°－75°＝15°，∠CBD ＝90°－∠C ＝75°，tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD ·tan75°≈102×3.732≈52.8(海里)，(11分)∴AC＝AD ＋DC ＝102＋52.8≈67(海里)．(15分)答：我国海监执法船在前往监视巡查点的过程中约行驶了约67海里．(16分)。