2020-2021九年级数学圆的综合的专项培优练习题含详细答案

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．DDD【例1】（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF=∠DAE，∵∠CDF+∠PDA=90°，∴∠DAE+∠PDA=90°，∴∠ADP=∠APF=90°，∴∠APF+∠B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，∴点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为⊙O的直径，∴t=12；b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：∴OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，∴四边形OMBH、GOHC是矩形，∴OH=BM=GC，OG=HC，∴OP即为圆心的运动轨迹，即故答案为6cm．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是BC AB =2BD AB =迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB≌△AEC ；②请直接写出线段AD,BD,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE =5,CE =2，求BF 的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．∴∠E=∠A=60°由（1）可知：∠BAD=60°，∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°∴∠BCA=∠DCA=12∴∠ABD=∠DCA=60°∴AF=AC ，∠F=∠DCA=60°∴∠FAC=180°－∠F －∠ACF=60°∴△ACF 为等边三角形∴CF=AC∴BC ＋BF=AC∴BC ＋CD=AC【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB 与直线CD 交于点E ，∠AED ＝60°，点F 在直线CD 上运动，连接AF ，线段AF 绕点A 顺时针旋转60°得到AG ，连接FG ，EG ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ．(1)如图1，点F 和点G 都在射线AB 的同侧时，EG 与GH 的数量关系是______；(2)如图2，点F 和点G 在射线AB 的两侧时，线段EF ，AE ，GH 之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G 都在射线AB的同侧，AE =1，EF =2，请直接写出HG 的长．(2)解：在射线ED上截取EN=AE，连接AN，如图3，∵∠AED=60°，∴△AEN是等边三角形，∴AE=AN，∠EAN=60°∵AF=AG，∠FAG=60°，(3)①当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4，∵线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，∴∠GAF=60°，AG=AF，∴△GAF是等边三角形，∴∠AGF=∠AFG=∠FAG=60°，AG=AF=GF，∵∠AED＝60°，∴∠AGF=∠AED，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠GEH=∠GFA=60°，∠GEF=∠GAF=60°，∵EM=EG，∴△GEM是等边三角形，∴EM=GM=EG,∠EGM=60°，∴∠EGM=∠EGA+∠MGA=60°=∠EGM=∠MGF+∠MGA，∴∠EGA=∠MGF，∴△EGA≌△MGF，∴MF=AE=1，∴GE=EM=EF−MF=2−1=1，∵GH⊥AB，【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF，求n的值．(2)(3)解：∵0<n<90，【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF=DF，请直接写出CD AB的值．BE∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE∵△ABC是等边三角形AB=1∴∠ABC=60°,AB=AC，AH=12∵点F是CE的中点∴FE 又FK=DF∴四边形CDFK是平行四边形∴ED=KC，ED∥KC∴∠EDA=∠KCA∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴B,D,F,G四点共圆由（2）可知AF⊥DF，∠FAD=30°4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．又FD=FD∴△FDM≌△FDK∴FK=FM,KD=MD∴MD+MR=DK+GK即GD=RD∴△KDM,△GDR是等腰直角三角形在四边形FKDM中，∠KDM=90°,∠FKD=FMD=180°−α∴∠KFM=360°−90°−2(180°−α)=2α−90°=2α−(α+β)=α−β在△FHK与△GDN中∵∠FHK=∠GDN=90°,∠FKH=∠GND=2β∴△FHK∽△GDN∴∠NGD=∠KHF=α−β∵∠HGK=∠HFK,HK=HK∴G,K,H,F四点共圆∵HK⊥FM∴∠FHK=90°∴∠FGK=90°∴∠GFK=90°−∠FKG=90°−α=β在△FRM与△FGK中MR=KG=2a∠FKG=∠FMR=αFM=FK∴△FRM≌△FGK∴∠RFM=∠GFK=β∴∠GFR=2β+∠KFM=2β+α−β=α+β=90°∴∠RFG=∠FGD=∠GDR=90°∴四边形FGDR是矩形又GD=DR∴四边形FGDR是正方形如图，延长DE至W，使EW=EG=a，则WK=2GK=4a5．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD；（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．6．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直MC的最小值．线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵AD∥DE，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圆，如图2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形；（3）7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE=FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：______；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝②DF=2FG；理由如下：如图2，连接BF、BG，8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明△AME≅△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再结合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角∠NDC=∠EAN=45°【详解】（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）结论依然成立，EG=AG把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）连接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．9．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；CF，求BD的长；②若EF=12（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC 中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．11．（2022·全国·九年级课时练习）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：BP=DQ；（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；（3）若点P，Q，C三点共线，且AD=3，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BP=3【分析】（1）证明△AQD≌△APB即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为180°即可得出结论；（3）证明△PAQ为等腰直角三角形，得出∠APC=45°，然后得出∠ABC=2∠APC，根据圆周角定理可得点P在圆⊙B上，结论可得．【详解】解：（1）根据旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=90°，∵∠BAD=90°，∴∠DAQ=∠BAP，∵AB=AD，∴△AQD≌△APB(SAS)，∴BP=DQ；（2）∵△AQD≌△APB，∴∠Q=∠APB，∵点P，B，D三点共线，∴∠APD+∠APB=180°，∴∠Q+∠APD=180°，∴A，Q，P，D四点共圆；（3）∵AP=AQ，∠PAQ=90°，∴△PAQ为等腰直角三角形，∴∠APC=45°，以点B为圆心，BA为半径作⊙B，∵∠ABC=90°，∠APC=45°，∴∠ABC=2∠APC，∴点P在圆⊙B上，∴BP=BC=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．12．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且BE=CF，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为(0,−1+a)、(0,−1−a)，点E、F 分别是BC、CD上的两个点，且BE=CF，AE和BF相交于点P，点M的坐标为(4,−4)，当点P落在以M 为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．。

青岛版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优测试题3（附答案详解） 一、单选题1．如图，边长为2的正△ABC 的边BC 在直线l 上，两条距离为l 的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记△ABC 夹在a 和b 之间的部分的面积为s ，则s 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折、折痕为AB ，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF 折叠使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N 图（4）所示． （4）连结AE 、AF ，如图（5）所示，经过以上操作小芳得到了以下结论： ①CD ∥EF ；②四边形MEBF 是菱形；③△AEF 为等边三角形；④:33:4A E F S S π=圆 ．以上结论正确的有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．等腰梯形的上底为2 cm,下底为4 cm ，面积为33 cm 2,则较小的底角的余弦值为( )A ．3B ．32C ．33D ．124．如图①，在矩形A B C D 中，A Ck A B=（k 为常数），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B A C →→运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以每秒k 个单位长度的速度沿A C D →→运动到点D ，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设A P Q ∆的面积为y ，运动时间为t 秒，y 与t 的函数关系图象如图②所示，当4t =时，y 的值为（ ）A ．43B ．1C ．23 D ．135．如图1，点A 是O 上一定点，圆上一点P 从圆上一定点B 出发，沿逆时针方向运动到点A ，运动时间是()x s ，线段AP 的长度是()y cm ．图2是y 随x 变化的关系图象，则点P 的运动速度是（ ）A ．1/c m sB ．2/c m sC ．/2cm s πD ．3/2cm s π6．如图，抛物线22y x x =+与直线112y x =+交于A ，B 两点，与直线2x =交于点D ，将抛物线沿着射线AB 方向平移25个单位．在整个平移过程中，点D 经过的路程为（ ）A ．12116B ．738C ．152D ．67．如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，△PCD 的周长为20，sin ∠APB ＝45，则⊙O 的半径( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知二次函数()2y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足-13x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为（ ）A．1或-5 B．-5或3 C．-3或1 D．-3或5 9．在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）A．3B．C．D．10．如图，直线y＝12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，12AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( )A．534B．5C．25D．532二、填空题11．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为_____；12．如图，分别过反比例函数y＝3x的图象上的点P1(1，y1)，P2(2，y2)，…P n(n，y n)…作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，A n…，连接A1P2，A2P3，…,A n-1P n，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A 2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，点B2的纵坐标是____.依此类推，则点Bn的纵坐标是_______.(结果用含n代数式表示)13．以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E ．若双曲线y=32x（x ＞0）经过点D ，则OB •BE 的值为___．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,A B 均在格点上，12,l l 是一条小河平行的两岸.(Ⅰ)AB 的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN (点M 在1l 上，点N 在2l 上，桥的宽度忽略)，使A M M N N B ++最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的(不要求证明___________________. 15．在R t A B C △中，90A B C ∠=︒，8A B =，6B C =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．如果D 为AB 中点，且AD DEAB BC=，那么AE 的长度为__________． 16．若关于x 的一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）=m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2有下列结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞﹣14；③二次函数y=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的结论是________（填正确结论的序号）. 17．已知二次函数y=x 2-2(m-1)x-1-m 的图象与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0), x 1<0<x 2,与y 轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为__________ 18．在平面直角坐标系中，(1,0),(0,3)A B ，过点B 作直线BC ∥x 轴，点P 是直线BC 上的一个动点以AP 为边在AP 右侧作R t A P Q ，使90A P Q ︒∠=，且:1:3A P P Q =，连结AB 、BQ ，则A B Q 周长的最小值为___________.19．如图，直线AB ，AD 与⊙O 分别相切于点B 、D 两点，C 为⊙O 上一点，且∠BCD＝140°，则∠A的度数是__________20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且点D到BC的距离等于点D到AC的距离．将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′，CC′．若C CB B''＝325，则A CB C的值为_____．三、解答题21．我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：；（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．根据条件∠B=∠C和梯形的定义就可以画出图形；22．如图①，已知直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，与直线y=交于点E ，过点D 作DC ∥x 轴，交直线y=于点C ．过点C 作CB ∥AD 交x 轴于点B ． （1）点C 的坐标是 ；（2）以线段AD 的中点M 为圆心作⊙M ，当⊙M 与直线CE 相切时，求⊙M 的半径； （3）如图②，点P 从点O 出发，沿线段OC 向终点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．若P 、Q 两点同时出发，速度均为1单位长度/s ，时间为ts ，当点Q 到达终点时，P 、Q 两点均停止运动．在点P 、Q 的运动过程中，将线段PQ 绕点P 沿顺时针方向旋转90°后，设点Q 的对应点为R ．当点R 落在四边形ABCD 一边所在的直线上时，直接写出t 的值．23．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形A B C D 的边B C 在x 轴上，D 点在y 轴上，C 点坐标为()2,0，6B C =，60B C D ∠=︒，点E 在AB 上，并且3A E E B=，P 过D 、O 、C 三点，抛物线2y a x b x c =++过点D 、B 、C 三点.（1）求抛物线的解析式. （2）求证：ED 是P 的切线.（3）若将A D E ∆绕点D 逆时针旋转90︒，E 点的对应点'E 会落在抛物线2y a x b x c=++上吗？请说明理由. （4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出100千克． 小强：如果以12元/千克的价格销售，那么每天可售出80千克．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系．小强：我发现每天的销售量在70千克至100千克之间．那么当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润为320元？ 25．已知抛物线W 1与y 轴交于点C ，其关于x 轴对称的抛物线为W 2：y ＝x 2-mx+n ，且W 2经过点A （-3，0）和点B （1，0）． （1）求抛物线W 1的解析式；（2）将抛物线W 1沿x 轴向右平移得到抛物线W 3，抛物线W 3与x 轴的交点记为点D 和点E （D 在E 的右侧），与y 轴交于点Q ，如果满足△AOC 与△DOQ 相似，请求出平移后抛物线W 3的表达式．26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形A B C D 的三个顶点()40B ，、()80C ，、()88D ，．抛物线2y a x b x =+过A C 、两点．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点A 从点A 出发，沿线段AB 向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿线段AB 向终点A 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点A 作P E A B ⊥于点P ，交抛物线于点A ．当t 为何值时，线段C D 最长？27．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．（1）求证：∠DCF=∠DAB；（2）求证：12OE CD；（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．28．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角的大小等于∠ABC，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E（1）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（2）当△ABC的位置旋转到图2或图3时，设直线CE、AB交于点F，且，CD=4，请你在图2和图3中任选一种情况，求此时BD的长．29．在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义(0)(0)a aaa a⎧=⎨-<⎩，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣1|+b中，当x＝2时，y＝﹣3；x＝0时，y＝﹣2．（1）求这个函数的表达式；（2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；x …﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 …y …0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 …（3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（4）已知函数y＝2x-（x＞0）的图象如图所示，与y＝|kx﹣1|+b的图象两交点的坐标分别是（32－2），（2﹣22﹣1），结合你画的函数图象，直接写出|kx﹣1|+b≤2x-的解集．30．如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(13)，且与x轴交于点B，△AOB的面积为3．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；(3)点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE=233，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可)．参考答案1．B【解析】【分析】依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．【详解】如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=3t，∴s=S△BDE=12×t×3t=32t2；如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，∴32-t），3（t-1），∴s=S五边形AFGED =S△ABC-S△BGF-S△CDE=12×2×312×（t-1）×3t-1）-12×（2-t）×32-t）3t2333 2如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，33-t），∴s=S△CFG=12×（3-t）×3（3-t）3t2393，综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选B．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．2．D【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；设圆的半径为r，求出12MN r=，3EN=，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到④正确．【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，∴∠BMD=90°，∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合， ∴∠BNF=90°， ∴∠BMD=∠BNF=90°， ∴CD ∥EF ，故①正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ， 又∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合， ∴BN=MN ，∴BM 、EF 互相垂直平分，∴四边形MEBF 是菱形，故②正确； 如图，连接ME ，则ME=MB=2MN ， ∴∠MEN=30°， ∴∠EMN=90°-30°=60°， 又∵AM=ME （都是半径）， ∴∠AEM=∠EAM ，∴11226030A E M E M N ∠=∠=⨯︒=︒，∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°， 同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，故③正确； 设圆的半径为r ，则12MN r =，3EN =， ∴132322E F E N rA N r r r ===+=，，∴213223:334A E F S S r r r ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭圆：:，故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：D ． 【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质，认真分析是解题的关键． 3．D 【解析】如图，设梯形的高为h ，由梯形面积公式得24332h+=, ∴h =3,即AE =3，上底为2 cm,下底为4 cm ，∴BE =1，AE =3，∴由勾股定理得AB =2， ∴cosB=B E A B =12.选D.4．C 【解析】 【分析】①当点P 在AB 上运动时，由题意得：AB=3，则AC=3k ，AP=1，AQ=2k ，当t=2时，即PB=2，y=()1143t =223P A Q H Q H ⨯⨯⨯⨯＝－ ，求出AB=3，BC=4，AC=5；②当x=4时，点P 在AD 上运动的距离为1，点Q 在CD 上运动了1秒，即可求解． 【详解】解：①当点P 在AB 上运动时， 过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，由题意得：AB=3，则AC=3k ，AP=1，AQ=2k ， 当t=2时，即PB=2，y=()1143t =223P A Q H Q H ⨯⨯⨯⨯＝－ 解得：QH=83，则AH=AQcos ∠BAC=2k×1k=2，故PH=1，则AH=2，而QH=83 故tan ∠HAQ=Q H A H =43=tanα， 则cosα=315k =，解得：k=53故AB=3，BC=4，AC=5；②当t=4时，点P 在AC 上运动的距离为1，点Q 在CD 上运动了1秒，运动的距离QC 为53，则DQ=3－53， 115213=2233y A P D Q ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭－， 故选：C ．【点睛】题考查的是动点图象问题，涉及解直角三角形、面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 5．C 【解析】 【分析】通过观察，可以发现当x=1时，y 有最大值2，即⊙O 的直径为2，半径为1；再根据当x=0时，2,由勾股定理逆定理可得∠AOB=90°；进而求得点P 运动1s ，走了14圆周，即求出14圆周的长即可． 【详解】解：∵当x=1时，y 有最大值2∴⊙O 的直径为2，半径为1∵当x=0时，,∴222O AO B A P+= ∴∠AOB=90° ∴点P 运动1s 时，走了14圆周， ∴点P 的运动速度是90?2=3602ππcm/s 故答案为C ． 【点睛】本题考查了分析函数图像、弧长公式、勾股定理逆定理等知识，掌握弧长公式和分析函数图像的方法是解答本题的关键． 6．B 【解析】 【分析】根据题意抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a ，令x=2,y=(a-114)²+716,由0≤a≤4,推出y 的最大值和最小值,根据点D 的纵坐标的变化情形，即可解决问题． 【详解】解：由题意，抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线22y x x =+=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位， 抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a 令x=2,y=(3-a) ²-1+12a,∴y=(a-114)²+716,∵0≤a≤4∴y的最大值为8，最小值为716，∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-716)=738故选：B【点睛】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．7．B【解析】【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．已知PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E,根据切线的性质定理及切线长定理可得∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，由△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，可求得PA＝PB＝10，由sin∠APB＝45可得sin∠PFB=P BP F=35，即1010A F=35，即可求得AF＝203，在Rt△AOF中，由tan∠AOF=tan∠BPF=43=A FO A即可求得OA的长.【详解】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝20，∴PA ＝PB ＝10，∵sin ∠APB ＝45， ∴sin ∠PFB=P B P F =35， ∴1010A F +=35， 解得：AF ＝203，在Rt △AOF 中，tan ∠AOF=tan ∠BPF=43=A F O A， ∴20433O A =， ∴OA ＝5， 故选B ． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 8．D 【解析】 【分析】根据函数二次函数()2y x h =-（h 为常数）可得函数对称轴为x h =，由自变量x 的值满足-13x ≤≤时，其对应的函数值y 的最小值为4，再对h 的大小进行分类讨论，当h 3>时，自变量x 的值满足-13x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，当x=3时，y 取得最小值为 ()234h -=，可解得h 的值，并且注意检验h 要满足h 3>；当h 1<-时，自变量x 的值满足-13x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，当x 1=-时，y 取得最小值为()214h --=，可解得h 的值，并且注意检验h 要满足h 1<-，即可得出答案. 【详解】解：∵二次函数()2y x h =-（h 为常数）， ∴函数对称轴为x h =； ∵函数的二次项系数a=1， ∴函数开口向上，当h 3>时，x 的值满足-13x ≤≤在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x=3时，y 取得最小值，此时()2y 34h =-=，解得：1215h h ==， ∵h 3>，∴11h =舍去，5h =；当h 1<-时，x 的值满足-13x ≤≤在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x 1=-时，y 取得最小值，此时()2y 14h =--=，解得：1213h h ==-， ∵h 1<-，∴11h =舍去，3h =-； 综上所述，5h =或3h =-； 故答案为D. 【点睛】本题考查二次函数的最值与函数的增减性之间的关系，求出函数的对称轴，并且分析函数的增减性是做题关键.在分类讨论的时候一定要注意分类中的h 是有取值范围的，在取值范围内的结果才是最终的正确结果. 9．D 【解析】试题分析：根据图案，可知∠BAC 是格点角，因此可知来那个直角边为1和3，根据勾股定，从而根据余弦的意义求得cos ∠故选：D. 10．A 【解析】 【分析】连接DP ，根据直线与坐标轴的交点，得出A ，B 的坐标，求出AB 的长，即可得出⊙P 的半径，证△PED ≌△PFD ，可得四边形PEDF 面积＝2S △PED ＝2×12PE×DE ，当DP ⊥AP 时，四边形PEDF 的面积最小，利用三角函数求出DP 的长，即可求得答案. 【详解】 如图，连接DP ，∵直线y ＝12x+1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点， 当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(0，1)，∴AB ＝2221+=5，∵过点D(3，0)向以P 为圆心，12AB 为半径的⊙P 作两条切线，切点分别为E 、F ， ∴DE ＝DF ，PE ⊥DE ， ∵PE ＝PF ，PD ＝PD ， ∴△PED ≌△PFD(SSS)， ∵⊙P 的半径为52，∴DE ＝225PD 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当DP ⊥AP 时，DP 最小，此时DP ＝AD•sin ∠BAO ＝5×555=，∵四边形PEDF 面积＝2S △PED ＝2×12PE×DE ＝52DE ，∴四边形PEDF 面积的最小值为()2255535224⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选A ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 11．3y x=【解析】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB=2254-=3，在△ABO和△BCE 中，∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为3yx=．故答案为3yx=．点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D 的坐标是解题的关键．12．5263(1)nn n++【解析】∵点P1(1，y1),P2(2，y2)在反比例函数3yx=的图象上，∴y1=3,y2=32；∴P1A1=y1=3；又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴P1A1=B1P2=3，P1A1∥B1P2，∴点B1的纵坐标是：y2+y1=32+3,即点B1的纵坐标是92；同理求得,点B2的纵坐标是：y3+y2=1+32=52；点B3的纵坐标是：y4+y3=34+1=74；…点B n的纵坐标是：y n+1+y n=33631(1)nn n nn++=++；故答案是63 (1)nn n++．点睛：根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点B n的纵坐标是： y n+1+y n=33631(1)nn n nn++=++.13．3 【解析】【分析】由双曲线y=32x（x＞0）经过点D知S△ODF=12k=34，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=32，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．【详解】如图，∵双曲线y=32x（x＞0）经过点D，∴S△ODF=12k=34，则S△AOB=2S△ODF=32，即12OA•BE=32，∴OA•BE=3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB ，∴OB•BE=3，故答案为3．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义及矩形的性质．14 取格点C ，连接A C ，(使1A C l ⊥)，取格点E 、F ，连接E F (使1EF l )，与A C 交于点A '；同理作点B '；连接AB'与1l 交于点M ，连接A'B 与2l 交于点N ，连接MN ，即为所求【解析】【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AB 的长即可；(Ⅱ)要使A M M N N B++最短，则MN ⊥l 1，AM 与BN 转化成一条线段时最短，取格点C ，连接A C ，交l 1于Q ，交l 2于P ，由网格性质可得AC ⊥l 1，由l 1//l 2可得平行线间的距离PQ=MN 的长，取格点E 、F ，连接E F ，交AC 于A′，根据相似三角形的性质可得AA′=PQ ，同理可作点B′，则BB′=PQ ，连接AB'与1l 交于点M ，连接A'B 与2l 交于点N ，则BB′=PQ ，可得四边形AA′BB′是平行四边形，由全等三角形的性质可得AM=A′N ，可得四边形AA′MN 是平行四边形，可知MN ⊥l 1，同理BN=B′M ，则AM+BN=AB′距离最短，即可得解.【详解】(Ⅰ.(Ⅱ)如图，取格点C ，连接A C ，(使1A C l ⊥)，交l 1于Q ，交l 2于P ，∴PQ ⊥l 1，∴取格点E、F，连接E F(使1EF l)，与A C交于点A'；∵∠AFE=∠EAA′，∠AEF=∠AEF，∴△AA′E∽△FAE，∴'AA AE AF EF，∴AA′=526 26，∴AA′=PQ，同理作点B'；连接AB'与1l交于点M，连接A'B与2l交于点N，连接MN，∴BB′=AA′=PQ，∵BB′//AA′，∴四边形AA′BB′，∴AB′//A′B，∴∠QAM=∠PA′N，又∵AQ=A′P，∠AQM=∠A′PN，∴△AQM≌△A′PN，∴AM=A′N，∴四边形AA′MN是平行四边形，∴AA′//MN，∴MN⊥l1，同理：BN=B′M，∴AM+BN=AB′距离最短，∴MN即为所求.故答案为：取格点C ，连接A C ，(使1A C l ⊥)，取格点E 、F ，连接E F (使1EF l )，与A C 交于点A '；同理作点B '；连接AB'与1l 交于点M ，连接A'B 与2l 交于点N ，连接MN ，即为所求【点睛】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键. 15．5或1.4【解析】【分析】根据已知比例式先求出DE 的长，再分两种情况：①E 为BC 的中点，可直接得出AE 的长；②点E 在靠近点A 的位置，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，证明△ADF ∽△ACB ，得出AD DF AC BC =，从而可得出DF 的长，再分别根据勾股定理得出AF ，EF 的长，从而可得出结果．【详解】解：∵在R t A B C△中，根据勾股定理得，AC=2210A B B C +=， 又D 是AB 的中点，∴AD=12AB=4， ∵AD DE AB BC=， ∴126D E =，∴DE=3． 分以下两种情况：①当点E 在如图①所示的位置时，即点E 为AC 的中点时，DE=12BC=3， 故此时AE=12AC=5；②点E在如图②所示的位置时，DE=3，过点D作DF⊥AC于点F，∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A，∴△ADF∽△ACB，∴AD DFAC BC=，即4106DF=，∴DF=2.4．∴在Rt△ADF中，223.2A DDF-=，在Rt△DEF中，221.8DE DF-=，∴AE=AF-EF=1.4．综上所述，AE的长为5或1.4．故答案为：5或1.4．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键．16．②③【解析】【分析】一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m的两根为x1、x2，只有在m=0时根才为x1=2，x2=3，由此可对①进行判断；将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．【详解】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误；②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：m＞﹣14，故结论②正确；③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m，∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3），令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确，综上所述，正确的结论有2个：②③，故答案为：②③.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．y=x²-2x-3【解析】【分析】令二次函数中y=0得到关于x的方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据OC（OB-OA）=2OA·OB列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出二次函数解析式．【详解】由二次函数y=x2−2(m−1)x−1−m可知：开口向上，∵x1<0<x2，∴−1−m<0，∴m>−1，令y=0,则x2−2(m−1)x−1−m=0，设两根为x1，x2(x1<0<x2)，由题意得：x1=−OA，x2=OB，∴OB −OA =2(m −1)，OA ⋅OB =1+m ，OC =1+m代入OC (OB −OA )=2AO ⋅OB 得：(1+m )(2m −2)= 2(1+m )，整理得：(m -2) (m +1)=0，可得m -2=0或m +1=0，解得：m =2或m =−1(不符题意，舍)，∴抛物线解析式为y =x 2-2x -3.故答案为y =x 2-2x -3.【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点、一元二次方程与二次函数的关系等知识.利用根与系数的关系并结合OC （OB -OA ）=2OA ·OB 列出关于m 的方程是解题的关键.18．2+【解析】【分析】先证明△AOB ∽△APQ ，得到OA AB AP AQ=，由△OAP ∼△BAQ ，得到BQ =2OP ，进而得到ABQ C =22()A PO P ++．作O 关于直线y =O ’，连接'AO ，PO '，则OP =O 'P ，AO A PO PA O'+≥，从而得到答案． 【详解】如图所示．连接OP ．在t R A P Q 中，90A P Q ︒∠=．:A P P Q =2A Q A P ∴=又在R t O A B ∆中，:O A O B = OA PA OB PQ∴= 又∵90A OB A P Q ︒∠=∠=~A O B A P Q ∴ OA AB AP AQ ∴=，∠OAB =∠P AQ ， O A P B A Q ∴∠=∠O A P B A Q ∴21B Q A Q O P A P ∴== 2B Q O P ∴=．∵OA =1．OB =3，∴AB =22221(3)2O A O B +=+=， A B QC A B A Q B Q ∴=++222A PO P =++22()A P O P =++ 又P 为直线3y =上的动点．∴作O 关于直线3y =的对称点O ’，(0,23)O '∴，连接'AO ，PO '．∴OP =O 'P ，AO '=221(23)13+=， ∴AP +OP =AP +PO '13A O '≥= ()m i n2213AB QC ∴=+ 即A B Q △的最小值为2213+．故答案为：2213+．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ周长的最小值转化为求AP+OP的最小值．19．100°【解析】试题解析：过点B作直径BE，连接OD、DE．∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140°，∴∠E=180°-140°=40°．∴∠BOD=80°．∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，∴∠OBA=∠ODA=90°．∴∠A=360°-90°-90°-80°=100°．点睛：过点B作直径BE，连接OD、DE．根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解．20．3 4【解析】【分析】【详解】【分析】连结DC、DC′，过点D作DE⊥BC于点E，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可证明△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用等腰直角三角形的性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，则可求出答案．【解答】解：连结DC、DC′，过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即，∴△DBB′∽△DCC′，∴，设DC＝3x，BD＝5x，∵点D到BC的距离等于点D到AC的距离，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∴DE＝3x，在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝，即．故答案为：34．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，角平分线的判定等知识，熟练掌握旋转的性质及方程思想是解题的关键．21．(1)作图见解析；（2）证明见解析；（3）当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形”．【解析】试题分析：(1)根据题意画出图形即可.（2）根据平行线的性质就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，由相似三角形的性质就可以求出结论；（3）根据角平分线的性质可以得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有条件就可以得出∠ABC=∠DCB，从而得出结论，当点E不在四边形内部时分两种情况讨论就可以求出结论．试题解析：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB，∴AB=AE．∵在△ABE和△DEC中，，∴△ABE∽△DEC，∴，∴；（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∴∠BFE=∠CHE=90°．∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），∴∠3=∠4．∵BE=CE，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC=∠DCB，∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴ABCD是“准等腰梯形”．当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，∴∠B=∠C，∴ABCD是“准等腰梯形”．当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”．分两种情况：情况一：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；情况二：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形”．考点：相似三角形综合题.。

2020-2021初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，233），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-233=433，即E的纵坐标为-433，∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，联立533y x y x +⎧⎨+⎩＝＝ 得D 1(0，3)， 同理可得D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a ，解得：a=14， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB ′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43，当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．如图，直线y＝-12x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．【答案】(1)y＝14x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣34(m+3)2+274；△ADC的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，14m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣12m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6，即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3；(2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274，又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.6．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−， 综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵223432333y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，3），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=3=3，即E 的纵坐标为-3， ∴ E （-1，）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，），F （-4）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，-3），F （-4，3）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题8．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1113+0）、N1131）；M2113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ 、∠PQN 均为钝角知△AOQ ≌△PQN ，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，证△OQM ≌△QNH ，根据对应边相等建立关于x 的方程，解之求得x 的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA ，∴点C 的坐标为（0，3），将A 、C 坐标代入y=ax 2﹣2ax+c ，得：203a a c c ++=⎧⎨=⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，所以点G 的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ），∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，解得：x=1132±（负值舍去）， 当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132+，0），∴点N 坐标为（1132++1312-，﹣1），即（13，﹣1）；或（1132+﹣1312-，﹣1），即（1，﹣1）；如图3，同理可得△OQM ≌△PNH ，∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（1132+，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3， 解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】 【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案. 【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值； (2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点， 画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象， 可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时，a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72，∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）．设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P （-12，74）、Q （72，-94）代入y=mx+n ，得：17247924m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ 的表达式为y=-x+54． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+54）=-x 2+3x+74， ∴S △DPQ =12DE•（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32，154）．（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ， ∴S △DPQ =12DE•（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8． 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．12．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

A． (x 2)2 ( y 4)2 4
B． (x 2)2 ( y 4)2 16
C． (x 2)2 (y 4)2 4
D． (x 2)2 ( y 4)2 16
【答案】D
【解析】 圆 C 的圆心在直线 y 2x 上， 可设 C a, 2a ， 圆 C 与 x 轴正半轴相切与点 A ，a 0 且
1．（2020·湖南雨花高一期末）圆心在 y 轴上，半径为 2，且过点 2, 4 的圆的方程为（ ）
A． x2 y 12 4
B． x2 y 22 4
C． x2 y 32 4
D． x2 y 42 4
【答案】D
【解析】根据题意，设圆心的坐标为 0, b ，则有 0 22 b 42 4 ，解可得 b 4 ，则圆的方程为
圆 C 的半径 r 2a ， Aa, 0 . A 到直线 x y 4 0 的距离 d
2 ，d
a04 11
2 ，解得：
a 6 或 a 2 ， A2, 0 或 A6, 0 ， A 在直线 x y 4 0 的左上方， A2, 0 ，C 2, 4 ，r 4 ，
圆 C 的标准方程为： x 22 y 42 16 .
A． x 32 y 12 4
B． x 12 y 12 4
C． x 32 y 12 4
D． x 12 y 12 4
【答案】B
【解析】因为过点
A1, 1 与
B 1,1
，所以线段
AB
的中点坐标为 0, 0
， kAB
1 1
1 1
1 ，所以线
段 AB 的中垂线的斜率为 k 1，所以线段 AB 的中垂线的方程为 y x ，又因为圆心在直线 x y 2 0 上，
x2 y 42 4。