5函数的应用(1)

专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

利用二分法求方程的近似解新课程标准解读核心素养探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性数学抽象、直观想象、数学运算电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．[问题] (1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？ (2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？知识点一 二分法 1．满足精度ε的近似解设x ^是方程f (x )＝0的一个解，给定正数ε，若x 0满足|x 0－x ^|<ε，就称x 0是满足精度ε的近似解．2．二分法对于一般的函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若函数y ＝f (x )的图象是一条连续的曲线，f (a )·f (b )<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )答案：A2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________(填序号)．①f(x)＝3x；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝ln x；④f(x)＝|x－1|.答案：②④知识点二二分法求函数零点近似值的步骤二分法求函数零点近似值口诀定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．1．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为( )A．|x1－x2|>εB．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2D．x2<ε<x1答案：B2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：(0，0.5) f(0.25)二分法概念的理解[例1] (1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．[解析] (1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴下一个有根的区间是(1，2)．[答案] (1)D (2)(1，2)二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[跟踪训练]在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1，4]B ．[－2，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：选D ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.用二分法求方程的近似解[例2] (链接教科书第146页例4)求方程ln x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)． [解] 分别画出函数y ＝ln x 和y ＝2－x 的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x ＝2－x 的解．由函数y ＝ln x 与y ＝2－x 的图象可以发现，方程ln x ＝2－x 有唯一解，且这个解在区间(1，2)内．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点即方程ln x ＝2－x 的解，记为x 0，则有：f (1)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1，2)； f (1.5)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1.5，2)； f (1.5)<0，f (1.75)>0⇒x 0∈(1.5，1.75)； f (1.5)<0，f (1.625)>0⇒x 0∈(1.5，1.625)； f (1.5)<0，f (1.562 5)>0⇒x 0∈(1.5，1.562 5)．因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以方程ln x ＝2－x 的近似解可取为1.562 5.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m ，n ](一般采用估计值的方法完成)； (2)取区间端点的中点c ，计算f (c )，确定有解区间是(m ，c )还是(c ，n )，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．[跟踪训练]用二分法求2x＋x ＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据如下表：x1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f (x )＝2x＋x －4，则f (1)＝2＋1－4＝－1<0，f (2)＝22＋2－4＝2>0. 用二分法逐次计算，列表如下： 区间精确度 区间中点值x n f (x n )的值及符号(1，2)|2－1|＝1x1＝1.5f(x1)≈0.33>0(1，1.5)|1.5－1|＝0.5x2＝1.25f(x2)≈－0.37<0(1.25，1.5)|1.5－1.25|＝0.25x3＝1.375f(x3)≈－0.035<0∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.二分法的实际应用举例[典例] 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．[问题探究]1．当a＝12，b＝3时，该如何称？提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．[迁移应用]将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中，然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中，最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )解析：选A 能够利用二分法求近似值的零点，其两则的函数值必须异号，故选A.2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C ．|a －b |>0.001D ．|a －b |＝0.001解析：选B 据二分法的步骤知当区间长度|b －a |小于精确度ε时，便可结束计算． 3．用二分法研究函数f (x )＝x 3－2x －1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为( )A ．(1，2)B ．(1.75，2)C ．(1.5，2)D ．(1，1.5)解析：选C 已知函数f (x )＝x 3－2x －1，因为f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (1.5)＝－58<0，所以下一个有解区间是(1.5，2)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如表：求方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度为0.04)．解：由表格可知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在区间(1.406 25，1.437 5)之间， 因为|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04.所以x 0可以是[1.406 25，1.437 5]之间的任意一个数，故取x 0＝1.406 25.。

所以当总质比为800时，A型火箭的最大速度约为 2 010 m/s .
（2）经过材料更新和技术改进后， A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总
1
质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 300
2
改进前总质比的最小整数值.
（参考数据： ln 800 ≈ 6.7 ， 2.718 < e < 2.719 .）
第五章 函数的概念、性质及应用
5.3 函数的应用（第1课时）
5.3.1 函数关系的建立（含指幂对函数）
【示例1】一次函数、二次函数、分段函数模型
例1 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100
元，已知总收入满足函数：
400x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 200, x ∈ ,
间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利
润是多少？
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)
是一个一次函数关系，虽然 x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一
次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元
/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
f x < 30 000 − 100 × 200 < 12 500 .
所以当 x = 150 时， f x 取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
跟踪训练1
我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12 80
0元的价格购入一批风能发电机.经测算，每台发电机每年的发电收益约7 200元，