下载文档原格式
康福 0031
一．无约束优化方法
无约束优化方法的必要性
一般机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它们都属于约束优化问题。但是为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。
（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优
化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 （4）对于多维无约束问题来说，古典极值理论中令一阶导数为零，但要求二阶可
微，且要判断海赛矩阵为正定才能求得极小点，这种方法有理论意义，但无实用价值。和一维问题一样，若多元函数F(X)不可微，亦无法求解。但古典极值理论是无约束优化方法发展的基础。
共轭梯度法
目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。
（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度
法等。
（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。
间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛
矩阵。
搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。
1(0,1,2,)
k k k
k s
k α+=+=L x
x
共轭梯度法是沿着共轭方向进行搜索，属于共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。共轭梯度法作为一种实用的迭代法，它主要有下面的优点：
（1）算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量P 产生向量W=AP ，这不仅
可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供矩阵Ａ较为困难而由已知向量P 产生向量W=AP 又十分方便的应用问题是很有益的。
（2）不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像SOR 等； （3）每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。
共轭梯度法原理的知识较多，请详见《机械优化设计》第四章的第四、五节。 图1为共轭梯度法的程度框图
图1为共轭梯度法的程度框图
二．设计题目及要求
设计题目
用共轭梯度法求二次函数
2
21212
112(,)242f x x x x x x x =+--
的极小点及极小值。
设计要求
（1）使用matlab 编写程序，熟练撑握matlab 编程方法。
（2）学习并撑握共轭梯度法的原理、方法及应用，并了解不同无约束优化方法的
区别、优缺点及特殊要求。
（3）编写程序，计算出二次函数的极小点及极小值，并适当选取不同的初始点及
迭代精度精度，分析比较结果。
三．计算步骤
计算求解
解：已知初始点[1,1]T 迭代精度 0.001ε=
1）第一次沿负梯度方向搜寻 计算初始点处的梯度： 为一维搜索最佳步长，应满足
得：
2）第二次迭代
代入目标函数
由
得 从而有：
因
0120212244()422x x f x x ---⎡⎤⎡⎤
∇==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
⎣⎦x x 01
00014141212αααα+⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x x d 1002
()min ()min(40203)f f αα
ααα=+=--x x d 00.25
α=1
20.5⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
x 11()2f -⎡⎤
∇=⎢⎥
-⎣⎦
x 21
2
00()5
0.2520
()
f f β∇=
=
=∇x x 1
1
02() 1.5f β⎡⎤
=-∇+=⎢⎥
⎣⎦
d x d 21122220.5 1.50.5 1.5αααα+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x x d 22()(22)2(0.5 1.5)2(22)(0.5 1.5)4(22)()
f x αααααφα=+++-
++-+=()0φα'=1
α=2
22
40,()8,()20f f ⎡⎤⎡⎤==-∇=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
x x x 2()0f ε
∇= 收敛。 运行与程序 运行：打开matlab,确定文件夹为当前目录。 在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1], 选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度，,进行运行 时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。 程序及说明： function f=conjugate_grad_2d(x0,t) %用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点 %已知初始点坐标：x0 %已知收敛精度：t %求得已知函数的极值：f x=x0; syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量 f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi; %创建符号表达式f fx=diff(f,xi); %求表达式f对xi的一阶求导 fy=diff(f,yi); %求表达式f对yi的一阶求导 fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值 fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值 fi=[fx,fy]; %初始点梯度向量 count=0; %搜索次数初始为0 while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t %搜索精度不满足已知条件 s=-fi; %第一次搜索的方向为负梯度方向 if count<=0 s=-fi; else
