2018佛山一模理科数学试题及答案

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log 53＞log73，b=log 73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S=×|CD|×|FG|=×3×2=3，△CDF故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由a n=2S n﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∴（a n+1∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣2=0，即a n﹣1﹣a n=2．+1∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴S max=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．。

佛山市达标名校2018年高考一月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-3．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤4．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．125．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP OB，BP OA，则DP=（）A．2DA DC+B．3 2DA DC+C．2DA DC+D．3122DA DC+6．已知函数()2cos sin6f x x x mπ⎛⎫=⋅++⎪⎝⎭（m∈R）的部分图象如图所示.则0x=（）A．32πB．56πC．76πD．43π-7．已知函数()f x满足：当[)2,2x∈-时，()()22,20log,02x x xf xx x⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x∈R，都有()()4f x f x+=，则()2019f=（）A．0 B．1 C．-1 D．2log38．已知i为虚数单位，若复数12z i=+，15z z⋅=，则||z=A．1B5C．5D．559．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x，小张离开家的时间为y，(,)x y看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率()P A等于（）A．58B．25C．35D．7810．“”αβ≠是”cos cosαβ≠的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --12．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）_含详细解答数学（理科）2018年1月第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．复数5122iz i 的实部为（）A ．1B ．0C ．1D ．22．已知全集U R ，集合0,1,2,3,4A ，2|20B x x x ，则图1中阴影部分表示的集合为（）A ．0,1,2B ．1,2C ．3,4D ．0,3,4图13．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ，则32z x y 的最小值为（）A ．1B ．0C ．3D ．94．已知x R ，则“22x x ”是“2x x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线1:2sin 6C y x 上所有点向右平移6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （）A ．关于直线6x 对称B ．关于直线3x 对称C ．关于点,012对称D ．关于点,06对称6．已知1tan 4tan ，则2cos4（）A ．12B ．13C ．14D ．157．当5,2m n 时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．20B ．42C ．60D ．180图2 图38．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（）A ．212B ．15C ．332D ．189．已知()22x x af x 为奇函数，()log 41x g x bx 为偶函数，则()f ab （）A ．174B ．52C ．154D ．32。

2017-2018年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理科) 1一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.复数31i i++等于( ).A.12i +B.12i -C.2i -D.2i + 2.已知集合{}{}|02,|1M x R x N x R x =∈<<=∈>,则()R M N =I ð( ).A.[)1,2B.()1,2C.(]0,1D.[)0,13.已知两个单位向量12,e e u r u r 的夹角为45o,且满足()121e e e λ⊥-u r u r u r ,则实数λ的值为( ).D.2 4.已知,a b R ∈,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( ).A.2-B.1-C.1D.2 6.下列函数中,可以是奇函数的为( ).A.()(),f x x a x a R =-∈B.()21,f x x ax a R =++∈C.()()2log 1,f x ax a R =-∈D.()cos ,f x ax x a R =+∈ 7.已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: (1)存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥. (2)存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥.(3)存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确的命题个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.38.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ).A.45B.55C.10!D.1010 二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9～13题) 9.如果()11sin 1x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦____________. 10.不等式13x x a -+-≥恒成立,则a的取值范围为____________.11.已知点()()2,0,0,4A B -到直线:10l x my +-=的距离相等,则m 的值为____________.12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为______________.13.如图1,为了测量河对岸,A B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点,A B ,找到一个点D ,从D 点可以观察到点,A C ,找到一个点E ,从E 点可以观察到点,B C ,并测量得到一些数据:2,45,105,48.19,75,CD CE D ACD ACB BCE ==∠=∠=∠=∠=o o o o E ∠=60o ,则,A B 两点之间的距离为____________.(其中cos 48.19o 取近似值23).(二)必做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,,PA PB 是圆O 的两条切线,切点分别为,,A B PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于,C D 两点,若1PB MC ==,则CD =_________.15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)1:sin 1C ρθθ+=与曲线()2:0C a a ρ=>的一个交点在极轴上,则a =__________.三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间.17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI)(单位:3)资料如下:/g m(1)请填好2017-2018年11月份AQI数据的平率分布表并完成频率分布直方图.(2)该地区环保部门2017-2018年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当100AQI <时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=o 的菱形,M 为棱PC 上的动点,且[]()0,1PMPCλλ=∈.(1)求证:PBC V 为直角三角形.(2)试确定λ的值,使得二面角P AD M --的平面角余弦值为19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()()211,12n n a S n a n n n N *==--∈. (1)求23,a a .(2)求数列{}n a 的通项. (3)设11n n n b S S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <()n N *∈.20.(本小题满分14分)已知曲线22:11x y E m m +=-. (1)若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围.(2)已知()4,1,0m A =-和曲线()22:116C x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x-=.(1)若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数.(2)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值.(3)若0x >,证明:()ln 11x x xxe +>-(其中 2.71828e =L 是自然常数).。

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log 53＞log73，b=log 73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，=×|CD|×|FG|=×3×2=3，∴S△CDF故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由a n=2S n﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n﹣1﹣a n=2．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴S max=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2017~2018年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题．每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．17则∴1S 由∴由即20b ⎪=⎩1λ⎪=⎩∴1λ=．……………………………………………………………………………………………………6分（II ）由（I ）得22n n S a n =+，当1n =时，21121a a =+，得11a =………………………………8分 ∴1(1)11n a a n d n n =+-=+-=………………………………………………………………………9分∴212111111()(21)(21)22121n n a a n n n n -+==--+-+…………………………………………………11分∴11111111[(1)()()](12335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++………………………12分18．【解析】（I ）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X ，Y ，则()60000.470000.380000.290000.17000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………1分E D D E （ 由 19∵PO ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PO AB ⊥，又OM AB ⊥，OM OP O =， ∴AB ⊥平面OPM ，PM ⊂平面OPM ，∴AB PM ⊥．…………………………………………2分 同理AD PN ⊥，即90AMP ANP ∠=∠=．…………………………3分 又PAB PAD ∠=∠，PA PA =，∴△AMP ≅△ANP ．…………4分 ∴AM AN =，又AO AO =，∴Rt △AMO ≅Rt △ANO ．………5分 ∴OAM OAN ∠=∠，所以AO 为BAD ∠的平分线．……………6分（∠∴45=，∴2AO -则∴..........................................................................................1022262DC y DP x ⋅=⋅= (115517)=20c ∴（不妨设直线:(3)(0)PA y k x k =->，则直线1:(3)PB y x k=--．…………………………………4分 联立22(3)19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元y 整理得2222(19)54(819)0k x k x k +-+-=， 则2222(54)4(19)(819)360k k k ∆=--+-=>，26||19PA k=+；………………………6分同理可得2266||1919k PB k k ==++⋅，………………………………………………8分 所以△PAB 的面积222118(1)||||2(19)(9)k kS PA PB k k +=⋅=++……………………………………………9分 22=[=3（舍去），即直线 [另解2]当直线AB 的斜率不存在时，可设:(33)AB x t t =-<<，则△PAB 是等腰直角三角形，可设(,3)A t t -，代入椭圆方程得22(3)19t t +-=，解得125t =，211292(32525PABS=⋅-=．……4分 当直线AB 的斜率存在时，可设:AB y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立2219y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元y 整理得222(19)18(99)0k x kmx m +++-=， 则22222(18)4(19)(99)36(91)0km k m k m ∆=-+-=+->，1221819kmx x k -+=+，21229919m x x k -=+…7分∵PA PB ⊥，∴1122121212(3,)(3,)3()9()()PA PB x y x y x x x x kx m kx m ⋅=-⋅-=-+++++，218sin ()2α++所以△PAB 的面积1222211|36sin cos |9|sin 2|||22(18sin )(18cos )916sin 2S αααρρααα=⋅=⋅=+++……………………9分 令|sin 2|t α=，则(0,1]t ∈，299939916212816t S t t t==≤=+⋅+，……………………………………11分当且仅当916t=，即29sin 2α=，3sin 2α=-时，△PAB 的面积取得最大值为3．…………12分 21∴2000000315()()(222a a f x x a x a x x x =--+=--，即00001()()2af x x a x x =--，………11分 0()0f x >[另证]()0()0f x x f x >⇔⋅>，令()()h x x f x =⋅……………………………………………………5分若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立；…………………………………………1分 若11a -<<，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-；……………………………………2分 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解．…………………………………………3分 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-．……………………………………………………………………4分（II ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需max min5[()]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦………………………5分 当(,]x a ∈-∞时，2()f x x ax =-+，2max[()]()24a a f x f ==…………………………………………6分∵5544y y a a ++-≥+，∴当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦…………8分。

佛山市2018届普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数5122iz i-=+的实部为（） A ．1- B ．0 C ．1D ．22．已知全集U R =，集合{}0,1,2,3,4A =，{}2|20B x x x =->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2 图1C ．{}3,4D ．{}0,3,43．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94．已知x R ∈，则“22x x =+”是“x =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线1:2sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．1808．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（ ）A ．212B ．15C ．332D ．189．已知()22xxa f x =+为奇函数，()()log 41xg x bx =-+为偶函数，则()f ab =（ ） A ．174 B ．52 C ．154- D ．32-10．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =（ ）A B ．10 C ．D ．11．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，PA =PC =P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．24 B ．28π C ．32π D ．36π12．设函数322()32(0)f x x ax a x a =-+≠，若1212,()x x x x <是函数2()()g x f x a x λ=-的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <； ②若02λ<<，则12()()f x f x <； ③若2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确的结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．设b a c b a λ+=-==),1,1(),2,1(，若c a ⊥，则实数λ的值等于 ． 14．已知0a >，()()412ax x -+的展开式中2x 的系数为1，则a 的值为 ．15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 ．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆与过1F 的直线l 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN = ，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n n S a n R λλ=+∈．（Ⅰ）求λ的值； （Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．18．(本题满分12分)有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下：（Ⅰ）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（Ⅱ）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈．请用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(本题满分12分)如图4，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3=AB ,6=CD ,4==AP AD , ︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影落在BAD ∠的平分线上； （Ⅱ）求二面角C PD B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的焦点与抛物线2C ：2y =的焦点F 重合，且椭圆右顶点P 到F 的距离为3-（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且满足PA PB ⊥，求PAB ∆面积的最大值.21．(本题满分12分) 已知函数x x a x x f 21ln )()(+-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为x y 21=，求a 的值； （Ⅱ）若e a e221<<（e 是自然对数的底数），求证：0)(>x f .请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BAABD 6-10:CCCDC 11、D 12：B二、填空题13. 5- 14.12 15. 1316.2 三、解答题17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的通项为)0(≠+=k b kn a n ，则2)2(2)(1b k kn n a a n S n n ++=+=， 由n a S n n λ+=22可得n b kn b k kn n λ++=++2)()2(即2222)2()2(b n kb n k n b k kn +++=++λ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=02222b kb b k k k λ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===101λλb k所以1=λ.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知n a S n n +=22，当1=n 时，12211+=a a ，得11=a 所以n n d n a a n =-+=-+=11)1(1， 所以)121121(21)12)(12(111212+--=+-=+-n n n n a a n n所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . 18.解：（Ⅰ）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量,X Y ， 则()60000.470000.380000.290000.17000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=,()50000.470000.390000.2110000.17000E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()222(60007000)0.4(70007000)0.3(80007000)0.2D X =-⨯+-⨯+-⨯ 22(90007000)0.11000+-⨯=()222(50007000)0.4(70007000)0.3(90007000)0.2D Y =-⨯+-⨯+-⨯ 22(110007000)0.12000+-⨯=,则()()()(),E X E Y D X D Y =<,我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（Ⅱ）因为10.5513 5.024k =>，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22⨯列联表：计算221000(5000070000)20006.734600400450550297k -==≈⨯⨯⨯ 2 6.734 6.635k =>，差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025<，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.解：（Ⅰ）设点O 为点P 在底面ABCD 的射影，连接AO PO ,，则PO ⊥底面ABCD ， 分别作,OM AB ON AD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，连接,PM PN ， 因为PO ⊥底面ABCD ,AB ⊂底面ABCD ，所以PO AB ⊥，又OM AB ⊥,OM OP O = ，所以AB ⊥平面,OPM PM ⊂平面OPM ， 所以AB PM ⊥，同理AD PN ⊥，即090AMP ANP ∠=∠=，又,PAB PAD PA PA ∠=∠=，所以AMP ANP ∆≅∆， 所以AM AN =，又AO AO =，所以Rt AMO Rt ANP ∆≅∆，所以OAM OAN ∠=∠，所以AO 为BAD ∠的平分线.（Ⅱ）以O 为原点，分别以,,OM ON OP 所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为4PA =，所以2AM =，因为,AB AD AO ⊥为BAD ∠的平分线，所以045,2,OAM OM AM AO ∠====PO =则(2,1,0),(2,2,0),(2,4,0)B P D C ---，所以(4,3,0),(0,6,0)DB DP DC ===设平面BPD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则11111114302220n DB x y n DP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取1n =- ， 设平面PDC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则由22211160220n Dc y n DP x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取21)n =- ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅， 所以二面角B PD C --.20.解：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得a b >，且33,1F c a c a b =-=-== ，所以椭圆1C 的方程为2219x y += . （Ⅱ）依题意，可设直线,PA PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线:(3)PA y k x =-，则直线1:(3)PB y x k=--， 联立：22(3)19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(19)54(819)0k x k x k +-+-=，则2619PA k =+同理可得：222661919k PB k k ==++⋅，所以PAB ∆的面积为：22222222118(1)18(1)32(19)(9)9(1)648k k k k S PA PB k k k k ++===≤=++++， 当且仅当23(1)8k k +=，即43k ±=是面积取得最大值38.21. （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，()3ln 22a f x x '=-+ ， 由题意知00000000121()ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪-+=⎪⎩，则0000()ln 0ln 10x a x ax x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得01,1x a ==或0,1x a a ==，所以1a =.（Ⅱ）令()()3ln 2a g x f x x x '==-+，则()21ag x x x'=+，因为12a e <<()20x ag x x+'=>，即()g x 在(0,)+∞上递增， 以下证明在()g x 区间(,2)2aa 上有唯一的零点0x ，事实上31()ln ln 222222a a a a g a =-+=-，3(2)ln 2ln 2122a g a a a a =-+=+因为12a e <<1()ln 0222a g <-=，1(2)ln(2)102g a e <⋅+=， 由零点的存在定理可知，()g x 在(,2)2aa 上有唯一的零点0x ， 所以在区间0(0,)x 上，()()()0,g x f x f x '=<单调递减； 在区间0(,)x +∞上，()()()0,g x f x f x '=>单调递增， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln 02ag x x x =-+=，即003ln 2a x x =-， 所以20000000315()()()222a a f x x a x x x x x =--+=--，即00001()()(2)2af x x a x x =--. 0)(),2,2(00>∴∈x f a a x ,故当e a e221<<时，0)(>x f22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设12(,),(,)2M N πρθρθ+，其中(0,)2πθ∈，则124sin 4sin()4(sin cos )()24OM ON ππρρθθθθθ+=+=++=+=+ ，所以当4πθ=，OM ON +取得最大值为23.解：（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立， 若11a -<< ，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-， 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-.（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min5[]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，()[]22max,()()24a a f x x ax f x f =-+==，因为5544y y a a ++-≥+，所以当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦，即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是]5,0(.。

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．22．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．555．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z==6故输出结果为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c ﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为﹣10 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（ +λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n=3S n﹣2与a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知a n=﹣a n﹣1（n≥2），进而可知数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n=3S n﹣2，∴a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n﹣a n﹣1=3a n，整理得：a n=﹣a n﹣1（n≥2），又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式a n=（﹣1）n﹣1•；（2）由（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，∴T n=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，∴﹣T n=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，错位相减得： T n=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•=1+﹣（﹣1）n•n•=+（﹣1）n﹣1••，∴T n= [+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．标准差σ==6．（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0.95443×0.04562≈0.0017．P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0.99744×0.0026≈0.0026．由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D 为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而A H⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），则cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∴∠APD=∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴=，∵BP=2BC∴PD=2AD，∴AB=AD，∴PD=2AB；（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，∴2t×5=（4﹣t）×4∴t=，即AB=．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．。

20仃-2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）第I 卷（选择题共60 分）、选择题：（本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.）1 _2i1.复数"齐的实部为（C . 12.已知全集U = R ，集合A -「0,1,2,3,4 ?, B - \x|x 2-2x 0^，则图1中阴影部分表示的集合为（）2+答案】A解析：8 = {x\x'-2x>0} = {x\x(x-2)>Q} = {x\x<0^x>2}t = {x\0^x^2}.阴彩部分亚示的集合为^nC ^ = {0J,2|y 乞0 r3.若变量x,y 满足约束条件 x -2y -1 一 0 ,贝V z =3x -2y 的最小值为（）x _4y - 3- 0A . -132 3 挖川料牟为＜ ・纵毂距为—三的也线*作直^y = -x 22‘2当直线过点^（-1,-1）时.H 线在y 轴上的戴距最大. 此时畫取得最小值.=3x （-l ）-2x （-l ）—1.1-21 解析d 八馳-2Y£_l-2i_(l-2i)(2-i)_-5i__h 其实部为。

含详细解答2018年1月A .「0,1,2?B . d,2?D .「0,3,41解析：作町行域为如图所示的A.1BC .C .「3,41图14•已知 x • R ，则’x 2 =X • 2 ”是 “x 二5T~2 ”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件4.答案* B解析：由*' =x+2» 得F — J -2 = Q,（j;-2Xjr 十】）=0 * 解得工=2 或= 一1:由x = >/x + 2 ’ 得x = 2 ・ 肢"/=x + 2 ” ft "X =V7+2 “的必嘅不充分条件. 1原来的一，得到曲线C 2，则C 2（2于唯咖称7•当m =5,n =2时，执行图2所示的程序框图，输出的 S 值为（）A • 20B • 42C • 60D • 1807.答案* C解析,刖=殳“ =2->直= T 否=4—香*$ = 20/ = 3T 否= 2—> 是->输出£=605 .曲线Ci: y = 2sin I x 上所有点向右平移I 6丿TT—个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为6A •关于直线x =6对称兀B .关于直线x 对称3JIC .关于点护对称D •关于点 ,0对称16 .丿解析；y = 2sinl x —・向右平畤个戦长應和心“=2sin x — I 3・再把得到的曲线上所有点的杯閒短为原来幻®亠“当耳二一时.尹=0,所以曲线G 关6.已知 tan vta n°=4 ,COS 2解析：（an^+—-sinOsiir + cos 2^”4・所Wsin tfcos^ = -1 从而tan 9 cos^ sin^ sin cossin (9 cos41 + cosj 2&+1 \sin 2& = 2sin- — , cos 2 +1* " 1-- I 一血 2"2 I= ---------- = ・| = 一24图2图3 8某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（)21B. 1533 “A . C . D . 18228.荐案；C解折*该几何体的直覘图如图所；可以苕成是一个直四梭柱戴去 ,〔棱锥’其体积9.已知f(x)=2x•步为奇函数，g(x)=bx-log 4x 1为偶函数，则f(ab)=( )17 5 15 3A .B . C. D.4 2 4 2。

图1佛山市普通高中2018届高三教学质量检测（一）数学理试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A = B. T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A =4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.图213．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.排球队篮球队A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM ,求t的值图720.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．180 10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．13 14．．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………………2分又a =， 所以22223cos 24ba c bB ac +-===，……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，………………………………………………………………7分 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯38+=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, 所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………6分203)0(15141311===C C C C X P ,()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , 排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8解法二图ABCD PEFH()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分所以X 的分布列为所数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ………………………………………2分在图1中,易得EF ==在PEF∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP =,()6,5,0EF = , …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===nn427. 所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为. ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP =…………………………………………11分在AEF∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分 在Rt APH ∆中,sin AH APH AP ∠===所以直线AP与平面PEF 所成角的正弦值为. ………………………………………………14分19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==,所以2b = …………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. …………………………………5分 (Ⅱ)设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以QM ===……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =时,QM的最大值为……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +…②.…………………………………4分于是当2n ≥时，n a .…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n-=+，于是()241nb n=+.…………………………………………………6分由③式，可得当2n≥时，()41na n n+.…………………………………7分当1n=时，18a=，满足该式子，所以对一切正整数n，都有()41na n n=+.…………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n++++<+-L.…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n⎛⎫<-⎪+-+⎝⎭（2n≥）.因为2222212111277882 4417144177n n n nn n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+-⎪+-++-+⎝⎭()()220120n n n n⇔+->⇔-+>,所以当2n≥时，21111211111212723441772317727n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯=⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L. …12分当1n=时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n，有7211...111111321<-++-+-+-naaaa……………………………14分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n⎛⎫<==-⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n≥时，2111723441n n++++-L1111111111172345971123212123n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111111112723457714147⎛⎫<+++<++=⎪⎝⎭.……………………………………………………12分当1n=时，1277<；当2n=时，11112723777+<+=.…………………………………………13分综上所述，对一切正整数n，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<.……………………………………………………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分) 【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x <（舍去）， 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).若a ≤-，即a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-， 当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =x a =-，极大值点为x =当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分 （Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2x x a x +>…（*） （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02x x <，0x a +≥，不等式（*）恒成立； （ⅱ）当1x =时，ln 02x x=，即10a +>，所以1a ≠； （ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2x a x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x xϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<， 因此()ln 2x g x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值， 所以ln 2x a x x<--不可能恒成立. 令()ln 2x h x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-. 综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。