1.5等腰三角形的轴对称性复习 (2)

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。

《等腰三角形的轴对称性二》教案《等腰三角形的轴对称性二》教案学习目标1、掌握“等角对等边”的性质；2、掌握等边三角形的性质及其判定；3、能用等边三角形的性质及判定进行有关的计算和说理。

学习重难点重点：熟练的掌握“等角对等边”及等边三角形的重要性质；难点：正确熟练的运用新知解决简单问题。

自主学习1、有的三角形是等腰三角形。

（简称）2、三边的三角形叫做等边三角形或 . 三个角的三角形是等边三角形。

有一个角是的三角形是等边三角形。

3、等边三角形的各个角都等于°4、等边三角形是轴对称图形，有条对称轴.合作探究1、写出“等腰三角形的两底角相等”这个命题的逆命题。

判断你写出的这个逆命题是真命题还是假命题。

阅读书本第62页内容，可以与同学讨论你的观点。

结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2、等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有独特的性质：预习书本后，你会得出：等边三角形的各个角都等于° 3、讨论：（1）如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？。

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？。

结论：三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

达标巩固1．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( ) A．120° B．130° C．150°D．160°2、等腰三角形的周长为80 cm，若以它的底边为边的等边三角形周长为30 cm，则该等腰三角形的腰长为 ( ) A．25 cm B．35 cm C．30 cm D．40 cm3、如图，D、E、F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF，判断△DEF的形状，并说明理由.AFDBEC4、如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE．求证：△ADE是等边三角形．5、如图，△ABE和△ACD都是正三角形，BD与CE相交于点O. （1）EC＝BD吗？为什么？（2）你能求出∠BOC的度数是多少吗？E A O B C D。

1.5 等腰三角形的轴对称性（2）--- ( 教案)班级 姓名 学号教学目标：1、掌握等角对等边的性质2、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；4、会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力教学重点：熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质； 教学难点：正确熟练的运用新知解决简单问题； 教学过程： 一、情境创设：前一课，我们知道了：在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系呢？ 这一节课，我们首先就来探索这个问题.探索1：（1）如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB ，所得∠1与∠2相等吗？为什么？（2）如图2，将纸条沿截线AB 折叠，在所得的△ABC 中，仍有∠1=∠2.度量AB 和AC 的长度.你有什么发现？ 二、新课讲解：通过上面的探索，同学们发现了AB=AC.这是不是巧合呢？我们再来做一个实验： 在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 的同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABN ，设AM 与BN 相交于点C ，量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？ （度量后，我们还会发现AC ＝BC ）AB21BAC21 图1 图2于是，我们可以得到结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对的边也相等.（简称为“等角对等边”） 即：如上图∵在△ABC 中，∠B=∠C ∴AB=AC （等角对等边）三、例题示范：例1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O ，OB与OC 相等吗？请说明理由.探索2：师生当堂互动（1）任意剪一张直角三角形纸片，如图1. （2）剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状？ （3）把纸片展开，连接CD ，你有什么发现？ 由于经过折叠，①和②，③和④是重合的，所以 ∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD 即：AD=CD ，BD=CD 所以 CD=12AB 即“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”例2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的中线且CD = 5cm ，则AB= .四、课堂小结：探究得到了一判定一个三角形是等腰三角形的条件以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，在应用这些结论解决问题的过程中进一步提高了说理、分析、识图和归纳的能力. 六、课后作业：P29 4,5,6 七、教学后记：21O D EC BADCA（1） （2） （3） （4）。

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

2.5 等腰三角形的轴对称性（2）教学目标:1．掌握等腰三角形的判定定理．2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理．3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 教学重点:熟练地掌握等腰三角形的判定定理．教学难点:正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．教学过程:前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，说说你对等腰三角形的认识． 本节课我们将继续学习等腰三角形的轴对称性．一、创设情境如图所示△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC 和一个底角∠C ．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC 重新画出来？大家试试看．1．学生观察思考，提出猜想．2．小组交流讨论．二、探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条长为6cm 的线段BC ．（2）以BC 为始边，分别以点B 和点C 为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A ．（3）用刻度尺找出BC 的中点D ，连接AD ，然后沿AD 对折．问题1：AB 与AC 有什么数量关系？问题2：请用语言叙述你的发现．三、分析证明B C思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？问题3：已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．引导学分析问题，综合证明．思考：你还有不同的证明方法吗？问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？四、探索发现二问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题6：等边三角形有什么性质？问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？五、学以致用请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．六、归纳小结1．这节课你有怎样的收获？还有哪些困惑呢？2．布置作业：课本P67习题2.5第7、8、10题．。

1.5 等腰三角形的轴对称性南京市五塘中学武也文【教课目的】知识目标： 1、理解等腰三角形的轴对称性及有关的性质。

2、运用等腰三角形的性质解题。

能力目标：经历“折纸、察看、归纳”的活动过程发展空间观点和抽象、归纳的能力；会用“由于 ,, 因此 ,, 原因是 ,, ”等方式来说理，提升演绎推理能力。

感情目标：让学生踊跃参加数学活动，提升学习数学的兴趣。

【教课要点和难点】要点 :1. 理解等腰三角形的性质并把它变换成符号语言。

2.会用“由于 ,, 因此 ,, 原因是 ,, ”等方式来说理。

难点 : 运用等腰三角形的性质解题。

【课前准备】等腰三角形纸片。

【教课过程】一、情形创建同学们，我们已经学过了轴对称图形，请你们想想我们学过的几何图形中有哪些是轴对称图形。

今日我们一同来学习等腰三角形的轴对称性。

二、操作研究折纸活动：折纸考证等腰三角形是轴对称图形，并得出有关性质。

结论：（1）等腰三角形是轴对称图形。

顶角的均分线或许底边上的中线或许底边上的高所在的直线是它的对称轴。

（2）等腰三角的两个底角相等，简称为“等边平等角”。

（3）等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

三、等边平等角性质练习在△ABC中， AB=AC （口答）（1）∠ B=70°，求∠ C的度数。

（2）∠ A=80°，求∠ B 的度数。

（3）∠ A=120°, 求∠ C的度数。

例: 如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D 在 BC上，且 AD=BD。

找出图中相等的角并说明原因。

A213B CD1四、三线合一1.在△ ABC中,AB=AC,∠B=20°,BC=4cm,点 D在 BC上，（口答）（1）假如 AD是角均分线，那么 CD= ；A （2）假如 AD⊥ BC，那么∠ BAD= ；（3）假如 BD=CD，那么⊥ .B CD2.如图在△ ABC中， AB=AC，BD=CD,你能判断 AD与 BC的地点关系吗？A五、当堂反应 D1. 请同学们把纸条上的练习迅速达成。

E DAAB CE FO 怀文中学2012---2013学年度第一学期教学设计初二数学（1.5等腰三角形的轴对称性2）主备：陈秀珍审核：陈曼玉日期：2012-9-5学习目标：1．掌握等角对等边的性质；2．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；3．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法．教学重点：熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质．教学难点：正确熟练的运用新知解决简单问题．教学过程：一．自主学习（导学部分）1．怎样判定等腰三角形？2．直角三角形有何性质？二．合作、探究、展示活动一：（1）如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，所得∠1与∠2相等吗？为什么？（2）如图2，将纸条沿截线AB折叠，在所得的△ABC中，仍有∠1＝∠2，度量AB和AC的长度，你有什么发现？归纳：．例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD、CE相交于点O，OB与OC相等吗？请说明理由．活动二：（1）任意剪一张直角三角形纸片（如图1）；（2）按图2和图3折纸；（3）把纸片展开，连接CD，你有什么发现？归纳：．例2．在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．18 C．13D．15三．巩固练习1．练习：P26 1、2、32．△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝_______时，△ABC是等腰三角形．3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB交AC于点E．△ADE•是等腰三角形吗？为什么？5．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，BC与DC一定相等吗？为什么？6．如图，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝10，求△OEF的周长．四．课堂小结五．布置作业六．预习指导教学反思：AB21BAC21图1 图221ODECBADCA（1）（2）（3）（4）FMECBAAB CEFDDCBA。

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）：等边三角形【名师点睛】1.等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．2.等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．【典例剖析】【例1】（2020秋•赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【变式1】（2021秋•玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【例2】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE ＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．【变式2.1】（2019秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD＝°时，△BED是等边三角形．【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2019秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．122．（2022春•江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（）A．80°B．70°C．45°D．30°3．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（）A．点E在AB的垂直平分线上B．点E到AB、BC、AC的距离相等C．点E是AD的中点D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C4．（2021秋•崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）A．1B．2C．3D．45．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．6．（2021秋•如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．（2021秋•新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（）A．不变B．变小C．变大D．先变大后变小8．（2019秋•玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．1B．3C．2D．49．（2015秋•北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2015B2015A2016的边长为（）A．4028B．4030C．22014D．2201510．（2016秋•建湖县期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR ＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）11．（2021秋•泰兴市月考）如图，BD、CE是等边△ABC的中线，则∠EFD的度数为．12．（2021秋•工业园区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝3，则AD的长为．13．（2021秋•东台市期中）如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC ＝．14．（2019秋•崇川区校级月考）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝．15．（2019秋•鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝．16．（2021秋•新吴区期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC 延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．17．（2019秋•江阴市期中）在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是．18．（2020春•淮安区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC 可能为等腰三角形．其中正确的是．（填写序号）三．解答题（共11小题）19．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．20．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．21．（2021秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．（2）求证：DC＝CF．22．（2019秋•平山县期中）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB ＝DE．23．（2011秋•启东市校级月考）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．24．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．（1）判断△ADE的形状，并说明理由．（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．。