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下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程: ∵f(x)=-2x3+3x2+12x-11, ∴f'(x)=-6x2+6x+12. 由f'(x)=12,得-6x2+6x+12=12, 解得x=0或x=1. 当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11; 当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10. 故y=12x+9不是公切线. 由f'(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2. 当x=-1时,f(-1)=-18, 此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9, 此时切线方程为y=9.故y=9是公切线. 综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线.
所以 g(x)在(1,+∞)内是增函数, 所以 g(x)>g(1)= 6 > 0,
1 1 2
所以当 x>1时, 2 ������2 + ln x< 3 ������3.
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应用 2 设 f(x)=− 3 ������3 + 2 ������2 + 2������������. (1)若 f(x)在 (2)当
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(2)直线 m 过定点(0,9),先求过点(0,9)与曲线 y=g(x)相切的直线 方程. 2 设切点为(x0,3������0 + 6������0 + 12). ∵g'(x0)=6x0+6, 2 ∴切线方程为 y-(3������0 + 6������0 + 12) = (6������0 + 6)(������ − ������0), 2 2 将点(0,9)代入,得 9-3������0 − 6������0 − 12 = −6������0 − 6������0,
������ a>0 时,f'(x)=x− ������
=
������2 -������ ������
=
f(x)的单调递增区间为( ������, +∞); 递减区间为(0, ������).
2 1 1 2 (3) 证明 设 g(x)= 3 ������3 − 2 ������2 − ln x,则 g'(x)=2x -x− ������. (������-1)(2������2 +������+1) 因为当 x>1 时,g'(x)= > 0, ������
2 即 3������0 − 3 = 0, 解得x0=± 1, 当 x0=1 时,g'(1)=12,切点坐标为(1,21), 则切线方程为 y=12x+9; 当 x0=-1 时,g'(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 则切线方程为 y=9.
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专题2 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 利用导数研究函数的性质,彰显了导数是研究函数性质的强有力 工具,因此,应熟练掌握利用导数研究函数性质的方法. (1)在研究函数的单调性方面,主要有两种题型:一是求单调区间; 二是根据单调性求参数的取值范围,这类题目中,通常根据单调性 得恒成立不等式,然后再分离参数求解. (2)在研究函数的极值方面,主要有三类题型:一是求极值;二是已 知极值求参数值,在这类题中,由于导数为零是函数取得极值的必 要非充分条件,所以解出结果后要注意检验;三是解答函数零点或 方程根的个数问题. (3)在研究函数最值方面,主要是求最值与已知最值求参数.
解析ห้องสมุดไป่ตู้ 因为
1 y'=2ax− , 所以y'|x=1=2a-1. ������ 1
因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴, 所以其斜率为 0,故 2a-1=0,a= 2.
答案:2
1
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应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,又f'(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的 切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由. 解:(1)∵f'(x)=3ax2+6x-6a,且f'(-1)=0, ∴3a-6-6a=0,∴a=-2.
1 2
1 2
(1) 解: 因为 f'(x)=x− ������ , 且x=2 是一个极值点, 所以 2− 2 = 0, 即a=4. 此时 f'(x)=x− =
4 ������ (������+2)(������-2) . ������ ������
������
2 3
因为 f(x)的定义域是(0,+∞), 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以当 a=4 时,x=2 是一个极小值点,故 a=4.
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应用 1 已知函数 f(x)= ������2 − ������ln ������(������∈R), (1)若 f(x)在 x=2 时取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求证:当 x>1 时, ������2 + ln ������ < ������3.
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(2) 解: 因为
������ f'(x)=x− ������
=
������2 -������ , ������ (������+ ������)(������- ������) , ������
所以当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当
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专题1 利用导数的几何意义求切线方程 导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中,此时关 键是抓住切点,它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题时若题中没 有给出切点,往往需要设出切点. 应用1若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则 a= .
