模糊数学2009-5(模糊识别实例)详解
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模糊数学方法
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
第2节 模糊模式识别
1. 方法简介 “模式”一词来源于英文Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场 合有其不同的含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。 模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以 理解为模式的分类，即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类， 这与我们前面介绍的判别分析很相似。 模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别 的直接法和根据择近原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知n个类型在被识别的全体对象U上的隶属函数，则可按隶属 原则进行归类。此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模 糊变量x，其隶属度为
注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。 例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态 根据最优分割结果分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗缓和猖 獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主纯 双季稻单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生 动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属 于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的 模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专 家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
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(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
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,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
第2节 模糊模式识别
1. 方法简介 “模式”一词来源于英文Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场 合有其不同的含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。 模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以 理解为模式的分类，即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类， 这与我们前面介绍的判别分析很相似。 模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别 的直接法和根据择近原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知n个类型在被识别的全体对象U上的隶属函数，则可按隶属 原则进行归类。此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模 糊变量x，其隶属度为
注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。 例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态 根据最优分割结果分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗缓和猖 獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主纯 双季稻单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生 动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属 于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的 模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专 家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
数学建模案例分析---模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用
第八章 模糊数学方法建模1965年,美国自动控制学家首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。
它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。
模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。
而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。
如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。
但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。
所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。
综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和∑==mi isS 1按S 的大小给评判对象排出名次。
例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。
另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定∑==mi ia11，于是用∑==mi ii sa S 1按S 的大小给评判对象排出名次。
以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。
由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。
应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。
模糊数学 之 模糊集的基本概念
rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质： 幂等律： a∨a = a ， a∧a = a ； 交换律： a∨b = b∨a ， a∧b = b∧a ； 结合律：( a∨b )∨c = a∨( b∨c )， ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ； 吸收律：a∨( a∧b ) = a， a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格，记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
即(rij∧rjk) = 1，因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1，
由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质： 幂等律： a∨a = a ， a∧a = a ； 交换律： a∨b = b∨a ， a∧b = b∧a ； 结合律：( a∨b )∨c = a∨( b∨c )， ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ； 吸收律：a∨( a∧b ) = a， a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格，记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
即(rij∧rjk) = 1，因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1，
由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊模式识别PPT课件
2）序偶表示法： ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3）向量表示法： ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4）其他方法，如： ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注：当某一元素的隶属函数为0时，这一项可以不计入。
第17页/共113页
例 3.2：以年龄作为论域，取 X=[0,200]，Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下：
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间，模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
第2页/共113页
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量，即 x {x1, x2 , , xn}时，隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中， A(1) ， A(2) ，…， A(n) ：对应于各变量的模糊子集；
~~
~
A(i) xi ：相应的单变量隶属函数。
模糊数学方法及其应用
RR=
0.00 0.00
0.00 0.00
1.00 1.00
1.00 1.00
1.00 1.00
0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00
矩阵RR叫做R矩阵的截矩阵(λ≥0.6) 16
3.分类 由模糊等价矩阵的λ截矩阵可知,当rij=1时,i与j应 为同类,否则为异类。 让λ由大到小变化，可形成动态聚类图。
)
n
(
i 1
A~i
( xi
))
为x对 A~ 的隶属度。
26
基于不同考虑,隶属度也有其他的定义形式,如：
9
(5)算术平均最小法
m
m
rij 2 (xik x jk ) / (xik x jk )
k 1
k 1
(i, j 1,2,, n)
x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.1 0.2 0.3)
m
2 (xik x jk ) 2(0.1 0.2 0.3) 1.2 k 1 m (xik x jk ) 0.2 0.4 0.6 1.2 r12 1.2 /1.2 1.0 k 1
m
其中
M
max i j
(
k 1
xik
x jk )
显然|rij|∈[0,1] ,若rij<0, 令rij’=(rij+1)/2,则rij’∈[0,1]。
7
(2)夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。
(3)相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。
(4)最大最小法
模糊数学2009-5(模糊识别实例)
内容回顾
贴近度 内积 外积 格贴近度 模糊模式识别
识别对象为论域中一个元素 识别对象为论域的一个模糊集合
模糊模式识别——实例
条形码识别 几何图形识别 手写文字的识别
实例1——条形码识别
条形码
条形码或条码(barcode)是将宽度不 等的多个黑条和空白，按照一定的 编码规则排列，用以表达一组信息 的图形标识符。
实验结果
噪声
打印缺陷等偶然因素
实验结果
在噪声达到31.43%的情况下 正确识别率>90%
印刷体手写体
手写体vs.印刷体
复杂的多 用方格矩阵法，则需要更多小方格 向量的维数大 计算困难
寻求适用于手写体的简便方法
模糊方位转换技术
模糊现象
文字的方向，与事先给定的8个方向 不完全一致，只能说是大致这个方 向。
号码串向量(3,2,2,7,7,1,1,0,7,7,6,6,5) 确定各方向关于标准方向的隶属程度 得到“3”的号码串模糊向量 存储至计算机作为“3”的标准向量
识别数字
确定待识别数字的号码串模糊向量 与计算机中的标准向量逐一比较 择近原则 实现数字识别
程序实现
真正应用，更加复杂。
待识别对象：A4×5
因印刷灰度不同 A = (aij)4×5 ，aij∈[0,1]
定义贴近度
45
(mi(jk ) aij )
(M k , A)
i 1 4
j 1 5
(mi(jk ) aij )
i1 j 1
待识别矩阵A是什么数字？
通过商场的扫描仪，扫描一个商品得到 的某个数字所对应的矩阵：
1 1 1 0 0
M
0
1
1
1 1
1 1
贴近度 内积 外积 格贴近度 模糊模式识别
识别对象为论域中一个元素 识别对象为论域的一个模糊集合
模糊模式识别——实例
条形码识别 几何图形识别 手写文字的识别
实例1——条形码识别
条形码
条形码或条码(barcode)是将宽度不 等的多个黑条和空白，按照一定的 编码规则排列，用以表达一组信息 的图形标识符。
实验结果
噪声
打印缺陷等偶然因素
实验结果
在噪声达到31.43%的情况下 正确识别率>90%
印刷体手写体
手写体vs.印刷体
复杂的多 用方格矩阵法，则需要更多小方格 向量的维数大 计算困难
寻求适用于手写体的简便方法
模糊方位转换技术
模糊现象
文字的方向，与事先给定的8个方向 不完全一致，只能说是大致这个方 向。
号码串向量(3,2,2,7,7,1,1,0,7,7,6,6,5) 确定各方向关于标准方向的隶属程度 得到“3”的号码串模糊向量 存储至计算机作为“3”的标准向量
识别数字
确定待识别数字的号码串模糊向量 与计算机中的标准向量逐一比较 择近原则 实现数字识别
程序实现
真正应用，更加复杂。
待识别对象：A4×5
因印刷灰度不同 A = (aij)4×5 ，aij∈[0,1]
定义贴近度
45
(mi(jk ) aij )
(M k , A)
i 1 4
j 1 5
(mi(jk ) aij )
i1 j 1
待识别矩阵A是什么数字？
通过商场的扫描仪，扫描一个商品得到 的某个数字所对应的矩阵：
1 1 1 0 0
M
0
1
1
1 1
1 1
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊数学实例学习ppt
1
实例1 基于遥感的层次分析法和模糊数 学模型综合评价森林资源生态适宜性
分别提取 2000、2006 年各森 林类型的像元光谱值， 建立两期影像林地分类专家库和像元光谱值数据库，结 合地形、山东 省两期森林资源分布图和土地利用现状 矢量图，利用监督分类和人工解译法将遥感影像分 为 有林地、疏林地、灌木林地、其它林地、宜林荒山荒地、 农田、草地、水域、建设用地、未利用 地。
20
21
• 利用模糊神经网络可以从给定的数据中挖 掘潜在的规则与知识。模糊神经网络主要 应用于分类、评价、定权、推理、预测等 方面，因此，模糊神经网络算法将在土地 资源评价、土地资源区划、土地资源优化 配置、土地覆盖类型分类、遥感图像信息 提取、土地可持续利用评价、土地集约利 用评价、区域土地需求量预测、土地质量 指标高光谱反演研究中得到进一步应用。
22
23
24
25
7
2000 年10 个地市的22 个评价指标的评判矩阵:
8
2006 年10 个地市的22 个评价指标的评判矩阵:
9பைடு நூலகம்
（3）评价模型的建立
根据山东黄河流域的森林资源生态适宜性评价指 标以及个指标的权重考虑到22个指标因子都对流 域森林资源的生态适宜性起作用，所以采用模糊 数学中的加权平均模型建立该流域森林资源生态 适宜性评价模型： • FRESI = A 。G =Σni= 1( ai· Gi) · 100 = fi • 式中：FRESI是森林资源生态适宜性评价得分值 指数， Gi是第i个森林资源评价指标的赋值，a i 是评价指标Gi的权重，fi为最终综合评价分值。 乘以100是为了评价结果符合人们的思维习惯。
4
森林资源生态适应性评级指标权重
模糊数学 第二章 模糊模式识别汇总
26
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
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黑条 黑条 黑条 白条 白条 黑条对应的四段： (1 1 1 1)T 白条对应的四段： (0 0 0 0)T
把每个条码都分成4段
数字0可以用一个4×5的矩 阵来表示
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8
现实情况
现实印刷过程中
喷黑色 导致不同程度的黑色——灰度 不是理想情况下绝对的黑或白
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19
等腰三角形的隶属函数
设u=(A,B,C)为任意一个三角形,u对于模 糊集合“等腰三角形”的隶属度为 I (u)=1- min{A-B,B-C}/60 Why？
AB角度或BC角度越接近，u越接近等腰三 角形 何时隶属度最大？ 何时隶属度最小？
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5
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数字条形码
10个数字：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 每个数字用5个有序条码表示
3个黑条 2个白条 思考：为什么是5个有序条码且3个黑 条2个白条？Biblioteka 用1表示黑条，用0表示白条
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6
条码表
数字
0 1
1 1 1
2 1 0
3 0 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 M3 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
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0.5 0.8 0.5 0.1 0.3 0.5 0.9 0.9 0.2 0.2 A 0.3 0.5 0.9 0.8 0.3 0.4 0.5 0 0.5 0.5
14
实例2—— 几何图形识别
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15
什么是几何图形识别？
许多模式识别，归结为几何图形识 别。例如：
机器自动识别染色体
几何图形常划分为若干三角形
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16
三角形类型
等腰三角形I 直角三角形R
等腰直角三角形R∩I
等边三角形E 非典型三角形T
手写文字的识别
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3
实例1——条形码识别
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4
条形码
条形码或条码(barcode)是将宽度不 等的多个黑条和空白，按照一定的 编码规则排列，用以表达一组信息 的图形标识符。 /tiaoxing ma/book1.htm
贴近度
(Mk,A)的贴近度计算结果如下：
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9
0.45 0.39 0.35 0.44 0.36 0.33 0.41 0.27 0.35 0.32
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13
比较
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 M0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0
因印刷灰度不同 A = (aij)4×5 ，aij∈[0,1]
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10
定义贴近度
( M k , A)
(m (m
i 1 j 1 i 1 j 1 4 5
4
5
(k ) ij
aij ) aij )
(k ) ij
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11
待识别矩阵A是什么数字？
4 1 1
5 1 0
6 0 1
7 1 0
8 0 1
9 0 0
码 1
序 1 0 0
0
1 0
1
1 0
1
1 0
0
0 1
1
0 1
1
0 1
0
1 1
0
1 1
1
1 1
7
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以数字0为例
数字0： 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 M0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0
22
四边形的隶属函数
可将三角形隶属函数的确定方法， 推广到四边形中
教材第64页，有兴趣可自行阅读
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23
实例3——手写文字的识别
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24
文字识别
简单的情况
英文 数字（1-9）、字母（26个）
两种方法
方格矩阵法（印刷体） 模糊方位转换技术（手写）
25
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方格矩阵法
印刷体的字母或数字 局限在一个框内
框分成若干小方格
矩阵表示
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26
方格矩阵法
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通过商场的扫描仪，扫描一个商品得到 的某个数字所对应的矩阵：
0.5 0.8 0.5 0.1 0.3 0.5 0.9 0.9 0.2 0.2 A 0.3 0.5 0.9 0.8 0.3 0.4 0.5 0 0.5 0.5
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12
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17
三角形vs. 模糊集
以等腰三角形为例
现实问题中的等腰三角形=标准等腰 三角形? 具有模糊性 若用模糊集表示等腰三角形, 论域是 什么?
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18
等腰三角形的论域
设论域为全体三角形，即 U={三角形(A,B,C) | A+B+C=180, A≥B≥C≥0 }
此时，一个数字所对应的4×5矩阵R， 会有如下表示
R = (rij)4×5 ，rij∈[0,1] rij越靠近1，则灰度越大（越黑）；越靠近 0，则灰度越小（越白）
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9
模式识别问题
10个模型：数字0-9所对应的标准 4×5矩阵M0,…,M9
待识别对象：A4×5
20
其他三角形的隶属函数
直角三角形：R(u)=1-|A-90|/90 等腰直角三角形：I∩R
等边三角形：E(u)=1- (A-C)/180
任意三角形：T=Rc∩Ec∩Ic
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21
请计算
利用最大隶属原则，请问 u=(87,51,42)是什么三角形？
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模糊数学
第五讲
孙舒杨 Email. sysun@
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1
内容回顾
贴近度 内积
外积
格贴近度
模糊模式识别
识别对象为论域中一个元素 识别对象为论域的一个模糊集合
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2
模糊模式识别——实例
条形码识别 几何图形识别