首师附新初一分班-数学试卷及答案

首师大附中初一分班考试数学一、计算1.1÷0.1×0.01÷0.001=（）4.100+99-98+97-96+……+3-2+1=5.0.125×32×25= 6.七个连续自然数的和是203，求最大的数是（）7.如1×2×3×4×5=120，积的尾部有一个零：计算1×2×3×4×5……×40的积尾部有（）个零8.已知三个数的平均数是160，在□内填出适当的数。

□□5□279.已知两个数的商是7，这两个数的差是114，那么较小的数是（）二、简答题1.刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，作对一道得5分，做错一道题倒扣2分，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？2.一件工作甲单独做10小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若三人合作几小时可以完成工作的一半？3.张老师到书店去买练习册，他的钱如果买数学练习册，正好能买50本；若买语文练习册，正好买40册。

他最多可以买数学和语文练习册多少套？4.某人驾车以每小时20千米的速度行驶了90千米，返回时每小时行驶30千米，其全程的平均速度是多少？5.在期中考试中，小明若不算数学其平均成绩是92分，若不算语文成绩其平均成绩是93分，若不算英语其平均成绩是97分，小明三科的平均成绩是多少分？6.仓库运来含水量为94%的水果1000千克，一周后再测量发现其含水量降低为80%，现在这批水果的重量是多少千克？7.如图：如图：长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方5形，正方形②的边长是长方形长的12，正方形①的边长是长方形宽的81，那么图中阴影部分的面积是多少？8.李岩同学参加过四次数学竞赛，其平均成绩是87分，若以后每次竞赛的满分都是100分，为了使他的平均成绩最低能达到92分，李岩同学最少还要参加几次竞赛？9.将19个边长为1cm 的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。

北京首师大附中初一分班考试试题一、填空题：1、2310的所有约数的和是_______。

2、用5151285620、、1分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是 。

3、今年2月9日是星期五，问经过1994 1994……1994天，是星期________。

（包括今天）4、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花3.15元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件共花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需_____元钱。

5、从1、2、3、…、1998、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？6、（如图）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2厘米，CD ＝2厘米, CB=3厘米,AM=BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积是______平方厘米。

7、六年级同学采了10千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重____千克。

1994个19948、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。

问：（1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？（2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式。

那么所得的乘积是。

10、一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是时刻？二、解答题：11、有50名学生参加联欢会。

第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。

每个站都有学生上车。

第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。

车到学校时，车上最少有多少学生？13、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。

首师大附中初一分班考试数学一、计算1. 1÷0.1×0.01÷0.001=（）2.33310.125 16848⎛⎫⎛⎫++⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.1111 19973824816 ++++=4. 100+99-98+97-96+……+3-2+1=5. 0.125×32×25=6. 七个连续自然数的和是203，求最大的数是（）7. 如1×2×3×4×5=120，积的尾部有一个零：计算1×2×3×4×5……×40的积尾部有（）个零8.已知三个数的平均数是160，在□内填出适当的数。

□□5 □279.已知两个数的商是7，这两个数的差是114，那么较小的数是（）10.由小到大排列下列分数：171923101 273138161、、、二、简答题1.刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，作对一道得5分，做错一道题倒扣2分，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？2.一件工作甲单独做10小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若三人合作几小时可以完成工作的一半？3.张老师到书店去买练习册，他的钱如果买数学练习册，正好能买50本；若买语文练习册，正好买40册。

他最多可以买数学和语文练习册多少套？4.某人驾车以每小时20千米的速度行驶了90千米，返回时每小时行驶30千米，其全程的平均速度是多少？5.在期中考试中，小明若不算数学其平均成绩是92分，若不算语文成绩其平均成绩是93分，若不算英语其平均成绩是97分，小明三科的平均成绩是多少分？6.仓库运来含水量为94%的水果1000千克，一周后再测量发现其含水量降低为80%，现在这批水果的重量是多少千克？7.如图：如图：长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，正方形②的边长是长方形长的 ，正方形①的边长是长方形宽的，那么图中51218阴影部分的面积是多少？8. 李岩同学参加过四次数学竞赛，其平均成绩是87分，若以后每次竞赛的满分都是100分，为了使他的平均成绩最低能达到92分，李岩同学最少还要参加几次竞赛？9. 将19个边长为1cm 的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。

北京首师大附中初一分班考试数学试题分析一、填空。

1、 521＋515247⨯＋5051524647⨯⨯⨯＋49505152454647⨯⨯⨯⨯⨯＋……＋564950515212454647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 分析：⑴ 先来复习一个整数的裂项公式：1×2×3×4＋2×3×4×5＋3×4×5×6＋……＋n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＝51n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）（n ＋4）⑵原式共有48项，从第5项到第48项是：484950515244454647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋4748495051524344454647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋46474849505152424344454647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋…… 约分之后，分母都是52×51×50×49×48，分子依次是47×46×45×44、46×45×44×43、45×44×43×42、……、4×3×2×1，⑵前面的4项，通分之后分母也是52×51×50×49×48，分子依次是51×50×49×48、50×49×48×47、49×48×47×46、48×47×46×45、⑶原式＝484950515212344748495048495051⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ＝48495051525150494854324321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ＝4849505152525150494851⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝512、由六个正方形组成的“十字架”的面积是150平方厘米，它的周长是 厘米。

北京首师大附中初一分班考试数学一、计算1. 1÷0.1×0.01÷0.001=（ ）2.（163+83+43）×（81-0.125）= （ ） 3.19+921+741+381+8161=（ ）4. 100+99-98+97-96+……+3-2+1=（ ）5. 0.125×32×25=（ ）6. 七个连续自然数的和是 203，求最大的数是（ ）7. 如 1×2×3×4×5=120，积的尾部有一个零：计算 1×2×3×4×5……×40 的积尾部有（ ）个零8.已知三个数的平均数是 160，在□内填出适当的数。

□ □5 □279.已知两个数的商是 7，这两个数的差是 114，那么较小的数是（ ） 10.由小到大排列下列分数：2717、3119、3823、161101二、简答题1.刘畅同学去参加数学竞赛，共有 20 道题，作对一道得5分，做错一道题倒扣 2 分，结果刘畅同学考了 72 分，问他做对了几道题？2.一件工作甲单独做 10 小时完成，乙单独做 12 小时完成，丙单独做 15 小时完成，若三人合作几小时可以完成工作的一半？3.张老师到书店去买练习册，他的钱如果买数学练习册，正好能买 50 本；若买语文练习册，正好买 40 册。

他最多可以买数学和语文练习册多少套？4.某人驾车以每小时20千米的速度行驶了90千米，返回时每小时行驶30千米，其全程的平均速度是多少？5.在期中考试中，小明若不算数学其平均成绩是 92 分，若不算语文成绩其平均成绩是93 分，若不算英语其平均成绩是 97 分，小明三科的平均成绩是多少分？6.仓库运来含水量为94%的水果1000千克，一周后再测量发现其含水量降低为 80%，现在这批水果的重量是多少千克？7.如图：如图：长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，正方形②的边长是长方形长的125，正方形①的边长是长方形宽的81，那么图中阴影部分的面积是多少？8. 李岩同学参加过四次数学竞赛，其平均成绩是 87 分，若以后每次竞赛的满分都是 100 分，为了使他的平均成绩最低能达到 92 分，李岩同学最少还要参加几次竞赛？9. 将19个边长为 1cm 的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。

北京市首都师范大学附属中学新初一分班数学试卷含答案一、选择题1．房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费（）。

A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．不确定成什么比例2．小红坐在教室的第3列第5行，用数对（3，5）表示。

小明坐在小红的前一个位置上，小明的位置用数对表示是（）。

A．（3，4）B．（4，3）C．（3，6）3．李强承包一块地，前年收获粮食5.6吨，去年比前年增产三成，求去年收获粮食多少吨。

正确的算式是（）。

A．5.6×（1＋30%）B．5.6×（1＋3%）C．5.6÷（1＋30%）4．在三角形中，三个内角是∠1，∠2，∠3，若∠1＝∠2－∠3，那么这个三角形一定是（）三角形。

A．锐角B．直角C．钝角D．任意5．某商场8月份的营业额为250万元，占第三季度营业额的40%，第三季度的营业额是多少万元？设第三季度的营业额为x万元，下列方程正确的是()．A．x＝250×40% B．40%x＝250 C．x＝250＋40%6．下图是一个正方体的展开图,与4相对的面是()。

A．1 B．2 C．3 D．47．下面说法错误的是（）。

A．39515=可以看做一个比例。

B．比例就是由比值相等的两个比组成的等式。

C．两个量的倍数关系无法转换成两个量相比的关系。

D．根据24389⨯=⨯，至少可以写出4个不同的比例。

8．x是奇数，y是偶数，下面式子中，结果是奇数的是（）。

A．3x＋y B．2x＋y C．2（x＋y）9．一件商品原价180元，先降价110，再提价110，现价比原价（）A．没变B．提高了C．降低了D．无法确定10．如图，摆第1个图形要6根小棒，摆第2个图形要11根小棒。

按这样的规律，摆第20个图形要（）根小棒。

A ．100B ．101C ．119D ．120二、填空题11．在横线上填合适的数。

34时＝__________分 42800平方米＝__________公顷 1kg 8＝__________g 51000mL ＝__________dm 3 十12．()()()()3812:0.75%÷====。

北京市首都师范大学附属中学数学新初一分班试卷含答案一、选择题1．房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费（）。

A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．不确定成什么比例2．10时整，钟面上分针与时针所成的角为（）。

A．锐角B．直角C．钝角3．甜甜在计算一道除法算式时，把除以8算成了乘8，结果得49，正确的结果是（）。

A．64 B．118C．1144D．494．一个三角形三个内角的度数比是6∶5∶1，这个三角形是（）。

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形5．如果a的310等于b的14（a、b都不等于0），那么比较a和b的大小，结果是（）。

A．a＞b B．b＞a C．a＝b D．无法确定6．立体图形，从（）看到的形状是。

A．正面B．上面C．左面D．右面7．下面说法错误的是（）。

A．在367个同学中至少有2个同学是同年同月同日出生的B．真分数小于1，假分数大于1C．0既不是正数，又不是负数，但它是整数，还是自然数D．三角形的面积一定，底和高成反比例8．笑笑用一张正方形纸如下图这样折叠4次，再沿虚线剪一刀，打开后的图形接近圆。

他这样做利用了圆的什么知识？下面说法中最贴切的是( )。

A．圆的周长永远是它的直径的兀倍B．同圆（等圆）中直径是半径的2倍C．正多边形边数越多越趋近圆D．圆是曲线图形9．一件商品提价20%后，再降价20%，现价与原价相比（）。

A．低了B．高了C．一样多D．无法确定10．按下面点阵中的规律继续画,第11个点阵应该画( )个点．A．64 B．81 C．121二、填空题11．4吨50千克＝（______）吨34公顷＝（______）平方米 2.3小时＝（______）小时（______）分十12．（________）÷24＝38＝27∶（________）＝（________）%。

十13．一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做6天完成。

乙队的工作效率比甲队快（________）%。

北京首师大附中初一分班考试数学一、计算1. 1÷0.1×0.01÷0.001=（ ）2.（163+83+43）×（81-0.125）= （ ） 3.19+921+741+381+8161=（ ）4. 100+99-98+97-96+……+3-2+1=（ ）5. 0.125×32×25=（ ）6. 七个连续自然数的和是 203，求最大的数是（ ）7. 如 1×2×3×4×5=120，积的尾部有一个零：计算 1×2×3×4×5……×40 的积尾部有（ ）个零8.已知三个数的平均数是 160，在□内填出适当的数。

□ □5 □279.已知两个数的商是 7，这两个数的差是 114，那么较小的数是（ ） 10.由小到大排列下列分数：2717、3119、3823、161101二、简答题1.刘畅同学去参加数学竞赛，共有 20 道题，作对一道得5分，做错一道题倒扣 2 分，结果刘畅同学考了 72 分，问他做对了几道题？2.一件工作甲单独做 10 小时完成，乙单独做 12 小时完成，丙单独做 15 小时完成，若三人合作几小时可以完成工作的一半？3.张老师到书店去买练习册，他的钱如果买数学练习册，正好能买 50 本；若买语文练习册，正好买 40 册。

他最多可以买数学和语文练习册多少套？4.某人驾车以每小时20千米的速度行驶了90千米，返回时每小时行驶30千米，其全程的平均速度是多少？5.在期中考试中，小明若不算数学其平均成绩是 92 分，若不算语文成绩其平均成绩是93 分，若不算英语其平均成绩是 97 分，小明三科的平均成绩是多少分？6.仓库运来含水量为94%的水果1000千克，一周后再测量发现其含水量降低为 80%，现在这批水果的重量是多少千克？7.如图：如图：长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，正方形②的边长是长方形长的125，正方形①的边长是长方形宽的81，那么图中阴影部分的面积是多少？8. 李岩同学参加过四次数学竞赛，其平均成绩是 87 分，若以后每次竞赛的满分都是 100 分，为了使他的平均成绩最低能达到 92 分，李岩同学最少还要参加几次竞赛？9. 将19个边长为 1cm 的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。

北京首师大附中初一分班考试数学一、计算1. 1÷0.1×0.01÷0.001=（ ）2.（163+83+43）×（81-0.125）= （ ） 3.19+921+741+381+8161=（ ）4. 100+99-98+97-96+……+3-2+1=（ ）5. 0.125×32×25=（ ）6. 七个连续自然数的和是 203，求最大的数是（ ）7. 如 1×2×3×4×5=120，积的尾部有一个零：计算 1×2×3×4×5……×40 的积尾部有（ ）个零8.已知三个数的平均数是 160，在□内填出适当的数。

□ □5 □279.已知两个数的商是 7，这两个数的差是 114，那么较小的数是（ ） 10.由小到大排列下列分数：2717、3119、3823、161101二、简答题1.刘畅同学去参加数学竞赛，共有 20 道题，作对一道得5分，做错一道题倒扣 2 分，结果刘畅同学考了 72 分，问他做对了几道题？2.一件工作甲单独做 10 小时完成，乙单独做 12 小时完成，丙单独做 15 小时完成，若三人合作几小时可以完成工作的一半？3.张老师到书店去买练习册，他的钱如果买数学练习册，正好能买 50 本；若买语文练习册，正好买 40 册。

他最多可以买数学和语文练习册多少套？4.某人驾车以每小时20千米的速度行驶了90千米，返回时每小时行驶30千米，其全程的平均速度是多少？5.在期中考试中，小明若不算数学其平均成绩是 92 分，若不算语文成绩其平均成绩是93 分，若不算英语其平均成绩是 97 分，小明三科的平均成绩是多少分？6.仓库运来含水量为94%的水果1000千克，一周后再测量发现其含水量降低为 80%，现在这批水果的重量是多少千克？的边长是长方形长的125，正方形①的边长是长方形宽的81，那么图中阴影部分的面积是多少？8. 李岩同学参加过四次数学竞赛，其平均成绩是 87 分，若以后每次竞赛的满分都是 100 分，为了使他的平均成绩最低能达到 92 分，李岩同学最少还要参加几次竞赛？9. 将19个边长为 1cm 的小正方形叠成一个立体图形，求这个图形的表面积。

首都师大附中初一年级数学阶段性练习2023.12一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．6-的相反数是A ．6-B ．16-C ．6D ．162．“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对，223000000用科学记数法可表示为A ．62.2310⨯B ．622310⨯C ．82.2310⨯D ．722.310⨯3．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是A ．圆锥B ．长方体C ．三棱柱D ．圆柱4．下列等式变形正确的是A ．若21x -=，则2x =-B ．若325x x =+，则325x x +=C ．若213x x -+=，则3(2)1x x +-=D ．若2(1)1x x --=，则221x x --=5．已知253a b -=，则4108a b -++的值为A ．2B ．5C ．2-D ．3-6．如图，将一个三角板60︒角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，︒=∠271，2∠的大小是A ．︒27B ．︒57C ．︒58D ．︒607．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x 个人，则可列方程是A ．3(2)29x x +=-B ．3(2)29x x +=+C ．2923-=+x x D ．9232xx --=8．下列说法中，正确的是①射线AB 和射线BA 是同一条射线；②若AB BC =，则点B 为线段AC 的中点；③连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离；④点C 在线段AB 上，M ，N 分别是线段AC ，CB 的中点．若5MN =，则线段10AB =．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④9．若有理数a ，2a b +，b 在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是A ．b a +B ．b a -C ．b a +2D ．ba 2+10．如图，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“成达小区域”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得图中的每个“成达小区域”中的四个数之和都是23．并且5，6，9，m 这四个数已填入图中，位置如图所示，则m 表示的数是A.3B.4C.7D.8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算40301442︒'-︒'=__________．12．加上2531x x --等于3x 的整式是__________．13．已知3x =是关于x 的方程230ax x +-=的解，则a 的值为__________．14．如图，经过刨平的木板上的A ，B 两个点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是__________．15．如图，已知点C 为AB 上一点，18AC cm =，23CB AC =，D ，E 分别为AC ，AB 的中点．则DE 的长为__________cm ．16．在初一年级即将进行的冬之韵活动中，各种活动精彩粉呈，同学们积极参与．其中小升、小楠、小霞、小焱四位同学参加了①朗诵、②舞蹈、③表演、④演奏这四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同，已知小升参加了舞蹈、表演中的一个，小楠参加了朗诵、舞蹈中的一个，小霞参加了朗诵、表演中的一个，参加舞蹈的是小升或小焱中的其中一个，请你依次写出小升、小楠、小霞、小焱分别参加的项目名称所对应的数字编号为__________．三、解答题17．（6分）计算；（1）12(6)(9)--+-；（2）22313(2)|1|6(2)3-÷-⨯-⨯+-．18．（4分）先化简，再求值：2222232(23)3()y x x xy x y -+--+，其中1x =，2y =-．19．（8分）解方程（1）15(75)2(53)x x x --=+-（2）153223=---x x 20．（4分）如图，已知点C 是线段AB 上一点，且2AC CB =，点D 是AB 的中点，且6AD =．求DC 的长.21．（6分）如图，已知四个点A ，B ，C ，D ．（1）读下列语句，按要求用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．①画线段AB ，BD ，画射线AC ，画直线AD ；②在线段BD 的延长线上取点E ，使2DE BD =；（2）在（1）的条件下，比较线段的大小：AB BD+AD （填“>”“<”或“=”)，理由是__________________________________．22．（4分）如图，已知AOB ∠，过点O 引两条射线OC ，OM ，且OM 平分AOC ∠．120AOB ∠=︒，30BOC ∠=︒，且点C 在AOB ∠的内部．求MOB ∠的度数.23．（4分）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：解：①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：；②解这个方程得，x =__________；③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=__________个搬运工的体重；④最终可求得：大象的体重为__________斤．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》24.（5分）如果一元一次方程0:=+b ax A 的解1x x =和一元一次方程0:=+d cx B 的解2x x =满足()t x t x +=+212，则称方程A 为方程B 的t 时方程．例如：方程04=-x 是方程02=-x 的0时方程；方程06=-x 是052=-x 的1时方程．（1）下列选项中方程A 是方程B 的2时方程的有；①045:=-x A ；035:=+x B ②023:=+x A ；053:=+x B ③07:=-x A ；052:=-x B （2）若关于x 的方程0226=+--n m x 是关于x 的方程0423=-++n m x 的m 时方程，求n 的值．（3）若关于x 的方程42:=+s x C 的解比关于x 的方程s x D =+42:的解大1，并且方程C 是方程D 的t 时方程，求t s ，的值.25.（6分）已知直线MN，O是MN上的一个定点.点A是直线MN下方的一个动点，作射线OA及∠AON的角平分线OB，点C与点A在直线MN的两侧，点D在线段CO的延长线上.（1）若∠AON=100°，∠COM=125°，在图1中补全图形，并求出∠BOD的大小；（2）射线OE是∠AOC的角平分线.①如图2，当∠DON>∠AON时，用等式表示∠BOE与∠DOM的数量关系，并证明；②当∠DON≠∠AON，且∠COM+∠BOE=140°时，直接写出∠BOE的度数.图1图2备用图26.（5分）我们用数轴上的点M 表示数M x ，给出以下定义：点P 为线段AB 上任意一点，点Q 是线段CD 上任意一点，若||P Q x x -的最大值为s ，则称s 为线段AB 与线段CD 的“长久值”．如图1，当1242A B C D x x x x =-==-=-，，，时，线段AB 与线段CD 的“长久值”为6.（1）如图2，点O 为原点，24A B x x =-=，1当3M x =时，点AB 与线段OM 的“长久值”为________；2若线段AB 与线段OM 的“长久值”为6，直接写出m 的值；（2）在（1）的条件下，57C D x x ==，，若点C ，点D 分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度同时出发向左运动，直接写出运动过程中s 的最小值及对应的时间t．图2图1首都师大附中初一年级数学阶段性练习2023.12参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．C．2．C．3．D．4．D．5．A．6．B．7．C．8．D．9．D．10．D．二．填空题（共6小题）11．2548．12．2561．x x13．1 ．14．经过两点有且只有一条直线．（两点确定一条直线）15．6．16.②①③④三．解答题（共7小题）17．解：（1）原式1269189；9（2）原式4946(8)3946843188 26 ．18．先化简，再求值：2222232(23)3()y x x xy x y 的值，其中1x ，2y ．【解答】解：2222232(23)3()y x x xy x y2222234633y x x xy x y 6xy当1x ，2y 时，原式61(2)12 ．19．解方程（1）15(75)2(53)x x x （2）323125xx【解答】解：（1）去括号得：1575253x x x ，移项合并得：63x ，解得：12x ；（2）去分母得：5154610x x ，移项合并得：19x ．20．【解答】解： 点D 是A B 的中点，且6A D ，22612A B A D ，2A C C B ，2212833A C A B，862C D A CA D；21．【解答】解：（1）①如图线段A B ，A D ，射线A C ，直线B D 即为所求；②如图线段B E 即为所求；（2）A B B D A D；理由：两点之间，线段最短．图略22．【解答】解：（1）A O C A O B B O C ，120A O B ，30B O C ，90A O C ，O M 平分A O C ，1452M O C A O C，M O B M O C B O C ，75M O B ，23．【解答】解：①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：20313020130x x x ．②解这个方程得，260x ．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量2 个搬运工的体重；④2026031305590 ，即最终可求得：大象的体重为5590斤．故答案为：20313020130x x x ；260；2；5590．24.解答：（1）答案：①③解析：①解得541x ，532x ，2532254满足要求②解得321 x ，352 x ，2352232不满足要求③解得71 x ，252 x ，225227满足要求（2）答案：2n 解析：方程0226 n m x 解得6221n m x 方程0423 n m x 解得3242nm x 由题意， m x m x 212代入得到m n m m n m3242622解得2n （3）答案：2 s ，2t 解析：方程42: s x C 解得sx c 24 方程s x D 42:解得24sx d 由题意，1d c x x 代入得到2 s ，0 c x ，1 d x 又由题意， t x t x d c 2代入得到 t t 120解得2t25.答案：（1）依题意，补全图形如图3.∵OB 是∠AON 的角平分线，∠AON =100°，∴1502B O N A O N°.∵∠COM =125°，∴∠DON =∠COM =125°.∴∠BOD =∠DON -∠BON =75°.（2）用等式表示∠BOE 与∠DOM 的数量关系为1=2B O E D O M .证明：∵OB 是∠AON 的角平分线，OE 是∠AOC 的角平分线，∴12A OB A O N ，12A O E A O C.∴B O E A O E A O B1122A O C A O N12A O C A O N12C O N12D O M.40°或3203°.26.【答案】(1)①5.②1 或4.(2)1110,33stMN图3。

2023北京首都师大附中初一（下）开学考数 学一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 5||9−的相反数是（ ） A. 95 B. -95 C. 59 D. -592. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．请将720000用科学记数法表示应为（ ）A. 50.7210⨯B. 57210⨯.C. 47.210⨯D. 37210⨯ 3. 下列计算正确的是（ ）A. 2222m n m n m n −=−B. 2232x y x y −=C. 325235m m m +=D. 3223m m m −=−4. 有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若b c =，则下列结论错误的是（ ）A. 0a b +<B. 0a c +<C. 0ab <D. 0b c< 5. 如图，E 是直线CA 上一点，40FEA ∠=︒，射线EB 平分CEF ∠，GE EF ⊥．则GEB ∠=（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒ 6. 关于x 的方程354x a −=与1x a +=有相同的解，则a 的值是（ ）A. 8B. 8−C. 9−D. 97. 如图，河道1的一侧有A 、B 两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A 、B 两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）A. B. C. D. 8. 下列等式的变形，正确的是（ ）A. 若25a a =，则5a =B. 若2x y y +=，则x y =C. 若a b =，则1122a b +=−D. 若a b =，则a b m m= 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A. ()1552x x =−− B. ()1552x x =++ C. ()255x x =−− D. ()255x x =++10. 将两边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD 中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C 1，图2C 2，则C 1－C 2的值（ ）A. 0B. a －bC. 2a －2bD. 2b －2a二、填空题（每小题3分，共24分）11. 比较大小：－3_____________－2.1（填“＞”，“＜”或“＝”）．12. 在如图所示的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点（网格线交点）上，那么AOC ∠____________BOD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．13. 若3a 2﹣a ﹣2＝0，则5+2a ﹣6a 2＝_____．14. 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角是__________．15. 对于有理数a ，b 定义新运算：“”，a b b =△，则关于该运算，下列说法正确的是______．（请填写正确说法的序号）①5797=△△；②若a b b a =△△，则a b =；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律． 16. 如图，把长方形纸片ABCD 沿纸片EF 折叠后，点B 与点B’重合，点A 恰好落BC 边上的点A’的位置，若155∠=︒，则DEA'∠的度数为_______.17. 已知线段AB a ，在直线AB 上取一点C ，使得23BC AB =，若M ，N 分别为AB ，BC 的中点，则MN =______（用含a 的式子表示）18. 如图，数轴上有M ，N 两点和一条线段PQ ，我们规定：若线段MN 的中点R 在线段PQ 上（点R 能与点P 或点Q 重合），则称点M 与点N 关于线段PQ “中线对称”．已知点O 为数轴的原点，点A 表示的数为2−，点B 表示的数为4，点C 表示的数为x ，若点A 与点C 关于线段OB “中线对称”，则x 的最大值为______．三、解答题（共46分）19. （1）计算：()()273287−+−−−÷；（2）解方程：3157146y y −−=+． 20. 已知32−=−a b ，求代数式()2216322323ab a b ab a b ⎛⎫−+−−+ ⎪⎝⎭的值． 21. 已知关于x 的整式31A x mx =++，232B nx x m =++（m ，n 为常数）．（1）若整式A B +的取值与x 无关，求m n −的值；（2）若当0x =或1时，A 与B 所对应的值分别相等，试求m ，n 的值．22. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，AB OF ⊥，OE 平分BOD ∠．（1）若70AOC ∠=︒，求EOF ∠的度数；（2）若EOF α∠=，请直接写出AOC ∠的度数（用含α的式子表示）23. 定义：关于x 的方程0ax b −=与方程0bx a −=（a ，b 均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程210x −=与方程20x −=互为“相反方程”．（1）若关于x 的方程①：520x p −+=的解是2x =，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；（2）若关于x 的方程210x b −+=与其“相反方程”的解都是整数，求整数b 的值；（3）若关于x 的方程0kx k +=与()24127m x nx −+=−互为“相反方程”，直接写出代数式()123132m n m n −−−+⎡⎤⎣⎦的值． 24. 若两个角的差的绝对值等于90︒，则称这两个角互为“垂角”．例如：1120∠=︒，230∠=︒，1290∠−∠=︒，则1∠与2∠互为“垂角”（本题中所有角都是指大于0︒且小于180︒的角）．（1）已知一个角比它的“垂角”的12少20︒，求这个角的度数；（2）如图所示，120AOB ∠=︒，45BOC ∠=︒，是否存在射线OD ，使得AOD ∠与COD ∠互为“垂角”？若存在，直接写出BOD ∠的度数；若不存在，请说明理由．25. 直线12l l ∥，对平面内不在1l 上，且不在2l 上的任意一点P ，若P 到1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则记()12d P d d =−．（1）若()()d A d B =，则线段AB 与1l 的公共点个数可能为______；（2）若()d A 取最小值且11d =，则()d P 的取值范围是______．四、附加题（10分）26. 有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组： ①每组中所有数的和不大于150；②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差1r 与所有可能的其它选择相比是最小的，将1r 称为第1组的余差；③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为2r ； ④如此继续构成第3组（余差为3r ）、第4组（余差为4r ）、…，第m 组（余差为m r ），直到把这些数全部分完为止．（1）除第m 组外的每组至少含有______个正数；（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足12m r r r ≤≤⋅⋅⋅≤．并且当构成第()n n m <组后，如果从余下的数中任意选出一个数a ，a 与n r 的大小关系是一定的，请你直接写出结论：a ______n r （填“>”或“<”），并证明111251501n r n −−<−； （3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______组（直接写出答案）．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：因为5||9−=59 而−59与59只有符号不同， 所以5-9的相反数是-59， 故选D ．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键． 2. 【答案】B【分析】把一个大于10的数记成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【详解】解：将720000用科学记数法表示应为57210⨯.，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3. 【答案】A【分析】根据合并同类项的法则，计算并逐项分析判断即可，合并同类项，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【详解】解：A. 2222m n m n m n −=−，故该选项正确，符合题意；B. 22232x y x y x y −=，故该选项不正确，不符合题意；C. 32m 与23m 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；D. 32m 与23m 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．4. 【答案】C【分析】根据题意可知0a b c <<<，且||||a c >，再根据有理数的加法、乘法、除法运算法则判断即可． 【详解】解：因为b c =，所以0a b c <<<，且||||a c >，所以0a b +<，0a c +<，0ab >，0b c<， C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负，有理数的加法、乘法、除法运算，熟练掌握几种运算法则中符号的判断方法是解题关键．5. 【答案】B【分析】先根据射线EB 平分CEF ∠，得出∠CEB =∠BEF =70°，再根据GE EF ⊥，可得∠GEB =∠GEF -∠BEF 即可得出答案．【详解】∵40FEA ∠=︒，∴∠CEF =140°，∵射线EB 平分CEF ∠，∴∠CEB =∠BEF =70°，∵GE EF ⊥，∴∠GEB =∠GEF -∠BEF =90°-70°=20°，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．6. 【答案】B【分析】分别求出两个方程的解，然后建立方程求解即可．【详解】解：354x a −=，解得453a x +=， 1x a +=，解得1x a =−，∵关于x 的方程354x a −=与1x a +=有相同的解， ∴4513a a +=−， 解得：8a =−，故选：B ．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解题意，使得两个方程的解相同建立方程是解题关键． 7. 【答案】A【分析】根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．8. 【答案】B【分析】根据等式的性质依次判断即可．【详解】解：A 、25a a =，当0a ≠时，5a =，选项错误，不符合题意；B 、2x y y +=，两边同时减去y 得x y =，选项正确，符合题意；C 、a b =，则1122a b +=+，选项错误，不符合题意； D 、a b =，当0m ≠时，则a b m m =，选项错误，不符合题意； 故选：B ．【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．9. 【答案】A【分析】设绳索为x 尺，杆子为(5x −)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 一元一次方程．【详解】设绳索为x 尺，杆子为(5x −)尺， 根据题意得：12x =(5x −)5−． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．10. 【答案】A【分析】根据周长的计算公式，列出式子计算解答．【详解】解：由题意知： 1C AD CD b AD a a b a AB a =+−+−+−++−，四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，1222C AD AB b ∴=+−，同理：2222C AD b AB a a b a BC a AB AD AB b =−+−+−++−+=+−，120C C ∴−=，故选：A ．【点睛】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是：掌握整式的加减运算法则．二、填空题（每小题3分，共24分）11. 【答案】<【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可. 【详解】∵3 2.1−>−，∴-3<-2.1.故答案为<.【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.12. 【答案】＜【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案．【详解】解：解：如图，BOD AOE ∠=∠，AOC AOE ∠<∠，AOC BOD ∠<∠．故答案为：<．【点睛】本题考查了比较角的大小，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键．13. 【答案】1【分析】先观察3a 2﹣a ﹣2＝0，找出与代数式5+2a ﹣6a 2之间的内在联系后，代入求值．【详解】解:∵3a 2﹣a ﹣2＝0，∴3a 2﹣a ＝2，∴5+2a ﹣6a 2＝5﹣2（3a 2﹣a ）＝5﹣2×2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了整体代入法求代数式的值，以及添括号法则.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．14. 【答案】45°【分析】设这个角的度数为x ，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为x ，则它的余角为90°-x ，补角为180°-x ，根据题意得，180°-x =3（90°-x ），解得x =45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．15. 【答案】①②④【分析】根据对于有理数a ，b 定义新运算：“”，a b b =△，可以判断各个小题中的结论是否成立；【详解】∵对于有理数a ，b 定义新运算：“”，a b b =△，∴577=△，977=△，∴5797=△△，故①正确；当a b 时，则≠a b b a △△，故③错误；∵a b b =△，=b a a △，a b b a =△△，∴a b =，故②正确；∵()a b c b c c ==，()a b c a c c ==， ∴()()a b c a b c =，故④正确；故答案是①②④．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．16. 【答案】70°.【分析】根据折叠性质,∠A’EF=∠1,再利用平角将去两角和即可得出.【详解】∵∠1=55°,∠A’EF 是折叠后的角,∴∠A’EF=∠1=55°,∴∠DEA’=180°-55°-55°=70°.故答案为:70°.【点睛】本题考查折叠的性质,关键在于熟悉相关性质.17. 【答案】16a 或56a 【分析】分两种情况进行讨论，先画图来确定C 、A 、B 三点的位置，然后根据这三点的位置来确定MN 的长．【详解】解：如图，当点C 在线段AB 上时，∵线段AB 、BC 的中点分别是M 、N ，∴BM ＝12AB ，BN ＝12BC ，又∵AB ＝a ，23BC AB =＝23a ， ∴MN ＝BM −BN ＝12a −13a ＝16a ； 当点C 在线段AB 的延长线上时，∵线段AB 、BC 的中点分别是M 、N ，∴BM ＝12AB ，BN ＝12BC ，又∵AB ＝a ，BC ＝23AB ＝23a ，∴MN ＝BM ＋BN ＝12a ＋13a ＝56a ． 故答案为：16a 或56a ． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，解题关键是分情况讨论．18. 【答案】10【分析】根据“中线对称”的定义列不等式组求解即可．【详解】解∶ ∵点A 表示的数为2−，点C 表示的数为x ，∴AC 的中点为22x −+， ∵点A 与点C 关于线段OB “中线对称，点B 表示的数为4， ∴2042x −+≤≤， 解得210x ≤≤，∴x 的最大值为10．故答案为∶ 10．【点睛】本题考查了新定义，不等式组的应用等，读懂题意，理解新定义是解题的关键．三、解答题（共46分）19. 【答案】（1）6；（2）1y =−【分析】（1）先计算有理数的乘方运算及除法运算，然后计算加减法即可；（2）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1求解即可．【详解】解：（1）()()273287−+−−−÷ 79(4)=−+−−24=+6=；（2）3157146y y −−=+ 去分母得：()()33112257y y −=+−，去括号得：93121014y y −=+−，移项合并同类项得：1y −=，系数化为1得：1y =−【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混和运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键． 20. 【答案】8【分析】直接去括号，再合并同类项，代入求值即可．【详解】解：()2216322323ab a b ab a b ⎛⎫−+−−+ ⎪⎝⎭22616364ab a b b a ab =+−++−124a b =−+∵32−=−a b∴原式4(3)a b =−+4(2)=−⨯−8=．【点睛】题目主要考查整式加减运算及化简求值，正确合并同类项是解题关键．21. 【答案】（1）6−（2）1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）把A 、B 所表示的代数式代入A B +，去括号合并同类项后令x 的二次项和一次项的系数等于0求解即可；（2）把0x =或1代入两个代数式得出相应方程组，求解即可；【小问1详解】解：（1）∵31A x mx =++，232B nx x m =++，∴A B +23132x mx nx x m =+++++2(6)12m x m nx ++++=∵A B +的取值与x 无关，∴0n =，60m +=，∴6,0m n =−=，∴6m n −=−；【小问2详解】当0x =或1时，代入两个代数式得：123132m m n m=⎧⎨++=++⎩， 解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了整式的加减—不含某项问题，以及二元一次方程组的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．22. 【答案】（1）125︒（2）2180α−︒【分析】（1）先由邻补角定义求出110BOC ∠=°，再由角平分线的定义求出113522BOE BOD AOC ∠=∠=∠=︒，又根据垂直定义得90BOF ∠=︒，即可由EOF BOE BOF 求解；（2）根据图形得出90BOE α∠=−︒，再由角平分线的定义求出2180BOD α∠=−︒，根据对顶角相等即可求解．【小问1详解】解：∵180AOC BOC ∠+∠=︒，70AOC ∠=︒，∴110BOC ∠=°，∵OE 平分BOD ∠， ∴113522BOE BOD AOC ∠=∠=∠=︒， ∵AB OF ⊥，∴90BOF ∠=︒，∴9035125EOF BOE BOF ∠=∠+∠=︒+︒=︒；【小问2详解】解：∵EOF α∠=，AB OF ⊥，∴90BOE α∠=−︒，∵OE 平分BOD ∠．∴()22902180BOD BOE αα∠=∠=−︒=−︒∴2180AOC BOD α∠=∠=−︒．【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，熟练掌握角的和差倍分计算是解题词的关键．23. 【答案】（1）12x = （2）b 的值为1,0,2,3−； （3）1【分析】（1）根据题意得出12p =，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是1050x −=，即可求解； （2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出12b −与21b −都为整数，确定11,2b −=±±，分情况求解即可；（3）根据题意得出2287m m n −+=+，确定1072m n +=，再将整式进行化简，整体代入求值即可．【小问1详解】解：∵关于x 的方程①：520x p −+=的解是2x =，∴1020p −+=，∴12p =，∴方程①为5100x −=，∴方程①的“相反方程”是1050x −=， 解得12x =， 故答案为：12x =； 【小问2详解】关于x 的方程210x b −+=的“相反方程”为()120b x −+=，由210x b −+=得12b x −=， 由()120b x −+=得21x b =−， ∵关于x 的方程210x b −+=与其“相反方程”的解都是整数， ∴12b −与21b −都为整数， 又∵b 为整数，∴112b −=±±，，∴当11b −=时，2b =；当11b −=−时，0b =；当12b −=时，3b =；当12b =－－时，1b =－，综上所述，整数b 的值为1,0,2,3−；【小问3详解】方程()24127m x nx −+=−整理得，()87220m n x m +−+=，∵关于x 的方程0kx k +=与()24127m x nx −+=−互为“相反方程”，∴2287k m k m n =−+=+，，∴2287m m n −+=+，∴1072m n +=， ∴()123132m n m n −−−+⎡⎤⎣⎦ 1(623)2m n m n =−−−+16232m n m n =−−+− 7522n m =−−+ 1(107)22m n =−++ 1222=−⨯+ 1=．【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，整式的化简求值，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．24. 【答案】（1）50︒（2）7.5︒或82.5︒或97.5︒【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可；（2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中AOD ∠与COD ∠和的关系列方程组解答即可．【小问1详解】设这个角为x ︒，它的垂角为y ︒， 根据题意，得901202x y x y ⎧︒−︒=︒⎪⎨︒=︒−︒⎪⎩， 解得：50140x y =⎧⎨=⎩， 故这个角的度数为50︒；【小问2详解】BOD ∠的度数为：7.5︒或82.5︒或97.5︒，理由如下：分两种情况：OD 在AOC ∠的内部时，9012045AOD COD AOD COD ∠∠∠∠⎧−=︒⎨+=︒+︒⎩，解得37.5COD ∠=︒或127.5COD ∠=︒，∴4537.57.5BOD BOC COD ∠∠∠=−=︒−︒=︒或127.54582.5BOD COD BOC ∠∠∠=−=︒−︒=︒；②OD 在AOC ∠外部时，9036012045AOD COD AOD COD ∠∠∠∠⎧−=︒⎨+=︒−︒−︒⎩， 解得52.5COD ∠=︒或142.5COD ∠=︒，∴4552.597.5BOD BOC COD ∠∠∠=+=︒+︒=︒或45142.5187.5180BOD BOC COD ∠∠∠=+=︒+︒=︒>︒（舍去）， 故BOD ∠的度数为：7.5︒或82.5︒或97.5︒．【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是解题关键．25. 【答案】（1）0或1 （2）()02d P ≤≤【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A 和B 均在直线1l 上方且到1l 的距离相等时；当点A 和B 在直线1l ，2l 之间时，作出相应图形即可求解；（2）根据题意得出122d d +=，分两种情况分析：当点P 在1l 上方或下方时，当点P 在1l ，2l 之间时，结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示，当点A 和B 均在直线1l 上方且到1l 的距离相等时，此时线段AB 与1l 的公共点个数为0；当点A 和B 在直线1l ，2l 之间时，如图所示：此时线段AB 与1l 的公共点个数为1；故答案为：0或1；【小问2详解】当()d A 取最小值且11d =时，如图所示：此时点A 恰好在1l ，2l 的中间直线上，∴1l ，2l 之间的距离为2，即122d d +=，当点P 在1l 上方或下方时，如图所示：此时()d P 即为1l ，2l 之间的距离为2；当点P 在1l ，2l 之间时，如图所示：∵122d d +=，∴当点P 在1l ，2l 的中间直线上时，()0d P =，当点P 不在1l ，2l 的中间直线上时，()02d P <<；综上可得：()02d P ≤≤，故答案为：()02d P ≤≤．【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．四、附加题（10分）26. 【答案】（1）3；（2）>，证明见解析；（3）11【分析】（1）根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，即可求解；（2）当第n 组形成后，因为n m <，所以()()()121275150150150n n r r r r −−+−++−>⎡⎤⎣⎦……，化简即可求证；（3）假设它们最多可以分成N 组，根据题意可得12758.5150N >=，对91011N =、、进行逐个分析，根据（1）（2）中的结论，利用反证法求解．【小问1详解】解：根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，则除第m 组外的每组至少含有150350=个正数，故答案为：3；【小问2详解】解：当第n 组形成后，因为n m <，所以还有数没有分完，这时余下的每个数必大于余差n r ，若小于n r ，可在第n 组中替换为剩余的数，使得1n n r r +>，与题意不符，即n a r >，余下数之和也大于第n 组的余差n r ，即 ()()()121275150150150n n r r r r −−+−++−>⎡⎤⎣⎦……，由此可得：1111275n r r r n −+++>−……∵()11111n n n r r r r −−−≥+++……∴()111501275n n r n −−>−，即115012751n n r n −−>− 化简可得：111251501n r n −−<−， 【小问3详解】解，假设它们最多可以分成N 组，根据题意可得12758.5150N >=， 若9N =，即最多分为9组，8150912759.3758r ⨯−>= 因为第8组中至少含有3个数，所以第8组之和大于9.375328.125⨯=，此时第8组的余差815015028.125121.8758r =−<−=第组之和，符合题意，即9N =成立； 同理可证的，10N =、11N =时，也成立，当12N =时，即最多分为12组，1115011127537.510r ⨯−>=，因为第11组中至少含有3个数，所以第11组之和大于37.53112.5⨯=，此时第11组的余差1111115015012.537.5r=−<−=第组之和，与1137.5r>矛盾，即12N=不成立；则N最大为11．故答案为11．【点睛】本题主要考查了不等式的证明等基本知识，考查了逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，解题的关键是理解题意，利用不等式的知识进行求解．。

北 京 首 师大附 中 初一 分 班考试 数 学 试题 剖析一、填空。

1 47 47 46 47 46 45 47 46 452 11 、52＋52 51＋52 51 50＋52 51 50 49 ＋⋯⋯＋52 5150 496 5剖析：⑴ 先来复 一个整数的裂 公式：1 ×2 ×3 ×4＋ 2×3×4 ×5 ＋3×4×5×6＋⋯⋯＋n 〔 n ＋1 〕〔 n ＋2 〕〔 n ＋3〕1＝ 5n 〔 n ＋ 1〕〔 n ＋2〕〔 n ＋ 3〕〔 n ＋4 〕⑵原式共有 48 ，从第 5 到第 48是：47 4645 4447 46 45 44 4347 46 45 44 434252 51 50 4948 ＋52 51 50 49 4847＋52 51 50 49 48 4746＋⋯⋯分以后，分母都是52 ×51 ×50 ×49 ×48 ，分子挨次是 47 ×46 ×45 ×44 、46 ×45 ×44 ×43 、 45 ×44 ×43 ×42 、⋯⋯、4×3 ×2 ×1，⑵前面的 4 ，通分以后分母也是52 ×51 ×50 ×49 ×48 ，分子挨次是 51 ×50 ×49 ×48 、50 ×49 ×48 ×47 、 49 ×48 ×47 ×46 、48 ×47 ×46 ×45 、5150 49 48 50 49 48474 32 1⑶原式＝52 51 50 49 481 2 3 4 2 3 4 548 49 50 51＝52 51 50 49 481 48 49 50 51 52 5＝52 51 50 49 481＝ 52 、由六个正方形 成的“十字架〞的面 是 150 平方厘米，它的周 是 厘米。