下载文档原格式
几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题：1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5.3.几何图形：①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题B镇*A镇♦' -------------------------- '燃气管例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。
解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM•/ CD=BC=8,DM=2, /• MC=6,在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10，••• DN+MN勺最小值是10。
例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。
连OB oA,•••/ AMN=30B是弧AN的中点,•••/ BOA=30°,根据对称性可知:丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, DDMBNAMOA在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1,••• A B =、2 即 PA+PB= 2作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到DE 两点的距离之和最小，并求出最小值。
初中⼏何中线段和差的最⼤值与最⼩值典型分析（最全）初中⼏何中线段和（差）的最值问题⼀、两条线段和的最⼩值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）⼀）、已知两个定点：1、在⼀条直线m 上，求⼀点P ，使PA+PB 最⼩；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最⼩。
（1）两个点都在直线外侧：（2）⼀个点在内侧，⼀个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm ABm B mA Bmn m nn m nnnm B（4）、台球两次碰壁模型变式⼀：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式⼆：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.⼆）、⼀个动点，⼀个定点：（⼀）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找⼀点P ，使PA+PB 最⼩（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（⼆）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找⼀点P ，使PA+PB 最⼩（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最⼩。
(原理⽤平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内⼀点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最⼩值为．2、如图1，在锐⾓三⾓形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最⼩值为． 3、如图，在锐⾓三⾓形ABC 中，AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最⼩值是多少？4、如图4所⽰，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上⼀点.若AE=2,EM+CM 的最⼩值为 .5、如图3，在直⾓梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上⼀个动点，当PC ＋PD 的和最⼩时，PB 的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的⼀点，则PA+PB 的最⼩值为．Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对⾓线AC上的⼀个动点，则PE+PB的最⼩值为．8、如图，菱形ABCD的两条对⾓线分别长6和8，点P是对⾓线AC上的⼀个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最⼩值是9、如图，圆柱形玻璃杯，⾼为12cm，底⾯周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意⼀点，则PK+QK的最⼩值为11、如图，正⽅形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上⼀动点．则PB+PE的最⼩值是12、如图6所⽰，已知正⽅形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的⼀个动点，则DN+MN的最⼩值为．13、如图，正⽅形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最⼩值为．14、如图7，在边长为2cm的正⽅形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对⾓线AC上⼀动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最⼩值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上⼀动点，则P A+PC的最⼩值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上⼀动点，则PA＋PB 的最⼩值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正⽐例函数y=x的图象与反⽐例函数y=（k≠0）在第⼀象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂⾜为M，已知三⾓形OAM的⾯积为1.（1）求反⽐例函数的解析式；（2）如果B为反⽐例函数在第⼀象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求⼀点P，使PA+PB最⼩.2、如图，⼀元⼆次⽅程x2+2x-3=0的⼆根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此⼆次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有⼀动点M，当MQ+MA取得最⼩值时，求M点的坐标．3、如图10，在平⾯直⾓坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的⾯积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最⼩？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有⼀动点P ，⾃M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后⼜沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直⾓梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB=2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针⽅向旋转，⾓的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上⽅），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最⼩，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平⾯直⾓坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平⾯直⾓坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的⼀个动点，当△CDE的周长最⼩时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最⼩时，求点E、F的坐标.⼆、求两线段差的最⼤值问题 (运⽤三⾓形两边之差⼩于第三边) 基本图形解析：1、在⼀条直线m 上，求⼀点P ，使PA 与PB 的差最⼤；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三⾓形两边之差⼩于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，⽽PA —PB=AB 此时最⼤，因此点P 为所求的点。
