河南省郑州市2019届高三数学第二次质量检测试题文(含解析)

年郑州市高中毕业年级第二次质量预测

文科数学试题卷

第Ⅰ卷（选择题 共分）

一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共小题，每小题分，共分

.已知全集，，，则（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

由全集＝，求出的补集，找出与补集的公共部分，即可确定出所求的集合．

【详解】∵

又由全集＝，∴＝{≤ }，

则∩（∁）＝{≤ }．

故选：．

【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合的补集是关键，属于基础题．

.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数的定义与运算性质，求出的值．

【详解】∵，则()，

设，代入()中，有()()，

∴且，解得，

∴．则，

故选：． 【点睛】本题考查了复数的模的定义与复数的乘法运算问题，考查了复数相等的概念，是基础题．

.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

结合程序的运行过程及功能，可得答案．

【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

结合程序框图的功能可知：

的值为多项式的系数，由，，…直到，

由程序框图可知，处理框处应该填入＝﹣．

故选：．

【点睛】本题考查的知识点是程序框图，读懂框图的功能是解题的关键，属于基础题．

.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（ ）

. . . .

【答案】 【解析】

【分析】

运用双曲线的离心率公式和，，的关系，可得＝，求得双曲线的一条渐近线方程，可求得圆心到渐近线的距离，再由弦长公式计算即可得到所求值．

【详解】由题意可得，

即，即有，

设双曲线的一条渐近线方程为，即为＝，

圆的圆心为（，），半径＝，

即有圆心到渐近线的距离为，

可得截得的弦长为．

故选：．

【点睛】本题考查直线和圆相交的弦长的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．

.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）

. 甲队平均得分高于乙队的平均得分 . 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数

. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差 . 甲乙两队得分的极差相等

【答案】

【解析】

【分析】

由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．

【详解】；，∴∴错误； 甲的中位数是，乙的中位数是，<,∴错误；

甲的极差为﹣＝，乙的极差为﹣＝，∴错误；

排除可得选项正确，

故选：．

【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.

.将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（ ）

. 函数在区间上为增函数

. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称

. 点是函数图象的一个对称中心

. 函数在上的最大值为

【答案】

【解析】

【分析】

利用函数＝（ω）的图象变换规律，求得（）的解析式，再根据正弦函数的性质对选项逐一判断即可．

【详解】由函数（）＝的图象先向左平移个单位，可得＝（）的图象；

然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得＝（）＝（）的图象．

对于选项，时，，此时（）＝（）是单调递增的，故正确；

对于选项，将函数的图象向右平移个单位后得到＝（）不是奇函数，不满足关于原点对称，故错误；

对于选项，将代入函数解析式中，得到（）；故点不是函数图象的一个对称中心，故错误；

对于选项，当时，，最大值为，故错误；

故选． 【点睛】本题主要考查函数＝（ω）的图象变换规律，正弦函数的值域及性质，属于中档题．

.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

分离常数法化简（），根据新定义即可求得函数＝[（）]的值域．

【详解】，又>，∴，∴

∴当∈（，）时，＝[（）]＝；

当∈[，）时，＝[（）]＝．

∴函数＝[（）]的值域是{，}．

故选．

【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．

.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）

. . . .

【答案】 【解析】

【分析】

由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【详解】由三视图知：几何体是四棱锥，如图：

四棱锥的底面四边形为直角梯形，直角梯形的底边长分别为、，直角腰长为；

四棱锥的高为，

∴几何体的体积．

故选．

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及所对应几何量的数据是解题的关键．

.已知抛物线，过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点（均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线距离的最大值为（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

设（，），（，），由⊥，利用斜率计算公式可得•＝﹣，得出＝﹣．又，即可得出直线恒过定点，由此可得结论．

【详解】设（，），（，）．

由⊥，得，得出＝﹣． 又，

得直线的方程：﹣（﹣）．

即﹣（）﹣＝．

令＝，解得＝．

∴直线恒过定点（，）．

∴抛物线的焦点到直线距离的最大值为，

故选：．

【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题的求解与应用，涉及斜率计算公式与直线方程的形式，属于中档题．

.已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

由题意设向量，的夹角为，将平方运算可得°，再将平方运算可得关于的一元二次不等式，利用<，求解范围即可.

【详解】设向量，的夹角为，，，，

则，

∴，∴°，∴,

又∴，即对于任意实数恒成立，∴对于任意实数恒成立，

∴（）<，∴，

故选．

【点睛】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算及应用，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题． .在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）

. . . .

【答案】

【解析】

【分析】

由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，得解．

【详解】补全截面为截面如图，

其中、、分别为、的中点，易证平面∥平面，

∵直线与平面不存在公共点，

∴∥面，∴面，

∴∈，∴过作的垂线，垂足为，则,此时最短，

△的面积最小，

∴三角形面积的最小值为，

故选：．

【点睛】本题考查了截面问题，涉及线面平行，面面平行的定义的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题．

.函数是定义在上的函数,，且在上可导，为其导函数，若且，则不等式的解集为（ ）

. . . .

【答案】

【解析】 【分析】

构造函数，（）＝（），利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．

【详解】函数（）在（，∞）上可导，为其导函数，

令（）＝（），则′（）＝•（）＝，

可知当∈（，）时，（）是单调减函数，∈（，∞）时，函数（）是单调增函数，又（）＝，,

则（）＝（）＝，且（）＝

则不等式（）＜的解集就是（）＜的解集，

不等式的解集为：{＜＜}．

故选：．

【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

第Ⅱ卷（非选择题 共分）

二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分

.已知为坐标原点，向量，，若，则.

【答案】

【解析】

【分析】

设出的坐标，得到关于，的方程，解出即可．

【详解】设（，），

则（，﹣），

而（，﹣）

若，

则（）＝，（﹣）＝﹣，

解得：，，

故，

故答案为：．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题． .设实数满足，则的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】

根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，利用表示的几何意义，结合图象即可得出的范围．

【详解】先根据实数，满足的条件画出可行域，如图阴影部分：（含边界）

由的几何意义是可行域内任意一点与坐标原点连线的斜率，

观察图形可知，当点在点处取最小值，由解得（，）

∴最小值为，

当点在点处取最大值, 由解得（，）,

∴最大值为，

故的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了线性规划中的最值范围问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，属于中档题．