河南省郑州市高三数学第三次质量预测试题 文

1 2017年高中毕业年级第三次质量预测

文科数学试题卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合20Axxx，10Bxxmx，则“1m”是“AB”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ）

A.20 B.30 C.40 D.50

3.已知12zmmi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）

A.1,2 B.2,1 C.1, D.,2

4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）

A. B.

C. D.

5.已知1cos32，则sin6的值等于（ ） 2 A.32 B.32 C.12 D.12

6.已知'2fxxm，且00f，函数fx的图象在点1,1Af处的切线的斜率为3，数列1fn的前n项和为nS，则2017S的值为（ ）

A.20172018 B.20142015 C.20152016 D.20162017

7.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）

A.22 B.23 C.43 D.42

8.已知等比数列na，且684aa，则84682aaaa的值为（ ）

A.2 B.4 C.8 D.16

9.若实数a、b、0c，且625acab，则2abc的最小值为（ ）

A.51 B.51 C.252 D.252

10.椭圆22154xy的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN△的周长最大时，FMN△的面积是（ ）

A.55 B.655 C.855 D.455

11.四面体ABCD中，10ABCD，234ACBD，241ADBC，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）

A.50 B.100 C.200 D.300 3 12.已知函数2221ln193cos1xxxxfxx，且20172016f，则2017f（ ）

A.2014 B.2015 C.2016 D.2017

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设变量x，y满足约束条件：3010230xyxyxy，则目标函数2zxy的最小值为 ．

14.已知向量,3am，3,1b，若向量a，b的夹角为30，则实数m ．

15.在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知58ba，2AB＝，则cosA ．

16.在ABC△中，3A，O为平面内一点，且OAOBOC，M为劣弧BC上一动点，且OMpOBqOC，则pq的取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列na是等差数列，首项12a，且3a是2a与41a的等比中项.

（1）求数列na的通项公式；

（2）设232nnbna，求数列nb的前n项和nS.

18.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：

组别 PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天）

第一组 0,35 32

第二组 35,75 64

第三组 75,115 16 4 第四组 115以上 8

（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？

（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.

19.如图，在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC△是等腰直角三角形，且斜边2AB，侧棱12AA，点D为AB的中点，点E在线段1AA上，1AEAA（为实数）.

（1）求证：不论取何值时，恒有1CDBE；

（2）当13时，求多面体1CBECD的体积.

20.已知点P是圆221:18Fxy上任意一点，点2F与点1F关于原点对称，线段2PF的垂直平分线分别与1PF，2PF交于M，N两点.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点10,3G的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知函数xhxxaea.

（1）若1,1x，求函数hx的最小值；

（2）当3a时，若对11,1x，21,2x，使得21221522hxxbxaee成立，求b的范围.

22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单5 位，已知直线l的参数方程为1cos2sinxtyt，（t为参数，0），曲线C的极坐标方程为2sin2cos0.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求AB的最小值.

23.已知函数52fxxx.

（1）若xR，使得fxm成立，求m的范围；

（2）求不等式28150xxfx的解集. 6 2017年高中毕业年级第三次质量预测

数学（文科） 参考答案

一、选择题

AABCD； AADDC；CA.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.4； 14.3;m 15.7;25 16.12.pq

三、解答题

17.解：(I)设数列na的公差为d，

由21a，且3a是2a与14a的等比中项得：

2(22)(2)(33),ddd

2d或1,d

02213dad时，当与3a是2a与14a的等比中项矛盾，舍去.

nndnaan2)1(22)1(1，即数列na的通项公式为nan2.

(II)221111(),(3)(2)(3)(22)(3)(1)213nnbnannnnnn

)3111()6141()5131()4121(21321nnbbbbSnn

)31213121(21nn

525.122(2)(3)nnn

18.解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，

第一组抽取81203032天；第二组抽取161203064天；

第三组抽取41203016天；第四组抽取2120308天.

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在75,115内的4天记为4321,,,AAAA，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,BB. 7 所以6天任取2天的情况有：,21AA,31AA,41AA,11BA,21BA,32AA,42AA,12BA,22BA,43AA,13BA,23BA,14BA,24BA21BB共15种．

记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：,11BA,21BA,12BA,22BA,13BA,23BA,14BA24BA共8种，

所求事件A的概率：.158AP

19(I)证明：ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，.CDAB

1,,AAABCCDABC平面平面1.AACD

A1C1B1EDCBA

又111111,,,AAABBAABABBAAAABA平面平面11.CDABBA平面

又111,BEABBA平面1.CDBE

(II) ABC是等腰直角三角形，且斜边2,AB1.ACBC

1111111112,3323CCBEECBCCBCVVACS

11112111,3322318DBECECDBDBCVVAES 117.31818V

20.解：(I)由题意得121112222,MFMFMFMPFPFF

点M的轨迹C为以21,FF为焦点的椭圆

222,22,ac点M的轨迹C的方程为221.2xy

(II)直线l的方程可设为31kxy，设1122(,),(,),AxyBxy

联立221,31,2ykxxy可得229(12)12160.kxkx 8 由求根公式化简整理得121222416,,3(12)9(12)kxxxxkk

假设在y轴上是否存在定点),0(mQ，使以AB为直径的圆恒过这个点，则

BQAQ即0.AQBQ

1122(,),(,),AQxmyBQxmy

)31)(31())((21212121kxmkxmxxymymxxBQAQ

9132))(31()1(221212mmxxmkxxk

9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222mmkmkkk

2222(1818)(9615)0.9(12)mkmmk

2218180,96150,mmm 求得1.m

因此，在y轴上存在定点)1,0(Q，使以AB为直径的圆恒过这个点.

21.解:(I)xeaxxh)1()(，令0)(xh得1ax.